1

DERET FOURIER

1. PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas pernyataan deret dari suatu fungsi periodik.

Jenis fungsi ini menarik karena sering muncul dalam berbagai persoalan

fisika, seperti getaran mekanik, arus listrik bolak-balik (AC), gelombang

bunyi, gelombang Elektromagnet, hantaran panas, dsb.

Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi periodik yang

rumit dapat dianalisis secara sederhana dengan cara menguraikannya ke

dalam suatu deret fungsi periodik sederhana yang dibangun oleh fungsi

sin x dan cos x atau fungsi eksponensial eix. Uraian deret fungsi periodik

ini disebut uraian deret Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa

matematikawan Perancis Joseph Fourier, yang pertama kali merumuskan

deret ini dalam sebuah makalah mengenai hantaran panas, yang

dilaporkannya kepada akademi ilmu pengetahuan Perancis pada tahun

1807.

2. FUNGSI PERIODIK

Definisi 1:

Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodic dengan periode T > 0, jika berlaku:

f(x + T) = f(x)

untuk samua x.

catatan:

(a) Jika T adalah periode terkecil, maka T disebut periode dasar, dan

selang a < x < a + T , dimana a sebuah konstanta, disebut selang

dasar fungsi periodik f(x). Untuk selanjutnya sebutan periode

dimaksudkan bagi periode dasar ini.

(b) Konstanta a pada selang dasar dapat dipilih sembarang, berharga nol

atau negatif. Pilihan a = - T/2 sering digunakan untuk memberikan

selang dasar yang simetris terhadap x = 0, yakni selang – T/2 < x <

T/2.

2

Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah fungsi sin x dan

cos x, karena:

sin (x ±2π) = sin x dan cos (x ±2π) = cos x

Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode T = 2π. Dalam hal

ini x adalah variabel sudut dengan satuan radian atau derajad. Bila x

bukan merupakan variabel sudut, maka x harus dikalikan dengan suatu

faktor alih p, sehingga α=px berdimensi sudut. Jadi satuan p adalah:

][][

][xSatuan

radianpsatuan =

Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), maka satuan

p = rad/m. Dengan demikian pernyataan fungsi Sin dan Cos yang

bersangkutan menjadi:

sin x � sin px ; cos x � cos px

Jadi translasi sudut px=α sebesar satu periode T = 2π dapat dialihkan

ke translasi variabel x sejauh + T, dengan syarat:

)(2 Txppx ±=± π

Hubungan ini mengaitkan p dengan T melalui hubungan:

T

pπ2=

Dengan pernyataan faktor alih ini, sifat periodik fungsi sin px dan cos px

diberikan oleh hubungan:

)(coscos);(sinsin TxppxTxppx ±=±=

Yang memperlihatkan bahwa sin px dan cos px adalah periodik dengan

periode T. Khusus dalam hal T = 2π, maka p = 1.

Salah satu contoh sederhana benda bermassa m yang digantungkan

pada ujung sebuah pegas dengan tetapan pegas k.

titik kesetimbangan

k

3

Jika benda ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya, kemudian

dilepaskan, benda tersebut akan bergerak secara harmonik sederhana

akibat adanya gaya pemulih yang arahnya selalu berlawanan dengan arah

simpangan benda. Simpangan vertikal benda y(t) setiap saat t berubah-

ubah dari kedudukan setimbangnya, menurut persamaan:

)cos()( 0Φ+= tAty ω

Besaran A dan ω berturut-turut adalah amplitudo dan frekuensi sudut

getaran, sedangkan )( 0Φ+=Φ tω adalah fase getaran, dengan Φ0 sebagai

fase awalnya, yang berdimensi sudut.

Jika T adalah periode atau waktu getar (waktu yang diperlukan benda

untuk melakukan satu kali getaran) yang diukur dalam satuan detik, maka

T/2πω = , bersatuan (rad/s). Dengan demikian ω merupakan faktor alih

(p) yang membuat ωt berdimensi sudut.

3. DERET FOURIER

Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang

terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x) = f (x + T), maka

fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut:

)sincos(2

)(1

0

L

xnb

L

xna

axf

nnn

ππ∑

∞

=

++=

Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisien-

koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integaral:

∫

∫

∫

+

+

+

=

=

=

Ta

a

n

Ta

a

n

Ta

a

dxL

xnxf

Lb

dxL

xnxf

La

dxxfL

a

π

π

sin)(1

cos)(1

)(1

0

dengan T = periode dan L = ½ periode.

