BILANGAN

A. BILANGAN BULAT

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari

himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat

negatif. Himpunan bilangan bulat dapat dilihat pada gambar berikut:

Anggota himpunan bilangan bulat negatif adalah -1, -2, -3, -4, -5, ...

Anggota himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli adalah 1, 2, 3,4, 5,..

Anggota himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Setiap anggota himpunan bilangan bulat positif mempunyai lawan di

himpunan bilangan bulat negatif. Lawan yang di maksud tersebut adalah dua

bilangan yang jarak terhadap nol adalah sama. Jumlah dari setiap pasangan

bilangan yang berlawanan tersebut adalah nol. Bilangan-bilangan yang saling

berlawanan tersebut antara lain : 1 dengan -1, 2, dengan -2, 3 dengan -3, dan

seterusnya.

1. Operasi bilangan bulat

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Mia mempunya 3 boneka di rumahnya. Saat ulang tahun, Mia

mendapatkan hadiah dari teman-temannya 4 boneka lagi. Berapakah

boneka yang dimiliki Mia sekarang?

Secara matematis soal tersebut dapat dinyatakan dengan 3 + 4 = ...

Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk

memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.

Karena Mia memiliki 3 boneka, maka dari titik asal (0) bergerak 3

satuan ke kanan. Kemudian, karena mendapatkan 4 boneka lagi, berarti

terus bergerak ke kanan 4 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 7

Jadi, boneka yang dimiliki Mia sekarang adalah 7 boneka.

Selisih antara dua bilangan bulat sama dengan jarak kedua bilangan tersebut

pada garis bilangan. Misalnya :

(1) selisih antara 1 dengan 4 adalah 3 satuan,

(2) selisih antara -2 dengan 3 adalah 5 satuan.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Selisih dari dua bilangan bulat adalah positif. Dari Gambar 1.6 kita bisa

melihat bahwa selisih dari dua bilangan bulat (berbeda) a dan b, dengan a

<b, adalah b – a.

Di sekolah dasar, kalian sudah mengenal operasi sederhana

beberapa bilangan bulat. Berikut diurakan kembali yang sudah kalian

pelajari di sekolah dasar dulu, diperdalam dengan pemahaman terhadap

berbagai kondisi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat.

Contoh:

1) Nia mempunyai 6 pasang sepatu di rumahnya. Nia memberikan 2

pasang sepatu kepada sepupunya. Berapakah pasang sepatu yang

dimiliki Nia sekarang?

Penyelesaian:

Secara matematis soal tersebut dapat dinyatakan dengan 6 – 2 = ...

Dalam garis bilangan dapat dituliskan sebagai berikut.

Awalnya Nia memiliki 6 pasang sepatu, maka bergerak dari titik nol

ke kanan 6 satuan. Karena dikurang 2, berarti panah berbalik arah ke

kiri 2 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 4.

2) Seorang penyelam amatir mula-mula berlatih menyelam di

kedalaman 2 meter di bawah permukaan laut. Setelah merasa lancar

menyelam di kedalaman 2 meter, kemudian ia turun lagi hingga

kedalaman 5 meter di bawah permukaan laut. Berapakah selisih

kedalaman pada dua kondisi tersebut?

Penyelesaian:

−5 mewakili posisi 5 meter di bawah permukaan laut. Sedangkan −2

mewakili posisi 2 meter di bawah air laut. Bilangan −2 lebih besar

dari pada −5 (mengapa?)

Bentuk soal tersebut bisa kita tulis (−2) − (−5) = ...

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut.

Diperoleh (−2) − (−5) = 3.

Jadi selisih kedalaman penyelam pada dua kondisi tersebut adalah 3

meter.

Hasil dari –2 – (–5) sama dengan hasil dari –2 + 5 yaitu 3.

Secara umum, jika a sebarang bilangan bulat, dan b sebarang

bilangan bulat positif, maka a – (–b) = a + b.

