TEKNIK PENGINTEGRALAN Metoda Substitusi

Integral Parsial

Integral Fungsi Rasional

Integral Tak Wajar

Universitas Padjadjaran

Bandung

Fakultas MIPA -

UNPAD

Pendahuluan

Operasi turunan sifatnya algoritmik. Apabila semua aturannya telah diketahui, maka dapat disusun ‘konsep pencarian turunan’. Dalam banyak hal operasi turunan tidak terlalu menuntut keratifitas.

Tidak demikian halnya dengan operasi integral. Seringkali integral yang berbeda menuntut kombinasi tehnik-metoda pengintegralan yang berbeda: pengintegralan lebih merupakan seni.

Banyak masalah dalam engineering yang melibatkan integral dari fungsi yang sangat rumit, sehingga kita memerlukan Tabel Integral.

Beberapa metoda yang sangat esensial adalah :

Metoda Substitusi

Metoda Integral Parsial

Integral Pecahan Parsial (Partial Fraction)

Fakultas MIPA -

UNPAD

1. Integral dengan Subtitusi

Rumus dan Aturan Pengintegralan yang sudah kita kenal sejauh

ini cukup bermanfaat dan penting, namun scope-nya masih

terbatas. Sebagai contoh dengan Aturan Pangkat kita dapat

menyelesaikan . Namun tidak berdaya untuk menyelesaikan

integral yang ‘serupa’ yaitu

Integral dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan teknik

substitusi. Ide dasar metoda substitusi datang dari Aturan Rantai.

Teknik adalah ‘kebalikan’ dari Aturan Rantai.

x dx

2 1 x dx

Fakultas MIPA -

UNPAD

Penjelasan Aturan Substitusi

Misalkan F adalah antiturunan dari f . Jadi, F’(u) = f (u), dan

(1)

Bila u = g(x) sehingga diferensial du = g’(x)dx, diperoleh

Prosedur ini disebut metoda pengintegralan dengan substitusi

atau metoda substitusi. Maka, jika integrand tampak sebagai

komposisi fungsi dikalikan turunan fungsi ‘dalam’nya, maka

disarankan menggunakan metoda ini.

Perhatikan pula bahwa metoda merupakan proses

balikan/inverse dari Aturan Rantai.

( ) ( )f u du F u C

( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x du f u du F u C F g x C

Fakultas MIPA -

UNPAD

Dari manakah ide metoda substitusi ini?

Perhatikan bahwa F(g(x)) adalah antirunan dari

jika F adalah antiturunan dari .

Menurut Aturan Rantai

Teorema

Diberikan fungsi g terturunkan dan F adalah antiturunan dari f .

Jika , maka

( ) '( )f g x g x

'( ) ( )f F u f u

( ) ' ( ) '( ) ( ) '( )d

F g x F g x g x f g x g xdx

( )u g x

( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u C F g x C

Fakultas MIPA -

UNPAD

Menggunakan Tehnik Subtitusi

Contoh -1 : Hitunglah

Misalkan u = (2x+3) dengan du = 2dx. Maka setelah disubtitusikan

Contoh-2: Hitunglah

Misalkan u = 25 – x 2 maka du = - 2x dx atau x dx = - ½ du

Sehingga:

=

21(2 3)x dx

21 21 22 221 1 1(2 3) (2 3)

2 2 22 44

dux dx u u x C

Fakultas MIPA -

UNPAD

Contoh : Tentukan hasil dari

a.

b.

c.

d.

