Bab 1

Osilasi Penyusun: Andhy Setiawan

Pendahuluan

Pada Bab 1 ini Anda akan mempelajari mengenai Osilasi Satu Derajat Kebebasan dan Osilasi

Dua Derajat Kebebasan. Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan memiliki kemampuan

untuk:

1. Menjelaskan ciri sistim osilasi dengan satu dan dua derajat kebebasan.

2. Menjelaskan gaya pulih dan inersia sebagai sifat fisika penyebab osilasi

3. Menurunkan persamaan osilasi dan frekuensi osilasi harmonis sederhana, osilasi teredam

dan osilasi teredam dengan gaya pemacu.

4. Menjelaskan macam-macam dan syarat terjadinya osilasi teredam.

5. Menentukan fungsi-fungsi osilasi harmonis sederhana, osilasi teredam dan osilasi teredam

dengan gaya pemacu.

6. Menjelaskan peristiwa resonansi berdasarkan hubungan antara frekuensi alamiah,

frekuensi sumber dan amplitude osilasi

7. Menurunkan persamaan dan menentukan frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi

pada osilasi gandeng (dua derajat kebebasan).

8. menentukan perbandingan amplitudo pada mode rendah dan mode tinggi dari sistem

osilasi gandeng serta menjelaskan perbedaan gerak osilasi pusat massa dan gerak osilasi

relatif pada sistem osilasi gandeng pegas.

Kemampuan tersebut sangat penting bagi guru sekolah menengah. Dengan memperoleh

kemampuan tersebut Anda akan semakin percaya diri dalam mengajar sehingga Anda dapat

mempersiapkan dan melaksanakan proses pembelajaran secara mantap, menarik dan

menyenangkan.

Sesuai dengan kemampuan yang diharapkan tercapai, uraian dalam bab ini tidak dapat terlepas

dari analisis secara matematis. Dalam mempelajari bab ini, sebaiknya Anda terlebih dahulu

telah mempersiapkan pengetahuan matematika tentang deret pangkat, fungsi periodik,

persamaan differensial orde dua baik yang homogen maupun yang tidak homogen beserta

penyelesainnya, dan cara matriks dalam penyelesaian dua persamaan.

1.1

1.2 B A B 1 Osilasi

Berdasarkan teori gangguan, gelombang dipandang sebagai gejala gangguan dari suatu sumber

yang merambat ke ruang sekitarnya. Gangguan tersebut berupa sistem yang berosilasi.

Dengan demikian pemahaman mengenai osilasi ini merupakan dasar unuk memahami

gelombang.

Untuk membantu Anda dalam menguasai hal tersebut di atas, dalam bab ini akan

disajikan uraian materi beserta tes formatif yang terbagi dalam dua kegiatan belajar sebagai

berikut:

Kegiatan Belajar 1: Osilasi Satu Derajat Kebebasan

a. Derajat Kebebasan Sistem Osilasi dan Sifat Intrinsik Penyebab Osilasi

b. Osilasi Harmonik Sederhana

c. Osilasi Teredam

d. Osilasi Teredam dengan Gaya Pemacu

Kegiatan Belajar 2: Osilasi Dua Derajat Kebebasan

a. Osilasi Gandeng Pegas

b. Osilasi Gandeng pada Rangkaian LC

Agar Anda lebih berhasil dalam mempelajari materi tersebut, ikuti petunjuk sebagai berikut:

1. Bacalah dengan cermat bagian Pendahuluan ini sampai Anda mengetahui betul

kemampuan apa yang harus tercapai setelah mempelajari bab ini.

2. Baca sepintas secara keseluruan dan carilah konsep-konsep yang bersifat prinsip. Pahami

terlebih dahulu setiap kasus atau sistem yang ditinjau dalam pembahasan. Pelajari

pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri atau bertukar pikiran dengan

teman.

3. Ulangi dan lakukan sendiri setiap langkah dalam penurunan persamaan dan analisis yang

bersifat matematis. Pahami terlebih dahulu apa yang akan ditentukan melalui pembahasan

secara matematis tersebut.

4. Terapkan prinsip-prinsip yang telah Anda peroleh dalam situasi yang mungkin Anda

temukan dalam kejadian sehari-hari.

5. Mantapkan pemahaman dan kemampuan Anda melalui diskusi dalam kelompok atau

dengan teman.

1.3 B A B 1 Osilasi

Kegiatan Belajar 1

Osilasi Satu Derajat Kebebasan

Secara umum osilasi merupakan perubahan besar dan/atau arah dari suatu besaran fisika

secara periodik. Pada sistem mekanik dikenal gerak osilasi yang merupakan gerak bolak balik

di sekitar titik kesetimbangan. Karena gerak merupakan perubahan posisi, maka gerak bolak-

balik ini dapat dikatakan sebagai perubahan posisi secara berulang atau periodik. Dengan

demikian besaran fisika yang berubah secara periodik pada gerak osilasi adalah besaran-

besaran yang berhubungan dengan posisi, seperti sudut, perpindahan atau pertambahan

panjang pegas, kecepatan, percepatan dan lain-lain. Pada rangkaian tertutup induktor L dan

kapasitor C bermuatan (rangkaian LC) terjadi juga osilasi. Osilasi terjadi karena adanya proses

pengosongan dan pengisian muatan pada kapasitor yang terjadi secara periodik. Dalam hal ini

besaran fisika yang besarnya berubah secara periodik adalah besaran yang berhubungan

dengan muatan antara lain muatan pada kapasitor, dan arus pada rangkaian tersebut.

Pada kegiatan belajar ini dibahas mengenai sistem osilasi satu derajat kebebasan yang meliputi

osilasi harmonic sederhana, osilasi teredam dan osilasi teredam dengan gaya pemacu.