3) Tentukan hasil dari 100 – 275

Didapatkan 100 – 275 = –175

Untuk mengoperasikan (menjumlahkan atau mengurangkan)

bilangan-bilangan yang terdiri dari banyak angka tentunya tidak

efektif jika selalu menggunakan garis bilangan. Pada Contoh 1.5,

hasil dari 100 – 275 sama dengan lawan (negatif) dari 275 – 100.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Berikut ini lawan (negatif) dari 275 – 100

Dapat dilihat bahwa lawan (negatif) dari 275 – 100 adalah 175. Jadi

hasil dari 100 – 275 = –175

Untuk selanjutnya untuk menjumlahkan atau mengurangkan tidak

harus menggunakan garis bilangan. Kalian bisa menggunakan cara

yang kalian peroleh ketika masih di SD untuk menjumlahkan atau

mengurangkan bilangan bulat.

b. Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang

dikalikan.

Contoh :

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan

1) Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.

Contoh:

1)

2)

3)

2) Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.

Contoh:

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2) ( )

3) ( )

3) Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.

Contoh:

1) ( )

2)

3)

4) Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.

Contoh:

1) ( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ]

2) ( )

3) ( )

c. Pembagian bilangan bulat

1) Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian

Contoh

, karena atau

, karena atau

Sifat-sifat pembagian bilangan bulat

Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif

Contoh

1)

2)

2) Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif

Contoh:

1) ( )

2) ( )

3) Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif

Contoh:

1)

2)

4) Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya

positif.

Contoh:

1) ( )

2) ( )

Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

1) Sifat komutatif

Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian.

berlaku untuk semua bilangan bulat

Contoh:

1)

2)

3)

4)

2) Sifat asosiatif

Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian.

( ) ( ) dan ( ) ( ) berlaku

untuk semua bilangan bulat

Contoh:

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( )

3) Sifat distributif (penyebaran)

( ) ( ) ( ) yang berlaku untuk

semuabilangan bulat.

Contoh:

1) ( ) ( ) ( )

2) ( ) ( ) ( )

4) Operasi Campuran

Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai berikut.

a) Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

b) Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih

dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

c) Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui

terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

d) Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada

penjumlahan atau pengurangan.

Contoh

1. a.

b.

c. ( )

2. a.

b. ( )

c.

B. BILANGAN PECAHAN

Pecahan adalah Bilangan yang berbentuk

dengan a, b bilangan bulat

dan b 0, a disebut Pembilang dan b disebut Penyebut. Pada pecahan

angka

1 disebut Pembilang dan angka 4 disebut penyebut. perhatikan ilustrasi berikut:

1. Macam – macam Pecahan

a. Pecahan Senilai

Pecahan-pecahan yang senilai disebut pecahan ekuivalen atau sama.

Yaitu, pecahan yang menyatakan nilai yang sama. perhatikan ilustrasi

berikut:

b. Pecahan Tak sejati

Pecahan Tak sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari

penyebut. yang termasuk bilangan pecahan tidak sejati adalah

dan

c. Pecahan Campuran

Pecahan campuran yang dimaksud adalah campuran antara bilangan

bulat dengan bilangan pecahan. Yang termasuk pecahan campuran adalah

,

,...dst

2. Membandingkan dan mengurutkan pecahan

Untuk membandingkan pecahan berpenyebut sama kita hanya perlu

memlihat pembilangnnya saja.

Contoh :

a.

b.

Jawab :

Karena kedua penyebut sama maka kita bandingkan pembilangnya

saja.

a.

b.

Untuk membandingkan pecahan yang penyebutnya tidak sama,

caranya kita menyamakan penyebutnya terlebih dahulu kemudian

dibandingkan pembilangnya.

Contoh :

Bandingkan kedua pecahan berikut:

a.

b.

Jawab:

a. Kita samakan penyebutnya

,

Jadi

b. Kita samakan penyebutnya. KPK dari 5 dan 3 adalah 15

Jadi,

Setelah kita mengetahui pecahan yang lebih kecil dan lebih besar

maka kita juga dapat mengurutkan pecahan dari kecil kebesar atau

sebaliknya dengan menggunakan cara yang sama seperti diatas.

