8.1 General Linear Transformation

Misalkan TA :R6 R4 adalah perkalian dengan

Tentukan rank dan nulitas dari TA

Penyelesaian .Kita dapat menunjukkan bahwa rank (A ) = 2 dan nulitas (A ) = 4. Maka , dari Teorema 8.2.2 kita peroleh rank (TA ) = 2 dan nulitas (TA ) = 4.Contoh 8.2.4 Menentukan Rank and Nulitas

Teorema 8.5.2Misalkan T:V V adalah sebuah operator linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jika B dan B' adalah basis-basis untuk V, maka (5) dimana P adalah matriks matriks transisi dari B' ke B. Warning.

The interior subscripts are the sameThe exterior subscripts are the samep.99p.89Matriks sederhana untuk Operator LinearSebagai contoh, perhatikan operator linear T : R2 R2 yang didefinisikan oleh

dan basis standar untuk R2, dimana , Berdasarkan Teorema 8.4.1. matriks untuk T berkenaan dengan basis ini adalah matriks standar T :yaitu,

Penyelesaian :Kita telah menunjukkan sebelumnya [lihat 2] bahwa

Untuk menentukan dari (5)kita harus menentukan matriks transisi

sehingga

Matriks transisi dari B' ke B adalah

p.93Misalkan W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V ; maka proyeksi ortogonal V pada W adalah transformasi yang didefinisikan oleh T (v ) = projwv

Contoh 8.1.2 : Proyeksi Ortogonal

Berdasarkan Teorema 6.3.4 kita mengetahui bahwa jika S = {w1, w2, , wr}adalah basis ortonormal untuk W, maka T (v ) dirumuskan sebagai

T (v ) = projwv = w1 + w2 ++wrPembuktian bahwa T adalah sebuah transformasi linear dapat diturunkan dari sifat-sifat hasilkali dalam. Sebagai contoh,

T (u+v) = w1 + w2 + + wr = w1 + w2 + + wr + w1 + w2 + + wr = T (u) + T (v)Demikian pula, T (ku) = kT (u)Misalkan V = R3 memiliki hasilkali dalam. Vektor w1 = (1,0,0) dan w2 = (0,1,0) membentuk sebuah basis ortonormal pada bidang xy. Jika v = (x,y,z) adalah vektor sebarang pada R3 , proyeksi ortogonal R3 pada bidang xy adalah T (v ) = w1 + w2 = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) = ( x, y, 0 )Contoh 8.1.3. : Menghitung Ortogonal Proyeksi

Misalkan S = {w1 , w2 , , wn } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V berdimensi n , dan misalkan (v)s = (k1, k2, , kn )

Adalah vektor koordinat relatif terhadap S dari vektor v pada V; maka v = k1 w1 + k2 w2 + + kn wn

Definisikan T: VRn sebagai fungsi yang memetakan v ke vektor koordinatnya terhadap S; jelasnya, T (v) = (v)s = (k1, k2, , kn )Contoh 8.1.4. Transformasi Linear dari ruang V ke Rn Fungsi T adalah transformasi linear. Untuk membuktikan hal ini, misalkan u dan v adalah vektor-vektor pada V dan u = c1 w1+ c2 w2+ + cn wn v = d1 w1+ d2 w2+ + dn wn maka, (u)s = (c1, c2, , cn ) dan (v)s = (d1, d2, , dn )tetapi u+v = (c1+d1) w1+ (c2+d2) w2++ (cn+dn) wn k u = (kc1) w1 +(kc2) w2 ++ (kcn) wn sehingga (u+v)s = (c1+d1, c2+d2 , cn+dn ) (k u)s = (kc1, kc2, , kcn )Dengan demikian,

(u+v)s = (u)s + (v)s and (k u)s = k (u)s

Dengan menyatakan kedua persamaan ini dalam bentuk T akan menghasilkan

T (u+v) = T (u) + T (v) and T (k u) = kT (u)

Yang menunjukkan bahwa T adalah transformasi linear.

