MODEL PERSEDIAAN

PAGE

BAB II

LINEAR PROGRAMMING

2.1. Pendahuluan

Linear Programming (LP) adalah salah satu pendekatan matematik yang paling sering dipergunakan dan diterapkan manajerial dalam pengambilan keputusan. Tujuan penggunaan LP adalah untuk menyusun suatu model yang dapat dipergunakan untuk membantu pengambilan keputusan dalam menentukan alokasi yang optimal dari sumber daya perusahan ke berbagai alternatif.

Sumber daya yang dipakai oleh suatu perusahaan mempunyai nilai ekonomis dan dapat menghasilkan laba disamping biayanya, penggunaan LP dalam hal ini adalah mengalokasikan sumber daya tersebut sedemikian rupa sehingga laba akan maksimum, atau alternatif biaya minimum. Dengan demikian, alokasi yang dibuat tergantung dari kendala tersedianya sumber daya. Sedang tujuan dari alokasi ini adalah untuk memaksimumkan laba perusahaan atau meminimalkan biayanya.

2.2. Arti Linear Programming

Linear Programming (LP) terdiri dari kata linear dan programming. Linear berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linear. Sedangkan Programming berarti perencanaan. Dengan demikian Linear Programming berarti perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik (menurut model matematis) diantara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linear.

Karena pentingnya, pembahasan linear programming akan dibagi dalam beberapa bagian. Pada bagian 1 akan diuraikan bentuk umum linear programming, yang meliputi bentuk model, fungsi tujuan dan fungsi batasan. Bagian 2 menjelaskan asumsi-asumsi dasar linear progranmming. Bagian 3 merupakan prosedur penyelesaian linear programming dengan metode simplek. Bagian 4 membicarakan teori dualistis dan analisa sensitivitas dalam linear programming.

2.3. Model Linear Programming

Model Linear Programming (Model LP) merupakan model matematis untuk perumusan masalah pengalokasian sumber daya untuk berbagai kegiatan. Dengan kata lain, model LP merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik LP.

Dalam model LP ini dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint functions).

Fungsi tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran didalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.

Fungsi batasan (constraint function) merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Untuk memudahkan pembahasan model LP ini, digunakan simbol-simbol sebagai berikut:

m = macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n = macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut

i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i = 1, 2, ......, m)

j = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (j = 1, 2, ......, n)

Xj = tingkat kegiatan ke-j (j = 1, 2, ......., n)

aij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit output kegiatan j (i = 1, 2, .......,m, dan j = 1, 2, ....., n)

bi = banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i =1, 2, .....,m)

Z = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)

Cj = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (Xj) dengan satu satuan (unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z.

Keseluruhan simbol-simbol diatas selanjutnya disusun ke dalam bentuk tabel standar LP seperti tampak pada Tabel 2.1. Tabel 2.1. Data Untuk Model Linear Programming

Kegiatan

SumberPemakaian sumber per unit kegiatan (keluaran)

1 2 3 ............. nKapasitas sumber

1

2

3

.

.

m a11 a12 a13 .............. a1n a21 a22 a23............... a2n a31 a32 a33............... a3n

. . . .............. .

. . . .............. .

am1 am2 am3 .............. anmb1b2b3.

.

bm

(Z pertambahan

tiap unit

Tingkat kegiatan C1 C2 C3 .............. Cn X1 X2 X3 .............. Xn

Atas dasar tabel diatas kemudian dapat disusun suatu model matematis yang digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + .......... + CnXnBatasan-batasan:

1. a11X1 + a12X2 + a13X3 + ........... + a1nXn ( b1

2. a21X1 + a22X2 + a23X3 + ........... + a2nXn ( b2 m. am1X1+ am2X2 + am3X3 + .......... + amnXn( bmdan

X1 ( 0, X2 ( 0, ........... Xn ( 0Seperti telah diuraikan dimuka, fungsi tujuan dalam LP menggambarkan tujuan yang ingin dicapai dalam pemecahan suatu masalah LP. Batasan pertama mempunyai arti bahwa jumlah barang/jasa 1 yang dihasilkan oleh kegiatan 1 dikalikan dengan kebutuhan akan sumber 1/satuan (berarti total alokasi 1 untuk kegiatan 1) ditambah dengan hasil kegiatan 2 dikalikan dengan kebutuhan tiap satuan keluaran 2 terhadap sumber 1 (dan seterusnya sampai dengan kegiatan ke-n) tidak akan melebihi jumlah (kapasitas) tersedianya sumber 1 (yang dinyatakan dengan b1). Hal ini berlaku pula untuk batasan-batasan lainnya sampai ke-m.

Terminologi umum untuk model LP yang diuraikan diatas dapat diringkas sebagai berikut:

1. Fungsi yang akan dimaksimumkan: C1X1 + C2X2 + C3X3 + ..... + CnXn disebut fungsi tujuan

2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu:

a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m (yaitu ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + .......... + aimXn)

b. Fungsi batasan non-negatif (non-negative constraints), yaitu fungsi-fungsi batasan yang dinyatakan dengan Xi ( 0.