3 4 5x x dx

Fakultas MIPA -

UNPAD

2. Integral Parsial

Bila metoda substitusikan sebenarnya adalah balikan dari

Aturan Rantai, maka metoda integral parsial didasarkan pada

aturan turunan untuk perkalian:

Diberikan u = u(x) dan v = v(x) mempunyai turunan

atau

Apabila kedua ruas diintegralkan

Catatan : Diferensial dan

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )D u x v x u x v x u x v x

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x D u x v x u x v x

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d

u x v x dx u x v x v x u x dx uv v x u x dxdx

'( )dv v x dx '( )du u x dx

Fakultas MIPA -

UNPAD

Teorema Integral Parsial

Jika fungsi-fungsi dan mempunyai turunan,

maka

Sedangkan integral parsial untuk integral tentu adalah

Misalkan

Sehingga

Catatan: pilihlah u dan v sehingga

mudah dihitung

( )u u x ( )v v x

udv uv vdu

( ) ( ) ( ) ( )x bx b x b x b

x a x a x ax audv uv vdu u b v b u a v a vdu

1 2 1 2( ), ( ), ( ), ( ),u u a u b v v a v v b

2 2 1 2

x b x b

x a x audv u v u v vdu

vdu

Fakultas MIPA -

UNPAD

Contoh Hitunglah

Misalkan sehingga dan . Maka

Untuk integral ke dua, misalnya Maka

dan Diperoleh

Dengan demikian

Pindahan pada ruas kiri. Akhirnya diperoleh

cosxe xdx, cos ,xue dv dx xdu e dx sinv x

cos sin sinx x xe xdx e x e xdx

, sin .xw e dv xdx xdw e dx

cos .v x

cos cos cosx x xe xdx e x e xdx

cosxe xdxsin cos

cos2

x xx e x e x

e xdx

Fakultas MIPA -

UNPAD

cos sin cos cosx x x xe xdx e x e x e xdx

Pada contoh di atas, perhatikan bahwa kita dapat

menyelesaikan karena integral tersebut kembali

muncul pada ruas kanan.

Contoh Hitunglah

Misalkan sehingga , maka

Latihan: Tentukan hasil integrasi berikut:

cosxe xdx

2

1ln xdx

ln , ,u x dv dx 1

,du dx v xx

Fakultas MIPA -

UNPAD

2 2 22

11 1 1

1ln ln 2ln 2 2ln 2 1xdx x x x dx dx

x

Latihan Soal

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

dxxx cos2

dxxx sin3

dxxx 4cos2

dxxx 2sin15 2

dxxex

sin

dxxe x

2cos2

dxex x

233

dxxx 12

3. Integral Fungsi Rasional

Metoda Pecahan Parsial

Metoda pecahan parsial adalah tehnik untuk mengintegralkan

fungsi-fungsi rasional, yaitu fungsi-fungsi berbentuk

Ide dasar adalah metoda ini adalah menuliskan fungsi rasional

sebagai jumlah dari fungsi pecahan yang lebih sederhana.

Contoh Tentukan

Perhatikan bahwa

( )( ) , ( ) ( )

( )

p xR x p x dan q x adalah polinomial

q x

2

5 1

1

xdx

x

2

5 1 5 1

1 ( 1)( 1) 1 1

x x A B

x x x x x

Fakultas MIPA -

UNPAD

Langkah berikutnya adalah menentukan koefisien A dan B .

Ini dilakukan dengan mengalikan kedua ruas dengan

sehingga

Maka haruslah dan . Dengan menyelesaikan

sistem persamaan ini diperoleh A = 2 dan B = 3

( 1)( 1)x x

5 1 ( 1) ( 1) ( ) ( )x A x B x A B x A B

5A B 1A B

2

2 3

5 1 2 3 2 3

1 1 1 1 1

( 1) ( 3)2 3 2ln 1 3ln 1

1 1

ln 1 1

xdx dx dx dx

x x x x x

d x d xdx x x

x x

x x C

Fakultas MIPA -

UNPAD

Contoh selesaikan

Kalikan kedua ruas dengan , sehingga

Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini

memberikan sebuah sistem persamaan

yang penyelesaiannya adalah A = 1/4, B = -1 4, C= 3/2. Maka,

3 2

1

4 4

xdx

x x x

3 2 2 2 2

1 1 1

4 4 ( 4 4) ( 2) 2 ( 2)

x x x A B C

x x x x x x x x x x x

2( 2)x x 2

2

( 1) ( 2) ( 2)

1 ( ) ( 4 2 ) 4

x A x Bx x Cx

x A B x A B C x A

0, 4 2 1, 4 1A B A B C A

3 2 2

1 1 1 3

4 4 4 4 2 2 ( 2)

x dx dx dxdx

x x x x x x

Fakultas MIPA -

UNPAD

Dua integral terakhir diselesaikan dengan substitusi u = x – 2.