3. Operasi Hitung pada Pecahan

a. Penjumlahan Bilangan Pecahan

pecahan – pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan

dengan cara menjumlahkan pembilang dengan pembilang, sedangkan

penyebutnya tidak dijumlahkan (tetap).

Jika pecahan – pecahan yang dijumlahkan penyebutnya berbeda,

terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan cara mencari KPK dan

penyebut – penyebut pecahan itu.

Contoh :

1)

2)

Jawab :

1)

2)

3)

b. Pengurangan Bilangan Pecahan

Pengurangan Pecahan yang penyebutnya sama dapat dikurangkan

dengan cara mengurangkan pembilang disebelah kirinya dengan

pembilang disebelah kanannya, sedangkan penyebutnya tidak

dikurangkan.

Seperti pada penjumlahan Jika pecahan – pecahan yang

dikurangkan penyebutnya berbeda, terlebih dahulu samakan

penyebutnya dengan cara mencari KPK dan penyebut – penyebut

pecahan itu.

Contoh :

1)

2)

Jawab :

1)

2)

3)

c. Perkalian Bilangan Pecahan

Perkalian dua pecahan dapat dilakukan dengan mengalikan

pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Contoh :

1)

2)

Jawab :

1)

2)

Sifat – sifat operasi perkalian pada pecahan :

1) Untuk Setiap dan pecahan, berlaku (sifat

Komutatif).

2) Untuk dan pecahan, berlaku ( ) ( ) (sifat

asosiatif).

3) Untuk dan pecahan, berlaku ( ) ( ) (

) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan).

4) Untuk setiap bilangan pecahan a, berlaku .

(unsur identitas) bilangan 1 disebut unsur identitas perkalian.

d. Pembagian Bilangan Pecahan

Membagi pecahan yang sama artinya mengalikan dengan

kebalikan dari pecahan pembagi atau ( ) hal ini dapat ditulis :

dengan

untuk sembarang pecahan

dan

dengan b dan d berlaku

Contoh :

e. Perpangkatan Pada Pecahan

Untuk sembarang bilangan bulat a dan b dengan b dan

bilangan positf m berlaku sebagai berikut :

(

)

(

)

m faktor

disebut bilangan pokok (basis) dan m disebut pangkat (eksponen)

Contoh :

(

)

Untuk sembarang bilangan Bulat a dan b dengan b

C. BILANGAN RASIONAL

Pada pelajaran fisika pokok bahasan pengukuran di laboratorium, guru

memberikan tugas kepada 6 orang siswa untuk mengukur berat tepung yang

telah tersedia pada masing-masing meja siswa. Hasil pengukuran keenam

orang siswa itu adalah: 0,2 gram, 2 gram, 0,55 gram, 10 gram, 2,4 gram, dan

0,007 gram. Kemudian guru menyuruh salah seorang siswa menuliskan hasil

pengukuran keenam siswa tersebut ke dalam satu lembar kertas.

1. Jika aturan pencatatan adalah hasil pengukuran yang diperoleh siswa

dikurangi dengan 1 gram, bantulah siswa tersebut menuliskan hasil

pengukuran keenam siswa tersebut!

2. Tuliskanlah hasil pengukuran berat tepung tersebut dalam bentuk pecahan.

Penyelesaian :

Hasil pengukuran berat tepung sebelum masing-masing ukuran dikurang

1 gram adalah sebagai berikut.

a. Hasil pengukuran Siswa 1 adalah 0,2 gram.

b. Hasil pengukuran Siswa 2 adalah 2 gram.

c. Hasil pengukuran Siswa 3 adalah 0,55 gram.

d. Hasil pengukuran Siswa 4 adalah 10 gram.

e. Hasil pengukuran Siswa 5 adalah 2,4 gram.

f. Hasil pengukuran Siswa 6 adalah 0,007 gram.

