BILANGAN BULAT

a. Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Nol : 0 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Himpunan Bilangan bulat

A =…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … Garis bilangan bulat :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

bilangan bulat negatif bilangan bulat positif

Bilangan nol

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : Bilangan bulat genap…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …Bilangan yang habis dibagi dengan 2

Bilangan bulat ganjil …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1 b. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat : Penjumlahan dan Sifat-sifatnya 1. Sifat Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

2. Sifat Komutatif

a + b = b + a

Contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9 3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a

Contoh : 6 + 0 = 0 + 6 4. Unsur invers terhadap penjumlahan Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a

a + (-a) = (-a) + a

contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 5. Bersifat tertutup Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9∈ bilangan bulat

Pengurangan dan Sifat-sifatnya

1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b contoh: 8 – 5 = 8 + (-5) = 3 7 – (-4) = 7 + 4 = 11

2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku

3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a

4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga: a dan b∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat contoh : 7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat

Perkalian dan Sifat-sifatnya1. a x b = ab hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42

a x –b = -ab hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif Contoh : 3 x -4 = -12 -a x -b = ab hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif Contoh : -4 x -5 = 20 2. Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24 3. Sifat komutatifa x b = b x a Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 204. Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24 5 Unsur identitas untuk perkalian - hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol a x 0 = 0 - hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga a x 1 = 1 x a = a

6. Bersifat tertutup Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

Pembagian dan Sifat-sifatnya

1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif (+) : (+) = (+)Contoh : 8 : 2 = 4 2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif(-) : (-) = (+)Contoh : -10 : -5 = 2 3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif(+) : (-) = (-)(-) : (+) = (-)Contoh : 6 : -2 = -3 -12 : 3 = -4 4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisia : 0 tidak terdefinisi (~)0 : a 0 (nol) Contoh : 05 = ~ (Tidak terdefinisi) 5.Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatifa : b≠ b : a(a:b):c≠a : (b:c)

6.Bersifat tidak tertutupJika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga

contoh : 6 : 2 = 3 bilangan bulat 7 : 2 = 3

#BILANGAN ASLI

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).Contoh :{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

#BILANGAN CACAHBilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.Contoh :{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

#BILANGAN NEGATIFBilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.Contoh :{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

#BILANGAN PRIMABilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.Contoh :{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

#BILANGAN KOMPOSITBilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.Contoh :{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

#BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.Contoh :

{3 + 2i}

#BILANGAN IMAJINERBilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :    x2 + 1 = 0atau secara ekuivalen    x2 = -1atau juga sering dituliskan sebagai   x = √-1

#BILANGAN REALBilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

#BILANGAN IRRASIONALBilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.Contoh :π         =          3,141592653358…….. √2        =          1,4142135623……..e          =          2,71828281284590…….

#BILANGAN RASIONALBilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.Contoh :{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

#BILANGAN PECAHANBilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.a disebut pembilang dan b disebut penyebut.