Pembahasan dilakukan dengan meninjau osilasi pada sistem bandul, sistem pegas dan

rangkaian LC. Sebelum membahas osilasi satu derajat kebebasan tersebut, terlebih

dahulu dibahas mengenai derajat kebebasan suatu sistem osilasi dan sifat instrinsik dari sistem

yang dapat menyebabkan terjadinya osilasi khususnya pada osilasi harmonic sederhana. A. Derajat Kebebasan Sistem Osilasi dan Sifat Intrinsik Penyebab Osilasi

Besaran fisika yang berubah secara periodik pada suatu sistem osilasi secara matematis

dapat dinyatakan oleh suatu fungsi periodik antara lain fungsi sinus, cosinus dan

fungsi kompleks. Jika besaran fisika yang berosilasi dinyatakan oleh , maka fungsi osilasi

dapat ditulis sebagai:

, atau , atau , (1.1)

dengan dibaca sebagai fungsi waktu, m = maksimum atau amplitudo, = frekuensi

osilasi, t = waktu, dan = konstanta yang besarnya bergantung pada syarat awal (pada t = 0).

Pada osilasi bandul dapat berupa sudut yang terbentuk antara tali dengan garis vertical,

1.4 B A B 1 Osilasi

pada osilasi pegas menyatakan perpindahan benda dari posisi kesetimbangannya. Pada

rangkaian LC, menyatakan arus listrik di dalam induktor atau muatan di dalam kapasitor.

Jika kita tinjau sistem osilasi bandul sederhana, suatu benda pada pegas, dan

rangkaian LC yang terdiri dari masing-masing satu L dan C, maka besaran fisika yang

berosilasi dapat dinyatakan secara lengkap cukup dengan satu fungsi seperti pada persamaan

(1.1). Sistem osilasi yang demikian disebut sebagai sistem osilasi satu derajat kebebasan.

Sebagai contoh, pada sistem osilasi bandul sederhana hanya ada satu osilasi sudut sehingga

cukup dinyatakan dengan satu fungsi osilasi sudut, begitu pula pada sistem satu benda satu

pegas cukup dinyatakan dengan satu fungsi osilasi perpindahan/simpangan pegas, dan pada

rangkaian LC cukup dinyatakan dengan satu fungsi osilasi muatan atau fungsi osilasi arus.

Dengan kata lain hanya ada satu besaran fisika yang berosilasi sehingga besaran tersebut

secara lengkap dapat dinyatakan dengan satu fungsi.

Lain halnya jika besaran fisika yang berosilasi perlu dinyatakan menggunakan dua

fungsi osilasi misalnya 1 dan 2 untuk menyatakan keadaan osilasi secara lengkap, maka

dikatan sistem osilasi dua derajat kebebasan. Begitu seterusnya, jika keadaan osilasi dapat

dinyatakan secara lengkap oleh N buah fungsi osilasi dari besaran sejenis, maka dikatan

osilasi N derajat kebebasan.

Gerak osilasi seperti yang dinyatakan oleh fungsi dalam persamaan (1.1) disebabkan oleh

sifat instrinsik yang saling berlawanan, yaitu gaya pulih dan inersia. Gaya pulih

cenderung mengembalikan benda kepada posisi kesetimbangannya. Dengan kata lain

cenderung mengembalikan simpangan benda menjadi nol. Inersia merupakan

kecenderungan suatu benda untuk mempertahankan keadaan geraknya.

Misalkan pada sistem bandul atau pegas, ketika diberi simpangan awal tanpa

kecepatan (ddt awal = 0), maka gaya pulih menyebabkan terjadinya perubahan menuju

nol dan perubahan kecepatan dengan arah berlawanan dengan arah . Kecepatan benda

sesaat setelah dilepaskan juga berlawanan dengan arah . Jadi sejak benda dilepaskan dari

simpangan awalnya, kecepatan benda setiap saat searah dengan gaya pulihnya sampai benda

mencapai titik kesetimbangan.

Ketika sampai pada titik kesetimbangan maka = 0, sehingga gaya pulih sama

dengan nol, dan kecepatannya maksimum. Sifat inersia menyebabkan benda tetap

melanjutkan geraknya sehingga menyimpang dalam arah yang berlawanan dengan arah

simpangan awalnya. Karena setelah melewati titik kesetimbangan ini simpangan benda

berlawanan arah dengan simpangan awalnya, maka gaya pulihnya sekarang berbalik arah

1.5 B A B 1 Osilasi

atau berlawanan arah dengan arah kecepatan sesaatnya. Seiring dengan bertambahnya

simpangan, besarnya gaya pulih semakin besar melawan sifat inersia yaitu kecepatan yang

arahnya berlawanan sehingga besarnya kecepatan sesaat akan terus berkurang. Karena terus

berkurang maka suatu saat kecepatan benda akan sama dengan nol yang akan tercapai saat

besarnya gaya pulih maksimum, yaitu pada saat simpangannya maksimum. Sesaat setelah

kondisi ini tercapai, gaya pulih yang maksimum ini akan menyebabkan benda berbalik arah

sehingga kecepatannya menjadi searah dengan gaya pulih tersebut. Selanjutnya terjadi proses

seperti proses setelah diberi simpangan awal tetapi dengan arah yang berlawanan sehingga

benda akan kembali pada titik saat diberi simpangan awal tadi. Siklus ini berjalan terus

menerus. Gaya pulih cenderung mengembalikan menjadi nol, menghasilkan kecepatan.

Inersia mempertahankan kecepatan ddt dan menyebabkan kelebihan ( overshoot) atau

perubahan arah sehingga sistim berosilasi. B. Osilasi Harmonik Sederhana

B.1 Bandul Sederhana

Gambar 1.1 Osilasi pada bandul sederhana

Tinjau sistem bandul sederhana dengan panjang tali L dan massa m. Mula-mula

bandul diberi sedikit simpangan kemudian dilepaskan sehingga bandul berayun. Keadaan

umum gerak bandul seperti terlihat pada Gambar 1.1.