4

Contoh 1.

Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:

<<<<−

=π

πx

xxf

0,0

0,1)(

Periodik dengan periode 2π sehingga f(x + 2π) = f(x)

Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier.

Pemecahan:

Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas adalah T = 2π,

dengan demikian L = ½ T = π, selang dasarnya –π < x < π, jadi a = - π. Di

luar selang ini, f(x) didefinisikan sebagai perluasan selang dasar ke arah

kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada Gambar 1.

Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut:

∫

∫∫∫∫

− −

−−

+

====

+===

0 0

0

0

0

0

1)(11

)0()1(1

)(1

)(1

π π

π

π

π

π

ππ

ππ

ππ

xdxa

dxdxdxxfdxxfL

aTa

a

( ) 0sin0sin1

sin11

.cos1

cos)0(.cos).1(1

cos)(1

cos)(1

0

0

0

0

=+=

=

=

+=

==

−

−−

−

+

∫∫∫

∫∫

πππ

ππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

nn

nxn

a

dxnxnxdxdxnxa

dxL

xnxfdx

L

xnxf

La

n

n

Ta

a

n

Gambar 1

-5π -4π

f(x)

-3π -2π -π 2π 3π 4π 5π π x

1

5

( )

−

=

−−−=−−=

−=

=

+=

==

−

−−

−

+

∫∫∫

∫∫

genapn

ganjilnnb

nn

nnx

nb

dxnxnxdxdxnxb

dxL

xnxfdx

L

xnxf

Lb

n

nn

n

Ta

a

n

,0

,/2

))1(1(1

)cos(0cos1

cos11

.sin1

sin)0(.sin).1(1

sin)(1

sin)(1

0

0

0

0

ππ

πππ

ππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:

+++−=

−−−−+=

−+=

=

++=

∑

∑∞

=

∞

=

L

L

xxxxf

xxxxf

xn

nxf

aL

xnb

L

xna

axf

ganjiln

nn

nn

5sin5

13sin

3

1sin

2

2

1)(

5sin5

13sin

3

1sin

2

2

1)(

sin2

2

1)(

0,sincos2

)(

1

1

0

π

π

ππ

π

ππ

Contoh 2.

Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:

<<<<

=21,0

10,1)(

x

xxf

Periodik dengn periode 2 sehingga f (x + 2) = f(x)

Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier.

Pemecahan:

Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1. selang dasarnya 0 < x < 2, jadi a = 0.

Perluasan f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat dalam

Gambar 2.

-5

Gambar 2

-6 -4

f(x)

-3 -2 -1 2 3 4 5 1 x

0 6

1

6

Koefisien-koefisien Fouriernya dapat dicari sebagai berikut:

∫

∫∫∫∫

===

+===+

1

0

1

00

2

1

1

0

2

0

0

1)(

)0()1(1)(1

1)(

1

xdxa

dxdxdxxfdxxfL

aTa

a

( ) ( ) 00sinsin1

sin1

.coscos)0(.cos).1(

1cos)(

1

1cos)(

1

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

=−==

=

+=

==

∫∫∫

∫∫+

πππ

πππ

ππ

nn

nxn

a

dxxnxdxndxxna

dxxn

xfdxL

xnxf

La

n

n

Ta

a

n

( ) ( )

=

−−−=−−=−=

=

+=

==

∫∫∫

∫∫+

genapn

ganjilnnb

nn

nxn

nb

dxxnnxdxdxnxb

dxxn

xfdxL

xnxf

Lb

n

nn

n

Ta

a

n

,0

,/2

)1)1((1

0coscos1

cos1

.sinsin)0(.sin).1(

1sin)(

11

sin)(1

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

ππ

ππ

ππ

π

ππ

Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:

++++=

++++=

+= ∑∞

=

L

L

xxxxf

xxxxf

xnn

axf

ganjiln

ππππ

ππ

ππ

ππ

ππ

5sin5

13sin

3

1sin

2

2

1)(

5sin5

23sin

3

2sin

2

2

1)(

sin2

2)(

1

0

SYARAT DIRICHLET

Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam deret Forier

ditentukan oleh syarat Dirichlet berikut:

7

Jika:

(a) f(x) periodik dengan periode T

(b) Bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam selang

dasarnya; a < x < a + T, dan

(c) ∫+Ta

a

dxxf )( nilainya berhingga.

Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :

(1) f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan

(2) { })(lim)(lim2

100 +− + xfxf di setiap titik ketakkontinuan x0

(pada daerah lompatan).

Contoh 3.

Pada contoh 2 di atas (Perhatikan Gambar 2!); Tentukanlah konvergen ke

nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik kekontinuan 2

5,

4

3,

2

3,

2

1 −=x ,

dan di titik-titik ketakkontinuan x = 0, 1, 2, 3.

Pemecahan

Menurut syarat dirichlet, maka

• di titik-titik kekontinuan:

x = 1/2 konvergen ke 1 x = 3/4 konvergen ke 1

x = 3/2 konvergen ke 0 x = -5/2 konvergen ke 0

• di titik-titik ketakkontinuan:

x = 0 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½

x = 1 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½

x = 2 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½

x = -3 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½ .

8

4. FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAP

Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah, jika fungsi

f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil

terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)). Keduanya didefinisikan sebagai

berikut:

Definisi 2.

Sebuah fungsi f(x) adalah:

(a) genap, jika berlaku f(-x) = f(x)

(b) ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x)

untuk semua x dalam daerah definisi f(x).

Sebagai contoh, fungsi x2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x)2 = x2

dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah fungsi ganjil,

karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = - sin (x). Pada umumnya fungsi pangkat

genap dari x seperti (x2, x4, x6 , . . .) merupakan fungsi genap dan fungsi

pangkat ganjil dari x seperti (x, x3, x5, . . .) merupakan fungsi ganjil.

Dengan definisi di atas dapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi

ini.

Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari fungsi

periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan berikut:

∫

∫

=

=

=

L

n

L

n

dxxfL

a

b

dxL

xnxf

La

genapxfJika

0

0

0

)(2

0

cos)(2

)(π

Dalam hal ini dikatakan f(x) teruraikan dalam deret cosinus (bn = 0).

∫

=

=

=

0

0

sin)(2

0

0

)( n

L

n

a

a

dxL

xnxf

Lb

ganjilxfJika

π

9

Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (an = 0).

Seperti biasa L = ½ T = ½ periode.

Contoh 4.

Diketahi fungsi:

2

1

2

1,)( 2 <<−= xxxf

Periodik dengan periode 1, sehingga f(x + 1) = f(x).

Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier.

Pemecahan :

Fungsi f(x) = x2 adalah suatu fungsi genap T = 1, sehingga L = ½ T = 1/2 ,

akan teruraikan dalam deret cosinus. bn = 0, a0 dan an dapat ditentukan

sebagai berikut:

−=

=

−+=

=

==

=

=

=

==

∫

∫ ∫

∫ ∫

22

2

2/1

0

222

2/1

0

2

0

2/1

0

2

0

2/1

0

2/1

0

320

)1(1

cos)2(

14

2sin)2(

22cos

)2(

122cos

2

14

2cos4

cos

2

12

cos)(2

6

1

8

1

3

4

3

14

2

12

)(2

na

nn

a

xnn

xnn

xxnn

xa

xdxnxa

dxL

xnxdx

L

xnxf

La

xdxxdxxfL

a

n

n

n

n

n

L

n

L

π

ππ

ππ

ππ

ππ

π

ππ

Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f(x) = x2 dengan selang dasar

-½ < x < ½ adalah:

10

+++−=

−−−−+=

−+=

=+=

∑

∑∞

=

∞

=

L

L

2222

2222

122

1

0

3

6cos

2

4cos

1

2cos

1

12

1)(

3

6cos

2

4cos

1

2cos

1

12

1)(

2cos)1(1

12

1)(

0,2/1

cos2

)(

xxxxf

xxxxf

xnn

xf

bxn

aa

xf

n

n

nn

n

ππππ

ππππ

ππ

π

Contoh 5

Diketahui fungsi:

22

;)(ππ <<−= xxxf

Periodik dengan periode π, sehingga f (x + π) = f(x).

Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier.