Misalkan p = p(x) = C0 + C1 X + C2X2 + + CnX n adalah sebuah polinomial pada Pn , dan didefinisikan fungsi T: Pn Pn+1 sebagai

T (p) = T (p(x)) = xp(x)= C0 X + C1X2 + + CnX n+1

Fungsi T adalah transformasi linear, karena untuk sebarang skalar k dan polinomial sebarang p1 dan p2 pada Pn kita peroleh

T (p1+p2) = T (p1(x) + p2 (x)) = x (p1(x)+p2 (x)) = x p1 (x) + x p2 (x) = T (p1) +T (p2)dan T (k p) = T (k p(x)) = x (k p(x))= k (x p(x))= k T(p)Contoh 8.1.5. Transformasi Linear dari pn ke pn+1Misalkan V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan misalkan v0 adalah vektor tetap sebarang pada V. Misalkan T:VR adalah transformasi yang memetakan sebuah vektor v ke hasilkali dalamnya dengan v0 ;yaitu T (v) = Dari sifat-sifat hasilkali dalam kita mengetahui bahwa

T (u+v) = = + = T (u) + T (v)dan T (k u) = = k = kT (u)

Sehingga T adalah transformasi linear .Contoh 8.1.6. Transformasi A Linear menggunakan hasilkali dalamContoh 8.5.2Misalkan T: didefinisikan oleh

Tentukan det(T).

Penyelesaian : Jika kita memilih basis standar, maka dari contoh 8.5.1

, sehingga

Jika kita memilih basis yang diberikan dari contoh 8.5.1, maka kita peroleh

sehingga

Misalkan V = C (-,) adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu pada (-,) dan W = C1(-,) adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (-,).

Misalkan J:VW adalah transformasi yang memetakan f = f (x) ke integral . . Sebagai contoh jika f=x2 maka

Contoh 8.1.8. Transformasi Linear dari C (-,) ke C1(-,)

Dari sifat-sifat integral, kita peroleh

Sehingga J adalah transformasi linear .

Misalkan T : Mnn R adalah transformasi yang memetakan sebuah matriks n n ke deteminannya, yaitu, T (A) = det (A)Jika n>1, maka transformasi ini tidak memenuhi kedua sifat yang dipersyaratkan untuk sebuah transformasi linear. Sebagai contoh, pada subbab 2.3 secara umum bahwa det (A1+A2) det (A1) + det (A2)Selanjutnya, det (cA) =C n det (A), sehingga det (cA) c det (A)Dengan demikian, T bukan transformasi linear .Contoh 8.1.9. Transformasi yang tidak LinearJika T:VW adalah transformasi linear, maka:T (0) = 0T (-v ) = -T (v ) untuk semua v pada VT (v-w ) = T (v ) - T (w) untuk semua v dan w pada V

Teorema 8.1.1Bukti. (a) Misalkan v vektor sebarang pada V. karena 0v=0, kita peroleh T (0)=T (0v)=0T (v)=0

(b) T (-v) = T ((-1)v) = (-1)T (v)=-T (v)

(c) v-w=v+(-1)w; sehingga, T (v-w)= T (v + (-1)w) = T (v) + (-1)T (w) = T (v) -T (w)Perhatikan basis S = {v1 , v2 , v3 } untuk R3 , dimana v1 = (1,1,1), v2 =(1,1,0), dan v3 = (1,0,0). Misalkan T: R3 R2 adalah transformasi linear sedemikian sehingga T (v1)=(1,0), T (v2)=(2,-1), T (v3)=(4,3)

Tentukan sebuah rumus untuk T (x1 , x2 , x3 ); kemudian gunakan rumus tersebut untuk menghitung T (2,-3,5).

