Bab VIII Diferensial.doc

8/17/2019 Bab VIII Diferensial.doc

http://slidepdf.com/reader/full/bab-viii-diferensialdoc 1/35

BAB VIIIDIFERENSIAL

Kompetensi Dasar :1. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi.

2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi danmemecahkan masalah.

3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrimfungsi.

4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrimfungsi dan penafsirannya.

A. PE !A"#$#A

%stilah&istilah seperti kecepatan kendaraan' la(u pertumbuhan penduduk' la(u

penyebaran penyakit' la(u penyusutan barang sudah biasa kita (umpai dalamkehidupan sehari&hari. !alam materi pokok ini istilah&istilah tersebut diatas akanditafsirkan melalui suatu konsep dasar matematika yang dikenal sebagai turunanfungsi peubah tunggal' yang merupakan tahapan a)al studi tentang kalkulusdiferensial.

*. PE +E,-%A -#,# A

1. Garis Singgung Kurva dan Kecepatan Suatu Bendaa. +aris inggung /ur0a

Perhatikan gambar berikut :

Andaikan P adalah suatu titik tetap pada sebuah kur0a dan andaikan adalah

sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah&pindahkan pada kur0a tersebut.+aris yang melalui P dan disebut tali busur. +aris singgung dititik P adalah posisi pembatas dari tali busur itu bila bergerak ke arah P sepan(ang kur0a.

Perhatikan gambar berikut :

3

Andaikan kur0a tersebut adalahgrafik dari persamaan y f 56 dan Pmempunyai koordinat

c' f c66 ' titik didekatnyamempunyai koordinat

c7h' f c7h66' maka talibusur yangmelalui P dan mempunyaikemiringan gradien6 m P yaitu :

hc f hc f

PRQR

m PQ66 −+==

!

h

f c7h6&f c6

-ali busur

+aris singgung

c c7h +ambar 8.2

,

9

P

talibusur

+aris singgung

+ambar 8.1



;ika sangat dekat dengan P maka h men(adi sangat kecil mendekati nol h→<6 akibatnya tali busur P akan men(adi garis singgung dititik P c'f c6 6

yang mempunyai kemiringan atau gradien m yaitu :

h

c f hc f mm

h PQ

h

66limlim

<<

−+==→→

"onto# :-entukan gradien garis singgung pada kur0a y f 56 5 2 73 di titik 1'46.

$a%a& :y f 56 52 7 3 = 1'46+radien garis singgung m

h f h f

mh

6161lim

<

−+=→

f 56 52 7 3 ⇒ f 16 162 7 3 4f 17h6 17h62 7 3 1 7 2h 7 h 2 7 3 472h7h 2

f 17h6&f 16 472h7h26& 4 2h7h2

2<262lim62

lim2

lim6161

lim<<

2

<<=+=+=+=+=−+=

→→→→h

hhh

hhh

h f h f

mhhhh

;adi gradien garis singgung kur0a y f 56 5 2 7 3 dititik 1'46 adalah 2.

b. /ecepatan esaat;ika kita mengendarai sepeda motor dari satu tempat ke tempat yang lainnyayang ber(arak 1<< km dalam )aktu 2 (am' maka kecepatan rata&rata kita adalah>< km?(am. Artinya kecepatan rata&rata adalah (arak antara posisi pertama ke

posisi kedua dibagi dengan )aktu tempuh. -etapi selama per(alanan penun(uk la(u speedometer6 sering tidak menun(ukkan angka >< km. @aktu baru

berangkat < km' kadang&kadang kecepatan naik sampai < km' akhirnya (atuhke angka < lagi. ;adi yang diukur oleh speedometer bukanlah kecepatan rata&rata.Misalkan sebuah benda P (atuh bebas dalam ruang hampa udara. Pan(anglintasan benda setelah t detik adalah 1 t 2 meter. Artinya benda P akan (atuhse(auh 1 m dalam detik pertama' 4 m dalam dua detik' dan seterusnya.;elaslah bah)a P (auh semakin cepat dengan berlalunya )aktu.

Perhatikan +ambar 8.3 berikut :

+ambar 8.3

elama selang )aktu t 1 sampai t 1'> detik' P (atuh se(auh 1 1'>6 2&1 2<m sehingga kecepatan rata&rata ,ata&rata

adalah :( )

4<>'<

2<1>'1

1>'11 2

rata,ata ==−

−=−

meter?detik.

