Bab 1 - Pers Differensial Dan Deret Fourier

7/27/2019 Bab 1 - Pers Differensial Dan Deret Fourier

1/41

L.H. Wiryanto 1

TOPIK I

Deret Fourier pada Persamaan Diferensial Parsial

L.H. Wiryanto

FMIPA-ITB

Jalan Ganesha 10 Bandung-Indonesia

e-mail: [email protected]

1.1. Pengantar

Pada bagian ini diperkenalkan persamaan diferensial parsial linear yang banyak

dijumpai dalam mempelajari masalah-masalah teknik. Adapun persamaan diferen-

sial parsial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan parsial dari

fungsi dua atau lebih variabel. Secara umum persamaan diferensial parsial berben-

tuk

F(x,t,u,ux, ut, uxx, uxt, utt, ) = 0dengan u = u(x, t) sebagai fungsi yang tidak diketahui, dan menjadi permasala-

han di sini bagaimana menentukan u tersebut. Akan tetapi, mengingat luasnya

cakupan persamaan diferensial yang ada, pada matakuliah ini hanya ditinjau dua

macam persamaan untuk memberikan garis besar penurunan model persamaan sam-

pai mendapatkan penyelesaiannya. Persamaan tersebut terkait dengan persamaan

perambatan gelombang dan persamaan perambatan panas satu dimensi.

Sedangkan metoda penyelesaian yang diperkenalkan adalah metoda pemisahpeubah. Mengingat keterkaitannya metoda ini dengan persamaan diferensial bi-

asa dan deret Fourier, pembahasan akan diberikan dengan meninjau kembali secara

sepintar tentang persamaan diferensial biasa, dan deret Fourier akan diperkenalkan

di dalam membahas persamaan diferensial parsial untuk dapat lebih memahami

sesuai keperluannya.

1.2. Persamaan Diferensial Biasa

Dalam menggunakan metoda pemisah peubah pada persamaan diferensial par-

sial, persamaan diubah menjadi persamaan diferensial biasa linear orde 2 dengan

kooefisien konstan berbentuk

y + ay + by = 0 (1)


2/41

2 Matematka Teknik II

dengan a dan b konstan.

Penyelesaian persamaan (1) diperoleh dengan memisalkannya dengan y = exp(t).

Hal ini dapat dilakukan karena persamaan (1) dapat difaktorkan menjadi persamaan

order 1, dan persamaan tersebut mempunyai jawab dalam bentuk eksponen. Selan-

jutnya masalah di sini adalah menentukan yang memenuhi agar permisalan bentuk

eksponen di atas sebagai jawab (1).

Untuk menentukan kita substitusi permisalan di atas ke persamaan (1). Tu-runan dari y = exp(t) adalah

y = et

y = 2et(2)

dan persamaan (1) menjadi

(2 + a + b)et = 0 (3)

Karena et > 0, dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kwadrat dalam

bentuk

= a

a2

4b

2 (4)Masing-masing nilai berpadanan dengan satu jawab persamaan (1), dan karena

persamaan yang dihadapi adalah linear maka kombinasi linear dari jawab juga meru-

pakan jawab persamaan (1). Dengan penjelasan ini, terdapat 3 macam jawab (1)

yang bergantung pada akar (4) yang diperoleh.

1. Kasus a2 4b > 0Terdapat dua akar riil dari (4), sebut 1 dan 2. Dua jawab terkait tersebut

adalah y = e1t dan y = e2t. Oleh karena itu kombinasi dari keduanya,

sebagai jawab (1)

y(t) = C1e1t + C2e

2t (5)

dimana C1 dan C2 adalah konstan sembarang yang dapat ditentukan dari

syarat awal atau batas yang mengikuti persamaan (1).

2. Kasus a2 4b < 0Terdapat dua akar kompleks (konjugate) dari (4) berbentuk 1 = + i

dan 1 = i dengan = a/2 dan =

4b a2/2 masing-masingriil. Dua jawab terkait akar di sini adalah y = e(+i)t dan y = e(i)t yang

masing-masing dapat diuraikan dalam bentuk perkalian eksponen-cosinus dan

eksponen-sinus; karena eit = cos t+i sin t. Penggabungan keduanya, karena

keduanya bebas linear, menjadi jawab (1)

y(t) = et(C1 cos t + C2 sin t) (6)


3/41

L.H. Wiryanto 3

3. Kasus a2 4b = 0Kedua akar (4) adalah sama, sehingga hanya terdapat satu jawab y = et

dari (1). Sedangkan persamaan diferensial yang dihadapi di sini adalah orde

2 yang secara intuitif diselesaikan dengan melakukan dua kali integrasi dan

memberikan dua konstanta integrasi (pada kedua kasus di atas dinyatakan

dengan C1 dan C2 sebagai pengikat dua jawab yang diperoleh). Untuk men-

gatasi hal ini, perlu menentukan jawab kedua yang bebas linear dari yangsudah ada. Ini dapat dilakukan dengan mengalikan jawab yang ada dengan t,

yaitu y = teat/2. Oleh karena itu, jawab untuk kasus ini adalah

y(t) = (C1 + C2t)et (7)

Contoh 1.1.

1. Tentukan jawab dari y + y 2y = 0

Jawab. Persamaan kwadrat yang berpadanan dengan persamaan diferensial

2 + 2 = 0

Akar dari persamaan tersebut = 1 dan = 2. Sesuai kasus pertama,diperoleh dua akar real yang berbeda, jawab persamaan diferensial

y(t) = c1et + c2e

2t

2. Tentukan jawab dari y + 4y + 13y = 0


2 + 4 + 13 = 0

Akar dari persamaan tersebut = 2 + 3i dan = 2 3i Sesuai kasuskedua, diperoleh dua akar kompleks sekawan, jawab persamaan diferensial

y(t) = e2t (c1 cos3t + c2 sin3t)


4/41


3. Tentukan jawab dari y 4y + 4y = 0


2 4 + 4 = 0

hanya mempunyai satu akar =

2. Sehingga jawab persamaan diferensial

di atas

y(t) = e2t (c1 + c2t)

1.3. Persamaan Gelombang

Kita tinjau suatu dawai panjang L yang direntang dan kedua ujungnya diikat.

Pada awalnya dawai ditarik pada suatu titik, dan kemudian dilepas. Bila kita per-

hatikan dawai tersebut akan bergetar. Pengamatan pada satu titik akan tampak

naik-turun dengan berubahnya waktu. Pola yang sama terjadi pada titik yang lain.

Oleh karena itu, bila kita gunakan x menyatakan jarak posisi dawai dari ujung

kiri dan u menyatakan simpangan dawai dari keadaan setimbang, dalam hal ini

datar, maka getaran dawai dapat dinyatakan sebagai u = u(x, t), lihat Gambar 1a.

Masalah selanjtnya adalah berapa nilai u untuk x dan t yang diberikan.

