TKS 4007 Matematika III Deret Fourier - zacoeb.lecture.ub...
Transcript of TKS 4007 Matematika III Deret Fourier - zacoeb.lecture.ub...
1
TKS 4007 Matematika III
Deret Fourier (Pertemuan XVI)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection)
x
y z
x
y z
Mx Mx
My
My
Persamaan umum pelat klasik :
PDP Tk. 4, linier, non homogen
D
q
yx
w
y
w
x
w
22
4
4
4
4
4
2
Variabel terikat : w (lendutan)
Variabel bebas : x dan y (jarak)
Beban luar : q (data)
Kekakuan lentur : D (data)
2
3
13
2
EhD
2
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love)
Persamaan umum pelat klasik :
Dalam bentuk operator laplace 2D :
Penyelesaian :
D
q
yx
w
y
w
x
w
22
4
4
4
4
4
.2
qwD 22
),(),(),( yxwyxwyxw ph
dengan :
wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)
wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan
untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat
gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok Euler-
Bernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888
dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti
berikut :
• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah
deformasi.
• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada
pertengahan permukaan setelah deformasi.
• Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.
3
Contoh :
Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal.
y
b
a
x
R
R R
R
a
b
Persamaan beban :
dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat
b
y
a
xqq
sinsin0
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
Persamaan umum pelat menjadi :
b
y
a
x
D
q
y
w
yx
w
x
w sinsin2 0
4
4
22
4
4
4
Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :
Lendutan,w = 0
Momen ujung, Mx = 0
Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :
Lendutan,w = 0
Momen ujung, My = 0
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
4
Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :
b
y
a
xcw
sinsin
Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas,
sehingga didapatkan :
2
22
4
0
11
1
ba
D
qc
Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :
b
y
a
x
ba
D
qw
sinsin
11
12
22
4
0
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
Penyelesaian dengan deret Fourier :
Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah
beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus
diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier.
q0
beban sinusoidal
beban merata
beban terpusat
beban segitiga
Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus)
5
Penyelesaian dengan deret fourier ganda dikembangkan oleh Navier
(Prancis) pada tahun 1820.
Persamaan beban :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier)
yxfqz ,
Persamaan beban dalam bentuk deret fourier ganda (sinus) :
b
yn
a
xmAyxf
m n
mn
sinsin,
1 1
dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan
bentuk bebannya.
dxdyb
xn
a
xmyxf
abA
a b
mn
sinsin),(
4
0 0
Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d
b
yn
a
xm
ba
A
Dyxw
m n
mn
sinsin
11
1,
1 12
22
4
Untuk beban merata f(x,y) = P0 :
beban merata
q0
z
x/y
mn
q
dxdyb
xn
a
xm
ab
q
dxdyb
xn
a
xmq
abA
a b
a b
mn
2
0
0 0
0
0 0
0
16
sinsin4
sinsin4
6
Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat
sisi tumpuan berupa sendi menjadi :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d
b
yn
a
xm
bamn
A
D
qyxw
m n
mn
sin.sin
11
16,
1 12
22
6
0
Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan
berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi
di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :
1 12
22
12
6
0max
11
116
m n
nm
bamn
D
qw
Penyelesaian dengan deret fourier tunggal dikembangkan oleh Levy
(Prancis) pada tahun 1899.
Bentuk persamaan lendutan :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy)
dengan Ym = f(x,y)
1
sin),(m
ma
xmYyxw
sendi sendi
a
b
y
x
Asumsi tumpuan pada x = 0 dan
x = a adalah sendi yang sejajar
sumbu, sehingga diperlukan
adanya penyesuaian sistim
koordinat.
7
Persamaan umum lendutan :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
D
q
y
w
yx
w
x
w
2
4
22
4
2
4
2
)(),(
),(
xwyxw
wwyxw
PH
PH
Catatan :
wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan
sisi y = b/2 di x, sehingga :
D
q
x
wP
2
4
Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
13
3
cxD
q
x
wP
21
2
2
2
2cxcx
D
q
x
wP
32
213
26cxcx
cx
D
q
x
wP
43
22314
2624cxcx
cx
cx
D
qwP
8
Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
)2(24
)(334xaaxx
D
qxwP
Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :
sehingga :
1
sin)(m
mPa
xmAxw
Dm
qa
dxa
xmxw
aA
a
Pm
55
4
0
4
sin)(2
Maka penyelesaian wP(x) :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
a
xm
mD
qaxw
m
P
sin
14)(
155
4
Penyelesaian wH(x,y) :
024
4
22
4
4
4
y
w
yx
w
x
w HHH
1
sin),(m
mHa
xmYyxw
0sin21
4
44
2
2
2
22
4
4
a
xm
a
ym
y
y
a
m
y
y
m
mmm
9
Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde
4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :
dengan : dan
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
024
44
2
2
2
22
4
4
a
ym
y
y
a
m
y
y mmm
a
ym
a
ymD
a
ymC mm
coshsinh
a
ym
a
ymB
a
ymA
D
qayy mmm
sinhcosh)(
4
yyeey
2
1sinh yy
eey
2
1cosh
Penyederhanaan persamaan tersebut
atas dasar garis simetris sumbu z :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan
z
y
w(x,y)
w(x,y) = w(x,-y)
mungkin
Untuk fungsi ganjil :
w
b
y z
z y
½ b ½ b
sendi sendi
y
x
*
w(x,y) = -w(x,-y)
tidak mungkin y
z
w(x,y)
* simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).
Untuk fungsi genap :
10
Solusi persamaan homogen :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
a
ym
a
ymD
a
ymC
a
ym
a
ymB
a
ymA
D
qayy mmmmm
coshsinhsinhcosh)(
4
genap genap ganjil ganjil
Evaluasi:
x
y
y = cos x genap x
y
y = sin x ganjil
x
y
y = x ganjil
x
y
y = x2 ganjil
Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka
persamaannya menjadi :
Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2,
tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non
homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :
dengan m = 1,3,5
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
a
ym
a
ymB
a
ymA
D
qayy mmm
sinhcosh)(
4
a
xm
a
ym
a
ymB
a
ymA
mD
qayxw mm
m
sinhsinhcosh
4),(
55
4
11
Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :
dan
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
0w
Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi
batas dan ambil permisalan :
sehingga :
dan
ma
bm
20sinhcosh
455
mmmmm BAm
0sinhcosh)2( mmmmmm BBA
02
2
y
w
m
mmm
mA
cosh
2tanh255
m
mm
B cosh
255
Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
b
y
mD
qayxw m
m
mm
m
2cosh
cosh2
2tanh1
14,
5,3,155
4
a
xm
b
y
b
y m
m
m
sin
2sinh
2
cosh2
Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :
m
mm
m
m
mD
qaw
cosh2
2tanh1
)1(4
5,3,15
2
1
5
4
max
Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke
5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan
pengaruhnya/nilainya kecil
12
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!