Proyeksi gaya berat terhadap arah yang tegak lurus dengan tali merupakan gaya yang

cenderung mengembalikan benda pada posisi kesetimbangannya sehingga dapat disebut

sebagai gaya pulih pada sistem tersebut. Jadi gaya pulih dapat ditulis sebagai

1.6 B A B 1 Osilasi

, (1.2)

dengan g = percepatan gravitasi bumi. Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pulih selalu

berlawanan arah dengan . Berdasarkan Gambar 1.1 besarnya perpindahan s benda dapat dinyatakan sebagai , sehingga kecepatannya , dan percepatannya

. (1.3)

Persamaan gerak benda dapat diperoleh melalui penerapan Hukum II Newton, yaitu

sehingga dengan substitusi persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh

,

atau dapat ditulis sebagai

. (1.4) Untuk simpangan yang kecil, nilai (dapat diperoleh dengan cara menguraikan

dalam bentuk deret pangkat dan memasukkan nilai yang kecil). Dengan demikian maka persamaan (1.4) menjadi

(1.5) dengan .

Persamaan (1.5) merupakan persamaan differensial orde dua yang homogen, atau disebut

sebagai persamaan osilasi harmonik sederhana. Persamaan (1.1) dapat menjadi solusi dari

persamaan (1.5) ini, sehingga fungsi pada persamaan (1.1) dapat dikatakan sebagai fungsi

osilasi harmonik sederhana. Berdasarkan fungsi osilasi pada persamaan (1.1) tersebut

dapat diketahui bahwa satuan untuk adalah rad/s yang merupakan satuan frekuensi sudut,

sehingga ini disebut sebagai frekuensi sudut. Jadi frekuensi sudut osilasi harmonic sederhana pada bandul adalah .

1.7 B A B 1 Osilasi

B.2 Pegas

Ditinjau sistem yang terdiri atas suatu benda bermassa m dan satu pegas dengan

konstanta pegas k. Gesekan antara lantai dengan pegas diabaikan. Keadaan setimbang sistem

tersebut terlihat pada Gambar 1.2a. Benda bermassa m itu ditarik sehingga menyimpang atau

diberi sedikit simpangan awal dan kemudian dilepaskan sehingga benda bergerak. Posisi

benda secara umum dinyatakan sebagai dan keadaan umum ini diilustrasikan pada Gambar

1.2b.

k m (a)

(b)

Gambar 1.2 Osilasi pada pegas (a) keadaan setimbang dan (b) kedaan umum

Saat benda menyimpang sebesar , maka benda tersebut mendapatkan gaya pulih

yang tiada lain adalah gaya oleh pegas sebesar

. (1.6) Tanda negatif pada ruas kanan persamaan (1.6)

menunjukkan bahwa gaya pulih selalu

berlawanan arah dengan simpangan . Posisi benda terhadap titik kesetimbangan pada sembarang waktu dinyatakan oleh

seperti tampak pada Gambar 1.2. Dengan demikian percepatan yang dialami benda dapat

dinyatakan sebagai

. (1.7)

Seperti halnya pada bandul, persamaan gerak benda tersebut dapat diturunkan berdasarkan

Hukum II Newton. Dengan substitusi persamaan (1.6) dan (1.7) pada persamaan Hukum II

Newton maka diperoleh atau

sehingga dapat diditulis ulang menjadi

, (1.8)

1.8 B A B 1 Osilasi dengan .

Persamaan (1.8) sama dengan persamaan (1.5) yang merupakan persamaan differensial

orde dua yang homogen, atau disebut sebagai persamaan osilasi harmonik sederhana.

Walaupun kedua persamaan ini sama, tetapi besaran yang terlibat di dalamnya berbeda sesuai

dengan tinjauannya masing-masing. Solusi persamaan (1.8) merupakan fungsi yang sama

dengan solusi persamaan (1.5) yaitu berupa fungsi osilasi harmonik sederhana yang dapat

dinyatakan oleh persamaan (1.1). Berdasarkan fungsi osilasi pada persamaan (1.1) tersebut

maka untuk kasus sistem osilasi harmonik sederhana pada pegas seperti ini frekuensi sudut dapat dinyatakan sebagai .

Untuk lebih memahami penurunan persamaan osilasi harmonic sederhana beserta penentuan

frekuensi osilasinya dapat ditinjau sistem satu benda yang terikat pada dua pegas dengan

gesekan diabaikan seperti pada Gambar 1.3. Masing-masing pegas memiliki konstanta k 1 dan k2. Bagaimanakah persamaan osilasinya?, dan bagaimanakah frekuensinya?

Seperti nampak pada Gambar 1.3, ketika benda menyimpang dari titik

kesetimbangannya, setiap pegas memberikan gaya pulih yang besarnya bergantung pada

konstanta masing-masing pegas dan besarnya simpangan . Gaya pulih oleh masing-masing

pegas adalah dan .

k1

m k2

(a)

(b)

Gambar 1.3 Osilasi satu benda pada dua pegas (a) keadaan setimbang, dan (b) kedaan umum

Gaya pulih total pada benda merupakan jumlah dari kedua gaya pulih tersebut yaitu

atau dapat ditulis . Jika kedua pegas tersebut identik maka sehingga gaya pulih totalnya menjadi . Substitusi persamaan gaya

pulih ini pada persamaan gerak Hukum II Newton maka diperoleh

1.9 B A B 1 Osilasi

atau sehingga dapat diditulis ulang menjadi persamaan yang sama dengan persamaan (1.8) tetapi

dengan . Jadi untuk kasus dua pegas seperti ini frekuensi sudut osilasi akan menjadi lebih besar dibandingkan frekuensi sudut osilasi satu pegas. Untuk kasus dua pegas dengan konstanta pegas yang sama yaitu menjadi sebesar . Dengan demikian

dapat disimpulkan bahwa fungsi osilasi untuk sitem satu benda yang terikat pada dua pegas

sama seperti pada sistem satu benda yang terikat pada satu pegas, yang berbeda adalah

frekuensinya menjadi lebih besar yaitu sebesar akar dua kalinya.