Contoh 8.1.10. Menghitung dengan menggunakan bayangan vektor basisPenyelesaian :Kita nyatakan v = (x1 , x2 , x3 ) sebagai kombinasi linear dari v1 =(1,1,1), v2 =(1,1,0), dan v3 = (1,0,0). Jika kita tulis (x1 , x2 , x3 ) = c1 (1,1,1) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,0)

Maka dengan menyusun persamaan dari komponen-komponen yang bersesuaian, kita peroleh c1 + c2 + c3 = x1 c1 + c2 = x2 c1 = x3

Yang menghasilkan c1 = x3 , c2 = x2 - x3 , c3 = x1 - x2 , sehingga

(x1 , x2 , x3 ) = x3 (1,1,1) + (x2 - x3 ) (1,1,0) + (x1 - x2 ) (1,0,0) = x3 v1 + (x2 - x3 ) v2 + (x1 - x2 ) v3

Dengan demikian, T (x1 , x2 , x3 ) = x3 T (v1) + (x2 - x3 ) T (v2) + (x1 - x2 ) T (v3) = x3 (1,0) + (x2 - x3 ) (2,-1) + (x1 - x2 ) (4,3) = (4x1 -2x2 -x3 , 3x1 - 4x2 +x3)

Dari rumus ini kita peroleh : T (2 , -3 , 5 ) =(9,23)Jika T1 :UV dan T2 :VW adalah transformasi linear , komposisi T2 dengan T1 , dinotasikan dengan T2 T1 (baca T2 lingkaran T1 ), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus

(T2 T1 )(u) = T2 (T1 (u)) (2)

dimana u adalah vektor pada U Definisi

Komposisis T2 dengan T1Jika T1 :UV dan T2 :VW adalah transformasi linear, maka (T2 T1 ):UW juga transformasi linear. Teorema 8.1.2Bukti. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada U dan c adalah skalar, maka dari (2) dan sifat kelinearan T1 dan T2 kita peroleh

(T2 T1 )(u+v) = T2 (T1(u+v)) = T2 (T1(u)+T1 (v)) = T2 (T1(u)) + T2 (T1(v)) = (T2 T1 )(u) + (T2 T1 )(v) dan (T2 T1 )(c u) = T2 (T1 (c u)) = T2 (cT1(u)) = cT2 (T1 (u)) = c (T2 T1 )(u)

sehingga, T2 T1 memenuhi kedua persyaratan dari sebuah transformasi linear.Jika T1 : P1 P1 dan T2 : P2 P2 adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh T1(p(x)) = xp(x) dan T2 (p(x)) = p (2x+4)

Maka komposisi (T2 T1 ): P1 P2 diberikan oleh rumus

(T2 T1 )(p(x)) = (T2)(T1(p(x))) = T2 (xp(x)) = (2x+4)p (2x+4)

Secara spesifik , jika p(x) = c0 + c1 x, maka (T2 T1 )(p(x)) = (T2 T1 )(c0 + c1 x) = (2x+4) (c0 + c1 (2x+4)) = c0 (2x+4) + c1 (2x+4)2Contoh 8.1.11. Komposisi Transformasi LinearJika T1 :UV , T2 :VW dan T3 :WY adalah transformasi linear , maka komposisi T3T2 T1 didefinisikan dengan

(T3T2 T1 )(u) = T3 (T2 (T1 (u))) (3)

Komposisis tiga transformasi linear8.2 Kernel dan Rangeker(T ): kernel dari T Jika T:VW adalah sebuah transformasi linear , maka himpunan vektor-vektor pada V yang dipetakan oleh T ke 0

R (T ): range dari T Himpunan semua vektor pada W yang merupakan bayangan karena T dari setidaknya satu buah vektor pada VDefinisiJika TA :Rn Rm perkalian oleh matriks A mn, maka dari definisi,

kernel dari TA adalah ruang nul dari matriksA

range dari TA adalah ruang kolom dari matriksAContoh 8.2.1Kernel dan Range dari Transformasi Matriks BAB V.P.55Misalkan T: R3 R3 adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy. Kernel dari T adalah himpunan titik-titik yang dipetakan T ke 0 = (0,0,0); titik-titik ini adalah titik-titik yang terletak pada sumbu z.Contoh 8.2.2 Kernel dan Range Proyeksi Ortogonal

Ker (T) adalah sumbu zKarena T memetakan setiap titik pada R3 ke bidang xy, range dari T haruslah merupakan suatu subhimpunan dari bidang ini. Akan tetapi setiap titik (x0 ,y0 ,0) pada bidang xy adalah bayangan dari suatu titik karenaT ; pada kenyataannya, titik itu adalah bayangan dari semua titik yang terletak pada garis vertikal yang melewati (x0 ,y0 , 0). Sehingga R(T ) adalah seluruh bidang xy itu sendiri.