4

<1

324B

4

detik pertama

detikkedua

elama detik kedua dalam selang )aktu t 1sampai t 2 detik6 P (atuh se(auh 4&1 6 msehingga kecepatan rata&rata ,ata&rata

adalah :

4B1214

rata,ata =−−=−

meter?detik.



elama selang )aktu t 1 sampai t 1'1 detik' P (atuh dengan kecepatan rata&rata ,ata&rata

adalah :( )

'331'<

3'311'1

11'11 2

rata,ata ==−

−=−

meter?detik.elama selang )aktu t 1 sampai t 1'<1 detik' P (atuh dengan kecepatan rata&

rata ,ata&rata adalah :

( )1'32

<1'<321'<

1<1'11<1'11 2

rata,ata ==−

−=−

meter?detik.Apa yang kita lakukan adalah menghitung kecepatan rata&rata selama selang)aktu yang semakin singkat' masing&masing mulai pada t 1' semakin pendekselang )aktu' semakin baik kita menghampiri kecepatan yang benar pada saatt 1 detik.

Andaikan benda P bergerak sepan(ang garis sehingga posisinya pada saat tdiberikan oleh f t6 . Pada saat c benda berada di f c6' dan pada saat yang

berdekatan c7h6 benda berada di f c7h6. ;adi kecepatan rata&ratanya adalah :

h6cf 6hcf

rata,ata−+=−

#ntuk h sangat kecil h →<6 maka posisi benda di f c7h6 sangat dekat dengan dif c6' sehingga kecepatan sesaat di c dinyatakan sebagai :

h6cf 6hcf

limlim<h

rata,ata<h

−+==→−→

!alam hal f t6 1 t 2 kecepatan sesaat pada t 1 adalah

h

h

h

f h f V

hh

22

<<

611611lim

6161lim

−+=

−+= →→

326132lim

132lim

16211lim

<

2

<

2

<=+=+=−++=

→→→h

hhh

hhh

hhh

!ari uraian diatas dapat kita lihat bah)a antara gradien garis singgung dankecepatan sesaat merupakan konsep yang sama yang merupakan tafsiran dariturunan.

elan(utnya orang mengenal istilah kecepatan dengan la(u. /ecepatanmerupakan la(u perubahan (arak terhadap )aktu. elain itu orang mengenalla(u&la(u yang lain antara lain& $a(u perubahan massa terhadap (arak dikenal dengan kepadatan .& $a(u perubahan pendapatan terhadap beberapa (enis produk dikenal dengan

pendapatan mar(inal.& $a(u perubahan muatan listrik terhadap )aktu dikenal dengan arus listrik.

Latihan Uji Kompetensi 1 :

1. -entukan gradien garis singgung pada kur0a y f 56 berikut di titik yangdiketahuia. f 56 2573 di titik 2'86 d. f 56 352 dititik &1'36

b. f 56 >&35 di titik <'>6 e. 151

65f += di titik 1' C 6

c. f 56 52&4 dititik 3'>6 f. 522

65f −

=

di titik <'16

2. Pan(ang lintasan benda setelah t detik dirumuskan dengan 2t 2 7 2 meter .-entukan :

>



a. /ecepatan rata&rata pada selang )aktu 2 ≤ t ≤ 3 b. /ecepatan rata&rata pada selang )aktu 2 ≤ t ≤ 2'<<1

c. /ecepatan rata&rata pada selang )aktu 2 ≤ t ≤ 27hd. /ecepatan pada saat t 2.

3. ebuah kultur bakteri tertentu berkembang sehingga mempunyai masa sebesar

121 2 +t

gram setelah t (am.a. *erapa banyak kultur ini berkembang selama selang 2 ≤ t ≤2'<1.

b. *erapa la(u perkembangan rata&rata selama selang 2 ≤ t ≤2'<1c. *erapa la(u perkembangan pada t 2.

