Sebagai vektor-vektor basis adalah :1 = [1, 0 , 0] pada sumbu XJ = [0, 1 , 0] pada sumbu YK = [0, 0 , 1] pada sumbu Z{ ..,] ,k } bebas tinier dan kalau dipilih sebagai basis dari R3 , disebut basis natural(basis alam).

z.

Di sini kita hanya memandang sistim koordinat siku-siku (Cartesian), yaitu sistimkoordinat dengan sumbu-sumbu X,Y, dan Z yang saling tegak lurus, dan melalui sebuahtitik, yang kita sebut titik awal (origin).

1.1. KOORDINAT SIKU-SIKU DI f13

VEKTOR DI f13 DAN ILMU UKURANALITIK RUANG

2

x

J

,,,,

'.,,:=[V,y,z]k Y

...z

Sudut-sudut arah dari suatu vektor v = [X , y, z] yaitu Ct , ~ ,y adalah sudut antara vdengan i ,J dan k.Sedangkan cos ex, cos-Si dan cos y disebut cosinus-cosinus arah dari v.

1.3. SUDUT ARAH, COS/NUS ARAH, B/LANGAN ARAH

(3). Jarak antara 2 titik (jarak antara titik-ujung ujung vektor radius)P(xI ' YI ' ZI) dan Q(x2 ' Y2 ' Z2)

PQ = d(OP , OQ) = ,J (x2 - X,)2 + (Y2 - YY + (Z2 - zl)2

a.b XI x2 + YI Y2 + ZI Z2cos e =--

lallbl ,Jx7 + Y7 + z7· ,Jx7 + Y7 + z;

Syarat a tegak lurus b adalah it . b = 0 atau XI X2 + YI Y2 + ZI Z2 = 0

(2). Sudut antara 2 vektor :

Panjang vektor lal = ,J a . a =,J X7 + Y7 + z7

Dari pembicaraan kita yang umum di bab 1, kita tulis lagi beberapa hasil pembicaraantersebut untuk R3. :(1) Dot produk, dari a = [Xl' YI ' ZI] dan 1) = [x, ' yz ' Z2] :

all = Xl X2 + YI Y2 + ZI Z2 ' atau : s.s = I a I Ib I cos e dimana: I a_I danI b I adalah panjang vektor a dan b, sedangkan e adalah sudut antara a dan b.

1.2. RANGKUMAN

Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan tripel bilangan riil (x , y , z) dan disebut"koordinat" titik tersebut. Sedangkan setiap vektor E R3 dinyatakan sebagai kombinasilinier dari I,J , dan k.Misalnya a = [3 , 2 , 2] berarti a = 311 , Q ' 0]_+ 2[0 , 1 , 0] + 2[0 , 0 , 1]

= 3i + 2j + 2k.

3

Dapat kita catat babwa garis tersebut II sumbu Y (vektor arahnya = }).

1cos 13 = = 1 dan cos y =O.

..JO+l+O

~Sedangkan garis melalui (2 , 1 , 3) dan (2 , 2 , 3) akan membawa vektor PQ =[2-2 , 2-1 , 3-3] = [0 , 1 , 0] , Jadi cos a = O.

2 2 2 -2 2cos a = --= = --; cos 13 = =-

la I --.14+4+1 3 la I 3

1 1cos Y= = Dapat diperiksa cos' a + cos- 13 + cos y = 1.

I a I 3

Jawab : Cosinus-cosinus arab dari a = [2 , -2 , 1] ialab :

Contoh (1.1). Carilab cosinus-cosinus arab dari a = [2, -2. 1] dan cosinus-cosinus arabsebuab garis yang melalui titik P(2 , 1 , 3) dan 0(2 , 2 , 3 ).

Kita dapat teruskan pembicaraan tentang sudut-sudut arab dan cosinus-cosinus arabsebuab vektor dengan sudut arab dan cosinus arab sebuab garis lurus. Di sini sudut­sudut arab dan cosinus-cosinus arab sebuab garis lurus adalab sarna dengan sudut­sudut arab dan cosinus-cosinus arab vektor yang dibawanya (vektor arahnya).

CATATAN (1)

Maka vektor [cos a , cos 13 , cos y] adalab vektor satuan searab v

V .j ykarena"] 1]1cos 13 = = = [0, 1, 0] dan := 1

I V I Ij I Iv I-

v.k zcos y = = karena k = [0, 0 , 1] dan , k-I = 1

Iv I I k I Iv I

x2 y2 Z2 Iv 12cos' a + cos213 + cos' y = --+ +--=--=1.

I V f2 Iv 12 I V f2 Iv 12

Je!",: bahwa COS a = =---, karena1= [1 ,0.0] ciardi! = 1I vi 111 I v I

-X

- ...V.l

4

P(x1 ' YI ' z.) , Q(x2 ' Y2 ' Z2) dan titik R(xR ' YR ' ZR) pada garis lurus melalui P dan~ ~ ~

Q , membagi IPQIatas perbandingan IPRI : IPQI= ).,

1.4. KOORDINAT TITIK YANG MEMBAGI SEGMEN GARISATAS PERBANDINGAN TERTENTU

CONTOH (1.2). Car!!F bilangan arab garis yang melalui titik P(3 , 2 , 1) dan Q(1 ,2 , 3). Garis, PQ = [1-3 , 2-2, 3-1] = [-2 , 0 , 2] sebagai vektor arabnya, jadibilangan-bilangan arabnya adalab -2,0 dan 2.

Zdan cos y = -- ; berarti x: y : Z = cos a : cos ~ : cos y ,

Ivimaka komponen-komponen vektor x , y , z mernpakan bilangan-bilangan arab garisIurus yang membawanya.

CATATAN (3). Kita lihat babwa cosinus-cosinus arah dari suatu vektor sebandingx y

dengan komponen-komponennya, cos a = x ~, cos ~ = --=-I v I I v I

1 a)., =

-Ja2 + b2 + c2jadi cos a =

±-Ja2 + b2 + c2,

±b c

cox ~ = dan cos y =± -Ja2 + b2 + c2 ±-Ja2 + b2 + c2

dan cos- a + cos- ~ + cos2 y = ).,2 (a2 + b2 + c2) = 1 berarti

cos ~ = b)"cos y = c).,

cacos a cos y

--- misalkan ; )., , jadi cos a = a).,=cos ~b=

atau a : b : c = cos a : cos ~ : cos y

Hubungan antara bilangan arab dan cosinus arab adalah sebagai berikut :

CATATAN (2)

Bilangan arah dari sebuab garis lurus adaIab bilangan-bilangan yang sebanding dengancosinus-cosinus arab garis lurus tersebut. Kita sebut bilangan-bilangan arab terse buta , b , c maim: cos a = cos ~ = cos y ,

-a- b c

5

Z

Produk vektor a X b (baca : "a cross b") menghasilkan sebuah vektor (sebutlah c) yangpanjang adalah perkalian panjang vektor Ia I serta I b I dan sinus sudut antara a dengan~ dikalikan dengan vektor daric yakniue' sedangkan arah daric adalah tegak lurusadanb menurut sistem tangan kanan :

1.5. CROSS PRODUCT (PRODUK VEKTOR)

CONTOH (7.3). Carilah koordinat titik R pada garis PQ, bila PR = 2RQdan P(1 , 2 , 0) , Q(3 , 1 , 2). Jadi A. = 2/3 , berarti :

xR = 1 + 2/3.(3-1) = 7/3 ;

P R Q xR = 2 + 2/3.(1-2) = 4/3 ;Z = 0 + 2/3. (2-0) = 4/3. Jadi R = (7/3, 4/3, 4/3).