R(T) adalah seluruh bidang xyMisalkan T: R2 R2 adalah operator linear yang merotasikan setiap vektor pada bidang xy sebesar . Karena setiap vektor pada bidang xy dapat diperoleh dengan cara merotasikan suatu vektor sebesar , kita peroleh R(T ) = R2 . Selanjutnya, satu-satunya vektor yang dirotasikan ke 0 adalah 0, sehingga ker(T ) = {0}.Contoh 8.2.2 Kernel dan Range Rotasi

p.44Misalkan V= C1 (-,) adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (-,) , dan misalkan W = F (-,) adalah ruang vektor yang terdiri dari semua fungsi yang bernilai real yang terdefinisi pada (-,) , dan misalkan D:VW adalah transformasi diferensiasi D (f) = f(x).

kernel dari D adalah himpunan fungsi-fungsi padaV yang turunannya adalah nol. Himpunan ini adalah himpunan fungsi-fungsi konstan pada (-,) .Contoh 8.2.3 Kernel sebuah Transformasi DifferensiasiJika T:VW adalah transformasi linear, maka:

Kernel dari T adalah sebuah subruang dari V.Range dari T adalah sebuah subruang dari W.Teorema 8.2.1Bukti(a). Misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor di dalam ker(T ), dan misalkan k adalah skalar. Maka T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = 0+0 = 0Sehingga v1 + v2 terletak pada ker(T ).

Dan juga, T (k v1) = kT (v1) = k 0 = 0Sehingga k v1 terletak pada ker(T ). Bukti (b).Misalkan w1 dan w2 berada didalam range dari T , dan k adalah skalar sebarang. Terdapat vektor-vektor a1 dan a2 pada V sedemikian sehinggaT (a1) = w1 dan T(a2) = w2 . Misalkan a = a1 + a2 dan b = k a1 . Maka T (a) = T (a1 + a2) = T (a1) + T (a2) = w1 + w2 dan T (b) = T (k a1) = kT (a1) = k w1 Rank (T)Jika T:VW adalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T dan dinotasikan dengan rank(T) .

nulitas (T) Dimensi kernelnya disebut nulitas dari T dan dinotasikan dengan nulitas(T) .DefinisiJika A adalah sebuah matriks mn dan TA :Rn Rm adalah perkalian dengan A , maka:nulitas (TA ) = nulitas (A )rank (TA ) = rank (A )Teorema 8.2.2Jika T:VW adalah sebuah transformasi linear dari suatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang vektor W, maka

rank (T ) + nulitas (T ) = n

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa untuk transformasi linear, rank ditambah nulitas sama dengan dimensi dari domain yang bersangkutan. Teorema 8.2.3Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear1. Misalkan T: R2 R2 adalah operator linear yang dirumuskan oleh Manakah di antara vektor-vektor berikut ini yang berada di dalam R(T). (a). (1-4) (b). (5,0) (c). (-3, 12)

2. Misalkan T: R2 R2 adalah operator linear yang diberikan dalam soal 1.Manakah di antara vektor-vektor berikut ini yang berada di dalam ker(T). (a). (5, 10) (b). (3, 2) (c). (1, 1)LATIHAN

8.3 Transformasi Linear Invers satu-ke-satuSebuah Transformasi linear T:VW disebut satu-ke-satu jika T memetakan vektor-vektor yang berbeda pada V ke vektor-vektor yang berbeda pada W .DefinisiIngat kembali Teorema 4.3.1 bahwa jika A adalah sebuah matriks nn dan TA :RnRn adalah perkalian dengan A , maka TA adalah satu-ke-satu jika dan hanya jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik.Contoh 8.3.1 Transformasi Linear satu ke satuMisalkan T A:R 4 R 4 adalah perkalian dengan

A=

Tentukan apakah T A satu ke satu.