4. Andaikan pendapatan dalam rupiah dari produksi 5 kilogram suatu barang

diberikan oleh , 56 <.>5 − <'<<25 2. -entukan la(u perubahan sesaat dari

pendapatan (ika :a. 5 1< 5 1<<>. $a(u perubahan muatan listrik terhadap )aktu dinamakan arus listrik. ;ika

tt31 3 +

coulomb muatan mengalir melalui suatu ka)at penghantar dalam tdetik' tentukan besarnya arus listrik dalam ampere coulomb per detik6 setelah3 detik. /apankah sekering 18 ampere yang dipasang pada saluran itu akan

putus.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

'. Rumus De(inisi )urunan

!alam pembahasan terdahulu kita telah melihat bah)a gradien?kemiringan garissinggung dan kecepatan sesaat adalah )u(ud dari pemikiran dasar yang sama.$a(u perubahan organisme biologi6' keuntungan mar(inal ekonomi6' kepadatanka)at fisika6' dan la(u pemisahan kimia6 adalah bentuk&bentuk lain dari konsepyang sama. Pengertian matematis yang baik menyarankan agar kita menelaahkonsep ini terlepas dari kosa kata yang khusus dan terapan yang beraneka ragamini. /ita memilih nama turunan (derivatif) yang merupakan kata kunci dalamkalkulus.

a. ,umus !efinisi -urunan Dungsi f 56 di 5 c

Definisi-urunan fungsi f adalah fungsi lain f dibaca Ff aksenG 6 yang nilainya padasembarang bilangan c adalah :

h6cf 6hcf

lim6cHf <h

−+=→ asalkan limit ini ada.

;ika limit ini memang ada maka dikatakan f terdiferensialkan terturunkan6di c. Pencarian turunan disebut dengan pendiferensialan.

"onto# :-entukan turunan dari fungsi berikut pada 5 yang diketahui :

1. f 56 2573 pada 5 42. f 56 52 pada 5 &3

$a%a& :1. f 56 2573 = 5 4

-urunan fungsi f 56 pada 5 4 adalah f 46



h f h f

f h

6464lim64H

<

−+=→

f 46 2 4673 11 = f 47h6 2 47h673 B72h73 1172h

h f h f

f h

6464lim64H

<

−+=→

22lim2

lim116211

lim<<<

===−+→→→ hhh h

hhh

2. f 56 52 = 5 &3-urunan fungsi f 56 pada 5 &3 adalah f &36

h63f 6h3f

lim63Hf <h

−−+−=−

→

f &36 &362 I = f &37h6 &37h62 I & h7 h2

h63f 6h3f

lim63Hf <h

−−+−=−

→

hI6hhI

lim2

<h

−+−=→

hhhlim 2

<h+−=

→ 6<6hlim

h6hhlim

<h<h−=+−=+−=+−= →→

;adi turunan fungsi f 56 5 2 untuk 5 &3 adalah f &36 &


-entukan turunan dari fungsi&fungsi berikut ini untuk nilai 5 yang diberikan :1. f 56 k k konstanta6 pada 5 2 . f 56 2 − 45 2 pada 5 12. f 56 k k konstanta6 pada 5 −1 8. f 56 52 7 25 pada 5 −3

3. f 56 857> pada 5 3 B. 54

65f =

pada 5 −2

4. f 56 &35 pada 5 4 I. 565f = pada 5 4

>. f 56 52 7 > pada 5 2 1<. 5

165f =

pada 5 1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&. Rumus *mum )urunan

;ika turunan fungsi f 56 di setiap 5 anggota daerah asal ada maka turunanfungsi f 56 terhadap 5 ditentukan oleh :

h

x f h x f

x f h

66

lim6H <

−+= →

yang dikenal sebagai rumus umum turunan fungsi.f 56 dibaca Ff aksen 5G disebut turunan pertama atau deri0atif pertama darifungsi f 56 terhadap 5.Jara menentukan f 56 seperti cara menentukan f c6 yang terdahulu.

c. Notasi Lei&ni+ untu, )urunan

eorang matematika)an pelopor kalkulus diferensial yang bernama $eibniKmenuliskan notasi turunan yang berbeda. $eibniK tidak menggunakan f 56untuk menuliskan turunan f 56. !ia menggunakan istilah pertambahan nilaidengan ∆ baca: delta6.Pertambahan nilai 5 ditulis dengan ∆5 dibaca : delta 56.;ika 5 berubah men(adi 57 ∆5 maka perubahan yang bersesuaian dalam yadalah :

∆y f 57∆56 L f 56sehingga :

8



x ) x( f ) x x( f

x y

∆−∆+=∆

∆

;ika ∆ 5 →< maka nilai limit dari bentuk diatas dinyatakan sebagai dxdy

sehingga :