X =R

Bila R terletak pada perpanjangan QP, maka A. negatip.Bila R titik tengah PQ, berarti A. = 1/2 ' diperoleh :

Jadi: XR = XI + A. (X2 - XI)

YR = Y I + A. (y2 - Y I)

~ = ZI + A. (z, - ZI)

--7 --7Jadi PR = A. PQ = A. [X2 - XI ' Y2- YI ' ~ - ZI]'

oR = oP + PR = [XI' YI ' ZI] + A. [x, -Xl' Y2 - YI ' Z2 - ZI].

6

CONTOH (1.6). Carilab vektor normal bidang datarx = [1 , 2 , 1] + A[1 , 1 , 3]+ J.l [2, 0 , 3]

Maka jelas bahwa D tegak lurus vektor-vektor [1 , 1 ,3] dan [2 , 0 , 3],dengan cross produk, Ii= [1 , 1 , 3] x [2 , 0 , 3] = [3 , 3 , -2].

CONTOH (1.5). Persarnaan 2x - 3y + z + 1 = 0 , adalab sebuab bidang rata denganbilangan-bilangan arab 2, -3 , 1 dan mempunyai normal n = [2 , -3 , 1].

Kita telah tabu bahwa persarnaan umum sebuah bidang rata V adalab: V == Ax + By+ Cz + D = 0 , atau secara simbolis V = o.Vektor n='[A , B , C] disebut vektor normal dari bidang dan bersifat tegak lurus padabidang tersebut. Sudut arab dari V sarna dengan sudut arab dari D, sedang cosinus arabdari V adalab cosinus arab dari n. Jadi bilangan-bilangan arab dari V adalab komponen­komponen dari n yaitu A , B , C.

1.6. B/DANG RATA

i j kb, b, b,al ~ ~

= --i j kal ~ ~,bl b, b,

CATATAN (5). Cross produk tidak komutatip : a x b ':f. b x a melainkanaxb=-bxa.Hal ini jelas karena determinan

axb=Tj k1132 0 3- - -

= 3i + 3j - 2k = 3[1 , 0 , 0] + 3[0, 1 , 0] -2[0, 0 , 1]= [3 , 3 , -2] ,

I a x b I = ~":""9"'-+---::-9-+-=-4 = -{22.Panjang

CONTOH (1.4). a = [1 , 1 , 3] , b = [2 , 0 , 3] maka :

= 1 I~ ~1-11~~I+kl~ ~I

-r- j k1axb = al ~ ~

bl b2 b3

CATATAN (4). Cross produk hasilnya adalab sebuab vektor. Untuk mengbituDI crossproduk a = [at ' ~ , ~] dangan b = [bl ' b, ' b3] kita pakai determinan :

a x b = { I a I I b I sin 9 } Uc

Dc = vektor satuan terarah Co( 0 s 9 ~ 1t ).

7

Jadi A.= , cos a = -;=========, cos ~ = -.=;::=~==;:± '\}N + B2+ C2 ± '\}A2+ B2+ C2 ±:'JN + B2+ C2

BA1

CATATAN (7). Pengubahan persamaan umum Ax + By + Cz + D = 0 ke bentuknormal adalah sebagai berikut :Hubungan antara bilangan arah A , B , C dan cosinus arah :cos a cox ~ cos y p= -- = -- = - - misalkan = A.ABC D

Jadi cos a = AI.. , cos ~ = BA., cos y = CA.dan p = - DA.Sedangkan cos' a + cos- ~ + cos' Y= 1..2(A2+ B2+ C2) = 1 ,

CATATAN (6). Bila bidang melalui 0(0 , 0 , 0) maka p = o.

Misalkan p jarak dari 0(0 , 0 , 0) ke bidang V, sedang a , ~ , yadalah sudut-sudutarah n (yang tegak lurus V)Kita ambil n= [cos a, cos ~ , cos y]yang panjangnya =,~ cos'n + COS2~+ cos2y= 1 , sebagai vektor normal satuan dari bidang V.

af = [x , y , z]. Proyeksi at pada ct> adalah I aT.at> I = I [x , y , z].[cos a , cos ~ , cos y] I = x cos a + y cos ~ + z cos y = p (hams positip)Persamaan : x cos a + y cos ~ + z cos Y = p , disebut persamaan normal HESSEdari bidang.

y

z

-n

1.7. PERSAMAAN NORMAL B/DANG RATA

8

CATATAN (8).Syarat sejajar: Kalau V, dan V2 sejajar berarti Ii, dan n2 adalah sarna (atau ber­kelipatan) , jadi V, / / V2 bila :

cos a = = atau a = arc cos ---...J 1 + 1 + 1 . -.J 4 + 1 + 4 3 "3" 3"3"

551.2+ 1.1+ 1.2

CONTOH (1.8). Sudut antara bidang x + y + z + 3 = 0 dan 2x + y + 2z + 11= 0adalah :

cos a = =

Sudut antara 0, dan n2 ;

Misalnya bidang-bidang VI == At x + B, y + CI z + DI = 0 danV2 == Az x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , rnaka normal-normalnyaii, = [A, ' B, ' C,] , ii2 = [A2 ' B2 ' C2] •

Sudut antara 2 bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.

1.8. SUDUT ANTARA DUA B/DANG RATA

Jadi diperoleh :

cos a = _(77,,14

2 1, cos p = -.JI4 ' cos y = -.JI4 .

3x 2y z 3{14 + -f14 + -f14 = fl4'

3

-D 3.P = = (kita pilih tanda + supaya p positip),

±-.J9+4+1 f14

CONTOH (1.7). Carilah persarnaan normal dari bidang 3x + 2y + z = 3.Maka untuk rnengubah ke bentuk normal x cos a + y cos p + z cos y = p.

Tanda ± dipilih salah satu sehingga p berharga positip.