Pemecahan:

Fungsi f(x) = x adalah fungsi ganjil dengan T = π, sehingga 2

π=L , akan

teruraikan dalam deret sinus. a0 = 0, an = 0, bn dapat dicari sebagai berikut:

nnx

nb

nxn

nxn

xnxdxxb

dxxn

xdxL

xnxf

Lb

n

n

n

L

n

)1(cos

4

4

2sin)2(

12cos

2

142sin

4

2/sin

2/

2sin)(

2

2/

0

2

2/

0

2/

00

−−=

−=

+−==

==

∫

∫∫

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f(x) = x dengan selang dasar

22

ππ <<− x adalah:

11

−+−=

−−=−−=

=

∑∑

∑∞

=

∞

=

∞

=

L3

6sin

2

4sin

1

2sin)(

2sin)1(

2/sin

)1()(

sin)(

11

1

xxxxf

nxn

xn

nxf

L

xnbxf

n

n

n

n

nn

ππ

π

5. DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH

Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya terdefinisikan

dalam suatu selang positif; 0 < x < L. Oleh karena itu seringkali perlu untuk

memperluasnya ke seluruh sumbu x, baik ke arah sumbu x positif maupun

ke arah sumbu x negatif. Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan

sebagai berikut:

(1) Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak genap

(seperti pada contoh 1) dengan periode T = L; dan selang dasarnya 0

< x < L, dengan L sembarang positif.

(2) Selang dasar 0 < x < L diperluas ke selang negatif secara simetris

terhadap sumbu x = 0 menjadi – L < x < L, dan fungsi f(x) diperluas

menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2L.

Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas fungsi f(x)

sebagai fungsi genap fc(x) atau fungsi ganjil fs(x).

Contoh 6

Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah:

<<<<

=21,1

10,)(

x

xxxf Sket:

0 1 2 x

1

f(x)

12

Nyatakan fungsi ini dalam:

(a) deret Fourier fungsi cosinus (fungsi genap)

(b) deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil)

(c) deret Fourier fungsi cosinus – sinus (fungsi tidak genap – tidak ganjil).

Pemecahan:

(a) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier cosinus (fungsi genap)

Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas

diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x)

diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode

T = 2L = 4 (karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut:

dstaaaa

xn

na

xn

n

xn

n

xn

nxa

dxxn

dxxn

dxxn

xdxL

xnxf

La

xxdxxdxdxxfL

a

n

n

L

n

L

,0,9

4,

2,

4

12

cos)(

4

2sin

22

cos)(

42

sin2

2cos)1(

2cos)1(

2cos

22

cos)(2

23

21

)1(22

)(2

1232221

2

2

1

1

0

2

2

1

2

1

1

00

2

1

1

0

22

1

1

00

0

=−=−=−=

−=

+

+=

++==

=

+=

+==

∫∫∫∫

∫∫∫

πππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππππ

Maka diperoleh pernyataan deret Forier cosinus untuk f(x), sebagai

berikut:

fc(x)

x 6 4 3 2 1 5 -1 -2 -4 -5 -6 -3 0

13

+++−=

=+= ∑∞

=

L2

3cos

9

1

2

2cos

2

1

2cos

1

14

4

3)(

0,cos2

)(

2

1

0

xxxxf

bL

xna

axf

nnn

ππππ

π

(b) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus (fungsi ganjil)

Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas

diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x)

diperluas menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan periode T

= 4 ( L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut:

dstbbbb

nn

xn

nb

xn

n

xn

n

xn

nxb

dxxn

dxxn

xdxL

xnxf

Lb

n

n

L

n

,21

,9

64,

1,

24

cos2

2sin

)(4

2cos

22

cos)(

42

cos2

2sin)1(

2sin

22

sin)(2

423221

2

2

1

1

0

2

2

1

1

00

πππ

πππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

πππ

−=

+−=−=

+=

−=

−+

+−=

+== ∫∫∫

Maka diperoleh pernyataan deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai

berikut:

+

+−−

+=

===∑∞

−

L2

3sin

9

64

2

2sin

1

2sin

24)(

0,0,sin)(

22

01

xxxxf

aaL

xnbxf n

nn

ππ

πππ

ππ

π

π

1 2

f(x)

3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 x

14

(c) Pernyataan deret Fourier sinus-cosinus (fungsi tidak ganjil-tidak genap)

untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri

dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1) seperti pada gambar

berikut :

Koefisien-koefisien Fourier ao, an, dan bn dapat ditentukan sebagai

berikut :

( )

( ) ( ) ( )

( )