Figure 1: (a) Sketsa getaran dawai. (b) Sketsa sepenggal dawai dengan gaya tegang

pada kedua ujungnya

Model persamaan getaran dawai diturunkan dengan meninjau sepenggal dawai

seperti diberikan pada Gambar 1(b). Pada saat bergetar kedua ujung bekerja gaya


5/41

L.H. Wiryanto 5

tegang T1 di titik P dan gaya T2 di ujung lainnya Q. Dari arah getarannya, setiap

titik pada dawai hanya bergerak naik-turun, tidak ada gerakan secara horizontal.

Oleh karena itu proyeksi kedua gaya tegang berlaku

Secara horizontal terjadi kesetimbangan: T1 cos = T2 cos , dan selanjutnyakita sebut T.

Secara vertikal berlaku hukum Newton, jumlah gaya dalam arah ini samadengan massa dikali percepatan

T2 sin T1 sin = x2u

t2(8)

Di sini dawai ditinjau sebagi benda berdimensi satu (hanya mempunyai di-

mensi panjang) dan panjangnya x, sehingga massanya dinyatakan sebagairapat massa , dalam hal ini diasumsikan homogen, dikali panjangnya.

Persamaan kesetimbangan gaya vertikal (8) tidak berubah bila tiap sukunya

dibagi dengan bilangan yang sama. Agar bermanfaat, bilangan tersebut adalah be-

sarnya gaya tegang horizontal, dan digunakan notasi yang sesuai untuk tiap sukunya,

yaituT2 sin

T2 cos T1 sin

T1 sin =

xT

2u

t2(9)

Setelah dilakukan penyederhanaan dan menyatakan pembangian sinus terhadap cos-

inus sebagai kemiringan dari kurva dawai, yang dapat dinyatakan sebagi turunan u

terhadap x pada titik di mana sudutnya berada. Secara matematis dituliskan

sin cos = uxx+x

sin

cos =

u

x

x

Sehingga (9) menjadiux

x+x

ux

x

x =

T

2u

t2(10)

Dengan mengambil

x

0 ruas kiri dari (10) menjadi turunan dari u

xterhadap

x, sedangkan ruas kanan tidak berubah karena tidak mengandung x. Oleh karenaitu (10) menjadi

C22u

x2=

2u

t2(11)


6/41


dengan C2 = T / sebagai konstanta yang terkait dengan sifat fisis dari dawai yang

digunakan.

Persamaan (11) merupakan persamaan diferensial parsial yang merepresentasikan

simpangan partikel dawai (naik-turun) diukur dari keadaan setimbang. Akan tetapi

bila kita amati, pada media dawai tersebut tampak adanya gerakan secara hori-

zontal dengan bertambahnya waktu, sebagai perambatan gelombang yang ada pada

dawai tersebut. Dengan pengertian fisis ini, persamaan (11) selanjutnya dikenalsebagai persamaan perambatan gelombang. Perambatan gelombang ini akan lebih

jelas setelah kita mendapatkan jawab dari persamaan tersebut.

1.4. Metoda Pemisah Peubah

Salah satu metoda yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (11)

adalah metoda pemisah peubah. u(x, t) yang memenuhi persamaam (11) dimisalkan

sebagai perkalian antara dua fungsi yang masing-masing hanya merupakan fungsi

dari satu variabel x saja dan t saja; dan diperlukan dua syarat batas dan dua syaratawal. Secara intuitif persamaan (11) memuat turunan kedua dari x dan turunan

kedua dari t. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut diperlukan 4 kali integrasi

yang masing-masing memberikan satu konstanta integrasi, yang dapat ditentukan

dengan menggunakan 4 syarat di atas, sesuai integral yang dilakukan, 2 integral

terhadap x dan 2 terhadap t.

Pada masalah getaran dawai dua syarat batas diperoleh terkait dengan kondisi

fisis yang ada, yaitu kedua ujung diikat

u(0, t) = 0 u(L, t) = 0. (12)

Sedangkan terkait dengan variabel waktu t, dawai awalnya ditarik yang dapat diny-

atakan secara umum sebagai

u(x, 0) = f(x)

u

t(x, 0) = g(x)

(13)

Syarat pertama pada (13) secara fisis menyatakan simpangan awal dan syarat kedua

menyatakan kecepatan awal sepanjang dawai.Sekarang kita selesaikan persamaan (11) dengan menyatakan

u(x, t) = F(x)G(t) (14)


7/41


8/41


Misalkan K > 0 yang dinyatakan K = 2. Persamaan dari F memberikanjawab dalam bentuk eksponen F(x) = aex + bex, dan syarat batas yang

ada memberikan a = 0 b = 0. Sama seperti sebelumnya.

Misalkan K < 0 yang dinyatakan K = p2. Persamaan dari F memberikanjawab dalam bentuk trigonometri F(x) = a cospx + b sinpx. Selanjutnya kita

terapkan syarat batas, yang memberikan a = 0 dan F(L) = b sinpL = 0. Agar

jawab yang diperoleh tidak trivial, maka haruslah pL = n dengan n bulat.

Sehingga diperoleh banyak jawab, bergantung nilai n yang digunakan. Untuk

menuliskan jawab-jawab tersebut kita gunakan notasi (indek) n pada F, yaitu

Fn(x) = b sinn

Lx

Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan dari G pada (15). Dengan

menggunakan nilai K yang sudah diperoleh, yaitu K = n22/L2, persamaan yangdihadapi adalah

G + C2n2

2

L2G = 0

Untuk setiap n diperoleh

Gn(t) = cos nt + sin nt (16)

dengan n = Cn/L, dan

un(x, t) = Fn(x)Gn(t)

Karena persamaan diferensial yang kita hadapi adalah linear dan homogen, maka

himpunan fungsi un(x, t) membangun jawab dari persamaan dalam bentuk kombi-

nasi linearnya, yaitu

u(x, t) =n=1

cnun(x, t)

=n=1

(An cos nt + Bn sin nt)sinn

Lx

(17)

An dan Bn merupakan gabungan semua konstanta yang ada pada Fn(x), Gn(t), dan

cn pada saat melakukan kombinasi linear.

Sebagai catatan, dalam mendapatkan jawab (17) diperkenalkan notasi n danun(x, t), yang dikenal sebagai nilaieigen dan fungsieigen.

Langkah selanjutnya adalah menentukan An dan Bn pada (17). Kita dapat

gunakan syarat awal (13).


9/41

L.H. Wiryanto 9

1. Simpangan awal memberikan

n=1

An sinn

Lx = f(x) (18)

2. Kecepatan awal memberikan

u

t =

n=1 (nAn sin nt + nBn cos nt)sin

n

L x

Pada saat t = 0n=1

nBn sinn

Lx = g(x) (19)

Sampai di sini kita mendapatkan dua persamaan (18) dan (19) terkait dengan An dan

Bn, tetapi persamaan tersebut tidak secara langsung dapat diselesaikan. Pengertian

deret Fourier diperlukan untuk menyelesaikannya, yang akan dibahas pada sub bab

selanjutnya.

Metoda pemisah peubah (variable) dapat juga diguanakan pada persamaan difer-ensial seperti di bawah. Gunakan sebagai latihan untuk menyelesaikan persamaan.