-DC

9

y

z

Pandang sebuah bidang VI == x cos a. + y cos ~+ z cos y = p.Kita hendak menentukan jarak sebuah titik R(xI ' yI ' ZI) ke bidang VI tersebut, Kita buatmelalui R, bidang V2 / / VI·

1.9. JARAK DUA BIDANG RATA YANG SEJAJAR DANJARAK SUATU TITIK KE BIDANG RATA

Dari (1) dan (2) diperoleh C2= 0 dan A2 = - B2.Jadi V2 == A2x+ B2y+ Oz+ Q = 0 atau - B2x+ B2y= 0 dan kalau kita bagi denganB2 diperoleh V2 : -x + y = o.

CONTOH (1.10). Carilah bidang V2 yang .L bidang VI = x + y + z = 1, melalui titikawal (0 , 0 , 0) dan titik (1 , 1 , 0).Syaratnya : AIA2+ BIB2+ CIC2= 0 atau Az + B2+ C2= 0 (1).V2 = Az x + B2 y + C2 z + D = 0 melalui (0 , 0 , 0) berarti D = 0 dan melalui(1 , 1 , 0) berarti A2 + B2= 0 (2).

CATATAN (10)Syarat tegak [urns: Kalau VI dan V2 saling tegak lurus maka IiI .LDz ' berarti jugaiiI . Ii; = 0 atau AIA2+ BIB2+ CIC2= 0

CONTOH (1.9). Carilah bidang V2 yang / / bidangVI == x + 2y + 2z + 9 = 0 dan melalui titik (2 , 0 , 0) . Maka V2mempunyai bentukx + 2y + 2z + D2= 0 dan karena melalui (2 , 0, 0) maka harus terpenuhi 2.1 + 2.0+ 2.0 + D2 = 0 atau D2 = -2 .Jadi V2== x + 2y + 2z - 2 = o.

CATATAN (9). Apabila berlaku AI = A2, BI = B2, CI = C2 dan DI = D2maka bidangVI dan V2 berhimpit.

AI BI CI .-- = -- = -- atau bila :A2 B2 C2

AI = Az ' BI = B2 ' CI = C2·

10

CONTOH (1.12). Carilah persarnaan bidang rnelalui (1 , 1 , 1) dan / / bidang x + y+ 2z = 3.

Misalkan V == Ax + By + Cz + D = 0 rnelalui sebuah titik R(x, ' y, ' z.) rnakaterpenuhi: Ax, + By, + Cz. + D = 0 atau D = - Ax, - By, - Cz. dan bila disubstitusikanke V diperoleh Ax + By + Cz - A~, - By, - Cz, = o.Jadi bentuk urnurn persamaan bidang rnelalui 1 titik :A(a - x.) + B(y - y,) + C(z - z.) = o.

1.10.PERSAMAAN BIDANG RATA DIKETAHUI MELALUISATU TITIK

1.0+1.0+1.5-2

"-'1+1+1'd=

Jarak antara bidang V = x + y + z = 2 dan W = x + y + z = 5dapat kita cari sebagai berikut: Kita pilih sebuah titik pada W, rnisalnya (0 , 0 ,5), lalu kita cari jarak titik tersebut ke V :

= 4.6.7-3.3+2.4-13

'\} 36 + 9 + 4 'adalah : d =

CONTOH (1.11). Jarak titik (7 , 3 , 4) ke bidang 6x - 3y + 2z - 13 = 0

Ax, + By, + Cz, + Dd=

Jadi d = I x, cos a + y, cos ~ + z, cos y - p I adalah jarak sebuah titik R(x, ' y, 'z.) ke bidang V, = x cos a + y cos z cos y = p, atau jarak dua buah bidang V, danV 2 yang sejajar.Kalau bidang rnernpunyai persarnaan berbentuk :V, = Ax + By + Cz + D = 0 rnaka jarak R (x. ' y, ' z.) ke V, :

Jadi V, dan V2 rnernpunyai normal yang sarna, sedangkan jarak dari 0 ke V2 adalahI p ± d I (tergantung letak V2 dari 0 dibandingkan VI)'V 2 = X cos a + y cos ~ + z cos ~ + z cos y = I p ± d IKarena Rtx. ' y, ' z.) pada V2 berarti terpenuhi x, cos a + Y, cos ~ + z, cos y =I p ± d I

11

Maka dengan berkas bidang : VI = V2 + A V3 = 0 atau :x + y - 1 + A (x + 2y - z) = 0 ~ (1 + A)X+ (1 + 2A) y - AZ- 1 = 0dan karena melalui (0 , 0 , 1) berarti (1 + A)O+ (1 + 2A)0 - A-I = O.Jadi A = -1Maka VI == (l - l)x + (1 - 2)y - (-I)z - 1 = 0 atau y - Z + 1 = O.

CONTOH (1.13). Carilah persamaan bidang VI yang melalui titik (0, 0, 1) dan melaluigaris potong bidang-bidang V2 = X + Y = 1 dan V3 = X + 2y - z = O.

Bila VI = 0 dan V2 = 0 sejajar maka bentuk VI + AV2= 0 menyatakan kumpulan bidang­bidang I / VI = 0 dan V2 = 0, dan kita sebut berkas bidang sejajar.

poros berkas

Misalkan ada 2 bidang VI = 0 dan V2= 0 maka untuk Al dan A2skalar-skalar yangberubah-ubah, persamaan AIV, + A2V2= 0 menyatakan kumpulan bidang-bidang yangberpotongan pada garis potong VI = 0 dan V2 = 0 , yang disebut berkas bidang. KalauAI' :I- 0 maka berkas menjadi VI + A/AI V2 = 0 atau VI + AV2 = 0

1.11. BERKAS B/DANG RATA

Persamaan bidang melalui (1 , 1 , 1) berbentuk :A(x - 1) + B(y - 1) + C(Z - 1) = 0 , dan karena I I bidangx + y + 2z = 3 , berarti A = 1 , B = 1 , C = 2Jadi bidang yang diminta :(x - 1) + (y - 1) + 2(z - 1) = 0 atau: x + y + 2z - 4 = O.

12

x + y + 2z - 3 = 0 }2x - Y - 2z + 1 = 0

Garis lurus g mempunyai persamaan :CONTOH (1.15).

1. 13. GARIS LURUS 01 FflDi dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan 2

buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita tulis, misalnya garis Iurus g mempunyaipersamaan :

Jawab : Maka W : VI + ')..V2 + J.lV3 = 0 atau : x - 3 + ')..(y - 4) + uz = 0---7 x + ')..y + J.lz -'(3 + 4')..) = 0 (*).

Karena II dengan x + y + Z = 1bilangan-bilangan arab dari W adalab 1 , 1 , 1berarti')..= 1 dan J.l = 1 (dari pers. (*) ).Maka (*) menjadi : x + y + Z - 7 = O. adalah persamaan bidang W yang diminta.