π

ππ

ππ

ππ

ππ

πππ

π

ππ

π

ππ

ππ

ππ

πππ

n

nn

xnn

xnn

xnn

x

xdxndxxnxdxxnxfL

b

genapn

ganjilnn

nn

n

xnn

xnn

xnn

x

xdxndxxnxdxL

xnxf

La

xxdxdxxdxxfL

a

T

n

n

T

n

T

o

1

2cos1

cos1

sin1

cos1

sin)1(sin11

sin)(1

,0

,2

1111cos

1

sin1

cos1

sin1

cos)1(cos11

cos)(1

23

21

)1(11

)(1

2

1

1

0

2

2

1

1

00

22

222

2

1

1

0

2

2

1

1

00

2

1

1

0

22

1

1

00

−=

−=

−+

+−=

+==

−=

−−=−=

+

+=

+==

=+=

+==

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Sehingga pernyataan deretnya adalah :

15

∑∑∞

=

∞

=

−+−+=11

22 sin1

)cos2

(43

)(n

ganjiln

xnn

xnn

xf ππ

ππ

6. DERET FOURIER EKSPONENSIAL

Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat pula dibangun

dari fungsi eksponensial, dengan menggunakan hubungan Euler sbb :

1,sincos 2 −=±=±

iL

xni

L

xne L

xni πππ

dengan menyisipkan :

2

cosL

xni

L

xni

ee

L

xnππ

π−

+= dan i

ee

L

xn L

xni

L

xni

2sin

ππ

π−

−=

ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik, sbb :

)sincos(2

)(1

0

L

xnb

L

xna

axf

nnn

ππ∑

∞

=++=

didapat :

∑∑∞

=

−∞

=

−

−+

++=

11

0

222)(

n

L

xni

L

xni

nn

L

xni

L

xni

n i

eeb

eea

axf

ππππ

( ) ( ) ( ) L

xni

n

nnL

xni

n

nn eiba

eibaa

xfππ −∞

=

∞

=∑∑

++−+=11

0

222

( ) ( ) ( ) L

xni

n

nnL

xni

n

nn eiba

eibaa

xfππ

∑∑−

−∞=

−−∞

=

++−+=1

1

0

222

Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ulang dengan –n. Jika

didefinisikan :

( )

( )

>−=<+

=−−

0,2/

0,2/

0,2/

0

niba

na

niba

C

nn

nn

n

maka didapat pernyataan fungsi periodik dalam deret Fourier

eksponensial sbb :

16

( ) ∑∞

−∞=

=n

L

xni

n eCxfπ

Koefisien Cn dapat dicari dengan persamaan integral berikut :

( )∫+

=Ta

a

dxxfT

C1

0

dan

( ) dxexfT

C L

xni

Ta

a

n

π−+

∫= 1

Contoh 7

Tentukan pernyataan Fourier Eksponensial dari fungsi periodik pada

contoh 1 !

Pemecahan :

Fungsi periodik pada contoh 1 adalah :

<<<<−

=π

πx

xxf

0,0

0,1)(

Berarti T = 2π dan a = π.

Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :

( )

=

−−

=

−==

+==

====

+===

−

−

−

−

−

−

−+ −

−−

−−

+

∫

∫∫∫

∫

∫∫∫∫

genapn

ganjilnn

i

nin

ein

dxe

dxedxedxexfT

C

xdx

dxdxdxxfdxxfT

C

inxinx

xinxinTa

a

L

xin

n

Ta

a

o

,0

,

cos1211

21

21

)0()1(21

)(1

2

1

22

1

2

1

)0()1(21

)(21

)(1

00

0

0

00

0

0

π

ππππ

π

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

π

πππ

ππ

π

π

π

π

Maka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagai berikut :

17

++++−−−+=

=

−−−

∞

−∞=∑

..........51

31

31

51

........21

)(

5335 ixixixixixix

n

inxn

eeeeeei

eCxf

π

Untuk membandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh pada

Contoh 1, maka kita gunakan kembali hubungan Euler diatas :

( ) ( ) ( )( )

+++−=

+++−=

+

−+

−+−−=

+−+−+−+=

−−−

−−−

..........5

5sin

3

3sin

1

sin2

2

1

..........5

5sin2

3

3sin2

1

sin21

2

1

..........5

1

3

11

2

1

..........5

1

3

1

2

1)(

5533

5533

xxx

xxx

i

ee

i

ee

i

ee

eeeeeei

xf

ixixixixixix

ixixixixixix

π

π

π

π

Persis sama seperti hasil pada contoh 1.

7. IDENTITAS PARSEVAL

Sekarang akan dicari bagaimana hubungan antara harga rata-rata kuadrat

fungsi f(x) dalam selang dasarnya dengan koefisien-koefisien Fourier.

