A U US 2staffsite.stimata.ac.id/assets/uploads/files/download/... · · 2017-03-23... misal, x2,...

KALKULUS 2

STIMATA BY : SRI ESTI

KALKULUS 2

Oleh :

SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI

082334051324

Bahan Bacaan / Refferensi :

1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book

Company.

2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan

Tinggi, Gahlia Indonesia.

3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit

Erlangga

KALKULUS 2


BAB I

INTEGRAL TAK TERTENTU

1. PENGERTIAN INTEGRAL TAK TERTENTU

Jika F(x) adalah sebuah fungsi yang turunannya F1(x) = f(x) berada pada suatu selang

tertentu disebut sumbu x, maka F(x) disebut anti turunan atau integral tak tertentu dari f(x).

Integral tak tertentu dari suatu fungsi tidak bersifat satu-satunya; sebagai contoh, misal, x2, x

2

+ 5, x2 – 3 adalah integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x, karena

xxdx

dx

dx

dx

dx

d2)4()5()( 222 .

Kemudian semua integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x dikelompokkan dalam x2 + c,

dimana c disebut konstanta integrasi dan adalah sembarang konstanta. Himpunan semua

fungsi yang turunannya = f(x) dinyatakan dengan lambang dxxf )( .

cxFdxxf )()( , f(x) disebut integran untuk fungsi yang diintegrasikan.

Contoh : 1. cx

dxx4

43

2. cx

cx

dxxx

d

1

1

12

2

3. cx

dxx2

2

2. SIFAT-SIFAT DAN RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TERTENTU

1. cxfdxxfdx

d)()]([

2. xdarifungsivdanudxvdxudxvu ,)(

3. xdarifungsiutakonsdxudxu ,tan,

4. 1,1

1

ncn

uduu

nn

5. cuu

du ln

6. 1,0,ln

aaca

adua

uu

KALKULUS 2


7. cedue uu

8. cuduu cossin

9. cuduu sincos

10. cuduu seclntan

11. cuduuctg sinln

12. cuuduu tanseclnsec

13. cuctguecduuec coslncos

14. cuduu tansec2

15. cuctgduuec 2cos

16. cuduuu sectansec

17. cuecduuctguec coscos

18.

ca

uarc

ua

dusin

22

19.

ca

uarc

aua

dutan

122

20.

ca

uarc

aauu

dusec

1

22

21. cau

au

aau

du

ln2

122

22.

c

ua

ua

aua

duln

2

122

23. cauuau

du

22

22ln

24. cauuau

du

22

22ln

25. ca

uarcauauduua sin

2

1

2

1 22222

26. cauuaauuduau 2222222 ln

2

1

2

1

KALKULUS 2


27. cauuaauuduau 2222222 ln

2

1

2

1

RUMUS DASAR TURUNAN

1.

2.

3.

a.

b.

c.

d.

e.

f. tg x

4. :

a)

b)

5.

a)

b)

6.

a)

√

b)

√

c)

d)

e)

√

f)

√

KALKULUS 2


3. INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI

Dalam menyelesaikan soal integral, kita usahakan pertama-tama mengubahnya ke

bentuk rumus dasar di atas dengan substitusi. Metode ini disebut metode substitusi.

Contoh :

a) cx

dxx6

65

b) cx

cxcx

dxxx

dx

3

31

31

31

34

3 4

33

c) cxxxdxdxxdxxdxxx 32

5

3

2352)352( 2322

d) dxxdxxdxxxdxxdxxxxdxxx 23

21

)()1(

cxx 25

23

5

2

3

2

Latihan soal :

1. 3x

dx 9. dxx 6

2. dzz3 10. dxxx )592( 3

3. dss 2)43( 11. dxxx )2033

4( 3

4. dxx

xx

2

23 45 12. 3 2x

dx

5. dxxx )43( 6 13. dxxxx )52( 3

6. ∫

14. ∫( )

7. ∫( ) 15. ∫( )

8. ∫( ) 16. ∫(√

√ )

KALKULUS 2


4. INTEGRASI DENGAN MENGUBAH DIFFERENSIAL

Hitunglah :

a) dxxx 223 3)2(

Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan x3 + 2 = u, maka differensial dari u

adalah du = 3x2 dx → dx =

23x

du

cxcuduux

duxudxxx

3332

2

22223 )2(3

1

3

1

333)2(

b) 33

2

)2(

8

x

dxx, misalkan x

3 + 2 = u, maka du = 3x

2 dx → dx =

23x

du

cucuduuu

du

x

du

u

x

x

dxx

223

323

2

33

2

3

4)

