TEKNIK PENGINTEGRALAN

KALKULUS2

S1- Teknik Industri

Outline

2

• Integral Parsial

• Integral FungsiTrigonometri

• Substitusi Trigonometri

• Integral FungsiRasional

Contoh : Hitung

3

1. Integral Parsial

Formula Integral Parsial :

u dv uv v du

Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana

xex dx

ex C

misal u = x, makadu=dx

dv ex dx v ex dx ex

sehingga

xex dx x ex ex dx x ex

Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali

Contoh:

(i) Misal u x2

dv = sinxdx

du = 2xdx

V=-cosx

x 2 sin x dx x2 cos x 2 x cos xdx

Integral parsial

(ii) Misal u = x

dv = cosx dx

du = dx

v = sinx

4

x2 cos x 2(x sin x sin x dx)

x2 cos x 2x sin x 2cos x C

Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan

Hitung: e x cos xdx

Jawab : e x cos xdx

Integral parsial

(i) Misal u ex

dv=cosxdx

(ii) Misal u ex

dv = sinxdx

du ex dx

v=sinx

du ex dx

v=-cosx

e x sin x e x sin xdx

e x sin x (e x cos x e x cos xdx) C

e x sin x e x cos x e x cos xdx) C

Integral yang dicaribawa keruas kiri

2 ex cos xdx ex sin x ex cos x C

2

5

e x cos xdx 1 (ex sin x ex cos x) C

6

7

Soal latihan

Hitung

1.

2.

3.

ln x dx

x ln xdx

ln(1 x 2 )dx

4. sin 1 xdx

tan1 xdx

x tan 1 xdx

5.

6.

8

2. Integral FungsiTrigonometri

Bentuk : cosn x dx & sinn x dx

* Untuk n ganjil, Tuliskan :

sin n x sin x sin n1 x dan cosn x cosx cosn1 x

dan gunakan identitas sin2 x cos2 x 1

* Untuk n genap, Tuliskan :

sin n x sin 2 xsin n2 x dan cosn x cos2 x cosn2 x

dan gunakan identitas cos 2x 2 cos2 x 1 1 2 sin2 x

9

sin 3 xdx sin 2 x sin xdx - dcosx1cos x2 31

3cos x C -cosx

Hitung integral berikut:

sin 3 x dx

sin 4 x dx

Jawab

1.

2.

1.

2. sin 4 x dx sin 2 x sin 2 x dx )dx)(1 cos2x 1 cos2x

2 2 (

(1 2cos2x cos 2x)dx1

4

2

4

1dx)

1 cos4x

2 ( dx 2 cos2x dx

1

x 1

sin 2x 1

x 1

sin 4x C4 4 8 32

3

x 1

sin 2x 1

sin 4x C8 4 32

Contoh

gunakan identitas

identitas

• Bentuk sinm x cosn x dx

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan

sin2 x cos2 x 1

cos 2x 2 cos2 x 1 1 2 sin2 x

b). Untuk m dan n genap, tuliskan sin m x dan cosn x

menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan

10

sin 3 xcos2 xdx sin 2 xcos2 xsinxdx 1 cos2 xcos2 xdcosx

cos2 x cos4 x dcosx

1

cos5 x 1

cos3 x C5 3

Contoh:

sin2 x cos2 x dx 1 cos 2x 1 cos 2x

dx2 2

41(1 cos2 2x)dx

1(1

1 cos 4x) dx

4 2

1 dx

1cos 4x dx

8 8

1

x 1

sin 4x C8 32

11

tan 2 x sec2 x1 , cot2 x csc2 x1

tan m x secn xdx dan cotm xcscn xdx

.

Bentuk

Gunakan identitas

serta turunan tangen dan kotangen

d(tan x) sec2 x dx , d (cot x) csc2 x dx

12

Contoh:

tan 2 x tan 2 x dx tan 2 x(sec2 1)dx

tan 2 x sec2 xdx tan 2 xdx

tan 2 x d (tan x) (sec2 x 1)dx

3 1 tan 3 x tan x x C

a. tan 4 xdx

1

tan5 x 1

tan3 x C5 3

13

b. tan 2 x sec4 x dx tan 2 x sec2 x sec2 xdx

tan 2 x(1 tan 2 x)d (tan x)

tan2 x tan4 x d (tan x)

Soal Latihan

Hitung integral trigonometri berikut:

14

sin 4 x cos5 x dx

tan 4 t sec2 t dt

sec4 xdx

cot2 wcsc4 w dw

csc3 x dx

1.