B.3 Rangkaian LC

Berikut ini akan dibahas osilasi harmonik sederhana pada rangkaian sederhana LC

(induktor dengan nilai induktansi sebesar L yang hambatan murninya diabaikan, dan

kapasitor dengan nilai kapasitansi sebesar C). Besaran yang nilainya berosilasi pada kasus ini

dapat berupa muatan Q pada kapasitor atau arus I yang melalui induktor. Rangkaian LC

sederhana yang ditinjau dapat dilihat pada Gambar 1.4. Mula-mula kapasitor dimuati sedemikian rupa sehingga muatan pada kapasitor menjadi sebesar Q 0. Kapasitor yang telah

dimuati ini kemudian dihubungkan dengan induktor dengan cara mengatur saklar S pada

kondisi on, sehingga rangkaian menjadi tertutup.

Gambar 1.4 Rangkaian sederhan LC

Setelah rangkaian tertutup maka mulai terjadi pengosongan muatan pada kapasitor, dan arus mulai mengalir pada inductor. Beda potensial antara ujng-ujung induktor V

antara ujung-ujung kapasitor VC masing-masing adalah

L dan

dan . (1.9)

1.10 B A B 1 Osilasi

Dengan menggunakan kaidah simpal Kirchoff yang dalam tinjauan kasus ini dapat dinyatakan

sebagai

. (1.10) Dengan substitusi persamaan (1.9) pada persamaan

(1.10) diperoleh persamaan

atau ditulis . (1.11) Persamaan (1.11) mengandung variable I dan Q. Untuk memperoleh persamaan osilasi

muatan atau osilasi arus maka persamaan tersebut perlu dimodifikasi terlebih dahulu agar

variabelnya homogen. Hubungan arus dan muatan dinyatakan oleh I = dQ/dt. Jika ini

disubstitusikan pada persamaan (1.11) maka diperoleh persamaan osilasi muatan yakni

. (1.12) dengan .

Persamaan (1.12) merupakan persamaan osilasi muatan pada kapasitor dan memiliki bentuk

yang sama dengan persamaan (1.5) dan (1.8). Fungsi osilasi harmonik sederhana dari muatan

ini dapat menambil bentuk seperti pada persamaan (1.1) dengan frekuensi osilasi

. Misalnya diambil bentuk solusi persamaan (1.12) adalah . Pada

saat t = 0 (saklar ditutup) muatan pada pada kapasitor sebesar Q 0. Berdasarkan syarat awal ini

dapat ditentukan besarnya = 0 sehingga fungsi osilasi muatannya adalah

. (1.13)

Fungsi osilasi arus yang melalui induktor dapat diperoleh dengan cara substitusi

persamaan (1.13) pada pernyataan hubungan arus dan muatan. Dengan cara demikian diperoleh atau ditulis

. (1.14)

dangan Im = Q0. Jelas di sini bahwa arus dan muatan berbeda fase sebesar /2. Hal ini sesuai

dengan kenyataan bahwa pada t = 0, muatan pada kapasitor bernilai maksimum sebesar Q 0

sedangkan arusnya masih nol. Begitu pula sebaliknya saat Q = 0 maka arus yang mengalir

pada inductor menjadi maksimum.

1.11 B A B 1 Osilasi

Selain diturunkan dari fungsi osilasi muatan, fungsi osilasi arus dapat juga diperoleh dengan

terlebih dahulu menentukan persamaan osilasinya. Persamaan osilasi arus dapat diperoleh

dengan cara mendeferensialkan persamaan (1.12) terhadap waktu dan mensubstitusikan

hubungan arus dan muatan. Dengan cara seperti ini maka diperoleh persamaan osilasi

arus adalah

. (1.15) dengan . Solusi persamaan (1.15) ini merupakan fungsi osilasi arus. Dengan

memasukkan syarat awal maka dapat ditentukan fungsi osilasi arus dan juga fungsi osilasi

muatan (dengan mengintegralkan arus terhadap waktu). Selanjutnya dapat juga dibuktikan

bahwa arus dan muatan berbeda fase sebesar /2 sesuai dengan yang diperoleh sebelumnya. C. Osilasi Teredam (Damped Oscillation)

Pada pembahasan osilasi harmonik sederhana di atas telah diperoleh frekuensi osilasi untuk

masing-masing kasus yang ditinjau. Frekuensi osilasi harmonik sederhana ini hanya

bergantung pada besaran intrinsik sistem yang merupakan karakteristik dari sistem yang

ditinjau tersebut. Oleh karena itu frekuensi osilasi harmonik sederhana dapat disebut juga

sebagai frekuensi karakteristik atau frekuensi alamiah yang dalam pembahasan berikutnya

dinotasikan sebagai 0 . Jadi frekuensi karakteristik untuk sistem pegas dan untuk rangkaian

LC adalah berturut-turut dan .

Osilasi harmonik sederhana akan berubah menjadi osilasi teredam jika komponen yang

mewakili redaman diperhitungkan. Pada sistem mekanik, osilasi teredam terjadi jika gaya

gesekan tidak diabaikan. Jadi gaya total yang bekerja pada benda adalah jumlah dari gaya

pulih dan gaya gesek. Begitu pula pada rangkaian LC, osilasi teredam dapat terjadi jika

hambatan murni induktor diperhitungkan atau sengaja menambahkan resistor pada rangkaian

sehingga sekarang bukan lagi rangkaian LC tetapi rangkaian RLC. Dengan demikian maka

beda potensial antara ujung resistor ditambahkan dalam persamaan (1.10).

Untuk osilasi teredam pada kasus pegas, dapat ditinjau sistem osilasi seperti pada Gambar 1.2

tetapi dengan gaya gesek antara benda dan lantai tidak diabaikan. Gaya gesek atau gaya

desipasi sebanding dengan kecepatan tetapi arahnya berlawanan sehingga dapat dinyatakan

sebagai

1.12 B A B 1 Osilasi

, (1.16) dengan b disebut sebagai konstanta gaya gesek.

