115334622 Deret Fourier

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

1/40

download on www.enggar.tk

BAB 2

DERET FOURIER

2.1. Pendahuluan

Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas

banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi

dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Bentuk

getaran atau osilasi di dalam fisika banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu

tala, getaran atau ayunan dari bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas,

gelombang bunyi, arus listrik, dan lain sebagainya.

Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang penyusunnya dinamakan Deret

Fourier. Setiap gelombang penyusun mempunyai amplitudo yang dinamakan

Koefisien Fourier.

Bab ini akan membahas tentang Fungsi Periodik, Nilai Rata-rata dari suatu fungsi

Periodik, Deret Fourier Sinus dan Cosinus, Koefisien Fourier, Interval Fourier, Deret

Fourier Bentuk Kompleks, dan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Pada akhir bab ini

dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier.

Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret

Fourier, melakukan penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier,

dan dapat memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.

2.2. Fungsi Periodik

Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dengan perioda T jika nilai fungsi f(t) sama

(berulang) setiap selang periodanya. Hal ini dapat dirumuskan :

f(t) =f(t+T) , untuk setiap t.

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

2/40


Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi periodik, misalnya

Sin (t + 2) = Sin t

Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut :

f(t)

tT 2T 3T

P(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T T

S(t)

T 2T 3T

L(t)

T 2T 3T

Gambar 2.1. Fungsi periodik

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

3/40


2.3. Kondisi Dirichlet

Suatu fungsi f(t) terdefinisi pada interval (-L, L), periodik dengan perioda 2L. f(t) dan

fl(t) kontinu dalam interval tersebut. Jika ada nilai f(t) yang bersifat diskontinu pada

interval tersebut, misal pada titik t = 0, f(t)limf(t)lim0t0t , maka

2

)f(0)f(0f(0)

dimana :

)f(0

adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kanan

)f(0 adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kiri

2.4. Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik

Suatu fungsi f(t) yang periodik, mempunyai nilai rata-rata pada interval (a,b) sebagai

berikut :

n )f(x)f(x)f(x)f(xn321

Jika interval (a,b) dibagi kecil-kecil sebesar t sebanyak n, maka nilai rata-rata

menjadi :

tn

t)f(x)f(x)f(x)f(x n321

Untuk nilai n , maka t 0, sehingga nilai rata-rata fungsi periodik sepanjang

interval periodik (a,b) adalah :

ab

dtf(t)b

a

, atau

b

a

dtf(t)ab

1

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

4/40


Beberapa contoh perhitungan nilai rata-rata fungsi periodik :

a. Sin tf(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = 0dttCos2

1dtSin t

2

1

b. tCostSinf(t) 22 , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = 1dt21

dttCostSin2

1

22

c. tSinf(t)2 , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = 1/2dttCos2

1dttSin

2

1

2

2

d. mtCosmtSinf(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = dtntCosmtSin2

1

dt2

ee

2i

ee

2

1

intintimtimt

dt2i

ee

2i

ee

2

1

2

1

n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

5/40


Nilai rata-rata 0dtn)t-(mSinn)t(mSin

2

1

2

1

untuk semua m dan n

e. ntSinmtSinf(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = dtntSinmtSin2

1

dt2i

ee

2i

ee

2

1

intintimtimt

dt2

ee

2

ee

2

1

2

1


dtn)t(mCos-n)t-(mCos

2

1

2

1

*) Untuk m n, maka

Nilai rata-rata 0dtqtCos-ptCos2

1

*) Untuk m = n 0, makaNilai rata-rata

21dtqtCos-1

21

21

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

6/40


*) Untuk m = n = 0, makaNilai rata-rata 0dt1-12

121

f. ntCosmtCosf(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = dtntCosmtCos2

