BAB IIPEMBAHASAN

A. Periode Suatu FungsiKita telah mengenal pendekatan suatu harga fungsi dengan suatu deret, misalnya deret Taylor. Untuk dapat mengekspansikan suatu fungsi ke suatu deret Taylor maka dipenuhi syarat bagi fungsi tersebut misalnya fungsi harus diferensial di semua titik, untuk deret diekspensikan ke deret Taylor. Demikian juga suatu fungsi untuk dapat dioperasikan ke deret Fourier harus memenuhi suatu syarat yaitu fungsi tersebut harus periodik. Deret Fourier banyak dijumpai di ang ilmu Fisika, sebab hampir semua persoalan deret trigonometri dalam Fisika merupakan deret Fourier, sedang deret trigonometri merupakan suatu fungsi yang periodik. Oleh karena itu, sebelum kita sampai pada deret Fourier, baiknya kita bicarakan dulu mengenai fungsi-fungsi yang periodik.

Definisi :Fungsi f dengan persamaan disebut periodik jika dapat ditentukan suatu konstanta positif hingga untuk setiap dari domain D berlaku .

Contoh :1. adalah periodik, sebab dapat ditentukan konstanta positif dst hingga

.........dst.Nilai yang terkecil disebut periode terkecil atau disingkat periode . Jadi periode adalah .2. Tentukan periode Penyelesaian :

Jadi maka periode adalah .3. Tentukan periode .Penyelesaian :

.....dst.Maka bilangan-bilangan merupakan konstanta-konstanta yang positif hingga dan seterusnya.Jadi yang terkecil adalah atau periode adalah .4. Tentukan periode .Penyelesaian :

Jadi periode adalah .5. Tentukan periode .Penyelesaian :

Jadi periode adalah yaitu sama dengan periode .6. Tentukan periode .Penyelesaian :

Jadi periode adalah .

Teorema : Jika masing-masing fungsi periodik berturut-turut dengan periode maka juga periodik, dengan periode kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari .

Contoh :7. Tentukan periode .Penyelesaian :

Jadi periode adalah .

Jadi periode adalah sama dengan periode yaitu .

Jadi periode adalah sama dengan periode yaitu .Jadi periode adalah kelipatan persekutuan terkecil dari dan yaitu .8. Tentukan periode . Jika adalah konstanta sebarang.Penyelesaian : Periode adalah .Periode adalah .Periode adalah .Periode adalah .dst.Jadi periode adalah kelipatan persekutuan terkecil dari adalah .B. Menentukan Koefisien-Koefisien Deret Fourier pada contoh nomor 8 disebut deret trigonometri tak terhingga, apabila koefisien-koefisien dan memenuhi suatu syarat (masih akan kita tentukan) maka deret tersebut disebut deret Fourier. Untuk menentukan konstanta maka kita integralkan ruas kanan dan ruas kiri dari deret trigonometri tak terhingga berikut ini. dari sampai . .....(1)Kita integralkan ruas kanan dari (1) satu per satu, (2) (3)

Substitusikan (2) dan (3) ke (1), diperoleh .Jadi diperoleh Untuk menentukan konstanta , maka kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dari fungsi trigonometri pada (1) dengan (dengan m bilangan bulat positif) kemudian kita integralkan dari sampai . Sehingga kita peroleh persamaan (4) yaitu Ruas kanan terdiri dari tiga integral, yang akan dihitung satu persatu ...(5)Untuk menghitung , kita bedakan menjadi 2 kemungkinan, yaitu dan .Kemungkinan pertama , kita peroleh

(6)Kemungkinan kedua , kita peroleh ....(7)Menghitung , yaitu

(8)Karena (6) untuk kemungkinan bernilai 0, maka kita pilih kemungkinan pada persamaan (7). Substitusikan (5), (7), dan (8) ke (4), diperoleh atau Jadi untuk setiap m bilangan bulat positif dan m=n berlaku .Untuk menentukan , maka kita kalikan ruas kiri dan kanan dari fungsi trigonometri pada (1) dengan (n bilangan bulat positif) kemudian diintegralkan dari sampai . Sehingga kita peroleh persamaan (9) yaitu Ruas kanan terdiri dari tiga integral, yang akan dihitung satu persatu ...(10)Menghitung , yaitu (11)Menghitung , yaitu .(12)Substitusikan (10), (11), dan (12) ke (9), diperoleh atau Jadi untuk setiap n bilangan bulat positif berlaku .

Setelah kita memperoleh dan , kita kembali ke deret trigonometri tak terhingga, yaitu dengan nilai dan adalah maka tersebut dinamakan deret Fourier.