CONTOH (1.14). Carilab persamaan bidang W yang sejajar bidangVI == X + Y+ z = 1 dan melalui titik potong bidang-bidangV2 == x = 3 , V3 == Y = 4, V4 == Z = 0

Bentuk VI + ')..V 2 + J.lV 3 = 0 menyatakan kumpulan bidang-bidang yang melalui titikpotong ke 3 bidang VI = 0, V2 = 0 , V3 = 0 itu.(Dalam gambar melalui titik T) dan kumpulan bidang-bidang tersebut disebut jaringanbidang.

Pandang bidang-bidang VI = 0 , V2 = 0 dan V3 = 0 yang tidak melalui satu garislurus yang sama (bukan dalam satu berkas).

1.12. JARINGAN BIOANG RATA

13

Carilah bilangan arah garis g: 2x + Y + 3z + 2 = 0 }-x - y + 2z + 7 = 0

CONTOH (1.16)

-+ -+ -+

={I ~J' -I ::1 }Jadi p = [a , b , c] = i j k BI Al CII'I AlAl BI CI B2 Az C2 AzA2 B2 C2

Atau biasa ditulis sebagai berikut : a c

Al BI CI Al BIA2 B2 C2 A2 B2

b

Maka iii = [AI' BI ' CI] , n; = [A2 ' B2 ' C2 ]Maka jelas bahwa vektor arah garis g adalah vektor "I x "2 (atau ii2 X iii)

Pandang persamaan garis g : VI ~ Al X + BI Y + CI Z + DI = 0 }V2 = A2 X + B2 Y + C2 Z + D2 = 0

1.14. MENeARI BILANGAN ARAH GARIS LURUS

maka g adalah garis potong dari bidang-bidang :VI: X + Y + 2z - 3 = 0 danV2 : 2x - y - 2z + 1 = 0 .

14

CONTOH (1.17). Carilah persamaan garis melalui (3 , 2 , 1) dan (0 , 1 , 0).

dan mempunyai bilangan-bilangan arah a , b , c atau cosinus-cosinus arah cos a , cos~ , cos y yang "* 0 .

(**).X - XI Y- Yl Z - Zl

= = ataua b c

x - Xl Y - Yl Z - Zlpersamaan garis melalui satu titik

cos a cos ~ cos Y

(Xl' Yt ' z,) dan (x, ' Y2 ' Z2) , asalkan tidak ada x2 - xt ' Y2- Yt ataupun Z2 - ZI yangsarna dengan nol.

---= =--- Persamaan garis melalui 2 titik(*)

adalah bilangan-bilangan arah yang sebanding dengan cosinus-cosinus arah.Jadi dapat kita tulis : x = Xl + r cos a

Y= Yl + r cos ~Z = Zt + r cos Y , r adalah parameter yang menyatakan jarak

titik (x, ' Yt ' z.) ke titik (X , Y , z) pada garis tersebut.

Kalau parameter-parameter dilenyapkan, diperoleh persamaan linier :

x = XI + A(X2 - XI)

Y = Yt + A(Y2 - Yt)Z = Zt + A(Z2 - z.)

Dari bab 1 kita telah mengetahui persamaan parameter garis lurus di R3 yang melaluiA(x1 ' Y1 ' ZI) dan B(x2 ' Y2 ' Z2) :

1;15. BEBERAPA BENTUK PERSAMAAN GARIS LURUS

a c-- --

1 ~1 321Kita tulis : 2 1 3 2 1 , maka a= = 5 ,

-1 -1 2 -1 -1b

b = 3 2 = -7 dan c= I-i -~I = -12 -2

15

(3). Garis terletak seluruhnya pada bidang, berarti vektor arah garis tegak lurus vektornormal bidang dan bila ditentukan suatu titik sembarang pada garis maka koordinattitik tersebut memenuhi persamaan bidang.[a , b , c] . [A , B , C] = 0 --7 Aa + Bb + Cc = 0dan AX1+ By1+ CZ1+ D = 0 , untuk setiap (x. ' y1 ' Z1)pada garis.

gl II V

g2 .1V

g3 pada v

Ii

(2). Garis tegak lurus bidang, berarti vektor arah garis sarna (sejajar/berkelipatan)dengan vektor normal bidang. Sehingga syarat garis tegak lurus bidang :[a , b , c] = ')...[A , B , C] atau Ala = Bib = C/c (atau A = a , B = b , C = c ).

(1). Garis II bidang, berarti vektor arah garis tegak lurus vektor normal bidang, Sehinggasyarat garis I I bidang :[a , b , c]. [A , B , C] = 0 atau Aa + Bb + Cc = 0 .

Pandang garis lurus dengan vektor arah [a , b , c] dan bidang rata Ax + By + Cz+ D = 0 ( dengan vektor normal [A , B , C] ).Maka:

1.16. GARIS DAN BIDANG RATA

Bilangan-bilangan arahnya dapat diambil -3 , -1 dan -1 .

z - 1-1=

y-2-1

=x-3

-3Maka persamaan liniemya :

16

~ = 1 ,b2 = -1 , c2 = -1

dengan syarat g3 .L g[ dan g2.

Bilangan-bilangan arah g[ :

1 0 0 1 00 1 0 0 1

Bilangan-bilangan arah g2

1 1 0 1 11 0 1 1 0

Bilangan-bilangan arah g3 :

1 A 0 1 A1 + 11 1 J.1 1 + J.1 1

Kita kerjakan sebagai berikut : Sebut g3garis hubung terpendek dari g] dan g2makag2 : x + AY = 0 }

x + y - 1 + Il(x + z) = 0

Carilah garis hubung terpendek antara garis-garis :dan g2 : x + y = 1 }

x+z=o

CONTOH (1.19).s. : x = o}y=o

menyatakan garis-garis lurus yang memotong g] dan g2.Maka dengan memilih A dan 11 tertentu kita dapat menentukan garis hubung ter­pendek (garis tegak lurus persekutuan) antara g[ dan gr

( A dan J.1 parameter )Bentuk :

Pandang 2 garis lurus g[ :

1.17. GARIS HUBUNG TERPENDEK DAN JARAK DUA GARISBERSILANGAN

sejajar bidang x + y + z + 7 = 0 . Karena Aa + Bb + Cc = 1.2 + 1.-3 + 1.1 = 0maka benar garis tersebut sejajar bidang ; namun tak terletak pada bidang, sebabsuatu titik misalnya (3, -2 , 0) pada garis tak memenuhi kalau kita masukkan kepersamaan bidang x + y + z + 7 = 0 tersebut.

= =1-32

x-3 y+2 zCONTOH (1.18). Buktikan bahwa garis g :

17

~ 1+1=

1= - IT;jarak yang dirninta.