1. ux + uy = 0

2. ux yuy = 0

3. uxy u = 0

4. ux + uy = 2(x + y)u

Dari persamaan getaran dawai

utt = c2uxx

Bila tahanan udara dilibatkan, gaya redam sebanding dengan kecepatan ut,maka persamaan menjadi

utt c2uxx + rut = 0

dengan konstanta pembanding r.

Jika terdapat gaya elastis, yang sebanding dengan simpangan, maka per-

samaan menjadi

utt c2uxx + ku = 0dengan konstanta pembanding untuk gaya elastis k.


10/41


Jika ada gaya luar yang dilibatkan dalam getaran, maka persamaan menjaditak homogen

utt c2uxx = f(x, t)

untuk gaya luar f.

Gunakan metoda pemisah variable untuk menentukan solusi persamaan getaran

di atas (yang homogen) pada kedua ujung terikat.

1.5. Deret Fourier

Sebelum menyelesaikan persamaan (18) dan (19), pada bagian ini dibahas lebih

dahulu deret Fourier yang mendasarinya. Di sini dikenalkan fungsi periodik dan

sifatnya sebagai berikut.

y = f(x) dikatakan periodik jika terdefini pada seluruh bilangan riil, dan

terdapat suatu bilangan positip p sehingga berlaku f(x +p) = f(x). Bilangan

p tersebut dinamakan perioda dari f.

Dari definisi fungsi periodik berlaku bila f periodik dengan perioda p maka

f(x + 2p) = f(x +p +p) = f(x +p) = f(x)

Jadi 2p juga perioda, begitu juga dengan 3p, 4p, ,np, untuk n bulat.

Perioda terkecil dari fungsi periodik dinamakan perioda dasar. Kombinasi linear dari beberapa fungsi periodik juga periodik

f(x) = f(x +p), g(x) = g(x +p) h(x) = f(x) + g(x) = h(x +p)

Secara natural fungsi periodik dijumpai pada fungsi trigonometri seperti f(x) =sin mx dan juga g(x) = cos mx untuk m R. Kedua fungsi mempunyai peri-oda p = 2/m, yang dapat diperoleh dengan

f(x +p) = sin m(x +p) = sin(mx + mp) = sin mx = f(x) mp = 2

Oleh karena itu 22/m, 32/m, juga perioda dari f dan g.


11/41

L.H. Wiryanto 11

Tinjau perioda dari fungsi sinus dan cosinus di atas untuk m bulatm = 1 : 2, 4, 6, untuk sin t dan cos tm = 2 : , 2, 3, untuk sin 2t dan cos 2tm = 3 :

2

3,

4

3,

6

3, untuk sin 3t dan cos 3t

......

...

Bila dikombinasikan m=1

am cos mx + bm sin mx

mempunyai perioda 2, karena setiap baris di atas memuat angka 2 dan

kelipatannya, sehingga perioda dasarnya adalah 2.

Sebagai hal khusus fungsi konstan f(x) = a0 dapat dikelompokkan dalamfungsi periodik yang tidak memiliki perioda dasar, tetapi semua angka adalah

periodanya. Sehingga

a0 +

m=1

am cos mx + bm sin mx (20)

tetap mempunyai perioda dasar 2.

Dari deret (20) timbul pertanyaan: dapatkah digunakan untuk merepresentasikan

fungsi, bagaimana bentuk fungsinya dan bagaimana nilai koefisien di (20).

Untuk menjawabnya, andaikan f(x) adalah fungsi yang dimaksud

f(x) = a0 +

m=1

am cos mx + bm sin mx (21)

Kesamaan ini mengharuskan f bersifat periodik dengan perioda yang sama den-

gan ruas kanan, yaitu 2. Selanjutnya cukup kita tinjau pada selang satu perioda

[, ], dan integralkan kedua ruas pada selang tersebut

f(x)dx =

a0dx +

m=1

am cos mx + bm sin mxdx

menghasilkan

a0 =1

2

f(x)dx (22)

Proses pengintegralan seperti di atas dapat dilakukan lagi tetapi sebelumnya

kedua ruas dikali dengan cosinus atau sinus agar diperoleh hanya satu suku saja

pada ruas kanannya, setelah diintegralkan, dengan mengingat

sin mx sin nxdx =

0, untuk m = n, untuk m = n


12/41


cos mx cos nxdx =

0, untuk m = n, untuk m = n

sin mx cos nxdx = 0;

sin mxdx = 0;

cos mxdx = 0.

Jadi untuk mendapatkan a20 persamaan (21) harus dikalikan dengan cos 20x dan di-

integralkan pada [, ], begitu juga untuk mendapatkan b7 persamaan (21) harusdikalikan dengan sin 7x dan diintegralkan pada [, ]. Secara umum, untuk men-dapatkan an dilakukan perhitungan integral

f(x)cos nxdx =

a0 cos nxdx

+

m=1

(am cos mx + bm sin mx)cos nxdx

= an

Jadi diperoleh

am =1

f(x)cos mxdx. (23)

Dengan cara serupa bn diperoleh

bm =1

f(x)sin mxdx. (24)

Oleh karenanya, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi periodik f(x) dengan pe-

rioda 2 dan kontinu bagian demi bagian dapat dinyatakan sebagai deret Fourier

(21) dengan koefisiennya dihitung menggunakan (22), (23) dan (24).

Contoh 1.1.

Tentukan uraian deret Fourier dari

f(x) =

1, < x < 01, 0 < x < , f(x + 2) = f(x)

Jawab:

Pada soal diberikan fungsi periodik f dengan perioda 2 dan diberikan rumusan

fungsinya pada selang [

, ]. Uraian deret Fourier diperoleh dengan menggunakan

persamaan (21)-(24). Deret Fourier dari f adalah

f(x) = a0 +

m=1

am cos mx + bm sin mx


13/41

L.H. Wiryanto 13

dengan

a0 =1

2

f(x)dx

=1

2

0dx +

0

dx

= 0

am = 1

f(x)cos mxdx

=1

0 cos mxdx +

0

cos mxdx

= 0

bm =1

f(x)sin mxdx

=1

0 sin mxdx +

0

sin mxdx

=2

m(1 cos m)

Untuk beberapa m diperoleh b1 = 4/, b2 = 0, b3 = 4/(3), b4 = 0, b5 = 4/(5) dan

seterusnya. Jadi fungsi di atas dapat dinyatakan dalam deret (3 suku pertama tak

nol)

f(x) =4

sin x +

4

3sin3x +

4

5sin5x +

Plot dari fungsi tangga semula dan uraian Fourier-nya ditampilkan pada Gambar 2,

dengan kurva berlenggok menggambarkan uraian Fourier. Bila jumlah suku dari

deretnya diperpanjang akan diperoleh kurva hampiran yang lebih mendekati ke

fungsi tangga.

Bila diperhatikan suku-suku yang ada pada deret di atas, koefisien dari sin mx

makin mengecil dengan bertambahnya m, berbanding terbalik dengan m. Dalam

perhitungan kita dapat mengamati seberapa besar kontribusi suku tersebut dalam

penjumlahan suku-suku didepannya. Bila sudah relative cukup kecil, misalnya di-

batasi dengan perhitungan sampai 3 desimal, suku tersebut dan selanjutnya dapatdiabaikan.

