Stefanuswindarhariadi's Blog Skip to content Home DeviceProject FESTO Smart Bird Sebentuk TeknologiKreatif HVDC: Tinjauan Matematis Kerekayasaankonverter ThisPage

Transformasi Fourier BagianI March 18, 2010 3:19 pm Jump to CommentsDERETFOURIERTUTORIAL SINGKATDERET FOURIERTentukan f(x) adalah suatu fungsi dari suatu variabel real x, fungsi ini bersifat periodik dengan lebar periode 2, sehingga f(x+2)=f(x), untuk setiap bilangan real x. Kita akan mencoba menulis fungsi tersebut sebagai suatu jumlah tak hingga, atau sebagai deret dari fungsi-fungsi periodik 2 yang sederhana. Kita akan mulai dengan suatu jumlah tak hingga dari fungsi-fungsi sinus dan cosinus pada interval [-, ], lalu kita akan menggunakan formulasi-formulasi yang berbeda-beda dan kemudian melakukan generalisasi.Rumus Fourier untuk fungsi-fungsi periodik 2 menggunakan sinus dan cosinusSuatu fungsi periodik 2 f(x) yang bersifat integrabel pada ranah [-, ], mempunyai bilangan-bilangan:

Dan

disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier dari f.Kita akan mencoba menata konfigurasi dengan penulisan sebagai deret maka:fn(x) = [a0 cos(0x)+ b0 sin(0x) ]+ [a1cos(x)+ b1sin(x)] + [a2cos(2x) + b2sin(2x)]+ [a3cos(3x) + b3sin(3x)]++[ancos(nx) + bnsin(nx)]

dari persamaan di atas tampak bahwa pada n=0mempunyai nilai yang tidak tergantung pada bagian sinusoidalnya sehingga dapat dirumuskan:

Penulisan jumlah parsial dari deret fourier f diatas dan dilakukan perluasan sampai pada nilai tak terhingga dapat dirumuskan menjadi:

disebut sebagai deret fourier .Contoh 1:Sebagai contoh mari kita uraikan bentuk gelombang kotak (square wave) :

dengan n = 1,2,3,4,5,, bilangan real

maka akan diperoleh kesetaraan deret fourier dari gelombang kotak sebagai berikut:

atau

Di bawah ini adalah grafik pendekatan deret fourier hingga n=13 beserta gelombang kotak originalnya, dengan a = 10.

Gambar 1, gelombang kotakContoh 2:Gelombang gigi gergaji (sawteeth wave) dengan gradient uniform/sama:

maka,

atau,

Grafik gelombang gigi gergaji dapat dilihat di bawah ini, grafik ini diperluas ekspansi variabelnya dengan -2 x 2, a = 10 dan n = 1,2,3,4,5:

Gambar 2, gigi gergaji gradient uniformDeret Fourier EksponensialKita mengenal dua formula Euler sebagai berikut

dengan i sebagai penanda bagian imajiner, kita telah mengenal di awal bab ini bahwa koefisien-koefisien deret Fourier dibentuk oleh serangkaian fungsi kosinus dan sinus.Manipulasi matematis atas dua rumus Euler di atas menghasilkan:

Maka :

dan

maka

Dengan memanipulasi batasan n pada bagian paruh kedua ruas kanan persamaan (1) dengan menganggapnya sebagai cermin diperoleh:

sehingga diperoleh Deret Fourier sebagai,

Lebih jauh:

Sehingga formula deret fourier F(x) dapat dituliskan sebagai:

atau secara lebih baik ditulis sebagai,

dan

Pada ilmu kerekayasaan, ketika variable x menandakan waktu, urutan koefisien tersebut dinamai ranah frekuensi. Gelombang kotak sering digunakan untuk menunjukan bahwa ranah dari fungsi merupakan susunan frekuensi diskret.Konvergensi dan aproksimasiDeret Fourier tidak selalu memenuhi sifat konvergensi, dan bahkan jika konvergen pada suatu nilai tertentu x0 dar x, jumlah dari suatu deret pada x0 mungkin berbeda dari nilai f(x0) dari persamaan aslinya. Perihal konvergensi adalah satu dari pertanyaan-pertanyaan mendasar dalam analisis harmonik untuk menentukan kapan deret fourier memenuhi konvergensi, dan kapan jumlah dari deret sama dengan fungsi aslinya.Contoh 3:Berikut ini adalah satu set persamaan yang aproksimasi Fouriernya tidak mempunyai konvergensi, yaitu persamaan gelombang gigi gergaji dengan mengambil rentang - x dapat ditulis demikian:

atau

atau

Penyusunan persamaan penulis tinggalkan untuk latihan para pembaca, berikut ini grafiknya:

Gambar 3, grafik fourier diperkirakan divergenPara pembaca dapat melihat bahwa jika nilai-nilai -2,-,0,, dan 2 dimasukkan ke dalam deret fourier di atas maka tidak akan pernah mencapai 0, atau divergen. Hal ini terjadi karena adanya pergeseran antara bentuk gelombang dasarnya (grafik warna merah) dan hasil pendekatan menggunakan deret Fourier (grafik warna hitam).Di dalam bidang fisika eksperimental dan kerekayasaan/engineering divergensi atau ketidak-konvergen-an diselesaikan dengan menggunakan estimasi pergeseran variable x, paling tidak untuk mendekati nilai-nilai nol (zero values).Sebagai contoh gelombang dasar dari pada gambar 3 digeser ke kanan sebesar 11.520 maka akan diperoleh gambar seperti di bawah ini:

Gambar 4, pendekatan dengan pergeseran sudut 11.520Nilai pergeseran sejauh 11.520 tersebut hanyalah suatu nilai pendekatan yang diperoleh dari perbandingan hasil deret Fourier dan set persamaan aslinya pada variabel-variabel yang ada, kemudian pada gilirannya akan dibandingkan dengan data-data eksperimental maupun hasil pengukuran kerekayasaan.Satu pertanyaan penting bagi teori maupun penerapannya adalah konvergensi. Seperti yang telah ditunjukkan oleh Gambar 3 dan Gambar 4 di atas bahwa pergeseran yang dilakukan belum menunjukkan ke arah konvergensi. Deret Fourier secara spesifik, pada penerapan-penerapannya sering memerlukan penggantian pernyataan tak-berhingga/infinitivedengan satu pernyataan berhingga.

Pernyataan ini disebut sebagai jumlah parsial. Kita akan melihat, bagaimanakah cara (SN )(x) konvergen ke f(x) sejalan terhadap N menuju ke tak-berhingga.Perhitungan akar terkecil Katakanlah bahwa p adalah polinomial trigonometri pada derajat N dengan bentuk

Perlu ditekankankan bahwa SN adalah satu polinom trigonometri dengan derajat N. Teorema Parseval mengimplikasikan bahwa:Teorema: Polinom trigonometrik SN merupakan polinom trigonometri terbaik yang unik pada derajat N yang mendekati f(x), dengan anggapan tersebut, untuk setiap polinom trigonometrik p adalah tidak sama dengan SN (p SN ) pada derajat N, kita dapat merumuskan Perumusan di atas dapat dringkaskan oleh norma ruang Hilbert:

Mari kita coba mengulas teorema ini menggunakan contoh 3 di atas tanpa mempertimbangkan bentuk eksponensial, hal ini dilakukan supaya kita memahami dahulu perhitungan akar terkecil. Kita ambil N=14,

dan f(x) adalah gelombang aslinya.Grafik dari (SN f)(x), p(x), dan f(x) pada N=14 dapat dilihat di bawah ini:(SN f)(x) menjadi tidak sama dengan p(x) disebabkan oleh pergeseran sebesar 0.201062.Grafik daridan digambarkan sebagai berikut:

Grafik di atas menunjukkan bahwa kecenderungannya adalah maka deret Fourier untuk contoh 3 cenderung konvergen.Mungkin pembaca ragu-ragu bahwa deret Fourier pada contoh 3 dapat diadopsi ke dalam bentuk pernyataan kompleks, berikut ini buktinya:

Dari dua pernyataan matematis di atas kita memperolehdan .Sekarang mari kita cari nilai dari:

dan

selanjutnya para pembaca dipersilakan melanjutkan, maka akan diperoleh hasil seperti pada contoh 3.(*)Catatan: Grafik yang dibuat menggunakan program Microsoft Office Excel dengan pertimbangan program tersebut selalu menjadi bawaan Windows yang umum digunakan, pula mudah dioperasikan dan cukup akurat untuk analisis awal FourierAbout these ads RelatedAlternator, Dasar Mesin ListrikTEKNOLOGI INSTRUMENTASI PEMANFAATAN DIPOLE LISTRIK With 2 commentsGENERATOR SINKRONWith 4 commentsTop of Form

Bottom of Form SearchTop of FormSearch for: Bottom of FormBottom of FormPowered by WordPress.com