1

dt2

ee

2

ee

2

1

intintimtimt

dt2

ee

2

ee

2

1

2

1


dtn)t-(mCosn)t(mCos2

1

2

1

*) Untuk m n, maka

Nilai rata-rata 0dtqtCosptCos2

1

*) Untuk m = n 0, makaNilai rata-rata

2

1dt1ptCos

2

1

2

1

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

7/40


*) Untuk m = n = 0, makaNilai rata-rata 1dt112

121

2.5. Deret Fourier Sinus dan Cosinus

Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas

banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi

dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Fungsi

Sinus nt dan Cosinus nt mempunyai perioda 2, merupakan fungsi dasar yang

nantinya dikembangkan ke bentuk fungsi Sin nt dan Cos nt. Dengan demikian

akan berlaku :

Sin n(t + 2) = Sin (nt + n2) = Sin nt

Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :

1n

n1n

n0 ntSinbntCosa2

af(t)

ntCosa2tCosatCosa2

an21

0

ntSinb2tSinbSin tb n21

Dengan an dan bn merupakan koefisien- koefisien yang harus dirumuskan

menggunakan nilai rata-rata fungsi periodik, dan dinamakan koefisien Fourier.

2.6. Koefisien Fourier

Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus mengandung suku a0, an, dan bn

yang dinamakan koefisien Fourier. Koefisien-koefisien ini dapat dihitung dengan cara

merumuskannya terlebih dahulu.

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

8/40


Perumusan koefisien-koefisien Fourier menggunakan prinsip nilai rata-rata sebagai

berikut :

a) Jika dilakukan integrasi dari perumusan deret Fourier, akan didapat :

-

n21

-

0

-

dtntCosa2tCosatCosadt2

adtf(t)

-

n21 dtntSinb2tSinbSin tb

0022a0

dengan demikian didapat :

0 dtf(t)

1a

b) Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Sin nt, kemudian diintegrasikan,

akan didapat :

-

0

-

dtntSin2

adtntSinf(t)

-

n21 dtntSinntCosa2tCosatCosa

-

n21 dtntSinntSinb2tSinbSin tb

n

-

2n bdtntSinb

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

9/40



n dtntSinf(t)1b

c. Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Cos nt, kemudian diintegrasikan,

akan didapat :

-

0

-

dtntCos2

adtntCosf(t)

-

n21 dtntCosntCosa2tCosatCosa

-

n21 dtntCosntSinb2tSinbSin tb

n

-

2n adtntCosa


n dtntCosf(t)

1a

koefisien-koefisien Fourier dirumuskan :

n dtntCosf(t)

1a , dan

n0 dtf(t)

10)(naa

n dtntSinf(t)

1b

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

10/40


Tinjau f(t) seperti di bawah ini :

f(t)

1

-3 -2 - 2 3 4 t

Gambar 2.2 fungsi f(t)

Fungsi f(t) ini dapat dirumuskan :

t01,

0t0,f(t)

Kita hitung koefisien-koefisien Fourier :

0 dtf(t)1a

0

0

dt

1dt0

1

110

n dtntCosf(t)

1a

000dtntCos

1dtntCos0.

1

0

0

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

11/40


n dtntSinf(t)

1b

0

0

dtntSin

1dtntSin0.

1

0

n

ntCos0

nCos1n

1

2Cos1

1b1

02Cos12

1b2

3

23Cos1

3

1b3

04Cos141

b4

Deret Fourier yang terbentuk adalah :

ntCosa2tCosatCosa2

af(t) n21

0

ntSinb2tSinbSin tb n21

5tSin5

23tSin

3

2Sin t

2

2

1

5

5tSin

3

3tSin

1

Sin t

2

2

1

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

12/40


2.7. Deret Fourier Bentuk Kompleks

Jika kita ingat kembali bahwa :

2i

e-entSin

int-int

2

eentCos

int-int

ternyata komponen Sin nt dan Cos nt tersusun dari fungsi eksponensial bentuk

kompleks. Deret Fourier dapat dirumuskan ke dalam komponen fungsi eksponensial

bentuk kompleks eint

atau e-int

yang periodik dengan perioda 2, sama dengan perioda

fungsi Sin nt atau Cos nt.

Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :

-n

intn eCf(t)

intni3t

3i2t

2it

10 eCeCeCeCC

int-n-i3t-3-i2t-2-it-1- eCeCeCeC

Koefisien-koefisien Cn dapat dihirung dengan cara sebagai berikut :

Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan denganint-e , kemudian diintegrasikan, akan

didapat :

-

int-intn

i2t2

it10

-

int-dteeCeCeCCdtef(t)

-

int-int-n-

i2t-2-

it-1- dteeCeCeC

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

13/40


2CdteeCdtef(t)

-

nint-int

n

-

int-

Sehingga koefisien Fourier dapat dirumuskan :

-

int-n dtef(t)

2

1C

Kita tinjau f(t) seperti di bawah ini :

t01,

0t0,

f(t)

Koefisien Fouriernya :

-

int-n dtef(t)

2

1C

0

int-0

-

int- dte

2

1dte0.

2

1

0

in

e

2

1int

inte1in2

1

21dt

21C

0

0

i

1e1

i2

1C

i1

, dan

i-

1e1

i2-

1C

i1

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

14/40


0e1i4

1C

i22

, dan 0e1

i4-

1C

i22

i3

1e1

i6

1C i33

, dan

i3-

1e1

i6-

1C i33

0e1i8

1C i44

, dan 0e1

i8-

1C i44

i5

1e1

i10

1C i55

, dan

i5-

1e1

i10-

1C i55


5

e

3

e

1

e

i

1

2

1f(t)

i5ti3tit

5-

e

3-

e

1

e

i

1i5t-i3t-it-

2i

ee

5

1

2i

ee

3

1

2

ee

2

2

1 i5i5i3ti3titit

i

5tSin

5

13tSin

3

1Sin t

2

2

1

2.8. Interval Fourier

Fungsiintent,Cosnt,Sin bersifat periodik dengan perioda 2, dan telah digunakan

dalam perumusan deret Fourier pada interval (-, ). Perumusan deret Fourier bisa

menggunakan interval lain sepanjang satu perioda, misalnya (0, 2), (, 3), dan

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

15/40


seterusnya. Pada kebanyakan persoalan fisika mempunyai perioda 2L, misalnya

interval (-L, L). Pada interval tersebut fungsi

L

tnSin periodik dengan perioda

2, sehingga berlaku hubungan :

L

tnSin2n

L

tnSin2Lt

L

nSin

Hal ini berlaku juga untuk fungsiint

ent,Cos .

Perumusan deret Fourier menjadi :

1nn

1nn

0

L

tnSinb

L

tnCosa

2

af(t)

L

tnCosa

L

t2Cosa

L

tCosa

2

af(t) n21

0

L

tnSinb

L

t2Sinb

L

tSinb n21

Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :

L

L

0 dtf(t)L

1a

L

L-

n dtL

tnCosf(t)

L

1a

L

L-

n dtL

tnSinf(t)

L

1b

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

16/40


Dan dalam bentuk kompleks :

-n

L

tn

in eCf(t)

Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :

L

L-

L

tni-

n dtef(t)2L

1C

Tinjau f(t) yang didefinisikan :

f(t)

1

-4L -3L -2L -L L 3L 3L t

Gambar 2.3. Fungsi periodik f(t)

2LtL1,

Lt00,f(t)

Koefisien Fouriernya :

2L

0

L

tni-

n dtef(t)L2

1C

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

17/40


2L

L

L

tni-L

0

L

tni-

n dte

2L

1dte0.