Gaya total yang bekerja pada benda merupakan jumlah dari gaya pulih dan gaya gesek. Oleh

karena itu, Hukum II Newton pada kasus ini dapat dituliskan sebagai

. Dengan mensubstitusikan persamaan (1.6), (1.7), dan persamaan (1.16) pada

ungkapan Hukum II Newton tersebut maka diperoleh yang dapat disusun ulang menjadi

. (1.17) Persamaan (1.17) dapat ditulis dalam ungkapan yang lebih

umum, yaitu (1.18) dengan = b/2m dikenal sebagai faktor redaman, dan disebut sebagai kuadrat dari

frekuensi karakteristik seperti yang telah dijelaskan di atas. Persamaan (1.18) ini termasuk

pada persamaan orde dua yang homogen, dan dapat dikatakan sebagai persamaan umum

osilasi teredam.

Osilasi teredam untuk muatan dan arus dapat dibahas dengan meninjau rangkaian RLC tanpa

sumber. Seperti disebutkan sebelumnya bahwa kehadiran R dapat berasal dari

hambatan murni induktor yang tidak diabaikan dan atau dari resistor yang ditambahkan pada

rangkaian. Secara sederhana rangkaian tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 1.5.

Gambar 1.5.Rangkaian sederhana RLC

Mula-mula kapasitor dimuati sampai muatannya mencapai Q 0, kemudian dihubungkan pada rangkaian seperti pada Gambar 1.5. Ketika saklar diatur pada kondisi on,

1.13 B A B 1 Osilasi

maka pada rangkaian tertutup berlaku kaidah simpal yang dalam kasus ini berupa jumlah beda

potensial pada ujung-ujung resistor, induktor dan kapasitor adalah sama dengan nol. Secara matematis dapat dituliskan sebagai V

dari persamaan (1.9) dan V

L + VR + V C = 0. Dengan menggunakan V L dan V C

R = IR, maka diperoleh persamaan

atau ditulis . (1.19)

Persamaan (1.19) dapat diungkapkan sebagai persamaan yang hanya mengandung

variable Q saja atau hanya mengandung variabel I saja dengan menggunakan hubungan I =

dQ/dt. Substitusi persamaan ini pada persamaan (1.19) akan diperoleh ungkapan dalam

bentuk Q. Sedangkan persamaan dalam ungkapan arus dapat diperoleh dengan cara

mendeferensialkan persamaan (1.19) kemudian menggunakan hubungan I dengan Q tersebut.

Persamaan osilasi teredam dalam ungkapan Q dan I yang diperoleh dangan cara tersebut

dapat dituliskan masing-masing sebagai berikut

, (1.20) dan

. (1.21)

Kedua persamaan tersebut memiliki bentuk yang sama. Keduanya dapat diungkapkan dalam

bentuk yang lebih umum seperti pada persamaan (1.18), yaitu masing-masing

, (1.22)

dan

, (1.23) dengan faktor redaman = R/2L, dan kuadrat frekuensi karakteristik .

Dengan mendefinisikan operator differensial D = d/dt maka ungkapan persamaan

(1.18) dapat disederhanakan dalam bentuk

, (1.24)

yang berlaku juga untuk persamaan (1.22) dan (1.23) dengan mengubah menjadi Q dan I.

Berdasarkan persamaan (1.24) maka diperoleh persamaan kuadrat dalam D, yaitu

. Akar-akar persamaan kuadrat ini dapat ditentukan menggunakan rumus

akar kuadrat sehingga diperoleh

1.14 B A B 1 Osilasi

? . (1.25)

Pada persamaan (1.25) tampak bahwa D bergantung pada besarnya faktor redaman dan

frekuensi karakteristik. Berdasrkan hal ini maka osilasi teredam terbagi menjadi tiga yaitu

1. Osilasi teredam kurang (under damped oscillation ), terjadi jika besarnya faktor

redaman kurang dari besarnya frekuensi karakteristik ( < 0). Konsekuensinya

persamaan (1.25) menjadi , dengan . Solusi persamaan

osilasi teredam untuk kasus osilasi teredam kurang menjadi

atau ditulis . Bentuk dalam kurung persamaan tersebut

merupakan fungsi osilasi harmonic sederhana yang dapat ditulis dalam fungsi

sinusoidal. Dengan demikian maka fungsi osilasi teredam kurang secara umum dapat

ditulis sebagai

. (1.26)

Untuk kasus pegas dengan simpangan maksimum pada saat t = 0, maka = 0.

2. Osilasi teredam kritis ( critically damped oscilltion ), terjadi apabila besarnya faktor

redaman sama dengan besarnya frekuensi karakteristik ( = 0). Dengan demikian

maka diperoleh dua harga D yang sama yaitu dengan akar

karakteristik yang sama seperti ini adalah

Solusi persamaan differensial

. (1.27) Catatan: Penyelesaian persamaan differensial biasa

akar karakteristik yang sama, misalnya sama dengan , adalah

.

yang mempunya n

3. Osilasi teredam lebih ( over damped oscillation ), terjadi apabila harga factor redaman

lebih besar dari frekuensi karakteristiknya ( > 0). Hal ini menyebabkan D berupa

bilangan riil dengan dua harga yang berbeda, yaitu

. Solusi persamaannya

dapat dituliskan dalam bentuk fungsi sebagai

(1.28) D. Osilasi Teredam dengan Gaya Pemacu (force damped oscillation)

Kasus osilasi teredam denhan gaya pemacu terjadi jika ada gaya luar yang periodik diberikan

pada sistem osilasi teredam. Untuk kasus osilasi pada pegas, andaikan gaya luar

1.15 B A B 1 Osilasi yang bekerja adalah F = F 0 cos (?t + ?), maka gaya total yang bekerja pada benda adalah

dan persamaan gerak benda diperoleh melalui Hukum II Newton adalah yang dapat disusun ulang menjadi

. (1.29) Persamaan (1.29) dapat ditulis dalam ungkapan yang lebih

umum, yaitu

, (1.30) dengan = b/2m yang merupakan faktor redaman, dan merupakan kuadrat dari

frekuensi karakteristik. Persamaan osilasi teredam dengan gaya pemacu tersebut merupakan

persamaan diferensial orde dua yang tidak homogen.