Hasil pengukuran berat tepung setelah masing-masing ukuran dikurang 1

gram sebagai berikut.

a. Siswa 1 = –0,8 gram.

b. Siswa 2 = 21 gram.

c. Siswa 3 = –0,45 gram.

d. Siswa 4 = 9 gram.

e. Siswa 5 = 1,4 gram.

f. Siswa 6 = –0,997 gram.

Penulisan hasil pengukuran berat tepung tersebut ke dalam bentuk

pecahan biasa.

a. Siswa 1 =

gram.

b. Siswa 2 =

gram.

c. Siswa 3 =

gram.

d. Siswa 4 =

gram.

e. Siswa 5 =

gram.

f. Siswa 6 =

gram.

Apakah kalian mampu menuliskan hasil-hasil pengukuran keenam siswa

tersebut dengan bilangan-bilangan selain yang telah tertulis di atas? Silahkah

mencoba!

a. Siswa 1 =

=

b. Siswa 2 =

=

c. Siswa 3 =

=

d. Siswa 4 =

=

e. Siswa 5 =

=

f. Siswa 6 =

Jadi, Seluruh bilangan-bilangan yang tertulis pada alternatif pemecahan

masalah di atas merupakan bilangan rasional.

Contoh :

1. Diberikan 2 buah bilangan rasional yaitu

dan

. Apakah kedua

bilangan itu sama? Buktikanlah!

Akan dibuktikan

=

Bukti:

Ingat kembali bahwa jika suatu bilangan dikali dengan 1 maka hasil

perkaliannya adalah bilangan itu sendiri. Dapatkah kamu memberi contoh?

Silahkan mencoba.

Jika 1 dikali dengan bilangan rasional

maka hasil perkaliannya adalah

(ingat bahwa

= 1)

2. Perhatikan penjumlahan bilangan rasional berikut!

“ ... “ bermakna menjumlahkan terus dengan pola tertentu hingga tak

hingga kali. Dapatkah kalian menaksir hasil penjumlahan dari bilangan-

bilangan tersebut?

Penyelesaian :

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎

𝑏,

a, dan b bilangan bulat dan b ≠ 0

Pertama, kita misalkan jumlah bilangan pecahan tersebut adalah ,

kemudian kita tentukan pola penjumlahannya sebagai berikut:

Dengan memakai sifat distributif perkalian pada pecahan terhadap

operasipenjumlahan maka diperoleh :

(

)

Perhatikan bahwa pola pertama berulang kembali

(

)

⏟

(tambahkan

di kedua ruas)

Maka diperoleh:

A. POLA BILANGAN

Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:

1.

2.

3.

Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan

bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang dipunyai?

Mari lihat pembahasan penyelesaian dari contoh diatas:

1. Pola pertama mempunyai aturan:

Bilangan ke 2 =

Bilangan ke 3 =

Jadi bilangan ke 4

2. Pola ke-dua mempunyai aturan:

Bilangan ke 1 = ( )

Bilangan ke 2 = ( )

Bilangan ke 3 = ( )

Jadi bilangan ke 4 ( )

3. Pola ke-3 mempunyai aturan:

Bilangan ke 3 =

Bilangan ke 4 =

Bilangan ke 5 =

Jadi bilangan ke 6 =

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan

pada deretan itu.

Pola dapat diartikan sebagai sebuah susunan yang mempunyai bentuk

teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. Sedangkan bilangan adalah

sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan

ukuran (berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek. Bilangan ditunjukkan

dengan suatu tanda atau lambang yang disebut angka.Sehingga pola bilangan

dapat diartikan sebagai susunan angka-angka yang mempunyai bentuk teratur

dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya.

1. MACAM-MACAM POLA BILANGAN

a. Pola Garis Lurus

Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan

pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan

dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya:

` Mewakili 2

Mewakili 3

Mewakili 4

Mewakili 5

b. Pola Persegi panjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola

persegi panjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola

ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegi panjang. Pola

bilangan persegi panjang adalah

Gambar pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut:

c. Pola Persegi

Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki

ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan

yang mengikuti pola persegi. Pola bilangan persegi adalah

Pada pola ini, semua noktah digambarkan dengan jumlah

yang sama.