Contoh:

1. Tentukan deret Fourier dari fungsi :

0Penyelesaian:

Dicari dulu

untuk n ganjil

untuk n genap

Maka deret Fourier dari adalah:

Bila diambil maka terdapat

2. Tentukan deret Fourier dari

YXPenyelesaian :

Dicari dulu Maka deret Fourier fungsi adalah :

3. Hitung jumlah deret : (menggunakan soal nomor 2).a. b. PenyelesaianBentuk deret Fourier soal nomor 2 sebagai berikut : a. Ambil maka terdapat : Jadi jumlah deret adalah

b. Ambil maka terdapat Jadi jumlah deret adalah

C. Deret Cosinus Fourier dan Deret Sinus Fourier

Telah kita pelajari cara menentukan koefisien - koefisien Deret Fourier suatu fungsi yang periodik dengan periode . Akan kita pelajari sekarang cara menentukan koefisien - koefisien Deret Fourier dari fungsi genap dan fungsi ganjil yang periodik dengan periode Untuk itu perhatikan definisi definisi berikut :Definisi :1.

Fungsi dengan persamaan disebut fungsi genap, jika setiap nilai dari domain berlaku . 2.

Fungsi dengan persamaan disebut fungsi ganjil, jika setiap nilai dari domain berlaku .

Contoh :1.

adalah fungsi genap sebab

Grafik sebuah fungsi genap terletak simetris terhadap sumbu . Fungsi yang genap periodik dengan periode , grafiknya terletak simetris terhadap garis garis ( bilangan bulat).

2.

adalah fungsi ganjil sebab

Grafik sebuah fungsi ganjil terletak simetris terhadap titik asal 0. Fungsi yang ganjil periodik dengan periode , grafiknya terletak anti simetris terhadap garis garis ( bilangan bulat).

Theorema :Jika sebuah fungsi genap diekspansikan kedalam deret Fourier dalam periode maka koefisien-koefisien deret Fouriernya adalah :

Bukti :

Karena fungsi genap,berarti , maka bila dalam integral pertama yaitu variabel diganti dengan kita peroleh :

Oleh karena deret hanya ada cosinus maka deretnya disebut deret cosinus FourierTheorema :Jika sebuah fungsi ganjil dieksponensialkan ke dalam deret Fourier dalam selang maka koefisien-koefisien deret Fouriernya adalah :

Oleh karena itu hanya ada sinus maka deretnya disebut deret sinus Fourier.Contoh :1. Diketahu fungsi f yang periodic dengan periode , ditentukan oleh dalam interval a) Tentukan grafik b) Deret cosines Fouries Penyelesaian :Karena yang diminta deret cosines Fouries , maka dibentuk fungsi yang memenuhi :

Jadi fungsi genap dalam selang grafik sebagai berikut :

XYKarena fungsi genap maka , sehingga kita hanya akan mencari dn :

Deret cosines Fouries ialah :

D. Deret Fourier suatu fungsi yang periodenya tidak Kita telah mempelajari bahwa salah satu syarat agar dapat diekspansikan ke deret Fourier ialah bahwa fungsi harus periodik dan periodenya . Sekarang apabila fungsi periodik tetapi tidak , misalnya periode , bagaimana fungsi ini dapat diekspansikan ke deret Fourier ?Karena fungsi periodik dengan periode maka untuk setiap nilai dalam domain , dengan substitusi fungsi ditransformasikan menjadi fungsi yang memenuhi . Dapat ditunjukkan bahwa fungsi mempunyai periode 2, sebab

Karena mempunyai periode , maka dapat kita tentukan deret Fouriernya yaitu

dengan

Jika kemudian diganti dengan , maka kita peroleh deret Fourier yang periodenya yaitu:

Contoh1. Fungsi f yang periodic dengan periode 2, ditentukan oleh f(x) = 2x + 1 dalam interval 0 < x < 2.Tentukan deret fouriernya!Penyelesaian :

Dengan substitusi , fungsi f(x) ditransformasikan menjadi fungsi g(t) yang periodic dengan periode yang memenuhi . Dari persamaan kita peroleh, untuk .Deret Fourier g(t) ialah : dengan

Jadi Jika t diganti dengan , kita peroleh deret fourier yaitu Sekarang akan kita coba mengekspansi yang periodik dengan periode 2. 2, tanpa harus mentransformasikan dulu ke . Kita perderetkan ke dalam deret Fourier, dengan substitusi atau , batas-batas integrasinya jika + 2 + 2maka adalah fungsi dari dengan periode 2 Sebut fungsi itu , maka fungsi tersebut dapat diperderetkan ke dalam deret Fourier dengan periode 2 yaitu + dengan koefisien-koefisien Fouriernya adalah :

Sekarang kita kembali ke fungsi , Untuk Deret Fourier adalah Dengan koefisien-koefisien :