Dalam rangkaian RLC analogi untuk gaya luar yang periodik ini adalah sumber tegangan

bolak-balik (ac) yang dihubungkan dengan rangkaian. Pembahasan mengenai osilasi

teredam dengan gaya pemacu untuk kasus rangkaian RLC dapat dilakukan dengan meninjau

rangkaian seperti pada Gambar 1.5 yang dihubungkan dengan sumber tegangan

periodik. Misalkan sumber tegangan pada rangkaian tersebut adalah .

Jumlah beda potensial keseluruhan sama dengan potensial sumber tegangan, sehingga dapat ditulis . Dengan memasukkan

ungkapan untuk masing-masng

diperoleh persamaan

.

yang dapat diungkapkan dalam muatan menjadi

, atau ditulis seperti ungkapan dalam persamaan (1.30) menjadi

. (1.31)

Penyelesaian persamaan (1.30) dan (1.31) dapat dilakukan dengan cara yang sama. Karena

persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial yang tak homogen, maka solusinya

1.16 B A B 1 Osilasi

memiliki bentuk , dengan adalah solusi pelengkap atau disebut

juga compplementary , yang merupakan solusi dari persamaan differensial homogen, dan

adalah solusi khusus atau particular. Solusi pelengkap merupakan solusi persamaan

osilasi teredam seperti yang telah diturunkan di atas. Sedangkan solusi khusus merupakan

bentuk umum dari ruas kanan persamaan sehingga dapat dituliskan

, (1.32)

dengan A adalah amplitude dan adalah sudut fase yang keduanya merupakan besaran yang

harus dicari agar solusi khusus dapat ditentukan. Untuk memperoleh kedua besaran tersebut,

persamaan (1.32) disubstitusikan ke dalam persamaan (1.30) sehingga diperoleh :

(1.33)

Berdasrkan persamaan (1.33) ini, dapat dituliskan dua bentuk persamaan yaitu (1.34)

dan

(1.35) Dari persamaan (1.34) dapat diperoleh

, (1.36) dan dari persamaan (1.17), kita peroleh :

(1.37) Solusi khusus persamaan diperoleh dengan mensubstitusikan A dan pada persamaan (1.32). Daftar Pustaka

M. O. Tjia, 1994, Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

Frank S. Crawford, Jr.,1978, Waves, Berkeley Physics, Vol. 3, Mc Graw Hill, New York.

Taufik Ramlan R., 2001, Diktat Gelombang Optik, Bandung : penerbit UPI

Zahara Muslim, 1994, Gelombang dan Optik, Depdikbud-Dikti.

1.17 B A B 1 Osilasi

Tes Formatif Bab 1Kegiatan Belajar 1

Pilih jawaban yang benar dan berikan alasan singkat dan/atau langkah pengerjaannya.

1. Yang menyebabkan suatu sistem mekanik bergerak osilasi adalah ……... a. gaya berat dan gaya pulih b. gaya pulih dan inersia c. gaya pegas dan gaya berat d. inersia dan gaya gesek e. gaya berat, gaya pegas, dan gaya gesek

2. Sebuah bandul dengan massa 78,4 gram dan panjang tali 39,2 cm diberi simpangan awal yang cukup kecil (mendekati nol radian). Frekuensi osilasi bandul tersebut adalah ……… (anggap percepatan gravitasi = 9,8 m/s2 ) a. 50 rad/s b. 2 rad/s c. 1,4 rad/s d. 0,5 rad/s e. 5 rad/s

3. Pada sistem pegas seperti pada gambar, mula-mula massa m digeser sejauh 2 cm ke kiri kemudian dilepaskan. Konstanta pegas k 1 = 50 N/m dan k2 =

150 N/m. Massa benda m = 500 gram. Setelah dilepas, massa m berosilasi dengan frekuensi .........

a. 0,4 rad/s b. 10 rad/s c. 20 rad/s d. 1,6 rad/s e. 400 rad/s

4. Ujung-ujung kapasitor (kapasitansi 100 F) yang telah dimuati dihubungkan dengan

ujung-ujung induktor (induktansi 4 H). Muatan pada kapasitor berosilasi dengan frekuensi ……… a. 50 rad/s b. 500 rad/s c. 25 rad/s d. 20 rad/s e. 0,04 rad/s

5. Pada sisitem pegas seperti pada gambar, massa m = 500 gram ditarik hingga sedikit

menyimpang dari posisi kesetimbangannya, kemudian dilepaskan. Konstanta pegas k = 18 N/m dan konstanta redaman 6 Ns/m. Gerak sistem seperti ini termasuk pada gerak osilasi ……… a. under damped b. critically damped c. over damped d. forced damped e. simple harmonic

6. Kapasitor 100 F yang telah dimuati dihubungkan dengan induktor 500 mH membentuk

rangkaian tertutup. Hambatan murni induktor adalah 100 ohm. Sistem rangkaian seperti ini termasuk pada contoh osilasi ……… a. under damped b. critically damped c. over damped d. forced damped e. simple harmonic

7. Induktor 400 mH (hambatan murni 10 ohm) dirangkaikan secara seri dengan kapasitor 100 F. Pada ujung-ujung rangkaian ini diberi tegangan 10 volt ac. Sistem rangkaian seperti ini termasuk pada contoh osilasi ……… a. under damped b. critically damped c. over damped d. forced damped e. simple harmonic