2

1(

3

8

3

8

3

8

3

8

)2(

8

cx

2(3

43

c) dxxx 2213 , misalkan 1 - 2x2 = u, maka du = - 4x dx → dx = -

x

du

4

cucuduux

duuxdxxx 2

32

32

12

2

1

3

2

4

3

4

3

43213

cxx 22 21)21(2

1

d) cxx

dxln

e) 32x

dx, misalkan 2x – 3 = u, maka du = 2 dx → dx =

2

du

cxcuu

dudu

ux

dx

32ln2

1ln

2

1

2

1

2

1

32

f) dxe x , misalkan –x = u, maka du = - dx → dx = - du

cecedueduedxe xuuux

g) dxa x2 , misalkan 2x = u, maka du = 2dx → dx = 2

du

ca

adua

duadxa

uuux ln2

1

2

1

2

2

KALKULUS 2


h) dxxx cossin 2 , misalkan sin x = u, maka du = cos x dx → dx = x

du

cos

cx

cu

duux

duxudxxx 3

sin

3coscoscossin

23222

i) cx

arcx

dx

x

dx

3

2tan

6

1

3)2(

2

2

1

94 222

j) cx

x

x

dx

x

dx

43

43ln

24

1

16)3(

3

3

1

169 22

k) cx

arcxxx

dxxdxxx

2

1sin223

2

1)1(423 222

Latihan soal :

1. dxxx2

21

3 )2( 2. dxx

x

4 3

2

2

3. dxxx 3 21

4.

31

2 )6(

)3(

xx

dxx

5. dxxx 42 2

6. dxx

x

2)1(

7. 12x

dxx

8. dx

x

x

1

2

9. dxx

e x

2

1

10. 1xe

dx

11. ∫

12. ∫

13. ∫

√

5. INTEGRAL PARSIAL

Metode integral parsial umumnya digunakan pada integral yang mengandung fungsi

logaritma atau perkalian polinom nx dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau xn sin x,

juga perkalian fungsi eksponensial xn e

ax, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi

trigonometri seperti e2x

sinx. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar.

Pandang u dan v yang diferensiabel dari x, maka :

d(uv) = u dv + v du

KALKULUS 2


u dv = d(uv) – v du

Bila ini diintegralkan diperoleh bentuk yang dinamakan integral parsial :

Yang perlu diperhatikan pada metode ini :

1) Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegralkan

2) duv harus tidak lebih sukar daripada dvu

Contoh :

1. dxxln : ambil u = ln x → du = dxx

1

dv = dx → v = x

duvuvdxxln

cxxxdxxxdxx

xxx lnln1

ln

2. dxxtgarc : ambil u = arc tg x → du = dxx 21

1

dv = dx → v = x

dx

xxxtgarcxdxxtgarc

21

1

dxx

x 21

: ambil 1 + x2 = t → dt = 2x dx

dx = x

dt

2

maka cxctxt

dtx

21ln2

1ln

2

1

2

Jadi :

cxxtgarcxdxx

xxtgarcxdxxtgarc

2

21ln

2

1

1

Latihan soal :

KALKULUS 2


1. dxxx sin 6. dxxarc sin

2. dxxe x 2sin 7. dxx3sec

3. dxxx 1 8. dxxx sin2

4. dxxx ln2 9. dxex x23

5. dxx2sin 10. dxxx cos

6. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Kesamaan-kesamaan berikut sangat bermanfaat untuk menghitung integral dari fungsi

trigonometri :

1) sin2 x + cos

2 x = 1

2) 1+ tg2

x = sec2 x

3) 1+ ctg2

x = cosec2

x

4) sin2 x = )2cos1(

21 x

5) cos2x = )2cos1(

21 x

6) 2 sin x cos x = sin 2x

7) sin x cos y = )sin()sin(21 yxyx

8) sin x sin y = )cos()cos(21 yxyx

9) cos x cos y = )cos()cos(21 yxyx

10) (1 - cos x) = 2 sin2 x

21

11) (1 + cos x) = 2 cos 2 x

21

12) (1 ± sin x ) = 1 ± cos (21 π – x)

Contoh :