Penyelesaian: det(A)=0, karena dua baris pertama matriks A adalah sebanding sehingga A tidak dapat dibalik. Maka, T A bukan satu ke satu.

Contoh 8.3.2

Misalkan T: Pn Pn+1 adalah transformasi linear

T (p) = T(p(x)) = xp(x)Jika p = p(x) = c0 + c1 x ++ cn xn

Adalah polinomial-polinomial yang berbeda. Sehingga,

T(p) = c0 x + c1 x2 ++ cn xn+1 Juga memiliki perbedaan pada setidaknya satu koefisien. Dengan demikian, T adalah satu ke satu, karena memetakan polinomial p yang berbeda ke polinomial T (p).Contoh 8.3.3 Jika T:VW adalah transformasi linear, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

T adalah satu-ke-satu Kernel dari T hanya mengandung vektor nol; yaitu , ker(T) = {0}Nulitas (T) = 0Teorema 8.3.1Pernyataan-pernyataan yang EkuivalenJika V adalah sebuah ruang vektor berdimensi terhingga, dan T:V V adalah sebuah operator linear, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen

(a). T adalah satu ke satu.(b). ker(T) = {0}(c). Nulitas (T) = 0 (d). Range dari T adalah V; yaitu ,R(T) =V Teorema 8.3.2 Jika T :V W adalah sebuah transformasi linear,Maka range dari T yaitu R (T ), adalah subruang dari W yang terdiri dari semua bayangan vektor pada V karena transformasi T .

Jika T satu ke satu, maka setiap vektor w di dalam R(T ) adalah bayangan dari sebuah vektor v yang unik pada V.

Transformasi Linear InversKeunikan ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan sebuah fungsi baru, yang disebut invers dari T. dinotasikan dengan T1 , yang memetakan w kembali ke v.

Transformasi Linear Invers

Invers dari T memetakan T(v) kembali ke v. T 1:R (T ) V adalah transformasi linear.Dari definisi T 1 kita peroleh

T 1(T (v)) = T 1(w) = v (2a)T 1(T (w)) = T 1(v) = w (2b)

Sehingga T dan T 1, apabila diterapkan secara berturut-turut tanpa memperhatikan urutannya, akan saling menghilangkan pengaruh satu sama lainnya. Transformasi Linear InversMisalkan T :R 3 R 3 adalah operator linearYang didefinisikan oleh rumus

T (x1,x2,x3)=(3x1+x2,-2x1-4x2+3x3,5x1+4 x2-2x3)

Tentukan apakah T adalah satu ke satu; jika ya, tentukan T -1(x1,x2,x3).

Contoh 8.3.5Penyelesaian : maka

Jika T1:U V dan T2:V W adalah transformasi linear satu ke satu, maka :

(a). T2 0 T1 adalah satu ke satu

(b). (T2 0 T1)-1 = T1-1 0 T2-1 Teorema 8.3.38.4 Matriks Transformasi Linear UmumV dan W adalah sebuah ruang vektor masing-masing berdimensi n dan m. B dan B adalah basis masing-masing untuk V and W . Maka untuk setiap vektor x pada V ,Matriks koordinat [x]B merupakan sebuah vektor pada Rn, dan matriks koordinat [T(x)]B merupakan sebuah vektor pada Rm

Matriks Transformasi Linear

Jika kita misalkan A sebagai matriks standar maka A [x]B = [T (x)]B ' (1) Matrix A dalam (1) disebut matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B

Misalkan B ={u1,u2,un} adalah sebuah basis untuk ruang V.

Sedemikian sehingga (1) berlaku untuk semua vektor x pada V.