8. Pada sistem forced damped oscillation , beda fase antara gaya pemacu (pemaksa) dengan

osilasi sistem saat terjadi resonansi adalah ……… a. b. /2 c. /3 d. /4 e. /6

1.18 B A B 1 Osilasi

9. Suatu gaya dengan fungsi F (t) = 2 cos (50 t – ( /4)) N, bekerja pada sistem pegas-massa.

Resonansi dapat terjadi jika nilai konstanta pegas k dan massa m pada sistem tersebut adalah ……… a. k = 10 N/m, m = 400 gram

c. k = 100 N/m, m = 40 gram

e. k = 50 N/m, m = 50 gram

b. k = 40 N/m, m = 100 gram

d. k = 400 N/m, m = 10 gram

10. Sumber tegangan listrik dengan fungsi V(t) = 10 sin 50 t volt dihubungkan dengan

rangkaian seri RLC. Arus pada rangkaian akan maksimum jika ……… a. R = 4 ohm, L = 5 H, C = 100 F b. R = 4 ohm, L = 10 H, C = 200 F c. R = 10 ohm, L = 4 H, C = 200 F

e. R = 10 ohm, L = 4 H, C = 100 F

d. R = 10 ohm, L = 5 H, C = 400 F

1.19 B A B 1 Osilasi

Kegiatan Belajar 2

Osilasi Dua Derajat Kebebasan

Derajat kebebasan sistem osilasi menunjukkan banyaknya besaran fisika sejenis yang

mengalami perubahan secara periodik. Oleh karena itu derajat kebebasan menentukan

banyaknya fungsi yang harus ada agar keadaan sistem osilasi dapat digambarkan secara

lengkap. Pada Kegiatan Belajar 1 telah diuraikan mengenai sistem osilasi satu derajat

kebebasan. Jika besaran fisika yang berosilasi dapat dinyatakan secara lengkap cukup

dengan satu fungsi seperti pada persamaan (1.1) maka tergolong pada satu derajat kebebasan.

Tetapi jika diperlukan dua fungsi osilasi misalnya 1 dan 2 untuk menyatakan keadaan

osilasi secara lengkap, maka dikatan sistem osilasi dua derajat kebebasan. Begitu seterusnya,

jika keadaan osilasi dapat dinyatakan secara lengkap oleh N buah fungsi osilasi dari besaran

sejenis, maka dikatan osilasi N derajat kebebasan.

Osilasi dua derajat kebebasan disebut juga seagai osilsi gandeng. Persamaan osilasi variable

yang satu tidak dapat terlepas dari vriabel lainnya. Dengan kata lain persamaan

osilasinya merupakan persaman tergandeng atau mengandung 1 dan 2 secara serentak.

Pada kegiatan belajar ini dibahas mengenai osilasi dua derajat kebebasan dengan meninjau

sistem pegas dan rangkaian LC. Pembahasan meliputi penurunan persamaan osilasi gandeng

pada masing-masing sistem yang ditinjau, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan

meknisme penyelesaian persamaan tergandeng untuk memperoleh fungsi osilasi masing-

masing beserta frekuensi dan perbandingan amplitude pada mode rendah dan mode tinggi. A. Osilasi Gandeng Pegas

1 m1 2 2 k 3

(a)

(b)

Gambar 2.1 Sistem pegas gandeng (a) keadaan setimban (b) kedaan umum

1.20 B A B 1 Osilasi

Ditinjau sistim pegas gandeng, terdiri dari tiga pegas yang konstanta pegasnya masing-masing k 1. k2 dan k 3 serta dua benda yang massanya masing-masing m 1 dan m 2.

Sistim ini terletak pada permukaan datar tanpa gesekan seperti pada gambar 2.1a. Salah satu

benda diberi simpangan, kemudian dilepaskan lagi sehingga sistim berosilasi dengan keadaan

umum seperti ditunjukkan pada gambar 2.1b.

Persamaan gerak masing-masing benda dapat diturunkan berdasarkan Hukum II Newton. Persaman gerak untuk benda bermassa m

? dan untuk benda bermassa m

2 adalah

1 adalah (2.1)

? (2.2)

Diasumsikan bahwa osilasi dalam suatu ragam (mode) normal, maksudnya kedua besaran

berosilasi dengan frekuensi dan fase yang sama, maka solusi kedua persamaan di atas dapat

dituliskan sebagai

, (2.3) dengan n = 1 dan 2. Substitusi persamaan (2.3) pada persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh

, dan

. Kedua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut

, (2.4)dengan a = (k 1 + k2)/m 1, b = -k 2/m 1, c = -k 2/m 2, dan d = (k 2 + k 3)/m 2.

Ruas kanan persamaan (2.4) sama dengan nol, sehingga determinan matriks pada ruas kiri harus sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh

yang

dapat disederhanakan ulang menjadi

(2.5)

1.21 B A B 1 Osilasi

Persamaan (2.5) merupakan persamaan kuadrat dari . Akar-akarnya dapat

ditentukan dengan menggunakan rumus akar kuadrat yaitu

(2.6)

Tanda positif untuk frekuensi mode tinggi dan tanda negatif untuk frekuensi mode rendah.

Berdasarkan persamaan (2.4) dapat juga ditentukan perbandingan amplitude yaitu

(2.7)

yang berlaku untuk masing-masing mode dengan mensubstitusi nilai frekuensi pada mode

yang bersesuaian.

Bagaimana jika ketiga pegas tersebut identik dan kedua benda bermassa sama,

misalkan sebesar m? Jika ketiga pegas tersebut identik maka nilai konstanta pegasnya sama

misalnya k. Untuk kasus seperti ini maka a = d = 2 k/m, b = c = - k/m. Substitusi masing-

masing pada persamaan (2.6) akan diperoleh

? .

Untk mode rendah , sedangkan untuk mode tinggi diperoleh . Perbandingan amplitude untuk masing-masing mode dapat ditentukan berdasarkan persamaan (2.7) yaitu;

untuk mode rendah: untuk

mode tinggi:

, sehingga diperoleh , sehingga diperoleh

Berdasarkan uraian di atas, maka untuk mode rendah kedua benda selalu bergerak searah.