1. cxxdxxdxdxxdxx 2sin2cos)2cos1(sin41

21

21

21

212

2. cxxdxxdxdxxdxx 6sin6cos)6cos1(3cos121

21

21

21

212

3. dxxxdxxdxxxdxxxdxx sincossinsin)cos1(sinsinsin 2223

= cxxxdxdxx 3

312 coscos)(coscoscos

KALKULUS 2


Latihan soal :

1) dxx5cos 6) dxx 23

)3cos1(

2) dxxx 3sin2sin 7) dxxtg 4

3) dxxx 2sin2cos 34 8) dxx2sec4

4) dxxx 22 cossin 9) dxxxtg 3sec3 43

5) dxxcos1 10) dxxctg 23

7. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Sebuah integran, yang mengandung salah satu dari bentuk 222 xba ,

222 xba atau

222 axb tanpa faktor-faktor irrasional yang lain, bisa diubah bentuk menjadi bentuk lain

yang berupa fungsi-fungsi geometris dari sebuah variabel seperti berikut :

Integran Substitusi Menjadi

222 xba zb

ax sin zaza cossin1 2

222 xba ztgb

ax zaztga sec1 2

222 axb zb

ax sec ztgaza 1sec2

Pada setiap kasus, integrasi menghasilkan ungkapan-ungkapan dalam variabel baru z.

Padanannya dalam variabel semula bisa didapatkan melalui penggunaan sebuah segitiga siku-

siku.

Contoh :

Carilah 22 4 xx

dx

misalkan ; x= 2 tg z → dx = 2 sec2z dz

2

x Terdapat bentuk dan tidak ada faktor irrasional yang

lain

KALKULUS 2


zztgx sec2444 22

cx

x

cz

zdzdzzz

zz

dzz

ztg

dzz

zztg

dzz

zztg

dzz

xx

dx

4

4

sin4

1)(sinsin

4

1cossin

4

1

cossin

cos

4

1sec

4

1

sec24

sec2

sec2)2(

sec2

4

2

22

2

2

22

2

2

2

22

Latihan soal :

1. dxx

x

42

2

2.

dxx

x249

3. 1625 22 xx

dx

4. 249 xx

dx

5.

dxx

x6

2/32 )916(

8. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Suatu fungsi )(

)()(

xg

xfxF dimana f(x) dan g(x) polinom (suku banyak) disebut suatu

fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x) lebih kecil daripada derajat g(x), F(x) disebut

sebenarnya di dalam hal lain disebut fungsi pecahan rasional tidak sebenarnya (improper).

Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, kita berusaha

menyatakan fungsi tersebut sebagai penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction),

dimana penyebutnya berbentuk (ax + b)n atau (ax

2 + bx + c)

n, n bilangan bulat positif. Bentuk

dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi tersebut.

2

x

3 2x

4

5x

3

2x

4

4 3x

KALKULUS 2


8.1. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERBEDA

g(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ……. (anx + bn)

Maka :

nn

n

ba

A

bxa

A

bxa

AxF

22

2

11

1)(

Contoh :

Tentukan : dxxx

x

124

12

Penyelesaian :

Penyebut : x2 – 4 – 12 = (x – 6)(x + 2)

Oleh karena itu, pecahan rasional dapat ditulis :

)2)(6(

)62()(

)2)(6(

)6()2(

26)2)(6(

1 21212121

xx

AAxAA

xx

xAxA

x

A

x

A

xx

x

Maka dipenuhi bentuk :

x + 1 = (A1 + A2)x + (2A1 -6A2)

A1 + A2 = 1 2A1 + 2A2 = 2 A1 + 1/8 = 1

2A1 -6A2 = 1 2A1 - 6A2 = 1 _ A2 = 7/8

8A2 = 1

A2 = 1/8

Jadi:

)2(8

1

)6(8

7

124

1)(

2

xxxx

xxF

cxxx

dx

x

dxdx

xx

x

2ln

8

16ln

8

7

)2(8)6(8

7

124

12

Latihan soal:

1. ∫

124

1)(

2

xx

xxF

KALKULUS 2


2. ∫

3. ∫

4. ∫

5. ∫

8.2. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERULANG

Kalau pada g(x) terdapat (ax + b) berulang m kali, misalnya : g(x) = (ax + b)m

, maka :

mbax

A

bax

A

bax

AxF

)()()( 2

2

21

Contoh:

Tentukan dxx

x 2)3(

Penyelesaian :

2

211

2

21

2

21

2

)3(

3(

)3(

)3(

)3(3)3()(

x

AAxA

x

AxA

x

A

x

A

x

xxF

diperoleh :

A1=1

-3A1 + A2 = 0 → -3 + A2 = 0 A2 = 3

Jadi :

1.

cx

xx

dx

x

dxdx

x

x

3

33ln

)3(

3

3)3( 22

Latihan soal :

1.

dx

xx

x2)2(

4

2. dxxx

x

67

123

22 )3(

3

3

1

)3()(

xxx

xxF

KALKULUS 2


3. dxxxx

xx

)4)(1(

22025 2

4.