Hasilnya dikenal sebagai identitas Parseval atau hubungan kelengkapan

(Completeness Relation) yang bentuknya bergantung pada rumusan

pernyataan deret Fourier yang digunakan.

Untuk deret Fourier yang diuraikan dalam bentuk :

∑∑∞

=

∞

=

++=11

sincos2

)(n

nn

no

L

xnb

L

xna

axf

ππ

Jika fungsi pada ruas kiri dan ruas kanan dikuadratkan, maka akan

diperoleh :

2

11

22

sincos2

)(

++

= ∑∑∞

=

∞

= nn

nn

o

L

xnb

L

xna

axf

ππ

∑∑∞

=

∞

=

+++

=1 1

22

sinsinsincos2coscos2

)(n m

mnmnmno

L

xm

L

xnbb

L

xm

L

xnba

L

xm

L

xnaa

axf

ππππππ

18

Kemudian jika dicari rata-rata kuadrat pada selang dasarnya, dengan cara

mengintegrasi ruas kiri dan kanan, maka didapat :

∑∑ ∫

∑∑ ∫

∑∑ ∫∫∫

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=

+++

+

+

+

=

1 1

1 1

1 1

22

sinsin1

sincos21

coscos1

21

)(1

n m

Ta

a

mn

n m

Ta

a

mn

n m

Ta

a

mn

Ta

a

oTa

a

L

xm

L

xnbb

T

L

xm

L

xnba

T

L

xm

L

xnaa

Tdx

a

Tdxxf

T

ππ

ππ

ππ

atau

( ) ( )

∑∑

∑∑∑∑∫∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+

++

+

=

1 1

2

1 11 1

22

02

21

01

21

21

)(1

n mmnmn

n mn mmnmn

Ta

a

Tbb

T

T

Taa

TT

a

Tdxxf

T

δ

δ

maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :

++

= ∑∫∞

=

+2

1

22

2

21

2)(

1n

nn

oTa

a

baa

dxxfT

Ruas kiri adalah harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya

a < x < a + T, sedangkan ruas kanan adalah jumlah kuadrat semua

koefisien Fourier.

Untuk uraian deret Fourier dalam bentuk eksponensial,

∑∞

−∞=

=n

L

xin

neCxfπ

)(

maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :

∑∫∞

−∞=

+

=n

n

Ta

a

CdxxfT

22)(

1

Secara fisis, jika f(x) merupakan fungsi periodik dari suatu besaran fisika,

misalnya simpangan getaran mekanik (system pegas), maka untuk x = t

adalah variabel waktu, maka pernyataan :

19

∫−

=2

2

2)(

1T

T

dttfT

p

Menyatakan daya rata-rata (Joule/s) dari getaran tersebut dalam suatu

periode T. Dengan demikian identitas Paseval, mengaitkan daya rata-rata

dengan separuh jumlah kuadrat amplitudo setiap harmonik penyusun

periodik.

Secara matematik, ruas kiri dari identitas Parseval memberikan jumlah

deret bilangan diruas kanannya, seperti pada contoh berikut :

Contoh 8

Gunakan identitas Paseval untuk mencari jumlah deret bilangan yang

bersangkutan dengan uraian deret Fourier dari fungsi f(x) pada contoh.4.

Pemecahan

Pada contoh 4, f(x) = x2 dengan periode 1 dan selang dasarnya adalah

2

1

2

1 <<− x , memiliki uraian deret Fourier dengan koefisien-koefisien

sebagai berikut :

( )0........,3,2,1

11,

6

122

==

−== n

n

no bnn

aaπ

Harga rata-rata kuadrat dari f(x) = x2 ditentukan sebagai berikut :

80

1

32

1

32

1

5

1

5

1

1

12

1

2

1

2

1

2

1

542

1

2

1

22 =

+===

−−−

∫∫ xdxxdxx

Menurut identitas Paseval, nilai rata-rata kuadrat ini sama dengan

++

∑

∞

=

)(21

22

1

22

nn

no ba

a, sehingga :

20

( )

1801

1441

8011

21

,11

21

1441

801

1121

121

801

144

144

1

2

2

42

2

2

=−=

+=

−

+

=

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

n

n

n

n

ataun

n

π

π

π

Sehingga :

∑∞

=

==1

44

4 9018021

n n

ππ

atau

90.....

41

31

21

14

444

π=++++

Contoh 9

Gunakan identias Parseval untuk mencari jumlah deret bilangan yang

bersangkutan dengan uraian Fourier dari fungsi f (x) pada contoh.7.