2

1AXI + BYI + CZI + D

~ A2 + B2 + C2d =

Pilih sebuah titik pada g2 rnisalnya (0 , 1 , 0) dan kita cari jarak dari (0 , 1 , 0) ke bidangV = x + y = o.

Sebut bidang itu V, maka V = x + AY= 0 dan karena II g2 ' normal bidang harus : ~.1+ b2A + c20 = 0 atau 1.1 + (-1)1.. = 0 ~ A = 1.

Jadi V = x + y = o.

£17. Jarak.

CONTOH (1.20). Dari contoh (1.19) di atas kita hendak mencari jarak gl dan g2 .Misalnya kita buat sebuah bidang melalui gl dan I I g2 .

Jarak 2 garis bersilangan : Kita peroleh dengan membuat sebuah bidang melalui salahsatu garis dan sejajar garis yang kedua.Kemudian dari garis kedua tersebut kita pilih sebuah titik dan kita tentukan jarak darititik tersebut ke bidang yang kita buat tadi.

sejajar (berpotongan di 00 ) maka sebagai g3 kita peroleh :x-y=O }-x + y - 2z - 1 = 0

dan x - y = 0 } (**) Karena bidang-bidang pada (*) adalah-x + y - 2z - 1 = 0

g3 ..L gl berarti ala3 + b.b, + CtC3 = 0 ~ 1 - A - AJ.l= 0 (1)g3 ..L g2 berarti ~~ + b2b3 + C2C3= 0 ~ AJ.l+ J.l- 1 + A + AJ.l= 0 (2)Dari (1) dan (2) diperoleh AI = 1 ,J.lI = 0

dan 1..2= -2 , J.l2= -2Jadi kita peroleh g3 perpotongan bidang-bidang: x + y = 0 } (*)

x+y-l=O

18

Demikian pula halnya untuk a x C dan a x (6 + c).Karena a x (b + c) adalah diagonal jajaran genjang dengan sisi-sisi a x b dan a x c makaa x (b + c) = (a x b) + (a x c)

6

CONTOH (1.22). Buktikan bahwa: a x (b + c) = (3: x b) + (3: x c).Bukti: (1). Hal khusus ~imana a j__b dan a j_ c. _

Karena a .L b ---7 (it x b) .L bidang (3:, b)dengan I it x b I = I ii I I b I sin 90° = I a I I b IJadi it x 0 ekivalen dengan mengalikan vektor b dengan I it Ilalu rnerotasi­kan 90° sesuai dengan gambar.

- - - --sedangkan i x i = j x j = k x k = 0 ,karena sin 0° = 0 .

Juga dengan mudah kita dapatJ x 1 = -k , Ie x 3 = -1 ,Ix Ie = -}.

sin 90°} i = 1

sin 90°} j = j

Dengan sistem tangan kanan1 x J = {I i I IJ I SIll 90°}- - --j x k » {Ijllklkxi= {Ikllil

J

_k

Penyelesaian :

(1.21). Bila 1 = [1 , 0 , 0] , j = [0 , 1 , 0] , k = [0 , 0 ,1] adalah vektor satuan yangsaling j_ , tentukan i x j ,] x k , k xi, 1 xl, ] x J , k x k.

1.18. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA

19

- - -= i (a.b, - a.b.) - j (alb) - a.b.) + k (a.b, - a2bl)

Dengan rnelihat _hasil pada soal 1.21 di atas, didapat seterusnya a x '6 = albi - albJ -~blk + a2b3i + a3blj - a3b2i

Bukti: a = [ai' a2, a.] = al 1+ aJ + a)( dan6 = [bl ' b, ' b3] = bl!+ b2J + b3k. Berdasarkan (1.22) :ii x b = (all + aJ + ~k) x (bl-i + b2J + b;k) = (a;i x bJ) +(all x bJ) + (a:l x b3k) + (a2} x b~i) + (aJ x bJ)+ (aJ x b3k) + (a3k x b:b + (a,k x bJ) + (a3k x b3k)

(1.23). Buktikan bahwa bila a = [ai' a2 ' a,] , b = [bl ' b2 ' b3] rnaka

a x b > 1 j Kal al a3b, b2 b,

Secara rnudah berlaku pula (6 + c) x ii = (b x ii) + (c + a)

Karena b - bl + b2 + cI + c2 = (bl + cI) + (b2 + (2)rnaka iii + (~ + (2) = ii x (5 + c).Karena a dan c2 tegak lurus a rnaka (rnenurut bukti (1))di atas a_ x (b2 + c2) = (3: x 62) + fax (;2)

-7 a x (b + c) = (a x 6) + (a x c)

(ii). Hal urnurn: Uraikan b rnenjadi 2 vektor bl .l a dan 1)2 II it , ci!-rnanab = bl + b2•

Kalau ~ sudut antara a ~an b rnaka b2 = b sin \jf sehingga 13:x b21 = lal 16 sin \jfl= lal Ibl sin \jf = lei x bl.Juga ar~ dati a x_62 = arab dari a x b.Jadi a x b2 = a x b.Hal yang sarna dikerjakan terhadap c , berarti a x c2 = a x c

20

garis x-2y = 0z=o

y

--------------- y

x - 2y = 0

(i) x = 2y (ii) x + z = 4 (iii) x + Y - z = O.Penyelesaian : (i) Bidang x = 2y atau x - 2y = 0 tidak mengandung z dankonstantanya = 0 , berarti melalui sumbu Z dan garis potongnya dengan bidangXOY adalah x - 2 y = 0 }

z=O

(1.25). Kedudukan istimewa manakah dimiliki bidang-bidang berikut, gambarlah padasuatu koordinat siku-siku.

[3 , -2 , 1] 1c = = [3 , -2 , 1]

--19+4+1 ...J 14

[-3 , 2 ; -1] 1dan c = = [-3 , 2 , -1] .

--19+4+1 ...J 14

Jadi vektor c yang j_ a dan b serta panjangnya = 1 adalah :

Penyelesaian : Cross produk a x I) dan b x a akan menghasilkan vektor yangj_ a dan b. a x b = 1 I k = [3, -2 , 1]

1 2 1012

dan b x a = - a x b = [-3 , 2 , -1].

(1.24). Carilah vektor c yang panjangnya = 1 dan tegak lurus vektor-vektor a =[1 , 2 , 1] dan b = [0 , 1 , 2].

= i j kal ~ ~bl b2 b3

=,

21

" 14= =

3.0 + 2.0 - 1.0 - 2 2-2

" 14d=

(1.26). Tentukan jarak dari titik (0 , 0 , 0) ke bidang 3x + 2y - Z = 2 dan juga jaraktitik (1 • 1 • 2) ke bidang tersebut.