Contoh Tentukanlah

Setelah kedua ruas dikalikan dengan penyebut. maka diperoleh

Kesamaan kedua polinomial berarti koefisiean-koefisien harus

sama. Maka 2 = A + B ,1 = C , -1 = 4A . Penyelesaian sistem

persamaan ini adalah

2

1 1 ( 2) 3 ( 2)ln

4 4 2 2 ( 2)

1 1 3 1ln ln 2

4 4 2 2

d x d xx

x x

x xx

2

3

2 1

4

x xdx

x x

2 2

3 2 2

2 1 2 1

4 ( 4) 4

x x x x A Bx C

x x x x x x

2 2 22 1 ( 4) ( ) ( ) 4x x A x Bx C x A B x Cx A

Fakultas MIPA -

UNPAD

Apabila digunakan pada integral di atas, kita peroleh

Untuk integral kedua, gunakan substitusi sehingga

Jadi,

1/ 4, 9/ 4, 1A B C

2 2

3 2

2 2

1

2

2 1 1 1 9 4

4 4 4 4

1 9ln

4 4 4 4

1 9 1ln tan

4 4 4 2 2

x x dx xdx dx

x x x x

xdx dxx

x x

xdx xx

x

2 4w x 2dw xdx

2

2 2

1 2 1 1ln 4

4 2 4 2 2

dx xdx dwx

x x x

22 1

3

2 1 1 9 1ln ln 4 tan

4 4 8 2 2

x x xdx x x C

x x

Fakultas MIPA -

UNPAD

Contoh Selesaikan

Kalikan kedua ruas dengan sehingga

Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini

memberikan sebuah sistem persamaan

2 2(1 )( 1)

xdx

x x

2

2 2 2 2 2, 1

(1 )( 1) 1 1 ( 1)

x A Bx C Dx Ex irreducible

x x x x x

2 2(1 )( 1)x x

2 2 2

4 3 2

( 1) ( )(1 )( 1) ( )(1 )

( ) ( ) (2 ) ( ) ( )

x A x Bx C x x Dx E x

x A B x B C x A B C D x B C D E x A E C

0, 0, 2 0, 1, 0A B B C A B C D B C D A C E

Fakultas MIPA -

UNPAD

Penyelesaiannya adalah A = B = C = 1/4, D = 1/2,

E = -1/2. Maka,

Substitusi dan maka

2 2 2 2 2

1 1 ( 1) 1 ( 1)

(1 )( 1) 4 1 4 1 2 ( 1)

x dx x dx x dxdx

x x x x x

1u x 2 1,v x , 2 .du dx dv xdx

2 2

2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 ( 1) 1 1 1

4 1 4 1 4 4 2 1

1 1 1ln 1 ln 1 tan

4 8 4

1 ( 1) 1 1 1 1 1

2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 ( 1)

1 1

4( 1) 2 ( 1)

dx x dx du dv dx

x x u v x

x x x

x dx xdx dx dv dx

x x x v x

dx

x x

Fakultas MIPA -

UNPAD

Untuk menyelesaikan integral terakhir, misalkan

dan

2tan , sec ,x dx d 2 2 21 tan 1 sec .x

22

2 2 2

2 21 1

1

2

sec 1 sin 2cos (1 cos2 )

