2

12 2

1)

2) cos sin

3) sec tan

4)ln

5) ln ln

1 16) tan

u u

uu

e du e C

u du u C

u du u C

aa du C

a

u du u u u C

udu C

a au a

TEKNIK TEKNIK –TEKNIK –TEKNIK PENGPENGINTEGRAINTEGRALANLAN

2 3

2 2 2

1) sin 2

2) 6

1 13)

4 9

x dx

x x dx

dx ingat bentuk dux a u

Misal g adalah fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah anti turunan untuk f maka

( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C Contoh :

132

0

1

0

1) 1 2

2) cos 3 3

x x dx

x dx

Misal g adalah fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah anti turunan untuk f maka

dengan u = g(x)

( )

( )

( ( )) '( ) ( )g bb

a g a

f g x g x dx f u du

Contoh :

3 42) ( 9)x x dx

21) sin( 4)x x dx

32

3

3) 8 7 2t t dt

2

2

0

4) cos sinx x dx

Latihan:Gunakan teknik pengintegralan substitusi untuk menyelesaikan integral berikut:

2

2

2

2

2

2

21)

2 1tan

2)cos

3) sec

sec ln4)

21

5)9 18 10

x x

xdx

xz

dzz

e e dx

xdx

xx

dxx x

6cos

0

2

20

4

20

2

2

6) 2 sin

sin7)

16 cos

cos8)

1 sin

1 cos 29)

sin 2

10)4 9

x xdx

xdx

x

tdt

t

xdx

xdx

x x

Tugas Mandir.Dikumpulkan Selasa, 26 Maret 2013

Untuk n dan m ganjilUntuk n dan m ganjil Uraikan

Gunakan hubungan Substitusi u = cos x atau u = sin x

Bmndxxdxx mn ,,cosdansin

dxxxdxx

dxxxdxx

mm

nn

coscoscos

sinsinsin

1

1

1cossin 22 xx

Bentuk I: Bentuk I:

ContohContoh:: Selesaikan integral

a. b.

Untuk n dan m genapUntuk n dan m genap Gunakan aturan

Contoh : Contoh : Selesaikan

a. b.

dxx3sin dxx2cos3

2

2cos1cosatau

2

2cos1sin 22 x

xx

x

dxx2cos dxx4sin

m ganjilm ganjil

uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = sin x

n ganjiln ganjil Uraikan Gunakan hubungan

Substitusi u = cos x

Bmndxxx mn ,,cossin

dxxxxdxxx mnmn coscossincossin )1(

xx 22 sin1cos

dxxxxdxxx mnmn cossinsincossin )1(

xx 22 cos1sin

Bentuk II: Bentuk II:

ContohContoh::

Selesaikan integral

dxxx 23 cossin.1

dxxx 32 cossin.2

n dan m genapn dan m genapGunakan aturan

ContohContoh:: Selesaikan integral

2

2cos1cosatau

2

2cos1sin 22 x

xx

x

dxxx 22 cossin

(bentuk ini digunakan dlm teori arus listrik bolak balik, teori perpindahan panas)

Contoh:Contoh: Selesaikan integral

dxxnmxnmdxnxmx

dxxnmxnmdxnxmx

dxxnmxnmdxnxmx

)(cos)(coscoscos

)(cos)(cossinsin

)(sin)(sincossin

21

21

21

dxxx 3cos2sin

Bentuk III: Bentuk III: Bentuk-bentuk integral:

Bentuk IV: dan Bentuk IV: dan dxxmtan dxxncot

Gunakan aturan

atau

Contoh: Contoh: Selesaikan :

1sectan 22 xx 1csccot 22 xx

dxx 4cot

n genapn genap - Uraikan - Gunakan hubungan - Substitusi u = tan x

m ganjilm ganjil - Uraikan - Gunakan hubungan - Substitusi u = sec x

dxxx

dxxx

nm

nm

csccot

sectan

1tansec 22 xx xdxxxxdxx nmnm 22 secsectansectan

dxxxxxdxxx nmnm sectansectansectan 11

1sectan 22 xx

Bentuk V: Bentuk V:

Latihan…Selesaikan integral berikut:

1.

2.

3.

4.

dxx 5cos

dxxx 24 cossin

dxxx 42 sectan

dxxx 3cos5cos

dxxxx

xx

dxx

x

dxxx

2

42.7

3

35.6

2

2.5

23

2

2

2

Integral Parsial (Integral Parsial (Integration by Integration by partsparts) ) Rumus

(Rumus ini diturunkan dari aturan turunan hasil kali

dua fungsi)

Contoh: Contoh:

Selesaikan integralSelesaikan integral

a. b.

duvuvdvu

dxex x2 dxxx cos

Urutan Prioritas yang dimisalkan

sebagai u:

o Fungsi logaritma /ln (misal : lnx)

o Fungsi pangkat (misal : x2, x3, ..dst)

o Fungsi eksponen (misal : ex)

o Fungsi trigonometri (misal : sin x,

cos x,

... dst)

dxxx )4ln()2 3

dxxx )2cos()1 3

dxex x34)3 xdxe x 4cos)4 3

Latihan:Gunakan teknik pengintegralan parsial untuk menyelesaikan integral berikut:

011

1

011

1

...

...)(

bxbxbxb

axaxaxaxf

mm

mm

nn

nn

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua buah polynomial

Jika suatu fungsi rasional tidak dapat diintegralkan secara langsung, jabarkan fungsi rasional tesebut menjadi pecahan parsial.

Langkah-langkah :1. Nyatakan penyebut sebagai hasil kali fungsi linier dan fungsi kuadrat yang sudah tidak dapat disederhanakan lagi2. Tentukan bentuk pecahan yang sesuai3. Tentukan konstanta yang ada dalam pembilang pecahan parsial dengan aturan menyamakan koefisien polynomial pembilang dari variabel yang pangkatnya sama.4. Integralkan pecahan parsial dengan menggunakan rumus yang sesuai dari bentuk baku

Contoh: Contoh: Hitung Integral tak tentu berikut Hitung Integral tak tentu berikut

dxxx

xx

dxx

x

dxxx

x

114

136.3

3.2

6

13.1

2

2

2

2