3. Variabel-variabel Xj disebut sebagai decision variables4. aij, bi dan Cj, yaitu masukan-masukan (input) konstan; disebut sebagai parameter model.

Tentu saja, dalam praktek, tidak semua masalah LP dapat persis mengikuti model diatas. Masalah tersebut antara lain adalah:

1. Masalah minimisasi, dimana seseorang dituntut untuk menentukan kombinasi (output) yang dapat minimumkan pengorbanan (misal: biaya). Dalam hal ini, fungsi tujuan dinyatakan sebagai berikut:

Meminimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + .......... + CnXn.

2. Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis (; sehingga apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut:

ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + ........... + ainXn ( bI

3. Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis =; sehingga bila dirumuskan sebagai berikut:

ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + ........... + ainXn = bI

4. Masalah tertentu, dimana fungsi batasan non-negatif tidak diperlukan; atau dengan kata lain Xj tidak terbatas.

Penyimpangan-penyimpangan dari bentuk standar ini akan dibahas

lebih terperinci dibelakang.

2.4. Asumsi-Asumsi Dasar Linear ProgrammingWalaupun telah disinggung pada model yang telah dibahas diatas, akan tetapi agar penggunaan teknik LP dapat lebih mudah dipahami, berikut ini akan diperinci asumsi-asumsi dasar LP sebagai berikut:

a. Proportionality

Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proporsional) dengan perubahan tingkat kegiatan.

Misal: a. Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + .......... + CnXn Setiap penambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z dengan C1.

Setiap pertambahan 1 unit X2 akan menaikkan nilai Z dengan

C2, dan seterusnya

b. a11X1 + a12X2 + a13X3 + .......... + a1nXn ( b1 Setiap penambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a11. Setiap pertambahan 1 unit X2 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a12, dan seterusnya. Dengan kata lain setiap ada kenaikan kapasitas riil tidak perlu ada biaya persiapan (set up costs).b. AddivityAsumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.

Misal: Z = 3X1 + 5X2dimana X1 = 10; X2 = 2;

sehingga Z = 30 + 10 = 40

Andaikata X1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z menjadi 40 + 3 = 43. Jadi, nilai 3 karena kenaikan X1 dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2(X2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X1 dan X2.c. DivisibilityAsumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan. Misal: X1 = 6,5; Z = 1.000,75d. Deterministic (Certainty)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi, Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.

2.5. Contoh Persoalan Linear Programming

Untuk memahami tentang persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan dengan linear programming, berikut ini akan diberikan sebuah contoh yang sederhana:Perusahaan sepatu IDEAL membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merek A dengan sol dari karet, dan macam kedua merek B dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu, perusahaan memiliki tiga macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan asembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek A mula-mula dikerjakan mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedangkan untuk sepatu merek B tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam, kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 =15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek A = Rp. 30.000, sedangkan untuk setiap lusin merek B = Rp. 50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek A dan merek B yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Data diatas dapat disusun kedalam tabel seperti terlihat pada tabel 2 berikut ini:

Tabel 2.2. Data Perusahaan Sepatu IDEAL Merek

MesinJenis ProduksiKapasitas

Maksimum

A B

1

2

32 0

0 3

6 5 8

15

30

Sumbangan Terhadap

Laba (Rp. 10.000) 3 5

Untuk membuat formulasi masalah diatas, maka pertama-tama tentukan simbol-simbol yang akan digunakan:

X1 = jumlah sepatu merek A yang akan dibuat setiap hari

X2 = jumlah sepatu merek B yang akan dibuat setiap hari

Z = Jumlah sumbangan seluruh sepatu merek A dan merek B

yang akan diperoleh

Tujuan perusahaan adalah akan memaksimumkan laba yang akan diperoleh. Sumbangan tiap lusin sepatu merek A = Rp. 30.000, sedang merek B = Rp. 50.000. Oleh karena itu, dapat diformulasikan fungsi tujuannya (dalam Rp. 10.000) sebagai berikut:

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2Dengan adanya batasan-batasan kapasitas mesin 1, mesin 2, dan mesin 3 (maksimum 8 jam, 15 jam, dan 30 jam setiap hari), maka kita dapat membuat formulasi batasan-batasan itu sebagai berikut:

1). 2X1 ( 8

2). 3X2 ( 15

3). 6X1 + 5X2 ( 30

Batasan (1): merupakan batasan mesin 1, yang berarti 2 jam kali

jumlah sepatu merek A yang dibuat (2X1) tidak dapat lebih

dari 8 jam.

Batasan (2): merupakan batasan mesin 2, yang berarti 3 jam kali jumlah sepatu merek B yang dibuat (3X2) tidak dapat lebih dari 15 jam.

Batasan (3): merupakan batasan mesin 3, yang berarti 6 jam kali jumlah sepatu merek A yang dibuat (6X1) ditambah 5 jam kali jumklah sepatu merek B (5X2) tidak dapat lebih dari 30 jam.

Selain dari pada itu, perlu pula diperhatikan batasan-batasan non-negatif, yaitu X1 ( 0 dan X2 ( 0. Artinya kombinasi X1 dan X2 nanti hanya akan terletak pada kuadran pertama, yaitu kuadran yang memuat nilai-nilai positif bagi X1 dan X2.