Perpindahan kedua benda memiliki besar dan arah yang sama, sehingga pusat massanya

selalu bergerak mengikuti pergerakan kedua benda tersebut. Osilasi seperti ini dapat dipandang sebagai osilasi pusat massa dengan frekuensi sebesar . Dengan

kata lain gerak osilasi pusat massa ini memiliki frekuensi yang sama dengan frekuensi osilasi

pegas tunggal. Dalam hal ini pegas penggandeng hanya berfungsi sebagai penyelaras gerak

osilasi. Ilustrasi mengenai gerak osilasi pusat massa dapat dilihat pada gambar 2.2a.

1.22 B A B 1 Osilasi

Berdasarkan perbandingan amplitude, nampak bahwa untuk osilasi mode tinggi, kedua

benda selalu bergerak berlawanan arah satu sama lain dengan besar simpangan selalu sama

besar. Dengan kata lain perpindahan benda selalu sama besar tapi berlawanan arah. sehingga

pusat massanya tidak berubah. Osilasi seperti ini disebut juga sebagai osilasi relative.

Pada osilasi relatif ini, frekuensinya lebih besar dari frekuensi osilasi pusat massa. Ilustrasi

mengenai gerak osilasi relatif dapat dilihat pada gambar 2.2b

1 21

(a)

? 12 2

1 21

(b)

12 2

Gambar 2.2 (a) osilasi pusat massa, dan (b) osilasi relatif B. Osilasi Gandeng Rangkaian LC

Ditinjau rangkaian LC gandeng yang terdiri dari tiga kapasitor yang kapasitansinya berbeda,

dan dua induktor yang induktansinya juga berbeda seperti ditunjukkan pada gambar 2.3. Mula-

mula masing-masing kapasitor dimuati, kemudian dirangkaikan dengan induktor seperti

tampak pada gambar 2.3.

1.23 B A B 1 Osilasi

Untuk menurunkan persamaan osilasi muatan ataupun arus listrik dapat digunakan kaidah

simpal Kirchoff. Kaidah tersebut menyatakan bahwa jumlah tegangan pada suatu simpal

tertutup adalah sama dengan nol. I L IA L 1 I 2 B

C1 C2 C3

Gambar 2.3 Rangkaian LC gandeng dua inductor dan tiga kapasitor

Berdasarkan kaidah simpal Kirchoff, maka diperoleh untuk simpal A dan B masing-masing

sebagai berikut: Simpal A :

(2.8) Simpal B :

(2.9)

Dengan asumsi bahwa osilasi dalam suatu ragam (mode) normal, maka solusi kedua

persamaan di atas dapat dituliskan seperti pada persamaan (2.3) dengan mengganti

simpangan dalam bentuk arus. Substitusi persamaan (2.3) dalam bentuk arus pada

persamaan (2.8) dan (2.9) diperoleh

, dan

.

1.24 B A B 1 Osilasi

Kedua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut

, (2.10) dengan , , , dan .

Ruas kanan persamaan (2.10) sama dengan nol, sehingga determinan matriks pada ruas kiri

harus sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh persamaan yang sama dengan persamaan

(2.5). Langkah-langkah penyelesaian berikutnya sama seperti pada pembahasan osilasi

gandeng pegas. Coba Anda lakukan penurunan sampai terjawab pertanyaan berikut:

Bagaimanakah frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi? Bagaimanakah perbandingan

amplitude arus pada mode rendah dan mode tinggi? Jika ditinjau kasus khusus yaitu

kapasitansi semua kapasitor sama sebesar C, dan induktansi induktornya juga sama sebesar L,

bagaimanakah osilasi arus pada masing-masing simpal? Coba Anda analisis dengan

mengikuti langkah pada pembahasan osilasi gandeng pegas. Daftar Pustaka

M. O. Tjia, 1994, Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

Frank S. Crawford, Jr.,1978, Waves, Berkeley Physics, Vol. 3, Mc Graw Hill, New York.

Taufik Ramlan R., 2001, Diktat Gelombang Optik, Bandung : penerbit UPI

Zahara Muslim, 1994, Gelombang dan Optik, Depdikbud-Dikti.

1.25 B A B 1 Osilasi

Tes Formatif Bab 1Kegiatan Belajar 2

Jawablah soal-soal di bawah ini 1. Perhatikan gambar.

km

1 1

k2

m2

k3

Keadaan setimbang

Keadaan umum Pada gambar di atas m 1 = m2 = m, k 2 = k, dan k 1 = k 3= 2k.

a. Turunkan persamaan gerak osilasi untuk masing-masing benda. b. Tentukan frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi. c. Tentukan perbandingan amplitudo mode rendah dan mode tinggi. d. Jelaskan (menggunakan gambar) bagaimana gerak osilasi mode rendah dan mode

tinggi. e. Jika amplitudo osilasi benda yang bermassa m

dan k = 10 N/m, tentukan fungsi osilasi 1 adalah A1 = ? 1(0) = 2 cm, m = 100 g,

1(t) dan 2(t) mode rendah dan mode tinggi. 2. Tinjau rangkaian LC gandeng yang terdiri dari

tiga kapasitor dan dua induktor. Masing-masing L1 L2

kapasitor dimuati, kemudian dirangkaikan dengan C 1 CC 2 3

induktor seperti diperlihatkan pada gambar. Jika L 1 = L2 = L, C 1 = C, C 2 = 2C, dan C 3 = C/2,

a. Turunkan persamaan osilasi muatan pada masing-masing simpal. b. Tentukan frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi. c. Tentukan perbandingan amplitudo mode rendah dan mode tinggi. d. Jika muatan pada kapasitor C 1 sebelum dirangkaikan adalah Q0, tentukan fungsi

osilasi muatan mode rendah dan mode tinggi pada tiap kapasitor.