Dari uraian deret di atas kita dapat menggunakan untuk menghitung deret bi-

langan. Misalnya kita hitung untuk x = /2 pada f(x) diperoleh f(/2) = 1 dan


14/41


Figure 2: Plot dari f(x) dan uraian 3 suku pertama tak nol dari deret Fourier-nya

pada selang [, ]

pada deret menghasilkan4

1

1

3

+1

5 .

Pada deret tak hingga kedua bilangan haruslah sama, sehingga diperoleh

= 4

1 13

+1

5

sebagai nilai konvergensi dari deret di ruas kanan.

Sering kali fungsi yang dihadapi mempunyai perioda bukan p = 2, tetapi secara

umum p = 2L. Uraian deret yang sudah dibicarakan sebelumnya menjadi tidak

dapat digunakan, tetapi dapat digunakan sebagi batu loncatan untuk mendapatkan

rumusan deret Fourier perioda p = 2L, yaitu lakukan transformasi linear sebagaiberikut:

1. Diberikan g(x) fungsi dengan perioda p = 2L, dan diketahui rumusan fungsi

pada selang [L, L].

2. Secara linear fungsi tersebut dapat ditransformasi menjadi f() yang juga

periodik tetapi mempunyai perioda p = 2 dan dapat diperoleh rumusan

fungsinya pada selang [, ]. Hubungan x dan adalah x = L/, yangdiperoleh dari x =

L dipetakan ke =

dan x = L dipetakan ke = .

3. Deret Fourier dari f() adalah

f() = a0 +

m=1

am cos m+ bm sin m


15/41

L.H. Wiryanto 15

Bila dinyatakan ke x maka diperoleh

f(x/L) = g(x) = a0 +

m=1

am cos mx/L + bm sin mx/L (25)

sebagai uraian deret Fourier dari g(x).

4. Rumusan menghitung koefisien dihubungkan dengan g(x)

a0 =1

2

f()d

=1

2

LL

f(x/L)(/L)dx

setelah dilakukan subsitusi x = L/ pada integral, dan selanjutnya dapat

ditulis

a0 =1

2L

LL

g(x)dx. (26)

Dengan cara yang sama

am =1

f()cos md

=1

LL

f(x/L) cos(m/L)x(/L)dx.

Sehingga diperoleh

am =1

L L

Lg(x) cos(m/L)xdx, (27)

sama halnya

bm =1

L

LL

g(x)sin(m/L)xdx, (28)

untuk m = 1, 2, .

Selanjutnya (25)-(28) dapat digunakan sebagai pegangan untuk menentukan deret

Fourier fungsi, karena perioda p = 2 merupakan hal khusus dari perioda p = 2L.

Contoh 1.2.

Tentukan uraian deret Fourier dari

g(x) =

1, 3 < x < 0x, 0 < x < 3 , g(x + 6) = g(x)


16/41


Jawab:

Pada soal diberikan fungsi periodik g dengan perioda 6 dan diberikan rumusan

fungsinya pada selang [3, 3]. Uraian deret Fourier diperoleh dengan menggunakanpersamaan (25)-(28). Deret Fourier dari g adalah

g(x) = a0 +

m=1

am cos mx/3 + bm sin mx/3

dengan

a0 =1

6

33

g(x)dx =1

4

am =1

3

33

g(x) cos(mx/3)dx =3cos m + 2m sin m 3

n22

bm =1

3

33

g(x) sin(mx/3)dx =3 sin(m) + 4m cos(m)m

n22.

Untuk melihat beberapa suku dari deret tersebut dapat dihitung koefisien sinus dan

cosinusnya dengan rumusan di atas dengan memasukkan beberapa nilai m. Sehingga

diperoleh

g(x) =1

4 6

2cos(

3x) +

5

sin(

3x) 3

2sin(

2

3x)

232

cos(x) +5

3sin(x) +

Plot dari g(x) dan deretnya, dihitung sampai m = 20, ditampilkan pada Gambar

3. Di sini plot memberikan ilustrasi uraian deret, yang dihitung menggunakan ru-

mus pada selang [L, L], dapat digunakan sebagai hampiran dari fungsi g. Darihasil perhitungan integral, besarnya koefisien am dan bm sebanding dengan 1/m

2.

Sehingga bila dilakukan perhitungan pada deret sampai m = 20, kesalahan yang

terjadi sekitar 0.0025.

Sering kali dalam perhitungan kita berhadapan dengan fungsi periodik yang

ganjil atau genap. Jika hal ini terjadi kita dapat terbantu dalam perhitungan am

atau bm, karena untuk fungsi ganjil inetegral (27) akan bernilai nol, sedangkan untuk

fungsi genap integral (28) yang bernilai nol, mengingat cosinus merupakan fungsi

genap dan sinus adalah fungsi ganjil. Sehingga kita tidak perlu menghitung am ataubm, sesuai fungsi yang hendak diuraikan.

Fungsi f pada contoh 1.1 merupakan fungsi ganjil. Menurut uraian di atas kita

cukup menghitung bm saja karena suku konstan dan cosinus tidak akan muncul


17/41

L.H. Wiryanto 17

Figure 3: Plot dari g(x) dan deretnya yang dihitung sampai m = 20.

(perhitungan a0 dan am akan bernilai nol), dan ini sesuai dengan hasil pada contoh

1.1 di atas. Karena suku-suku deret yang muncul hanya sinus saja, maka deret

tersebut dinamakan deret Fourier sinus, begitu juga sebaliknya untuk fungsi genap

akan memberikan deret Fourier cosinus.

Contoh 1.3.

Tentukan deret Fourier dari

g(x) =

x + 1, 1 < x < 01 x, 0 < x < 1 , g(x + 2) = g(x)

Jawab:

g merupakan fungsi genap, karena untuk x

(0, 1) diperoleh hasil g(

x) = g(x)

atau dapat diperiksa dengan menggambarnya, kurva di sebelah kanan sumbu tegak

simetri dengan kurva di sebelah kirinya. Oleh karena itu dalam menentukan deret

Fouriernya, cukup dihitung

a0 =1

2

11

g(x)dx =1

2

01

x + 1dx +10

1 xdx

=1

2

am =1

1

11

g(x) cos(mx)dx

=01

(x + 1) cos(mx)dx +10

(1 x) cos(mx)dx

=2(1 + cos(m))

n22.


18/41


Deret Fourier dari g (3 suku pertama tak nol) adalah

g(x) =1

2+

4

2cos(x) +

4

92cos(3x) +

Masalah lain yang dapat kita jumpai adalah fungsi periodik dengan rumusan

yang diberikan bukan pada selang simetri [

L, L], tetapi pada selang [0, 2L] atau

lebih umum [c, c+2L] untuk sembarang bilangan c. Untuk menentukan uraian deret

Fouriernya ada dua cara yang dapat dilakukan.