4 (sec ) 2 2 4

2 1 1 1tan 2sin cos tan

2 4 2 4

tan

2 2( 1)

dx dd d

x

x x xx x

x x

x

Fakultas MIPA -

UNPAD

Jadi,

2 1

2 2

1

2 2

2

2

1 1 1ln 1 ln 1 tan

(1 )( 1) 4 8 4

1 1 tan

4( 1) 2 2 2( 1)

1 1 1 1ln 1 ln 1

4 8 4 ( 1)

xdx x x x

x x

x xC

x x

xx x C

x

Fakultas MIPA -

UNPAD

Tentukan hasil integrasi berikut:

5. Integral Tak Wajar

Kalkulus 2-unpad

5. Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlah

Riemann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f (x)) kontinu pada selang pengintegralan

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka

integral itu disebut integral tak wajar.

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga.

b. Integral tak wajar dengan integran tak kontinu.

Kalkulus 2-unpad

a. Integral Tak Wajar karena Batas Pengintegralan Tak Hingga

Definisi :

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, maka integral tak wajar

disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen.

(i)

(ii)

(iii)

c

c

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

c

dx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen, maka konvergen.

12

1lim

2 bex

b

Kalkulus 2-unpad

Contoh: Periksa kekonvergenan ITW

0

2

dxxe xdxxxe

1

2a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

1

2

lim

1

2a.

2

2

1

2

1lim a

ae

Jadi integral tak wajar

b.

ae x

a

0

2

1lim

2

dxxedxxxea

x

a

0

2

lim0 2

12

2

1lim eeb

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke -1/2.

2

1

dxxxe

1

2divergen.

0

2

dxxe x

Kalkulus 2-unpad

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Kontinu

(i) Integran Tak Kontinu di Ujung Selang

Jika f kontinu pada [a,b) dan maka

)x(flimbx

s

abs

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika f kontinu pada (a,b] dan maka

)x(flimax

b

tat

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan

konvergen, sebaliknya dikatakan divergen.

Kalkulus 2-unpad

(ii) Integran Tak Kontinu di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan

)(lim xfcx

,maka

b

c

dxxfc

a

dxxfb

a

dxxf )()()(

b

t

dxxfs

a ct

dxxf

cs

)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b

a

dxxf )(

konvergen.

Kalkulus 2-unpad

Contoh: Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan

x

xlnlim

x 0maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

x

tx

t

1)(ln

2

1lim 2

0

2

0)(ln0

2

1lim tt

divergen. Jadi integral tak wajar 1

0

lndx

x

x

Kalkulus 2-unpad

dxx

x

2

01

Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab :

Fungsi diskontinu di x=1 , x

xxf

1)(

2

1

1

0

2

0111

dxx

xdx

x

xdx

x

x

s

tts

dxx

xdx

x

x

0

2

11 1lim

1lim

0|1|lnlim1

sss

ss

ssxxdx

x

x

0

011|1|lnlim

1lim

Karena

maka integral tak wajar divergen.

x

x

x

x

xx 1limdan

1lim

11

Kalkulus 2-unpad

Integral tak wajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan

dari dua jenis di atas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan

integran diskontinu pada batas pengintegralan, seperti contoh

berikut.

Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar

0 1dx

x

x

Jawab :

Integral di atas merupakan integral tak wajar karena

- batas atas integral tak hingga

sehingga

0 1dx

x

x

1

0

2

1 2111

dxx

xdx

x

xdx

x

x

x

xxf

1)( diskontinu di x = 1,

x

x

x

x

xx 1limdan

1lim

11

Kalkulus 2-unpad

b

btt

s

s

dxx

xdx

x

xdx

x

x

2

2

101 111limlimlim

Karena

0111 10

011

|s|lnslim|x|lnxlimdxx

xlim

s

ss

ss

Maka integral tak wajar divergen .

0 1dx

x

x

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

024 x

dx

04 dxxe

1

1x

dx

1

0 21 x

dx1. 2. 3. 4.

222 )1( x

dxx5.

22)(ln

.6xx

dx

3

329

.7x

dxx