2

2

)3)(2(

)19223(

xx

dxxx

5.

23

2

)2(

)2(

xx

dxx

6. ∫

BAB II

INTEGRAL TERTENTU

KALKULUS 2


1. PENGERTIAN INTEGRAL TERTENTU

b

a

dxxf )( , disebut integral tertentu dari f(x) terhadap x, dari x = a sampai x = b,

f(x) disebut integrand, a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas

2. THEOREME NEWTON – LEIBMIZTZ

Bila f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan F(x) suatu integral tak tentu dari f(x) maka :

Contoh :

1. 4

15

4

1

4

16

4

1

4

2

4

442

1

42

1

3 x

dxx

2. 2

10sin

2

1

2sin

2

1)0.2(sin

2

1)

4.2(sin

2

12sin

2

12cos 4

0

4

0

xdxx

3.

ee

eeeeedxexx 1

2)(222 122

22

2

2

2

2

22

3. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

1.

a

a

dxxf 0)(

2. b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

3.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4.

b

a

b

a

takonsuntukdxxfdxxf tan,)()(

5.

c

a

b

c

b

a

bcabiladxxfdxxfdxxf ,)()()(

KALKULUS 2


Latihan soal :

1)

2

0

2)2( dxx

2)

2

0

)2( dxx

3)

3

0

2 )23( dxxx

4)

2

1

2 )1( dttt

5)

4

1

)1( duuu

6) ∫ ( )

7) ∫ ( )

8)

4. INTEGRAL TAK WAJAR

Integral tertentu b

a

dxxf )( disebut integral tak wajar (improper integral) bila :

1. Integrand f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada a ≤ x ≤ b; atau bila :

2. Paling sedikit satu dari batas integral adalah tak terhingga

Kasus (1) :

a) Jika f(x) dx kontinu pada a≤x<b tetapi diskontinu pada x = b didefinisikan :

b

a

b

ao

dxxfdxxf )(lim)( , asalkan harga limit tsb ada

Contoh :

2

1sin3

)03(sinlim

9 0

3

02

arcarcx

dx

b) Jika f(x) dx kontinu pada a < x ≤ b tetapi diskontinu pada x = a didefinisikan :

KALKULUS 2


b

a

b

ao

dxxfdxxf

)(lim)( , asalkan harga limit tsb ada

Contoh :

∫

∫

Harga limit tersebut tidak ada, integral tersebut tidak mempunyai arti (divergen)

c) Jika f(x) kontinyu di semua x pada a ≤ x ≤ b, kecuali di x = c, a < c < b didefinisikan

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Asalkan harga kedua limit ada.

Contoh :

I = ∫

√

I = ∫

√ ∫

√

=

( )

⌈

( )

|

= {

( )

} {

√

}

=

(√

)

Kasus (2)

i. Jika f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )

,

asalkan harga limit tersebut ada.

ii. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ b didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )

,

asalkan harga limit tersebut ada.

iii. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( )

, asalkan harga limit tersebut ada.

Contoh :

1) I = ∫

∫

|

( )

2) I = ∫

∫

∫

|

|

3) I = ∫

∫

|

KALKULUS 2


Latihan soal:

1. ∫

√

, diskontinu pada x = 0

2. ∫


3. ∫

√


4. ∫

5. ∫

( )

6. ∫

7. , diskontinu pada x = -2

8. , diskontinu pada x = 1

9.

10.

1

2

2 1x

dxx

1

1

dxxxe

2

22 )1( x

dxx

)162(x

dx

A U US 2staffsite.stimata.ac.id/assets/uploads/files/download/... · · 2017-03-23... misal, x2,...

Documents

Transcript of A U US 2staffsite.stimata.ac.id/assets/uploads/files/download/... · · 2017-03-23... misal, x2,...