1. Ditentukan rumus fungsi pada selang [L, L] dan selanjutnya digunakan ru-mus (25)-(28).

2. Menentukan lebih dahulu rumusan deret untuk selang [0, 2L] atau [c, c + 2L].

Pembahasan di sini diberikan untuk cara kedua, sedangkan cara pertama akan

diberikan melalui contoh. Untuk itu kita perhatikan fungsi periodik f(x) dengan

perioda p = 2L dan diberikan rumusan fungsinya pada selang [0, 2L]. Deret Fourierdari f adalah sama seperti pada rumusan fungsi pada selang [L, L] (25)-(28),tetapi integral pada a0, am dan bm harus disesuaikan dengan rumusan fungsi yang

ada, yaitu

a0 =1

2L

LL

f(x)dx

=1

2L

0L

f(x)dx +L0

f(x)dx

integral dipecah menjadi

dua subselang

=1

2L

2LL

f( 2L)d+L0

f(x)dx

integral pertama

disubstitusi dengan = x + 2L

=1

2L

2LL

f()d+L0

f(x)d

digunakan sifat periodik

f( 2L) = f().

Dengan menggabungkan kembali kedua integral diperoleh

a0 =1

2L

2L0

f(x)dx (29)


19/41

L.H. Wiryanto 19

Perhitungan koefisien a0 dapat dilakukan sesuai selang dimana rumusan fungsi f

diberikan. Hal ini akan lebih mudah dikerjakan dibandingkan cara pertama.

Selanjutnya kita lihat rumusan untuk menghitung am. Kita mulai dari (27)

untuk selang [L, L] dan mengikuti proses pada a0

am =1

L

LL

f(x) cos(mx/L)dx

=1

L

0L

f(x)cos(mx/L)dx +L0

f(x)cos(mx/L)dx

integral dipecah menjadi dua subselang

=1

L

2LL

f( 2L) cos(m( 2L)/L)d+L0

f(x) cos(m( 2L)/L)dx

integral pertama disubstitusi dengan = x + 2L

=1

2L2L

L f() cos(m/L)d+L0 f(x) cos(m/L)d

digunakan sifat periodik dari cosinus dan f( 2L) = f()

Dengan menggabungkan kembali kedua integral diperoleh

am =1

2L

2L0

f(x)cos(mx/L)dx. (30)

Sama halnya untuk bm, untuk fungsi f yang diberikan rumusannya pada selang

[0, 2L] perhitungan dapat dilakukan dengan

bm =1

2L

2L0

f(x)sin(mx/L)dx. (31)

Untuk rumusan fungsi pada selang [c, c + 2L], penurunan di atas dapat diikuti den-

gan memecah integral [L, L] menjadi [L, c][c, L] lebih dahulu, baru kemudiandilakukan pergeseran. Sebagai hasil, rumus perhitungan koefisien menjadi

a0 =1

2L

c+2Lc

f(x)dx

am = 1Lc+2Lc

f(x)cos(mx/L)dx

bm =1

L

c+2Lc

f(x)sin(mx/L)dx

(32)


20/41


Contoh 1.4.


f(x) = x, 0 < x < , dan f(x + ) = f(x)

Jawab:

f merupakan fungsi periodik dengan perioda p = atau L = /2, dan diketahui

rumusan fungsi pada selang (0, ). Kita akan memberikan jawab soal di atas dengan

dua cara seperti disebutkan di atas.

Rumusan fungsi pada selang (/2, /2) adalah

f(x) =

x + , /2 < x < 0x, 0 < x < /2

Rumusan fungsi ini dapat diperoleh secara geometri, dengan membuat gambarfungsi pada selang (0, ) dan pergeserannya sebesar ke kiri, lihat Gambar 4.

Pada selang (0, /2) rumusan fungsinya sama seperti yang diketahui, sedan-

gkan pada selang (/2, 0) fungsi berupa garis yang melalui titik (/2, /2)dan (0, ). Dengan menggunakan persamaan garis diperoleh f(x) = x + .

Selanjutnya kita tentukan deret Fourier dari f (bukan fungsi ganjil maupun

bukan genap) yang berbentuk (gunakan L = /2 pada (25))

f(x) = a0 +

m=1

am cos2mx + bm sin2mx


21/41

L.H. Wiryanto 21

dengan a0, am, bm dihitung menggunakan (26)-(28), yaitu

a0 =1

/2/2

f(x)dx =1

0/2

x + dx +/20

xdx

=

2

am =2

/2/2

f(x) cos(2mx)dx

=2

0/2

(x + ) cos(2mx)dx +/20

x cos(2mx)dx

=sin(n)

n

bm =2

/2/2

f(x) sin(2mx)dx

= 20

/2(x + ) sin(2mx)dx +

/20

x sin(2mx)dx

=n sin(n)

n2.

Figure 4: (a) Gambar fungsi periodik f pada selang dua perioda. (b) Plot f dan

deret Fourier-nya.

Selanjutnya dihitung untuk beberapa nilai m, dan digunakan sebagi koefisien

deretf(x) =

2 sin(2x) 1

2sin(4x) 1

3sin(6x)

Cara kedua adalah menentukan deret (25) dengan menggunakan (29)-(31).


22/41


Dari f pada selang (0, )

a0 =1

0

f(x)dx

=1

0

xdx =

2

am =2

0f(x) cos(2mx)dx

=2

/2/2

x cos(2mx)dx

=cos2(m) 1 + 2m sin(m)cos(n)

n2

bm =2

0

f(x) sin(2mx)dx

=2

0

x sin(2mx)dx

= sin(m)cos(m) + 2m cos2(m) m

m2

untuk beberapa nilai m diperoleh hasil yang sama seperti cara pertama, se-

hingga deretnya

f(x) = 2 sin(2x) 12 sin(4x) 13 sin(6x)

Contoh 1.5.


f(x) = x, 1 < x < 3, dan f(x + 4) = f(x)

Jawab:Pada contoh di sini diberikan fungsi periodik dengan perioda p = 4 dan diberikan

rumusan fungsi pada selang [1, 3] (tidak simetri terhadap sumbu tegak). Kitadapat menentukan koefisien deret Fourier (25) menggunakan (32) dengan c = 1,


23/41

L.H. Wiryanto 23

L = 2

a0 =1

4

31

xdx = 2

am =1

2

31

x cos(mx/2)dx

= 2 cos(3m/2) + 2 cos(m/2) + m sin(m/2) 3m sin(3m/2)m22

bm =1

2

31

x sin(mx/2)dx

= 2 sin(3m/2) 2sin(m/2) + m cos(m/2) + 3m cos(3m/2)m22

Deret Fourier (beberapa suku tak nol) diperoleh setelah kita menghitung am dan

bm untuk beberpa nilai m pada hasil integral di atas, hasilnya

f(x) = 2 4

cos(x/2) +2

sin(x) +

4

3cos(3x/2) +

Pada persamaan gelombang, kita menjumpai bentuk deret (18)

n=1An sin

n

Lx = f(x)

dengan f secara fisis menyatakan simpangan yang hanya terdefinisi pada selang

[0, L]. Ini berbeda dengan apa yang telah kita bahas selama ini pada deret Fourier

dengan f merupakan fungsi periodik. Untuk dapat menggunakan deret Fourier,

fungsi f pada (18) harus diperluas menjadi fungsi periodik (pada selang (,)).Kasus (18) jenis perluasannya berupa fungsi ganjil, karena deret di ruas kiri berupa

deret sinus (ganjil).