A[u1]B=[T (u1)]B' ,A [u2]B=[T (u2)]B' A[un]B=[T (un)]B' (2)

yang menunjukkan kolom-kolom matriks A adalah matriks-matriks koordinat dari T (u1),T (u2),. ,T (un)

yang berkenaan dengan basis B'

Dengan demikian, matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B' adalah

A=[[T (u1)]B'| [T (u2)]B'|. [T (un)]B'] (3)

Matriks Operator LinearDalam kasus di mana V = W (sehingga T : V V), merupakan suatu hal yang umum untuk mengganggap bahwa B = B' ketika membentuk sebuah matriks untuk T. Dalam kasus ini, matriks yang dihasilkan disebut, matriks untuk T berkenaan dengan basis B.

[T ]B = [[T (u1)]B| [T (u2)]B|. [T (un)]B] (5)

[T ]B [x]B= [T (x)]B (5a)Contoh 8.4.1.Misalkan T :P1 P2 adalah transformasi yang didefinisikan oleh T (p(x)) = xp(x).Tentukan matriks T dengan basis standar B={u1,u2} and B'={v1,v2,v3}di mana u1=1 , u2=x ; v1=1 , v2=x ,v3=x2

Penyelesaian :T (u1)=T (1)=(x)(1)=xT (u2)=T (x)=(x)(x)=x2

Sehingga, matriks T berkenaan dengan B dan B adalah

Contoh 8.4.2.Misalkan T : R2 R3 adalah transformasi yang didefinisikan oleh

Tentukan matriks untuk transformasi T berkenaan dengan basis B = {u1,u2} untuk R2 dan basis B' {v1,v2,v3} untuk R3,di mana

Penyelesaian:Dari rumus untuk T

Dengan menyatakan kedua vektor ini sebagai kombinasi linear dari v1,v2 dan v3 kita peroleh T T(u1)=v1-2v3 T (u2)=3v1+v2- v3Dengan demikian

sehingga

Penyelesaian : Dari rumus untuk T ,

Sebagai konsekkuensinya,

p.85Teorema 8.4.1Jika T:Rn Rm adalah sebuah transformasi linear dan jika B dan B' masing-masing adalah basis-basis standar untuk Rn dan Rm , maka

p.84Catatan :Misalkan T:V W adalah sebuah transformasi linear. Matriks dapat digunakan untuk menghitung dalam tiga langkah dengan mengikuti prosedur tidak langsung berikut ini : 1. Hitung matriks koordinat 2. Kalikan pada sisi kiri dengan sehingga menghasilkan 3. Bentuk kembali dari matriks koordinatnya

Contoh 8.4.4.Misalkan T :P2 P2 adalah operator linear yang didefinisikan oleh

T (p (x))=p (3x-5), yaitu,T (co+c1x+c2x2)= co+c1(3x-5)+c2(3x-5)2

(a). Tentukan [T ]B berkenaan dengan basis B={1,x,x2}(b). Gunakan prosedur tidak langsung untuk menghitung T (1+2x+3x2)(c). Hitung T (1+2x+3x2) dengan cara langsung.Penyelesaian (a) :Dari rumus untuk T maka,

T (1)=1,T (x)=3x-5,T (x2)=(3x-5)2=9x2-30x+25sehingga,

Dengan demikian,

Penyelesaian (b) :Matriks koordinat bagi vektor p =1+2x+3x2 relatif terhadap B adalah

Sehingga dari (5a)

[T (1+2x+3x2 )]B =[T (p)]B = [T ]B [p]B

kita peroleh : T (1+2x+3x2 )=66-84x+27x2

Penyelesaian (c) :Melalui perhitungan langsung

T (1+2x+3x2 )=1+2(3x-5)+3(3x-5)2 =1+6x-10+27x2-90x+75 =66-84x+27x2

Teorema 8.4.2Jika T1:UV dan T2:VW adalah transformasi linear, dan jika B, B'' dan B' masing-masing adalah basis untuk U,V dan W maka

Teorema 8.4.3Jika T:V V adalah sebuah operator linear dan jika B adalah sebuah basis untuk V, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen (a). T adalah satu ke satu (b). [T]B dapat dibalik Selanjutnya, dengan syarat ekuivalensi tersebut berlaku [T-1]B = [T]B-18.5 SimilaritasSIMILARITASMatriks sebuah operator linear T: V V bergantung pada basis yang dipilih untuk V. Salah satu permasalahan mendasar yang dihadapi dalam aljabar linear adalah memilih sebuah basis untuk V yang dapat menjadikan matriks untuk T sesederhana mungkin misalnya sebuah matriks diagonal atau matriks segitiga.Teorema 8.5.1Jika B dan B' adalah basis-basis untuk sebuah ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jika I:VV operator identitas, maka adalah matriks transisi dari B' ke B.