2.

3.

4.

5.

3. SubstitusiTrigonometri

a 2 x 2 x a sin t

dx x2

25 x2

dxx2

25 x2

a. Integran memuat bentuk misalkan

Contoh Hitung

Misal x 5sin t

dx = 5 cost dt

25sin2 t

25 25sin2 t 5cost dt

costdt5sin 2t

25(1 sin 2 t)

2dt cot t dt sin 2 t

cos2t

(csc2 t 1)dt cott t c

x5

t

25 x 2

x sin ( ) C

5

125 x 2 x

15

a2 x2

x2 25 x2

x225 x2

1

dx

b. Integran memuat bentuk misalkan x a tan t

Contoh Hitung 1

dx

25 tan 2 t 25 25 tan 2 t

5sec2 t dt

25 tan t sect 2

2

1 sec t dt

dt 2 25 sin2 t

1 d(sin(t))

25 sin t

1 cost

25sin t

1

x

t

5

CC 25x

25 x2Misal x 5 tan t

dx 5sec2 t dt

5

16

tan t x

25 x2

x2 a2

25x2 x2

25

1dx

x2 x2

c. Integran memuat bentuk misalkan x asect

Contoh Hitung 1

dx

25sec2 t 25sec2 t 25

5 sect tan t dt

25 sec2 t tan t cost dtsect

dt 1

25 sec t 25

1

sect tan t dt

12

25

x

x2 25

t

5

C1

sin t C 25x

x2 25

5

17

Misal x 5 sect

dx 5sect tan t dt

sect x

Soal Latihan

Hitung integral berikut:

18

dx9 x2

dx2

2x 3

4 x

4 x 2x 2

dx

x x2 9

dx

16

x 2 x 2

dx

dx

x2 93/2

x2 2x 5

3x dx

5 4x x2 dx

x2 2x 2

2x 1dx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

x2

Substitusi BentukAkar

u x

n a x b u n ax b

dx

2 2 x

du2 2u u 1

2udu

u

x ln1 x C

Integran memuat misalkan

Contoh Hitung

Misal xu 2

Dengan turunan implisit

dx2u

du1 dx=2udu

Jawab : dx

2 2 x

19

u 1

duu 11

u 1 (1

1)du

u ln(u 1) C

x 3 x 4 dx

x2 2x

x 1dx

t

dtt 1

t

dt

x x 1 dx

20

3t 4

x(1 x)2 / 3 dx

Soal Latihan

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4. Integral Fungsi Rasional

• Integran berbentuk fungsi rasional:

• Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu:

1. Faktor linear tidakberulang.

2. Faktor linear berulang.

3. Faktor kuadratik tidakberulang.

4. Faktor kuadratikberulang.

Kasus 1 ( linier tidak berulang )

Misal

maka,

b a xQ x a x 1 1 2 b2 ... an x bn

Qx

21

P x

A1 A2 An

a1 x b1 a2 x b2 an x bn ...

dengan A1, A2 , ...,, An adalah konstanta yang dicari

𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) Derajat P(x)<Q(x)

x1dx x2 9

(x 3)(x 3)

B

A(x 3) B(x 3)

x3 x3x29

x 1

A

x3

2

x3dx 3 dx

1x1

x2 9

Contoh Hitung

Jawab

9 (x 3)(x 3)Faktorkan penyebut : x2

x 1Ax3Bx3 ABx 3A3B

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan

A +B =1 x3

-3A+3B=1 x13A +3B=3-3A+3B=1 +

6B=4 B=2/3 ,A=1/3Sehingga

3 dx

22

3

2ln | x 3 | ln | x 3 | C

1

3

dx1

x 2 2x1

Qx ai x bip

p

iii i i ii i

Ap

Qx a xb

a xb a xb

a xbp1

Ap1

2

A2Px

A1 ...