Penyelesaian : Jarak dari (0 , 0 ,0) :

x

Y

Y-Z=Oz z

x+y=o

y

dengan XOZ : x - z = O} dan dengan YOZ : 'Y - z = 0 }y=O x=O

(iii) x + Y - z = 0, konstantanya = 0, bidang hams melalui 0(0 , 0 , 0). Garis potongdengan XOY adalah x + y = 0

x=O

x

z

y

(ii). x + z = 4 ; karena tidak mengandung y berarti / / sumbu Y dan garis potongnyadengan bidang XOZ adalah garis x + z = 4y=O

22

Penyelesaian : Bidang melalui (0 , 0 , 0) maka D = 0Bidang melalui (2 , 1 , 2) maka 2A + B + 2C = 0 , dan tegak lurus 2x - y +z + 2 = 0 , maka 2A - B + C = O.Dari ke 2 persamaan di atas kita peroleh A = ., 3/4C , B = - 1/2C.Maka persamaan bidang tersebut V = - 3f4Cx - I/2Cy + Cz = 0 atau 3x + 2y -4z = O.

0.29). Carilah persamaan bidang melalui A(2 , 1 , 2) , 0(0 , 0 , 0) dan tegak lurusbidang 2x - y + z + 2 = 0 .

Jadi D2 = 49.25 atau D = ± 35. Jadi W = 2x - 3y - 6z ± 35 = 0

= 5 (diketahui)DD

7=-v 4 + 9 + 36

d=

Penyelesaian : Karena / / dengan 2x - 3y - 6z = 14 , vektor normal bidangtersebut [A , B , C] = [2 , -3 , -6] , sebut bidang tersebut W , maka W = 2x- 3y - 6z + D = 0 . Jarak (0 , 0 , 0) ke bidang W :

(1.28). Carl persamaan bidang yang / / 2x - 3y - 6z = 14 dan berjarak 5 dari titik(0 , 0 , 0).

Kita jumlahkan (1) dan (2) diperoleh 3A = 2C atau A = 2/3C dan dari (2)diperoleh B == - 1/3C.Jadi persamaan V = 2/3C (x - 1) - 1I3Cy + C (z + 2) = 0 atau 2x - y +3z +4=0

................................(1)................................ (2).

V == A(x -1) + By + C (z + 2) = 0V .L VI jadi 2A + B - C = 0V .L V2 jadi A - B - C = 0

(1.27). Carl persamaan bidang melalui P(1 , 0 , -2) dan tegak lurus ke 2 bidang VI =2x + y = z = 2 dan V2 == x - y - z = 3.

Penyelesaian : Persamaan bidang melalui (1 , 0 , -2) :

,j14=d=

13.1 + 2.1 - 1.2 - 2

Jarak dari (1 , 1 ,2) :

23

= 2. C(3,3,2).1+32

z =c= 3;2+42= 3; Y =c

-3 + 92

(1.33). Carilab persamaan bidang W yang tegak lurus pada potongan garis AB, dimanaA(-3 , 2 , 1) dan B(9 , 4 , 3) serta melalui tengab-tengab AB.Penyelesaian : Misalnya tengab-tengab AB kita sebut C, maka

Kita mencari bilangan arab dari g3 '-1 -2 3 -1, a = 1-1 -21 = 7, b = 1-2 31 = 9o 2 -3 0 2 2 -3 -3 0

c = I~ - ~ I = 6 . Karena garis yang dirninta I I g maka mempunyai

vektor arab [7 , 9 , 6] dan karena melalui (1 , 2 , 2), persamaannya :x-I y-2 z-2--- = ---- = ----7 9 6

(1.32). Tentukan persamaan garis lurus melalui titik P(1 , 2 , 2) dan II garis 9 : 3x -y = 2y - Z = 2z - 5.Penyelesaian : Kita jadikan g sebagai garis potong 2 bidang :3x - y = 2z - 5} atau 3x - y - 2z + 5 = 0 }~-z=~-5 ~-~+5=0

Berarti : (1 + 21..+ 3Jl) = 3, (-1 - 51..+ 2Jl) = -1 dan (-3 - 121.. - 5Jl) = 5.Dari ke 3 persamaan di atas diperoleh bidang yang diminta 3x - Y - 155/19 =o atau 57x - 19y - 155 = 0 .

(1.31). Carilab bidang yang melalui titik potong bidang-bidangV) = x - y + 2z = 3 , V2 = 2x - 5y - 7z = 12 , V3= 3x + 2y - z = 5.dan sejajar bidang V4 = 3x - Y = 4.Penyelesaian : Kita pergunakan jaringan bilangan: V) + I..V2+ JlV3= 0~ x - y - 2z - 3 + I..(2x -5y - 7z - 12) + Jl(3x + 2y - z - 5) = 0~ (1+21..+3Jl)x + (-1 - 51..+ 2Jl) Y + (-2 - 71..- Jl) z + (-3 - 21..- 5Jl) = O.Karena juga II V4 : ia berbentuk 3x - y + D = O.

(1.30). Carilah persamaan bidang melalui sumbu Z dan tegak lurus bidangW == x - y - z = 3.Penyelesaian : Sumbu Z adalab garis potong bidang x = 0 dan y = O.Kita pergunakan berkas bidang x + I..y= 0 , yaitu kumpulan bidang-bidang yangmelalui sumbu Z . Karena j_ W berarti: A)A2 + BIB2 + C)C2 = 0 atau1.1 - 1.1.. - 1.0 = 0 ~ I..= 1.Maka persamaan bidang tersebut x + y = O.

24

(1.36). Bagairnanakah kedudukan garis gl: 2x + y + 3z = -2 }x + y - 2z =-1

Penyelesaian : Jelas gl dan g2 sarna-sarna rnelalui titik (1 , -1 , 2) , demikianpula halnya V ,jadi V == A(x - 1) + B(y + 1) + C(z - 2) , demikian pula halnyaV, jadi V == A(x - 1) + B(y + 1) + C(Z - 2) = 0gl pada V berarti : 4A + 2B + 3C = 0g2pada V berarti : 5A + 4B + 3C = 0 dan dari ke 2 persamaan ini kita perolehA = -2B , C = 2B.Jadi V = -2B(x - 1) + B(y + 1) + 2B(z - 2) = 0 atau

-2x + y + 2z - I = O.

z-23=

y+14

Carilah persarnaan bidang V yang rnernuat garis-garis :x-I y+l z-2 x-I

---= = dan g, :---=4 2 3 5

(1.35).

persarnaan :

x+ y-l=O det (a) = 1 1 0 = -16 - 8 = -242x - 3y + z = 5 2 -3 1 (dengan aturan2x + y + 5z + 7 = 0 2 1 5 CRAMER) :

1 1 0 1 1 0 1 1 15 -3 1 2 5 1 2 -3 5-7 1 5 2 -7 5 2 1 -7

X= = 2, y= = -1, z= = -2-24 -24 -24

Jadi titik ternbus (2 , -1 , -2).