Deret Fourier di atas untuk mempunyai periode

Contoh :1. Tentukan deret fourier dari fungsi periodic yang berbentuk

Penyelesaian

-4-224XYGrafik

Dalam soal ini

Periode soal ini

Periode adalah 4

Jadi

2. Lukislah grafik fungsi dan deret Fourior fungsi di bawah ini :

Penyelesaian :

YX105-330-5-10

Dari koefisien-koefisien Fourier :

Maka deret Fourier dari f(x) adalah

E. Deret Fourier Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dengan Periode 2p.a) Fungsi GenapBila suatu fungsi genap, maka untuk setiap harga x dan Arti geometris yaitu grafik dari letaknya simetris terhadap sumbu tegak.Sekarang akan ditentukan koefisien-koefisien deret fourier untuk fungsi genap. (lihat II.3).

a0 = an =

bn =

Maka deret fouriernya adalah : Oleh karena hanya ada cosinus maka deretnya sering juga disebut deret cosinus Fourier.

b) Fungsi GanjilBila suatu fungsi ganjil, maka untuk setiap harga x dan Arti geometris yaitu grafik dari letaknya simetris terhadap titik a (pusat sumbu koordinat).Sekarang ditentukan koefisien-koefisien deret Fouriernya (lihat II.3).a0 = an = 0bn = Sehingga deret fouriernya adalah :

Oleh karena hanya ada sinus saja, maka deretnya sering disebut deret sinus Fourier.ContohContoh1. Selidiki fungsi di bawah ini genap atau ganjil:

Penyelesaian

-60-3-2236XYPeriode adalah 6, sehingga p = 3

Dari gambar terlihat bahwa , maka adalah fungsi ganjil.

2. Selidiki fungsi:

0-XY-1

Penyelesaian

Dari gambar terlihat bahwa tidak genap dan tidak ganjil.

3. Selidiki fungsi

Penyelesaian

X0Y-20-101020Periode adalah 10.

Dari gambar nampak bahwa adalah genap.

4. Ekspansikan ke dalama) Deret sinus Fourierb) Deret cosinus Fourier

Penyelesaiana) 0-212XY-446-6

Dianggap fungsi ganjil dengan periode 4 maka p=2 begitu juga

Jadi, deret sinus Fouriernya adalah:

0-2XY-4-6-86428

b)

Dianggap fungsi genap dengan periode 4 maka:

Jadi, deret cosinus Fouriernya adalah:

atau

5. Tentukan deret Fourier dalam sinus, bila :

SelesaianOleh karena deret harus dalam bentuk sinus, maka dipandang sebagai fungsi ganjil, maka dan

Jadi bentuk deret Fourier adalah :

BAB IIIPENUTUP

1. Fungsi f dengan persamaan disebut periodik jika dapat ditentukan suatu konstanta positif hingga untuk setiap dari domain D berlaku .2. Jika masing-masing fungsi periodik berturut-turut dengan periode maka juga periodik, dengan periode kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari .3. Deret trigonometri tak terhingga, yaitu dengan nilai dan adalah maka tersebut dinamakan deret Fourier.4.

Fungsi dengan persamaan disebut fungsi genap, jika setiap nilai dari domain berlaku . 5.

Fungsi dengan persamaan disebut fungsi ganjil, jika setiap nilai dari domain berlaku .6. Jika sebuah fungsi genap diekspansikan kedalam deret Fourier dalam periode maka koefisien-koefisien deret Fouriernya adalah :

karena deret tersebut hanya ada cosinus maka deretnya disebut deret cosinus Fourier7. Jika sebuah fungsi ganjil dieksponensialkan ke dalam deret Fourier dalam selang maka koefisien-koefisien deret Fouriernya adalah :

karena hanya ada sinus maka deretnya disebut deret sinus Fourier.8. Deret Fourier suatu fungsi yang periodenya tidak Jika mempunyai periode , maka dapat kita tentukan deret Fouriernya yaitu

dengan

jika kemudian diganti dengan , maka kita peroleh deret Fourier yang periodenya yaitu:

9. Deret Fourier Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dengan Periode 2p.a) Fungsi GenapBila suatu fungsi genap, maka untuk setiap harga x dan Koefisien-koefisien deret fourier untuk fungsi genap.

a0 = an =

bn = Maka deret fouriernya adalah : Oleh karena hanya ada cosinus maka deretnya sering juga disebut deret cosinus Fourier.b) Fungsi GanjilBila suatu fungsi ganjil, maka untuk setiap harga x dan Sekarang ditentukan koefisien-koefisien deret Fouriernya a0 = an = 0bn = Sehingga deret fouriernya adalah :

Oleh karena hanya ada sinus saja, maka deretnya sering disebut deret sinus Fourier.38