2L

1C

2L

L

L

tni

L

ni

e

2L

1

inin2 ee2in

1

ine12in

1

2

1dt

2L

1C

2L

L

0

i1-

e12i

1

C

i

1

, dan i1

e1i2-

1

C

i

1

0e1i4

1C

i22

, dan 0e1

i4-

1C

i22

i3

1-e1

i6

1C i33

, dan

i3

1e1

i6-

1C i33

0e1i8

1C i44

, dan 0e1

i8-

1C i44

i5

1-e1

i10

1C i55

, dan

i5

1e1

i10-

1C i55

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

18/40



5

e

3

e

1

e

i

1

2

1f(t)

L

t5iL

t3iL

ti

5

e

3

e

1

e

i

1 L

t5i-

L

t3i-

L

ti-

2i

ee

5

1

2i

ee

3

1

2

ee

2

2

1 L

t5i

L

t5i

L

t3i

L

t3i

L

ti

L

ti

i

L

t5Sin

5

1

L

t3Sin

3

1

L

tSin

2

2

1

2.9. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Perumusan fungsi genap adalah :

f(t)t)f(

Misal fungsi genap : ntCos,t2

, dan lainnya.

f(t) periodik mempunyai sifat :

L

L

L

0

f(t)dt2f(t)dt

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

19/40


Perumusan fungsi ganjil adalah :

f(t)t)f(

Misal fungsi ganjil : ntSint, , dan lainnya.

f(t) periodik mempunyai sifat :

L

L

0f(t)dt

Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :

0

0 dtf(t)2dtf(t)

1a

0

n dtL

tnCosf(t)

2a , karena

L

tnCosf(t) merupakan fungsi genap

0dtL

tnSinf(t)

1b

n

, karenaL

tnSinf(t) merupakan fungsi

ganjil

Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :

0dtf(t)

1a

0

0dtL

tnCosf(t)

1a

n

, karenaL

tnCosf(t) merupakan fungsi

ganjil

n dtL

tnSinf(t)

2b , karena

L

tnSinf(t) merupakan fungsi genap

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

20/40


Tinjau fungsi f(t) sebagai berikut :

1t1/20,

2/1t01,f(t)

Jika f(t) merupakan fungsi ganjil, maka f(t) berupa

f(t)

-2 -1 0 1 2

Gambar 2.4. Fungsi ganjil

n dt

L

tnSinf(t)

2b

1

2/1

1/2

0

dt1

tn0.Sin

1

2dt

1

tnSin

1

2

2/10tnCosn

2

2

nCos-1

n

2

0b,3

2b,

2

4b,

2b 4321

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

21/40



6

t62Sin

5

t5Sin

3

t3Sin

2

t22SintSin

2f(t)

Jika f(t) merupakan fungsi genap, maka f(t) berupa

f(t)

-2 -1 0 1 2

Gambar 2.5. Fungsi genap

1dt1

2

a

1/2

00

1

0

n dt1

tnCosf(t)

1

2a

1

2/1

1/2

0

dttn0.Cos2dttnCos2

2

nSin

n

2tnSin

n

2 2/10

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

22/40



5

t5Cos3

t3Cos

1

tCos

2

2

1f(t)

2.10. Teorema Parseval

Ada hubungan antara nilai rata-rata fungsi f 2 (t) dengan koefisien-koefisien deret

Fourier. Kita turunkan hubungannya menggunakan perumusan deret Fourier dan nilai

rata-rata fungsi.

Deret Fourier dirumuskan :

1n

n1n

n0 ntSinbntCosa2

af(t)

Nilai rata-rata dari f2(t) dalam interval (-, ) adalah :

Nilai rata-rata f 2 (t) = dtf(t)2

12

Nilai rata-rata dari koefisien Fourier adalah :

Nilai rata-rata dari

2

0a2

1

=

2

0a2

1

Nilai rata-rata dari 2n ntCosa = 2/1a2

n

Nilai rata-rata dari 2n ntSinb = 2/1b2

n

Jika f 2 (t) diterapkan pada perumusan deret Fourier, maka akan terdapat hasil

perkalian nt,Sin.ba1/22.nt,Cos.aa1/22. n0n0 dan hasil perkalian (mn)

mtSinntCosb2.a nn yang semuanya mempunyai nilai rata-rata nol.