Penyelesaian : Di sini kita rnencari harga-harga X , Y , z yang rnernenuhi ke 3

(1.34). Tentukan titik ternbus garis g: X+ Y - 1 = 0 }2x - 3y + Z = 5

pada bidang 2x + y + 5z + 7 = O.

Jadi persarnaan bidang W yang rnelalui (3 , 3 , 2) dan ..L garis dengan vektorarab [12 , 2 , 2] (berarti vektor tersebut adalab normal dari W), ialab W = 12(x- 3) + 2(y - 3) + 2(z - 2) = 0atau 6x + y + Z - 23 = O.

vektor arab garis AB adalab [a , b, c] dimana:a = x2 - XI = 9 + 3 = 12b = x2 - YI= 4 - 2 = 2c = Z2- Zl = 3 - 1 = 2.

25

5a 3a 5az+3y + 1= '----- = ---

3x-I1

atau= =x-I Y +1 z+3Jadi g:

normal V : 2a + b - c = 0 (1)Karena g 1m maka berlaku : 4a - 3b + c = 0 (2)Bila persamaan (1) dan (2) diselesaikan kita dapat b = 3a, c = 5a.

g melalui P (1 , -1 , -3) berarti berbentuk :x-I y+l z+3a = b = c dan karena II V berarti tegak lurus pada

[a, b, c] =[4 , -3 , 1]

10o 1

o -41 3

Penyelesaian : Vektor arab dari m: 1o

(1.37). Tentukan persamaan garis g yang melalui P (1, -1, -3) dan sejajar. bidang V== 2x + Y - z = 0 serta bersilangan tegak Iurus denganm : x - 4z = 1 }

Y + 3z = 2

Disini kita tentukan lebih dahulu titik P sebarang pada gt ' ambil z = 0 ~ x =-1 , y = 0 , P (-1 , 0 , 0).Bidang W melalui P dan tegak lurus gl' W == -5 x + 7y + = 5Titik tembus g2 pada W adalab Q (1 , 1 , 3).Maka Jarak gt dan g2 adalah I PQ I = (\].-:(-1-+-1:-:-:)2=-+------:-(1-:-----=0--:)2:-+--:-:(3:------:-0),-::-2

= ffi.

Membuat bidang W tegak lurus g, (sekaligus tegak lurus ~) melalui suatutitik P sebarang pada gt'Kita tentukan titik tembus g2pada W, sebut titik Q , maka panjang potonggaris PQ adalab jarak gt dan g2'

Temyata g, II g2' Untuk mencari jarak antara 2 garis sejajar dapat kita lakukansebagai berikut :

1 1 -2 1 17

12 1

-51 3Penyelesaian : Vektor arab gt: 2

dan g2 : [x , y , z] = [-4 , 8 , 4], + A. [-5 , 7 1]. Kemudian hitung jarak gtdan g2 .

, yaitu [-5 , 7 , 1]

26

---? ---?(1.45). Carilah luas segi tiga ABC yang dibatasi oleh AC = [2 , 0 , 3] dan BC =

[3 , 2 , 1] . (Petunjuk : Ingat luas segi tiga ABC = 1/2AB sin y).Jawab : 1/2--JI01).

(1.46). Hitunglah a x b bila : (i) a = [2 , -1 , -4], b = [-1 , -2 , 1](ii) a = [3 , 3 , 3] . b = [2 , 0 , 2] . (Jawab : [-9 , 2 , -5], [6, 0 , -6] ).

sin ~ sin y=b c(1.44). Dengan produk vektor, buktikan rumus sinus -~ - =

SlD a

(1.43). Diketahui titik-titik P (1 , 1 , 1) dan Q (2 , 3 , 4). Titik R (3 , y , z)-terletakpada garis lurus PQ. Tentukan y dan z.(Jawab : 5 , 7 ).

(1.42). Tentukan tengah-tengah PQ pada soal 1.41 (Jawab: (8 , 10 , 9) , (21/2 ,31/2 '

41/2) , (11/2' 1/2 ' -19, (11/2, 2 , 21/2 ), (_1/2' -11/2, -3) .

(1.41). Carilah jarak antara P dan Q bila(i) P (5 , 7 , 9) , Q (11 , 13 , 9); (ii) P(2, 3 , 4), Q (3 , 4 , 5) ;(iii) P (2 , 1 ,2) , Q (1 , 0 , -3); (iv) P (1 , 1 , 1), Q (2 , 3 ,4) ;(v) P (-1 , 0 , -2) , Q (0 , -3 , -4).(Jawab: (i) 6--J2; (ii) --J3; (iii) 3--J3 ; (iv) --J14; (v) --J14 ).

(1.40). Carilah cosinus arah dari vektor v apabila :(i) v = [2 , 1 , -2] , (ii) v = [-2 , -1 2], (iii) P(2 , 1 , 2) , Q (1 , 0 , -3) ;(iv) P (1 , 1 , 1) , Q (2 , 3 , 4); (v) P (-1 , 0 , -2), Q (0 , -3 , -4).(Jawab : (i) 6--J; (ii) --J3; (iii) 3--J3 (iv) --J14 ; (v) --J14).

(1.39). Periksa apakah ke 3 vektor a = [2 , 1 ,4] , b = [2 , 0 , -1] , C = [4 , 1 , 3]membentuk sebuah segi tiga siku-siku. Carilah sudut-sudut dan luasnya.(Jawab : Ya , If2 --J105).

(iii) P (0 , 0 , 7) ;(vi) P (-1 , 2 , 1) ;

(1.38). Carilah jarak dari pusat 0 ke titik P bila :(i) P (2 , 3 , 4); (ii) P (-1 , -2 , -30 ;(iv) P ( 1t , 21t , 3); (v) P (1 , 1 ,1) ;(vii) P (0 , 2 , -7) ;(viii) P (a , 2a ., 3a)

Jawab : (1) --J29; (ii) --J14; (iii) 7; (iv) A.j 51t2 + 9 p (v) --J3 ;(vi) --.153; (ii) --.16 ; (viii) a--J14.

1.19. SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN

27

(1.53). Tentukan persamaan bidang yang memotong sumbu-sumbu dengan OA = 1 ,OB= 4, OC = 2, bila A , B , C berturut-turut titik pada sumbu X, Y , Zpositip. (Jawab. x/l + y/4 + zl2 = 1).

(1.54). Carilah pe:8amaan bidang : (1) melalui (1 , -2 , 3) dan sejajar bidang x - 3y+ 2z = 0 (ii) melalui (1 , 1 , 1) dan tegak lurns pada bidang-bidang x - v>z = 0 dan 2x + 3y + z = 2 (iii) melalui (0 , 0 , 1) dan (2 , 3 , 1) serta tegaklurns pada bidang XOY. (Jawab. (i) x - 3y + 2z - 13 = 0 (ii) 2x - 3y + 5z -4 = 0 (iii) 3x - 2y = 0).