Pemecahan :

Pada contoh 7, f (x) diuraikan dalam deret Fourier eksponensial dengan

periode T = 2π dan selang dasar -π < x< π . Koefisien Fourier dari uraian

tersebut adalah :

2

1=oC dan πn

iCn = untuk n ganjil (1, 3, 5, ….)

Harga rata-rata kuadrat dari f (x) dalam selang (-π < x< π ) ditentukan

sebagai berikut :

( )21

21

0121 0

0

22 ==

+∫ ∫

−

πππ π

π

dxdx

Menurut identitas Paseval, harga rata-rata kuadrat ini sama dengan

∑∞

−∞=nnC

2, sehingga :

21

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

+=

+=

+=

+=

+=

122

1

2

2

2

2

22

22

,12

41

21

,21

41

21

,1

41

21

,)21

(21

)(21

n

n

n

n

nno

ganjilnn

ganjilnn

i

ganjilnn

i

ganjilnn

i

CC

π

π

π

π

atau

8..........

71

51

31

1

81

41

41

2112

2

222

2

12

122

π

π

π

=++++

=

=−=

∑

∑

∞

=

∞

=

ganjiln

ganjiln

n

n

8. SPEKTRUM FOURIER

Uraian Fourier suatu fungsi periodik f(x), pada dasarnya adalah uraian

fungsi f(x) dalam komponen-komponen harmoniknya, yakni berbagai

komponen frekuensinya. Jika P merupakan frekuensi harmonik dasarnya,

maka frekuensi harmonik ke-n, Pn, diberikan oleh hubungan :

Pn = n.P , n = 1, 3, 5,……

Dengan T

Pπ2= , dimana T merupakan periode dasarnya.

Himpunan semua komponen frekuensi Pn = n.P yang membentuk fungsi

periodik f(x) ini disebut spektrum frekuensi atau spektrum fungsi f(x) dan

dikenal sebagai spektrum Fourier.

AMPLITUDO HARMONIK

Spektrum frekuensi seringkali divisualkan secara grafis, dengan

menggambarkan Amplitudo masing-masing harmoniknya. Untuk uraian

22

deret Fourier cosinus, sinus, amplitudo harmonik ke-n ditentukan sebagai

berikut :

Suku ke-n dari uraian deret Fourier cosinus-sinus dapat dituliskan :

L

xnb

L

xnaxS nnn

ππsincos)( +=

yang juga dapat dituliskan dalam fungsi tunggal cosinus sebagai berikut :

)cos()( nnn L

xnAxS δπ +=

dengan n

nnnnn a

btgarcdanbaA

)(22 −=+= δ

Koefisien An dan nδ berturut-turut disebut amplitudo dan fase awal

harmonik ke-n, dengan 2o

oaA = dan 0=oδ

Grafik barisan amplitudo setiap harmonik An terhadap n (n = 0,1,2,3,

4,……),

berbentuk pancang bejarak sama, yang dikenal sebagai spektrum garis.

Contoh 10

Gambarkan spektrum garis untuk pernyataan deret Fourier fungsi periodik

f(x) pada contoh 1.

Pemecahan

Dari hasil perhitungan contoh 1, didapatkan koefisien-koefisien Fourier

sebagai berikut :

......5,3,1,2

,0,1 =

−=== nn

bdanaa nno π

Jadi amplitudo masing-masing harmoniknya adalah :

23

tetapnarca

btgarc

nnnn

baA

aA

n

nn

o

nnn

oo

,23

)1

2(tan)(

0

....5,3,1,222

0

21

222

222

ππδ

δπππ

−==−=

=

==

=−+=+=

==

Sketsa spektrum Fourier (spektrum garis) fungsi periodik ini digambarkan

sebagai berikut :

.,.........0,5

2,0,

3

2,0,

2,

2

1654321 ======= AAAAAAAo πππ

Untuk pernyataan deret Fourier eksponensial, karena Cn bernilai

kompleks, maka dengan menuliskannya dalam bentuk eksponensial,

ninn eCC θ=

fungsi f(x) dapat dituliskan dalam bentuk uraian :

)(

10

)(nL

xni

n

n

n

eCxfθπ +

−=∑=

dengan :

nn CC = , dan nθ = argument (Cn)

berturut-turut adalah amplitudo dan fase awal harmonik ke-n, yang

berlaku untuk semua nilai bulat n dari -∞ sampai ∞.