Pada bagian berikut ini akan dibahas cara memperluas fungsi untuk dapat

menentukan deret Fourier-nya. Kita mulai dengan diberikannya fungsi f(x) yang

terdefinisi pada selang [0, L].

1. Untuk menentukan deret Fourier dari f, lebih dahulu kita bentuk fungsi peri-

odik G(x) sebagai perluasan dari f. Ada tiga macam fungsi perluasan


24/41


(a) Perluasan ganjil diperoleh dengan membentuk

G(x) =

f(x), untuk 0 < x < Lf(x), untuk L < x < 0 G(x + 2L) = G(x)

Secara geometri fungsi G pada selang (L, 0) merupakan pencerminanfungsi pada selang (0, L), yaitu f sendiri, terhadap titik pusat O, dan Gmempunyai perioda p = 2L.

(b) Perluasan genap diperoleh dengan membentuk

G(x) =

f(x), untuk 0 < x < Lf(x), untuk L < x < 0 G(x + 2L) = G(x)

Secara geometri fungsi G pada selang (L, 0) merupakan pencerminanfungsi pada selang (0, L), yaitu f sendiri, terhadap sumbu tegak x = 0,dan G mempunyai perioda p = 2L.

(c) Perluasan umum diperoleh dengan membentuk

G(x) = f(x), untuk 0 < x < L, dan G(x+L)=G(x)

Secara geometri fungsi G merupakan pengulangan fungsi f dengan pe-

rioda p = L. Kurva f dicopy dan ditempelkan di sebelah (kiri maupun

kanan) kurva semula, sehingga diperoleh fungsi G yang berperioda bedadengan dua perluasan sebelumnya.

2. Selanjutnya deret Fourier dari G atau f pada selang [0, L] berbentuk

G(x) = a0 +

m=1

am cos(2mx/p) + bm sin(2mx/p)

p menyatakan perioda dari G dan koefisiennya dihitung menggunakan (32)

dengan menyesuaikan c dan fungsinya

(a) Untuk G ganjil


25/41

L.H. Wiryanto 25

a0 =1

2L

LL

G(x)dx

=1

2L

0L

G(x)dx +L0

G(x)dx

= 0

kedua integral hanya berbeda tanda karena G ganjil

am = 1L

L

LG(x)cos(mx/L)dx = 0

alasan sama seperti a0, G(x) cos(mx/L) fungsi ganjil

bm =1

L

LL

G(x) sin(mx/L)dx

=2

L

L0

G(x) sin(mx/L)dx

G(x) sin(mx/L) fungsi genap

=2

L

L0

f(x) sin(mx/L)dx

pada selang [0, L], G(x) = f(x)

(b) Untuk G genap

a0 =1

2L

LL

G(x)dx =1

L

L0

f(x)dx

alasan G genap dan pada selang [0, L] G(x) = f(x)

am =1

L

LL

G(x)cos(mx/L)dx =2

L

L0

G(x)cos(mx/L)dx

G(x) cos(mx/L) fungsi genap

=2

L

L0

f(x) cos(mx/L)dx


bm =1

L

LL

G(x) sin(mx/L)dx = 0

G(x) sin(mx/L) fungsi ganjil

(c) Untuk G umum (tidak ganjil atu genap) dengan perioda p = L


26/41


a0 =1

L

L0

G(x)dx =1

L

L0

f(x)dx


am =2

L

L0

G(x) cos(2mx/L)dx

=2

LL0

f(x) cos(2mx/L)dx

G(x) = f(x) pada selang [0, L]

bm =2

L

L0

G(x) sin(mx/L)dx

=2

L

L0

f(x) sin(mx/L)dx

G(x) = f(x) pada selang [0, L]

3. Dilihat dari rumus perhitungan koefisien, semuanya dapat dinyatakan dalam

integral f(x) pada selang [0, L], begitu juga dengan deret Fourier-nya untuk

selang [0, L], sedangkan G hanya sebagai batu loncatan untuk menjelaskan

keperiodikan fungsi. Oleh karena itu kita dapat menyimpulkan bila diberikan

fungsi f yang terdefinisi pada selang [0, L], maka dapat dibentuk 3 macam

deret Fourier sinus, cosinus dan lengkap.

Contoh 1.6.

Diberikan

f(x) =

1, untuk 0 < x < 2

3 x, untuk 2 < x < 4

1. Tulisakan rumus fungsi perluasan dari f yang bersifat periodik dan genap,

kemudian gambarkan pada selang [4, 8].

2. Tulisakan rumus fungsi perluasan dari f yang bersifat periodik dan ganjil,

kemudian gambarkan pada selang [4, 8].3. Tulisakan rumus fungsi perluasan dari f yang bersifat periodik (dengan peri-

odam p = 4), kemudian gambarkan pada selang [4, 8].


27/41

L.H. Wiryanto 27

Jawab:

1. Misal fungsi perluasan yang dimaksud adalah G(x). Fungsi tersebut mempun-

yai perioda p = 8, dan rumusannya

G(x) =

f(x) , untuk 0 < x < 4

f(x) , untuk 4 < x < 0G(x + 8) = G(x)

=

1 , 0 < x < 2

3 x , 2 < x < 41 , 2 < x < 03 + x , 4 < x < 2

Urutan x perlu disusun dari kecil ke besar agar mudah dilihat

G(x) =

3 + x ,

4 < x 0

besarta syarat batasu(0, t) = 0, u(L, t) = 0

memberikan, lihat (17),

u(x, t) =n=1

(An cos nt + Bn sin nt)sinn

5x

dengan n(:= Cn/L) = 0.5n/5

Selanjutnya simpangan awal memberikan hubungan u(x, 0) = f(x) atau

n=1

An sinn

5 x = f(x).

Bentuk terakhir ini mengatakan bahwa f dinyatakan sebagai deret Fourier sinus.

Hubungan antara f dan koefisien An diberikan oleh, lihat pembahasan tentang

perluasan ganjil,

An =2

L

L0

f(x) sin(nx/L)dx

=2

5

1

00.1x sin(nx/5)dx+ =

5

1(

0.025x + 0.125) sin(nx/5)dx

= sin(n) 5sin(n/5)4n22


32/41


Untuk beberapa nilai n A1 = 0.0744, A2 = 0.0301, A3 = 0.0134 dan seterusnya.

Untuk menggunakan kecepatan awal, lebih dahulu dihitung

u

t=

n=1

n (An sin nt + Bn cos nt)sin n5

x

kemudian pada saat t = 0 diketahui kecepatan awal bernilai nol, sehingga

ut

(x, 0) =n=1

nBn sin n5

x = 0 Bn = 0

untuk semua n. Jadi simpangan dawai

u(x, t) = 0.0744 cos(0.1t) sin(0.2x) + 0.0301 cos(0.2t) sin(0.4x)

+0.0134 cos(0.3t) sin(0.3x) +

Model dengan Syarat Awal 2

Pada bagian ini kita bahas penyelesaian persamaan diferensial parsial seperti se-

belumnya, persamaan getaran dawai, dengan menggunakan syarat awal yang berbeda.