(1.52). Carilah sudut antara bidang V = 4x = 2 dengan bidang W == x - 2y + 2z = O.(Jawab. arc cos 2/3)

(1.51). Cari persamaan linier bidang x == [-1 , 2 , 1] + A. [2 , 1 , 1] + Il [1 , 3 , 1] .(Jawab. 2x + y - 5z - 5 = 0).

2x z~+T5

(1.50). Ubahlah bidang-bidang pada soal 1.49 ke dalam normal dari Hesse.Lalu tentukan jarak titik 0 ke bidang-bidang tersebut.

2 x 3y z 2y z 3(Jawab. T4 +T4 -114 = 0 , 0 ; T5 - rs = rs ;

(1.49). Dari bidang-bidang berikut, carilah vektor normal, bilangan arah dan cosinusarahnya: (i) 2x + 3y - z =_Q, (ii2_1y- z = 3, (iii) 2x + z = 1.(Jawab. (i) [2 , 3 , -1) , 2/"14 , 3/"14 , -1F4, (ii) [0, 2 , -1] ,0 , 2/..J5,(iii) [2, 0 , 1], 2/"5

(iii) Carl volume paralel-epipedum yang melalui (0 , 0 , 0), (3 , -1 , 0) , (0 ,1 , 2) , (1 , 5 , 4). (Jawab. 20).

(ii). a . (6 x c), harga mutlaknya menunjukkan volume paralel-epipedum yangdibatasi oleh a , 6 , c.

(l.48). Buktikan bila a = [ a, ' ilz, a3] , b = [bl ' bz ' b3l , C = [c, ' Cz ' c3l(i) a. (6 x C) = a, ilz ~

b. bz b,C, Cz c3

(1.47). Untuk a dan b pada soal 1.46, carilah C ~g .L a dan b dan panjangnya1. (Jawab ± 11"110 [-9 , 2 , -5] , ± 1/-..J72 [6 , 0 , -6).

28

3=z

(1.62). Carilah persamaan linier bidang yang memuat garis-garisx-3 y+2 z x-3 y+ 2

g: -1- = 2 =3 dan m: -2 = 1

(Jawab. 3x - 9y + 5z - 27 = 0 ).

(1.61). Carilah titik tembus I dengan V bila (i) 1 : x + 2y - z = 6 dan 2x - y + 3z =-13 dengan V = 3x - 2y + 3z + 16 = 0 ;(ii) I: x = y = z - 1 dengan V = x - y + z = 3; (iii) 1; x - Y - z = 0 dan-2x + 2y + 5z = 3 dengan V = 3x + 4y + 5z = 15(Jawab. (i) (-1 , 2 ,-3) (ii) (2, 2 ,3) (iii) (2, 1 , 1).

(1.60). Tunjukkan bahwa ke 2 garis :g : 2x - y + Z = 0, 2x - 3y + 6 = 0 dan m: 2Y + Z + 3 = 0, 4x - 2y +2x + 8 = 0 adalah sejajar. Kemudian hitung jarak mereka.(Jawab. ...J22).

= z ).32 =

Tentukan persarnaan garis lurus melalui P dan 1/ garis g (i) P(O , 0 , 0);g : x + y + z = 2 dan 2x - y - z = 4. (ii) P(1 , 3 , 0) ;g : x = 2x + 3 dan y = 3z - 2. (Jawab. x = 0 , y + z = 0 ;

x-I y-3

(1.59).

x-2 Y z-=-=-).5 -2 3

x-2 y-3 z-4(Jawab. -- = -- = I

3 -1

(1.58). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui P dan tegak lurus bidang V :(i) P(2, 3 , 4) dan V = 3x - y + z = 2 (ii) P(2 , 0 , 0) dan V = 5x - 2y +3z = 3.

(1.57). Tentukan bilangan arah garis-garis berikut : (i) x + y + z = 2 danx - y - z = 3 (ii) 2x - Y = 3 dan x - y + 2z = I (iii) x = 2 dan 2x r: y +Z = I (iv) x - y = y + Z = Z - 2.(Jawab. 0 , 2 , -2 ; 2 , 4 , 1 ; 0, 1 , I; 1, 0 , 1 ).

(1.56). Cari persarnaan bidang melalui : (I) sumbu X dan tegak lurus bidang 2x - 3y- z = 5 (ii) garis potong bidang-bidang 3x - y = 2 + Z dan 2x + 3y - 3z - 5= 0 serta melalui titik 0(0 , 0 , 0).(Jawab. (i) y - 3z = 0; (ii) llx - lly + z = 0).

(1.55). Hitung jarak antara titik (3 , 2 , 0) dengan bidang 3x - 2y + 5z=7 , juga jarakantara bidang 3x - 2y + 5z = 9 dan bidang 3x - 2y + 5z = 7. (Jawab. 2/"38;2/...J38).

29

--../3 )83

(Jawab.

dengan g2 ; X + Y+ 4 = 0z=O

(1.69). Tentukan jarak antara garis-garis gl : x - y = 0x+y+z=4

(1.68). Tentukan persamaan garis hubung terpendek antara garis-garis :II ; x + y = 4 dan 12 : x = y = z

z = 0 (Jawab. x + y + z = 4 , x - y = 0 ).

dan /I 13 : x = y = 4 - z.(Jawab. x + y + 2z = 12 , x - 2y - z = -8 ).

dan 12 : x - z = 0y= 4

(1.67). Tentukan persamaan garis yang memotong garis-garis II : x + y = 4z=4

y-2 z-1=-=-)

3 1x-5

-5(Jawab.

(1.66). Carilah persamaan garis lurus yang terletak pada bilanganV = x + 3y - z + 4 = 0 dan memotong tegak lurus garis 1 : x - 2z = 3 dan y- 2z = 0

(1.65). Ditentukan titik A(O, -1 , 4) , B(O , 6 , 4) dan C(2 , 0 , 0).Diminta untuk menentukan sebuah titik D pada sumbu X sehingga AC tegaklurus ganda-BD. Tentukan jarak AC dan BD.(Jawab. D(-5, 0 , 0) , 28/--../33).

(1.63). Carilah garis yang mela1ui P(3 ,-1 ,4) dan tegak lurus ke 2 garis yang bilanganarahnya 2 , -I , 3 dan 2 , -3 , 2.

x-3 y+1 z-4(Jawab. -7- = -2- = -=4)'

(1.64). Carilah persamaan garis mela1ui titik P(1 , 3 , 1) dan memotong tegak lurusgaris g : x - z + 1 = 0

y + 2z =3x-I y-3 z-I

Carilah juga jarak P ke garis g. (Jawab. -3- = -2- = -1-' 1/2"14.