Hasil dari teorema ini diilustrasikan pada gambar berikut

VIvvBasis=BBasis=BVContoh 8.5.1 menggunakan Teorema 8.5.2Misalkan T: didefinisikan oleh

Tentukan matriks T berkenaan dengan basis standar untuk , kemudian gunakan Teorema 8.5.2 untuk menentukan matriks T berkenaan dengan basis , dimana

DefinisiJika A dan B adalah matriks-matriks bujursangkar, kita mengatakan bahwa B similar dengan A jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian sehingga

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang similar, maka A dan B memiliki determinan yang sama.

sehingga

DefinisiSuatu sifat dari matriks bujur sangkar disebut similarity invariant atau invarian di bawah similaritas jika sifat tersebut dimiliki oleh dua matriks yang similar.

Nilai Eigen sebuah operator LinearVektor eigen dan nilai eigen dapat didefinisikan untuk operator linear sebagaimana halnya untuk matriks. Sebuah skalar disebut sebagai nilai eigen dari sebuah operator linear T:V V apabila terdapat suatu vektor taknol x pada V sedemikian sehingga Tx=x. Vector x disebut vektor eigen dari T yang terkait dengan . Demikian juga vektor eigen dari T yang terkait dengan adalah vektor-vektor taknol yang berada di dalam kernel I-T. Kernel ini disebut sebagai ruang eigen dari T yang terkait dengan . 1.Nilai eigen dari T adalah sama dengan nilai eigen dari 2.Vector x adalah sebuah vektor eigen dari T yang terkait dengan jika dan hanya jika matriks koordinatnya , adalah sebuah vektor eigen dari yang terkait dengan .

Contoh 8.5.3Tentukan nilai eigen dan basis untuk ruang eigen dari operator linear yang didefinisikan oleh

Penyelesaian :Matriks T yang berkenaan dengan basis standar adalah

Nilai eigen dari T adalah dan .. Ruang eigen dari yang bersesuaian dengan memiliki basis dimana

Ruang eigen dari yang bersesuaian dengan memiliki basis dimana

Matriks adalah matriks-matriks koordinat relatif terhadap B dari

Sehingga, ruang eigen dari T yang terkait dengan memiliki basis

dan, ruang eigen dari T yang terkait dengan dengan memiliki basis

Untuk memeriksa kebenaran hasil diatas, kita dapat menggunakan rumus yang diberikan untuk T untuk membuktikan bahwa

Contoh 8.5.4Misalkan adalah sebuah operator linear yang dirumuskan oleh

Tentukan sebuah basis untuk sedemikian sehingga matriks untuk T adalah matriks diagonal.

Penyelesaian :Jika menotasikan basis standar , maka

Sehingga matriks standar untuk T adalah

(6)

Misalkan P sebagai matriks transisi dari suatu basis yang tidak diketahui B' ke basis standard B, maka menurut Teorema 8.5.2 matriks akan dihubungkan oleh

Dalam contoh 7.2.1 kita mengetahui bahwa matriks pada (6 ) didiagonalissasi oleh

Karena P merepresentasikan matriks transisi dari basis ke basis standar , kolom-kolom matriks P adalah sehingga

maka

Dari rumus yang diberikan untuk T kita peroleh

sehingga

Dengan demikian

PR. BAB VIIIKerjakan soal di Howard Anton Edisi 9:Bab 8.1 no 3, 5, 8a, Bab 8.2 no 3 , 4, 7b , Bab 8.3 no 3b, 4a, 15 , Bab 8.4 no 4, 5, 6, Bab 8.5 no 2, 11, 12a,

Dikumpul tanggal