Gambar pola bilangan persegi adalah sebagai berikut:

d. Pola Segitiga

Selain mengikuti pola persegi panjang dan persegi, bilangan pun

dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk

lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola

segitiga berikut ini. Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat

dituliskan sebagai berikut :

Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga.

Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai

berikut:

e. Pola Bilangan Ganjil

Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.

a. Bilangan 1 sebagai bilangan awal.

b. Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

Bilangan ganjil memiliki pola

Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.

f. Pola Bilangan Genap

Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut.

a. Bilangan 2 sebagai bilangan awal.

b. Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

Bilangan ganjil memiliki pola

Perhatikan pola bilangan genap berikut ini.

g. Pola Bilangan Kubus

Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik. Pola bilangan kubus

adalah pola bilangan dimana bilangan setelahnya merupakan hasil dari

pangkat tiga dari bilangan sebelumnya. Contoh pola bilangan pangkat

tiga adalah 2, 8, 512, ….

Perhatikan pola kubus berikut ini:

h. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga

Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang

berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain

itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang.

Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah

sebagai berikut:

a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.

b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir

selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.

c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian,

simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.

d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang

diminta.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

i. Pola Bilangan Fibonacci

Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah

bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan

sebelumnya.Pola bilangan Fibonacci adalah

2. MEMAHAMI POLA BILANGAN

a. Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola bilangan persegi panjang adalah Untuk

melihat banyaknya pola susunan ke- ( ) mari amati ilustrasi berikut:

Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3

Dengan memperhatikan pola diatas, dapat disimpulkan bahwa

pola ke- ( ) adalah:

Pola di atas disebut pola persegi panjang, dengan pola ke-

( ) atau ( ).

b. Pola Bilangan Persegi

Pola bilangan persegi adalah Untuk melihat

banyaknya pola susunan ke- ( ) mari amati ilustrasi berikut:

Pola ke-1 Pola ke- 2 Pola ke-3

Dengan memperhatikan pola diatas, dapat disimpulkan bahwa pola ke-

( ) adalah:

Pola diatas dinamakan pola persegi, dengan polake- yaitu:

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan pola bilangan persegi hingga pola ke- !

Penyelesaian:

Sebelum menentukan pola bilangan persegi hingga pola ke- , kita

akan melihat empat pola awal dari penjumlahan pola bilangan persegi

bermakna sebagai jumlah hingga pola ke- , dengan adalah suatu bilangan

bulat positif. Pola bilangan persegi di atas juga dapat digambarkan sebagai

berikut:

Selisih dari pola bilanga pertama sampai pola ke-lima adalah dan .

Pola akan digambar dengan noktah, karena selisih pertama dari

jumlah ( ) dan ( ) adalah . Pola ini juga akan digambarkan dengan

warna yang berbeda dengan tujuan untuk menarik perhatian siswa, yang

dalam hal ini adalah siswa SMP.

1. Jumlah pola bilangan persegi pertama ( ) yaitu:

merupakan jumlah pertama dari pola persegi.

Angka tersebut diperoleh dari dua gambar

noktah dengan warna yang berbeda yaitu

hijau dan merah yang berjumlah

ditambahkan dengan gambar noktah

berwarna kuning yang berjumlah .

Sehingga akan diperoleh:

merupakan

( ) ( )

(

) ( )

dengan pola

segitiga.

2. Jumlah pola bilangan persegi kedua ( ) yaitu:

dimana merupakan jumlah kedua dari pola.

Angka tersebut diperoleh dari gambar

noktah dengan warna berbeda yaitu

hijau dan merah yang berjumlah

ditambahkan dengan gambar noktah

berwarna kuning yang berjumlah .

Sehingga diperoleh:

merupakan

( ) ( ) dari

( ) ( ) tanpa dipangkatkan.

(

) ( )

dengan pola

segitiga.

3. Jumlah pola bilangan persegi ketiga ( ) yaitu:

merupakan jumlah ketiga dari pola persegi.