Secara ringkas kita tuliskan model yang hendak diselesaikan sebagai

2u

t2=

2u

x2

u(0, t) = u(4, t) = 0, untuk t > 0

u(x, 0) = sin(x/2), untuk 0 x 4

u

t(x, 0) = 0, untuk 0 x 4.

Persamaan diferensial dengan syarat batas di atas memberikan jawab

u(x, t) =

n=1(An cos nt + Bn sin nt)sin

n

4x

dengan n = n/4. Kemudian dengan menggunakan syarat kecepatan awal

u

t(x, 0) = 0,


33/41

L.H. Wiryanto 33

seperti pada bagian sebelumnya, diperoleh Bn = 0 untuk semua n, sehingga tinggal

menentukan An menggunakan simpangan awal,

n=1

An sinn

4x = sin(x/2).

Koefisien pada ruas kiri lebih mudah ditentukan dengan meninjau suku demi suku

dari pada menggunakan deret Fourier, yaitu tuliskan hubungan tersebut menjadi

A1 sin1

4x + A2 sin

2

4x + A3 sin

3

4x + = sin(x/2),

A1 sin 14

x + (A2 1) sin 2

x + A3 sin3

4x + = 0

Karena {sin 4 x, sin 2x, sin 34 x, } merupakan fungsi-fungsi yang bebas linear, tiapfungsi tidak dapat dinyatakan sebagai kelipatan yang lain, maka tiap koefisien-nya

harus bernilai nol. Jadi diperoleh

An =

0, n = 2

1, n = 2

Oleh karena itu

u(x, t) = cos

2t sin

2x

=1

2

sin

2(x + t) + sin

2(x t)

Penulisan dalam penjumlahan dua sinusoida akan lebih memudahkan melihat per-

ambatan gelombang yang terjadi, yaitu adanya dua arah penjalaran gelombang, ke

kiri dan ke kanan, dengan bertambahnya waktu t.

1.7. Perambatan Panas pada Batang

Persamaan diferensial parsial jenis kedua yang ditinjau merupakan persamaan per-

ambatan panas. Kita misalkan u(x, y, z, t) merupakan temperatur pada benda (3 di-

mensi) dan H(t) merupakan panas (heat) dalam kalori yang dimuat benda. Hubun-

gan panas dan temperatur adalah: panas merupakan massa dikali temperatur dan

kapsitas panas benda. Pada benda dengan daerah D berlaku

H(t) =

Dcudxdydz


34/41


dengan c menyatakan kapasitas panas dan merupakan rapat massa benda. Pe-

rubahan panasdH

dt=

D

cutdxdydz

Sedangkan menurut hukum Fourier: panas mengalir dari panas daerah ke dingin

sebanding dengan gradien temperatur. Tetapi panas tidak dapat hilang dari daerah

D kecuali keluar lewat batas, sesuai hukum kekekalan energi. Oleh karena itu pe-

rubahan energi panas di D sama dengan fluk panas yang melintasi batas,

dH

dt=

D

(n u)dS

dengan faktor pembanding berupa konduktivitas panas. Selanjutnya dengan

menggunakan toerema divergensi integral, kedua integral memberikan

D

cutdxdydz=

D (u)dxdydz

cut

= (u)

Persamaan terakhir dikenal sebagai persamaan panas. Untuk c, dan konstan

persamaan menjadi lebih sederhana

u

t= C2

2u

x2+

2u

y2+

2u

z2

dengan C2 = /(c) disebut difusi panas.

Sekarang kita tinjau perambatan panas dalam 1 dimensi. Secara fisis diberikan

batang yang panjangnya L dan mempunyai temperatur yang tidak merata. Panas

akan merambat mengikuti persamaan

u

t= C2

2u

x2(33)

u menyatakan temperatur batang pada posisi x, sebagai jarak yang diukur dari

ujung kiri, dan waktu t.

Syarat batas nol

Seperti pada getaran dawai, untuk menyelesaikan persamaan (33) diperlukan

syarat awal dan batas. Kita meninjau lebih dahulu bentuk


35/41

L.H. Wiryanto 35

1. Temperatur kedua ujung batang dipertahankan konstan. Sebagai misal

u(0, t) = 0 = u(L, t) (34)

2. Pada awalnya distribusi temperatur diketahui

u(x, 0) = f(x) (35)

Di sini diberikan 2 syarat batas terkait dengan x, dan 1 syarat awal terkait dengan

t; yang berbeda pada persamaan getaran dawai. Hal ini dapat dijelaskan secara

sederhana dengan melihat persamaan yang hendak diselesaikan, yaitu memuat tu-

runan kedua terhadap x dan turunan pertama terhadap t. Oleh karena itu untuk

menyelesaikannya diperlukan 3 kali integral, yang menghasilkan 3 konstanta inte-

grasi. Konstanta ini dapat ditentukan dengan menggunakan syarat yang sesuai

dengan variabel pengintegralannya.

Jawab persamaan (33) diperoleh dengan menggunakan metoda pemisah peubah,dengan memisalkan u sebagai perkalian antara fungsi dari peubah x dan fungsi dari

peubah t, yaitu u(x, t) = F(x)G(t). Selanjutnya kita ikuti langkah-langkah berikut,

serupa dengan menyelesaikan persamaan gelombang.

Turunan u terhadap x dan juga terhadap tu

t= F(x)G(t)

2

ux2 = F(x)G(t)

Substitusikan keduanya pada (33) menghasilkan

F(x)G(t) = C2F(x)G(t)

G(t)

C2G(t)=

F(x)

F(x)= K(onstant)

F(x)KF(x) = 0

G(t) C2KG(t) = 0


36/41


Syarat batas (34)

u(0, t) = F(0)G(t) = 0

u(L, t) = F(L)G(t) = 0

F(0) = 0F(L) = 0

Jawab tak trivial (tak nol) dari F terjadi pada K = p2

negative

F(x) +p2F(x) = 0 F(x) = a cospx + b sinpx

F(0) = 0 menghasilkan a = 0, dan F(L) = 0 memberikan jawab tak trivial

jika sinpL = 0 pL = n untuk n = 1, 2, . Sehingga diperoleh

Fn(x) = sinn

Lx

Pada persamaan G

G(t) + C2n22

L2G(t) = 0

menghasilkan

Gn(t) = e2nt

dengan n = Cn/L sebagai nilaieigen.

Fungsieigenun(x, t) := Gn(t)Fn(x) = e

2nt sinn

Lx

Jawab dari (33) sebagai kombinasi linear dari fungsieigen

u(x, t) =n=1

Ane2nt sin

n

Lx (36)

Syarat awal digunakan untuk menentukan An

u(x, 0) =n=1

An sinn

Lx = f(x)

Deret Fourier sinus memberikan rumusan untuk menghitung An, yaitu

An =2

L

L0

f(x)sinn

Lxdx (37)


37/41

L.H. Wiryanto 37

Contoh 1.8.