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

23/40


Dengan demikian perumusan deret Fourier yang telah dikuadratkan tersisa menjadi :

Nilai rata-rata f 2 (t) =

1n

2n1n

2n

2

0 )(b21)(a

21

2a

Untuk deret Fourier bentuk kompleks didapat :

Nilai rata-rata |f(t)|2=

n

2n |C|

Tinjau fungsi f(t) = t pada interval 1 < t < 1. f(t) diuraikan ke dalam deret Fourier

bentuk kompleks.Koefisien-koefisien Fourier adalah :

1

1-

tin-n dtef(t)

2

1C

1

1-

tin- dtet2

1

1

1-

tin-1

1

tin-dt

in

e

2

1

in-

et.

2

1

1

12

tin-inin-

)(n

e

2

1

in

e

in

e-

2

1

2

in

2

in-

)(n

e

)(n

e

2

1nCos

in

1

nSin(nn

i

in

nCos

2

nCosn

i

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

24/40



-n

tinn eCf(t)

ti3-ti3ti2ti2-ti-ti e

3

1e

3

1e

2

1e

2

1ee

if(t)

Nilai rata-rata f2(t) pada interval (-1, 1) adalah :

Nilai rata-rata f2(t) =

3

1

3

x

2

1t

2

11

1

31

1

2

Dengan menggunakan teorema Parseval :


n

2n |C|

n

2

nCosn

i

9

1

9

1

4

1

4

111

1

2

9

1

4

11

2

2

Dari kedua persamaan diatas, dapat dibuat persamaan :

n222

n

1

291

411

231

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

25/40


Dapat disimpulkan bahwa :

6

n1

2

n2

2.11. Contoh-contoh

(i). Uraikan fungsi f(t) ke dalam deret Fourier

5t03,

0t50,f(t)

Jika uraian deret Fourier konvergen ke f(t) pada interval5 t 5, definisikan

kembali f(t)

Gambar sketsa f(t) adalah :

f(t)

3

t-15 -10 -5 0 5 10 15 20

perioda = 10

2L = 10, maka L = 5

1nn

1nn

0

L

tnSinb

L

tnCosa

2

af(t)

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

26/40


L

L-

0 dtf(t)

L

1a

3dt35

1dt0.

5

15

0

0

5-

L

L

n dtL

tnCosf(t)

L

1a

5

0

0

5

dt5

tnCos3

5

1dt

5

tnCos0.

5

1

05

tnSin

n

5

5

35

0

L

L

n dtL

tnSinf(t)

L

1b

5

0

0

5

dt5

tnSin3

5

1dt

5

tnSin0.

5

1

n

nCos-13

5

tnCos

n

5

5

35

0

Uraian deret Fourier :

1nn

1nn

0

L

tnSinb

L

tnCosa

2

af(t)

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

27/40


1n 5

tnSin

n

nCos-13

2

3f(t)

5

t5Sin

5

1

5

t3Sin

3

1

5

tSin

6

2

3

Jika deret konvergen ke f(t) pada interval5 t 5 , maka f(t) didefinisikan kembali

menggunakan kondisi Dirichlet pada t = -5, t = 0, t = 5, menjadi :

5 t3/2,

5t03,

0 t3/2,

0t50,

5 t3/2,

f(t)

(ii). Uraikan fungsi f(t) = t2, 0 < t < 2ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan

Cosinus.