Angka tersebut diperoleh

dari gambar noktah dengan warna

yang berbeda yaitu warna hijau dan

warna merah yang masing-masing

berjumlah ditambahkan dengan

gambar noktah berwarna kuning yang

berjumlah .

Sehingga diperoleh:

ekuivalen

( ) ( )

( ) ( )

dalam pola

(

) ( ) segitiga.

4. Jumlah pola bilangan persegi keempat ( ) yaitu:

merupakan jumlah keempat dari pola persegi.

Angka tersebut diperoleh dari gambar noktah dengan

warna yang berbeda yaitu warna hijau dan warna merah

yang masing-masing berjumlah ditambahkan dengan

gambar noktah berwarna kuning yang berjumlah .

merupakan jumlah dari pola bilangan persegi tanpa

dipangkatkan. Dari menjadi

Sehingga diperoleh:

ekuivalen

( ) ( )

( ) ( )

(

) ( )

merupakan

pola segitiga.

Mari amati ke-empat pola yang sudah ditemukan:

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

Dari empat pola diatas, kita bisa menggeneralisasi sebagai berikut:

(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Jadi dapat disimpulkan bahwa:

( ) ( )

Jadi untuk menentukan jumlah suku ke pada pola persegi adalah:

( ) ( )

c. Pola Bilangan Segitiga

Pola bilangan segitiga adalah

Amati pola berikut ini:

Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Pola ke-4

Jika susunan bola dibawah garis dengan pola ke- , dengan adalah

suatu bilangan bulat positif, tentukan :

Banyaknya bola dibawah garis pada pola ke- ( )

Banyaknya bola dibawah garis pada pola ke-10 ( )

Banyaknya bola dibawah garis pada pola ke-1.000 ( )

Untuk melihat banyaknya pola susunan ke- ( ) mari amati

ilustrasi berikut !

Perhatikan banyaknya lingkaran yang dibawah garis adalah setengah

bagian dari bola yang disusun menjadi persegi panjang.

Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3

Dengan memperhatikan pola susunan diatas, dapat disimpulkan bahwa

pola ke- ( ) adalah:

Pola ke- yaitu:

( )

( )

Dengan menggunakan rumus pola yang sudah ditemukan, maka kita

dapat menentukan jawaban dari pertanyaan diatas, yaitu:

Pola ke-10 ( )

( )

Pola ke-1.000 ( )

( )

Rumus mencari jumlah suku pada bilangan genap adalah

( )( )

d. Pola Bilangan ganjil

Bilangan ganjil memiliki pola

Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3

Dengan memperhatikan pola susunan diatas diketahui:

Pola ke-1

Pola ke-2

Pola ke-3

Jadi, dapat disimpulkan bahwa Pola ke- yaitu:

.

Dengan mengingat kembali pola bilangan persegi diatas, dapat

disimpulkan bahwa jumlah suku ( ) untuk pola bilangan ganjil adalah

sebagai berikut:

Dan seterusnya.

Sehingga, jika digambarkan dengan pola, akan terlihat seperti berikut ini:

Jadi, rumus mencari jumlah suku pada pola bilangan ganjil adalah

.

e. Pola Bilangan genap

Pola bilangan genap adalah

Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Pola ke-4

Dengan memperhatikan pola susunan diatas diketahui:

Pola ke-1

Pola ke-2

Pola ke-3

Pola ke-4

Jadi, dapat disimpulkan bahwa Pola ke- yaitu: .

f. Pola Bilangan Kubus

Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah

Bilangan ke-1

Bilangan ke-2

Bilangan ke-3= = 512

Pola bilangan ini sering disebut pola pangkat tiga.

Rumus mencari baris ke adalah

g. Pola Bilangan Segitiga Paskal

diperoleh dari

diperoleh dari

diperoleh dari

diperoleh dari

diperoleh dari

Jadi, dapat disimpulkan bahwa rumus mencari jumlah suku ke adalah

.

h. Pola Bilangan Fibonacci

Pola bilangan fibonacci adalah

Rumus mencari suku ke- pada bilangan fibonancci adalah:

penjumlahan dua bilangan didepannya.