0 1 2 3 4 5 6 7

An

1/2

2/π

2/3π

2/5π 2/7π

n

24

Contoh 11

Gambar spektrum garis uraian Fourier eksponensial fungsi periodik f(x)

pada contoh 7.

Pemecahan :

Dari hasil perhitungan contoh 7 diperoleh koefisien-koefisien Fourier

sebagai berikut :

,........5,3,1,1,3,5....,,2

1 −−−=== nn

iCC no π

Jadi amplitude masing-masing harmonik adalah :

,........5,3,1,2

1 ±±±=

==== nn

i

n

iCCC nno ππ

Sedangkan fase awalnya ; 2

)(arg)(arg,0π

πθθ ====

n

iCnno .

Sketsa spectrum garis fungsi periodic ini digambarkan sebagai berikut :

ππππππ 5

1,

5

1,

3

1,

3

1,

1,

1,

2

1553311 ======= −−− CCCCCCCo ,

dst

9. PENERAPAN PADA GELOMBANG BUNYI

Jika sebuah gelombang bunyi yang merambat melalui udara

sampai ketelinga kita dan kita mendengarnya, maka tekanan udara

ditempat kita berada akan berubah-ubah terhadap waktu (akibat terjadi

rapatan dan renggangan udara disebabkan rambatan gelombang bunyi

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Cn

1/2

1/3π

1/π 1/π

1/3π

n 4

25

yang merupakan gelombang longitudinal). Andaikan perubahan tekanan

udara diatas dan dibawah tekanan atmosfir dilukiskan oleh suatu grafik

pada gambar berikut ini :

Maka untuk menentukan harga frekuensi yang kita dengar, dapat

dilakukan dengan cara menguaraikan fungsi p(t) kedalam deret Fourier.

Periode (T) dari fungsi p(t) diatas adalah 262

1, yang berarti gelombang

bunyi berulang 262 kali tiap detik. Sehingga L = T2

1=

524

1.

Dari gambar diatas jelas terlihat bahwa fungsi p(t) merupakan fungsi

ganjil, maka koefisien-koefisien Fourier yang ada hanya bn saja (ao = 0,

an = 0). bn ditentukan sebagai berikut :

++−=

−+=

=

∫∫

∫

πππ

ππ

π

nn

n

dttdtt

dtL

tntp

Lb

L

n

cos8

71

2cos

8

152

524sin)87(524sin)1()524(2

sin)(2

5241

10481

10481

0

0

dari sini dapat ditentukan harga-harga bn untuk beberapa harga n sebagai

berikut :

26

ππ

ππ

ππ

π

ππ

ππ

ππ

28

1

8

71

7

27

12

15

8

71

8

15

6

26

20

1

8

71

5

25

08

71

8

15

4

24

12

1

8

71

3

23

4

15

8

71

8

15

2

22

4

1

8

71

21

7

6

5

4

3

2

1

=

−=→=

=

++=→=

=

−=→=

=

++−=→=

=

−=→=

=

++=→=

=

−=→=

bn

bn

bn

bn

bn

bn

bn

dan seterusnya .

dengan demikian kita dapatkan :

{ }.....6

)6.524sin(30

5

)5.524sin(

3

)3.524sin(

2

)2.524sin(30

1

)524sin(

4

1

.....)6.524sin(12

15

)5.524sin(20

1)4.524sin(.0)3.524sin(

12

1)2.524sin(

4

15)524sin(

4

1

524sin)(10

1

+++++=

++

++++=

=∑=

ttttt

t

ttttt

tbtpn

n

ππππππ

ππ

ππ

πππ

ππ

ππ

π

Ingat kembali bahwa dalam suatu gerak harmonik sederhana, energi rata-

rata sebanding dengan kuadrat amplitude kecepatan, hal yang sama

untuk gelombang bunyi, intensitas gelombang bunyi (energi rata-rata yang

menumbuk satuan luas pendengaran perdetik) akan sebanding dengan

rata-rata kuadrat dari selisih tekanan udara. Dengan demikian dalam

uraian deret Fourier untuk p(t), maka intensitas untuk setiap harmonik

27

akan sebanding dengan kuadrat koefisien Fourier yang terkait. Jadi

intensitas relative dari setiap harmonik untuk contoh diatas adalah :

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 ….

Intensitas = 1 225 91 0 25

1 25 491 0 …

Relatif