23

C

x1B1 A

x22x1 x2 x 22

Kasus 2 Linear berulang

Misal

Maka

dengan konstanta A1,A2 ,...,Ap1,Ap akan dicari

Contoh Hitung

Jawab

1

A(x 2)(x 1) B(x 1)C(x 2)2

x22x1 x 22x1

1 A(x 2)(x 1) B(x 1) C(x 2)2

1 (AC)x2 (A B 4C)x (4C 2A B)

Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan

A+C=0 A+B+4C=0-2A-B+4C=1

A+B+4C=0-2A-B+4C=1 +

-A+8C=1

A+C=0-A+8C=1

+9C=1

B=-1/3

A=-1/9

C=1/9

dx1

9 x1dx

1

x21

dx11

9 x2 3dx

112 x22x1

1

ln | x 1| C

24

3(x 2) 9

1

9

1ln | x 2 |

25

b2 x c2...an x2 bn x cn

Qx

Px

A1 x B1

a1 x 2 b1 x c1

A2 x B2

a2 x 2 b2 x c2

An x Bn

an x 2 bn x cn

...

Kasus 3 Kuadratik tak berulang

Misal

Qx a1 x2 b1 x c1a2 x2

Maka

DenganA1,A2 ,...,An , dan B1,B2 ,...,Bn konstanta yang akan dicari

26

Contoh Hitung xx 2 1

dx

1

x x2 1A BxC

x x21

1 (Bx c)x

xx 2 1

Ax 2

Jawab

cx A1 (A B)x 21 Ax 2 1 (Bx c)x

A+B=0

C=0 A=1

B=-1

1

dx 1

dx x

dx xx2 1 x x 2 1

2x

x x d(x 2 1)

x2 1dx x2 1

2

2 x2 1

1

d (x 1)

2 ln | x |

1ln(x2 1)C

27

a xi i i

pQ x b x c2

p

i iiiiiiiiiii a x b xa x c Ap xBp

a x b xc b xc

Q b xc x a x

Px

2p12

Ap1xBp1

22

A2xB2

2

A1xB1 ...

A1,A2 ,...,Ap1,Ap danB1,B2 ,...,Bp1,Bp

Kasus 4 Kuadratik berulang

Misal

Maka

Dimana konstanta yang akan dicari

2 2dx

6 x2 15x 22

x 3x 2Contoh Hitung

6x215x 22 A BxC DxE

x3x222x3

x22x222

28

Ax222 (BxC)x22x3 (DxE)(x 3)

x3x222

Jawab :

6x2 15x 22 Ax222 (BxC)x22x3 (DxE)(x3)

6x2 15x 22 (A B)x4 (3B C)x3 (4A 2B 3C D)x2

(6B 2C 3D E)x (4A 6C 3E)

Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh

A+B=0 3B+C=0

Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3D=-5, E=0

dx 1

dxx3

dx 5x

dx x3 x22 x222 x3x222

6x215x22

dx 2x 2 2

2xdx

5

2 2 (x 2)2dx 3

dx

1 2x x 3 2 x 2

2

29

3

2C.

2(x2 2)2 tan

x 5 ln | x 3 |

1ln(x 2 2) 1

4A+2B+3C+D=66B+2C+3D+E=-154A+6C+3E=22

Sehingga

30

Catatan jika

dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga

der(P(x)) der(Q(x)) , bagi terlebih

P(x) H (x)

S(x) ,der(S(x)) der(Q(x))Q(x) Q(x)

Contoh Hitung

dx 4

x 2

2x2 x 4x3

Der(P(x))=3>der(Q(x))=2

4x 2

Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)

x +2

x3 2x2 x 4

x3 4x

2x2 5x 4

2x 2 8

5x+4

4 4 x 2

5x 4x 2

x 2

2x2 x 4

x3

31

A B

x2 4 (x 2)(x 2) (x 2) (x 2)

5x 4

5x 4

A(x 2) B(x 2)

(x 2)(x 2)

5x 4 A(x 2) B(x 2) ………………………..(*)

Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2

Untuk x = 2

Untuk x = -2

5.2+4=A(2+2)

5.(-2)+4=B(-2-2)

A=7/2

B=3/2

dx (x 2)dx2 x 2

dx2 x 2

dx4 x2

x3 2x2 x 4 7 1 3 1

Dengan menggunakan hasil diatas :

1

x2 2x 7

ln | x 2 | 3

ln | x 2 | C2 2 2

32

2x 1 2 dx

x 6x 18

(x 5) (x 1)

1dx

2

dx x3 2x2

5x2 3x 2

x(x 2 1)2

dx

2x2 3 x 362x 1x2 9

dx

x3

x2

+ 4dx

3x 2

2x

5x 6dx x2

x2x3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Soal Latihan

Hitung