Dua batang baja masing-masing mempunyai panjang L1 = 2 dan L2 = 4. Pada

awalnya batang 1 mempunyai temperatur nol (sepanjang batang) dan batang ke-

dua mempunyai temperatur linear terhadap posisi, dari 2000 ke 0. Jika batang

1 disambungkan dengan batang ke 2 pada temperatur tingginya dan ujung lainnya

dipertahankan nol, tentukan temperatur batang gabungan setiap saat. Difusi termal

kedua batang C2 = 0.01.

Jawab:

Temperatur batang dimisalkan sebagai u(x, t) dengan x menyatakan jarak dari ujung

kiri dari batang 1 dan t mentakan waktu. Model perambatan panas berupa per-

samaan diferensial parsial (33)

u

t= 0.01

2u

x2

dengan syarat batas

u(0, t) = u(5, t) = 0

dan syarat awal

u(x, 0) = f(x) =

0, 0 < x < 2300 50x, 2 < x < 6.

Persamaan diferensial dan syarat batas memberikan jawab seperti (36)

u(x, t) =n=1

Ane2nt sin

n

6x

dengan n = 0.1n/6. Selanjutnya syarat awal yang ada memberikan persamaann=1

An sinn

6x = f(x).

Dengan menggunakan deret Fourier sinus, sebagai perluasan setengah selang dari f,

An dapat diperoleh melalui integral

An =2

6

60

f(x)sinn

6xdx

=1

3

6

2(300

50x)sin

n

6

xdx

= 2003sin(n) + 2 cos(n/3) + 3 sin(n/3)

n22


38/41


Untuk beberapa nilai n A1 = 116.2860, A2 = 18.7114, A3 = 42.4201 dan seterus-nya, sehingga temperatur batang setiap saat

u(x, t) = 116.2860e2

1t sin

6x +18.7114e22t sin 2

6x +42.4201e23t sin 3

6x+

Secara fisis, temperatur batang kedua akan menurun, sedangkan batang pertama

bertambah; dan kemudian bersama-sama akan berkurang, karena kedua ujungnyatetap dipertahankan nol. Formulasi matematik dari persamaan diferensial di sini

juga memberikan karakter perubahan yang sama dan u 0 untuk t .

Contoh 1.9.

Diberikan dua batang yang masing-masing mempunyai panjang L1 = 2, L2 = 4

meter dan temperatur u1 = 100oC, u2 = 1000

oC. Keduanya ditempelkan sehingga

terjadi aliran panas, dan temperatur kedua ujung lainnya dipertahankan. Per-tanyaan: tentukan temperatur batang setiap saat, jika diketahui difusi termalnya

C2 = 0.01.

Jawab:

Temperatur batang dimisalkan sebagai u(x, t) dengan x menyatakan jarak dari ujung

kiri dari batang 1 dan t menyatakan waktu. Model perambatan panas berupa per-

samaan diferensial parsial (33)

u

t= 0.01

2u

x2

Berbeda dengan contoh sebelumnya, syarat batas yang dimiliki bukan nol dan tidak

sama, perlu ditinjau temperatur steady (tidak bergantung waktu) us(x) sebagai

limit dari u(x, t) bila t , sebagai jawab dari persamaan

2usx2

= 0.

Oleh karenanya temperatur batang u(x, t) = ut(x, t) + us(x), dengan ut(x, t) sebagaijawab transien yang memenuhi

utt

= 0.012utx2


39/41

L.H. Wiryanto 39

Dari syarat batas yang ada, kita dapat nyatakan sebagai syarat batas steady

us(0) = 100, us(6) = 1000. Sehingga syarat batas transien diperoleh

u(0, t) = ut(0, t) + us(0) = 100 ut(0, t) = 0

u(6, t)ut(6, t) + us(6) = 1000 ut(6, t) = 0

Jawab dari persamaan steady diperoleh dengan mengintegralkan dua kali dan meng-

gunakan syarat batas (steady) yang ada, diperoleh

us(x) = 150x + 100

sedangkan model temperatur transien mengikuti persamaan perambatan panas seperti

contoh 1.8, menggunakan yarat awal

ut(x, 0) = u(x, 0) us(x)

dengan

u(x, 0) =

100, 0 < x < 2

1000, 2 < x < 6

diperoleh

ut(x, 0) =

150x, 0 < x < 2

900 150x, 2 < x < 6Dengan mengikuti contoh 1.8, diperoleh

ut(x, t) =n=1

Ane2nt sin

n

6x

dengan n = 0.1n/6. Kemudian An diperoleh dengan menggunakan perhitungan

deret Fourier sinus dari ut(x, 0)

An =2

6

60

ut(x, 0) sinn

6xdx

=1

3

2

0

150x sin

n

6

xdx + 6

2(900

150x)sin

n

6

xdx= 1800

sin(n) + n cos(n/3)n22


40/41


Setelah memasukkan nilai n, untuk 3 suku pertama tak nol

ut(x, t) =900

sin

x

6e

2

1t 450

sin

2x

6e

2

2t 600

sin

3x

6e

2

3t +

dan u(x, t) diperoleh dengan menggabungkan kembali ut(x, t) dan us(x).

Syarat batas isolasi

Variasi soal yang dapat dijumpai dalam persamaan aliran panas adalah dengan

memberikan syarat batas yang terkait dengan isolasi. Dalam perambatan panas

pada batang, kedua ujung diberikan isolasi sehingga panas yang sampai pada ujung

tidak keluar dari batang atau sebaliknya panas dari luar tidak mempengaruhi di

dalam batang. Secara matematik, kondisi isolasi ini dinyatakan dalam syarat batas

u

x(0, t) = 0 =

u

x(L, t)

Bila kita terapkan syarat batas ini pada metoda pemisah peubah dari persamaan

(33), diperoleh dua persamaan diferensial biasa

F(x)KF(x) = 0, diikuti F(0) = 0 = F(L)

G(t)KC2G(t) = 0.Jawab tak trivial diperoleh untuk K 0. Misalkan K = p2. Persamaan dari Fmemberikan F(x) = a cospx + b sinpx, dan syarat batas yang ada mengharuskan

p = n/L untuk n = 0, 1, 2, dan b = 0. Jadi diperoleh

Fn(x) =

1, untuk n = 0

cosnx

L, untuk n = 1, 2,

Selanjutnya persamaan dari G menghasilkan

Gn(t) = en22C2

L2t

Jadi temperatur batang setiap saat

u(x, t) = A0 +

n=1An cos

nx

Le

n22C2

L2t

Dengan menggunakan syarat awal u(x, 0) = f(x) diperoleh

= A0 +n=1

An cosnx

L= f(x)


41/41

L.H. Wiryanto 41

yang bentuk deret Fourier cosinus. Koefisien dari deret diperoleh dengan

A0 =1

L

L0

f(x)dx

An =2

L

L0

f(x)cos(mx/L)dx

Bab 1 - Pers Differensial Dan Deret Fourier

Documents

Transcript of Bab 1 - Pers Differensial Dan Deret Fourier