Bentuk sketsa fungsi f(t) = t2

f(t)

t

-6 -4 -2 0 2 4 6

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

28/40


Perioda = 2 L = 2, atau L =

2L

0

n dtL

nCosf(t)L1a

2

0

2 dtntCost

1

2

0

32

2

n

ntSin-2

n

ntCos-2t-

n

ntSint

1

2n

4 , dimana n0

Untuk n = 0 , didapat :

2L

0

0 dtf(t)L

1a

3

8t

3

1dtt

122

03

2

0

2

dtL

tnSinf(t)

L

1b

2L

0

n

2

0

2dtntSint

1

2

032

2

n

ntCos2

n

ntSin-2t-

n

ntCos-t

1

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

29/40


Didapat, untuk : n 0

n

4-bn

Uraian deret Fourier :

1nn

1nn

0

L

tnSinb

L

tnCosa

2

af(t)

1n1n2

2

ntSinn

4-ntCos

n

4

3

4

(iii). Suatu fungsi f(t) = t , 0 < t < 2.

a. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil.

b. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap.

a. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil :

f(t)

t-8 -4 0 2 4 6 8

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

30/40


0an

L0

n dtL

tnSinf(t)L2b 2

0

dt2

tnSint22

2

022 2

tnSin

n

4--

2

tnCos

n

2-t

Sehinggan didapat :

nCosn4bn

Uraian deret Fourier adalah :

1n 2

tnSinnCos

n

4f(t)

2

t3Sin

3

1

2

t2Sin

2

1

2

tSin

4

b. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap :

f(t)

t

-8 -4 0 2 4 6 8

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

31/40


0bn

L0

n dtL

tnCosf(t)L2a

2

0

dt2

tnCost

2

2

2

0

22 2

tnCos

n

4--

2

tnSin

n

2t

1-nCosn

4

22 , dimana n0

Untuk n = 0 , didapat :

2dtt2

2dtf(t)

L

2a

2

0

L

0

0

1n22 2

tnCos1-nCos

n

41f(t)

2

t5Sin

5

1

2

t3Cos

3

1

2

tCos

81

222

(iv) Dengan menggunakan teorema Parseval, hitunglah nilai dari deret deret :

44441n

4 4

1

3

1

2

1

1

1

n

1

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

32/40


Uraian deret Fourier pada contoh (ii) bagian b menghasilkan koefisien-koefisien

Fourier :

L

0

n dtL

tnCosf(t)

L

2a

1-nCosn

4

22 , n 0

Untuk n = 0, didapat :

2dtt2

2dtf(t)

L

2a

2

0

L

0

0

Dengan menggunakan teorema Parseval :

2n

1

2n

20

L2 )(b)(a

2

)(adt(t)f

L

1

nL

Dengan menggunakan hasil di atas didapat :

1

2n

20

2

2

22

2

2)(b

2

)(adtt

2

1dt(t)f

2

1

n

3

8t

3

1

2

1dtt

2

1 22

32

2

2

1

2

441

2

n

20

1-nCosn

4

2

4

)(b2

)(a

nn

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

33/40


Dari kedua persamaan di atas dapat dibuat persamaan :

44444

1

244

71

51

31

11

6421-nCos

n42

38

n

atau

96

7

1

5

1

3

1

1

1 4

4444

Dengan hasil ini kita dapat menghitung deret :

4444

1n4 4

1

3

1

2

1

1

1

n

1

44444444 8

1

6

1

4

1

2

1

7

1

5

1

3

1

1

1

444444444 4

1

3

1

2

1

1

1

2

1

7

1

5

1

3

1

1

1

1n444444 n

1

2

1

7

1

5

1

3

1

1

1

Dengan melakukan perhitungan kecil akan didapat :

444441n

4 7

1

5

1

3

1

1

1

2

11

n

1

96

2

11

4

4

Jumlah deret adalah :

90

n

14

1n4

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

34/40


2.12. Rangkuman

(i). Fungsi Periodik dirumuskan :

f(t) =f(t+T)

dengan perioda T

(ii). Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik

ab

dtf(t)b

a

, atau

b

a

dtf(t)ab

1

(iii). Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :

L

tnCosa

L

t2Cosa

L

tCosa

2

af(t) n21

0

L

tnSinb

L

t2Sinb

L

tSinb n21

1n

n

1n

n0

L

tnSinb

L

tnCosa

2

a

(iv). Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :

0 dtf(t)

1a

n dtL

tnCosf(t)

1a

n dtL

tnSinf(t)

1b

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

35/40


(v). Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :

-n

L

tn

in eCf(t)

Ltn

i

nL

t3i

3L

t2i

2L

ti

10 eCeCeCeCC

Ltn

i-

n-L

t3i-

3-L

t2i-

2-L

ti-

1- eCeCeCeC

Koefisien-koefisien Fourier Cn :

-

L

tni-

n dtef(t)2

1C

(vi). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :

0

0 dtf(t)

2a

0

n dtL

tnCosf(t)

2a

0bn

(vii). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :

0a0

0an

n dtL

tnSinf(t)

2b

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

36/40


(viii). Teorema Parseval

Deret Fourier dirumuskan :

1n

n1n

n0 ntSinbntCosa2

af(t)

Nilai rata-rata dari f2(t) pada selang interval (-, ) adalah :

Nilai rata-rata f2(t) = dtf(t)

2

12

Dengan menggunakan perumusan deret Fourier, persamaan di atas menjadi :


1n

2n

1n

2n

20 )(b

2

1)(a

2

1

2

a

Dalam bentuk kompleks :

Nilai rata-rata |f(t)|2=

n

2n |C|

2.13. Latihan Soal

(i) Buktikan bahwa :

a). /2

0

2/2

0

2dttCosdttSin

dengan perubahan variabel :

x

2

t

b). ab2

1dtktCosdtktSin

b

a

2b

a

2

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

37/40


(ii). Hitunglah nilai rata-rata dari :

a. tSinSin t

2

, pada selang interval 0,2

b. . 6tCost 2 , pada selang interval

6

0,

c. 3tSin32tSin2Sin t , pada selang interval

2

0,

d.te1 , pada selang interval 0,1

(iii). Hitunglah nilai integral dari :

a.

/34

0

2 dt2

3tSin

b.

2

1-

2 dt3

tSin

c.

/23

/2-

2 dt

2

tCos

d. /2

0

2 dttSin

(iv). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus :

a.

t00,

0t1,f(t)

b.

t/20,

/2t01,

0t,0

)(tf

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

38/40


c.

t/21,

/2t0,f(t)

d.

t/21,

/2t1,-f(t)

e.

t/21,

/2t01,-

0t,0

)(tf

f.

t0t,

0t0,f(t)

g.

t0Sin t,

0t0,f(t)

h.

t0t,-

0t,tf(t)

i. tt,1f(t)

(v). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk kompleks :

a. t,tf(t)2

b. 2t0,tf(t)2

c. t,ef(t)t

d. 2t0,ef(t)t

e. 2t2,t2f(t)

f. 4t0,t2f(t)

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

39/40


g. 2/1t2/1,tSinf(t)

h. 1t0,tSinf(t)

(vi). Uraikan fungsi f(t) di bawah ini ke dalam uraian deret Fourier :

a.

Lt01,

0tL-1,-f(t)

Hitunglah deret berikut :

222 7

1

5

1

3

11

b. 1/2t1/2,tf(t) 2


444

4

1

3

1

2

11

c. tt,1f(t)


222 4

1

3

1

2

11

2.14. Daftar Pustaka

1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New

Yook , 2 nd ed .,1970.

2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition, John Wily and sons, 1983 .

3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in thePhysical Sciences , John Wily and Sons, 1984.

4. DAzzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis

and Synthesis , second Edition , Mc GrawHill , 1966.

7/22/2019 115334622 Deret Fourier

40/40

5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall,

Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976.

6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley,Publishing Company , 1981.

7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John

Wiley and Sons , 1979.

8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and ModernEngineering , Mc GrawHill 2 nd ed . , 1966.

9. Wos pakrik , Hans J . , DasarDasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung ,

1993 .

115334622 Deret Fourier

Documents

Transcript of 115334622 Deret Fourier