) x( ' f x

) x( f ) x x( f lim x ylim

dxdy

x x=∆

−∆+=∆∆=

→∆→∆ <<

;adi $eibniK menuliskan turunan fungsi y f 56 dengan notasi

d56dybacad5dy

ataud56df baca

d5df

Adapun proses mencari turunan suatu fungsi sama seperti dengan caramenentukan f 56 atau y yaitu menggunakan rumus umum turunan fungsi f 56yaitu :

h

) x( f )h x( f lim

dx

df

dx

dy

h

−+== →<

"onto# :1. -entukan f 56 (ika diketahui f 56 35 −2.

2. -entukan d5df

(ika diketahui f 56 5 2

$a%a& :1. f 56 35−2

h

x f h x f x f

h

66lim6H

<

−+=→

f 57h6 3 57h6−2 3573h −2f 57h6−f 56 3573h−26& 35−26 3h

h x f h x f

x f h

66lim6H

<

−+=→

33lim3

lim<<

==→→ hh h

h

2. f 56 52

h65f 6h5f

lim65Hf d5df

<h

−+==→

f 57h6 57h62 5 2725h7h 2 f 57h6−f 56 52725h7h 26−52 25h7h 2

h65f 6h5f

limd5df

<h −+= →

hh5h2

lim2

<h

+=→

526<526h52limh

6h52hlim

<h<h=+=+=+=

→→

;adi turunan fungsi f 56 5 2 adalah d5df

25


!engan rumus umum turunan tentukan turunan dari fungsi berikut :1. f 56 25 2. f 56 4573 3. f 56 8 &25

4. f 56 >52 >.25

41

65f =

. 51

65f =

8. 251

65f += B. f 56 53 I. f 56 45 3

B



1<. 565f = 11. 25

165f =

12. 25

>65f −

=

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&J. ,#M# &,#M# -#,# A :

1. )urunan (- /0 a n

Menurut rumus *inomium e)ton :57h62 5 2 7 2h5 7 h 2

57h63 53735 2h 7 35h 2 7 h 3

57h64 54 7 45 3h 7 5 2h2 745h 3 7 h 4

dan seterusnya sehingga :nnnnnn hnxhh x

nnhnx xh x +++−++=+ −−− 1221 .....

261

6

Menurut rumus definisi turunan fungsi f 56 bah)a :

h x f h x f

x f h

66lim6H

<

−+=→

f 56 a5n

f 57h6 a 57h6n

+++−++ −−− n1n22n1nn hn5h.....h5

261nn

hn55a

n1n22n1nn ahan5h.....h52

61nanhan5a5 +++−++ −−−

f 57h6 & f 56

−

+++−++ −−− na5ahan5h.....h5

261nan

han5a5 n1n22n1nn

n1n22n1n ahan5h.....h52

61nanhan5 +++−+ −−−

sehingga :

h x f h x f

x f h

66lim6H

<

−+=→

h

ahan5h.....h52

61nanhan5

lim

n1n22n1n

<h

+++−+ −−−

→

h

ahan5h.....h52

61nanan5h

lim

1n2n2n1n

<h

+++−+ −−−−

→

+++−+ −−−−

→1n2n2n1n

<hahan5h.....h5

261nanan5lim

-ampak bah)a suku kedua' ketiga' dan seterusnya dari bentuk dalam tandakurung memuat h sehingga (ika dilimitkan hasilnya nol.f 56 an5n&1 7 < 7 . 7< 7 < an5 n&1

;adi turunan f 56 a5 n adalah f 56 an5n&1

"onto# :-entukan turunan dari :1. f 56 452 2. f 56 C 5 3. f 56 &351<

$a%a& :1. f 56 a5n 45 2 = a 4= n 2 ⇒ fG 56 an5n&1 4.25 1 B52. f 56 a5n C 5 = a 1?2= n ⇒ fG 56 an5n&1 1?2. 5> 35 >

3. f 56 a5n &351< = a &3= n 1<⇒ fG 56 an5n&1 &3.1<5I &3<5I

I



elan(utnya turunan f 56 a5 n yaitu fG 56 an5n&1 berlaku untuk n bilangan bulat p sitif!negatif dan rasi nal .

"onto# :-entukan turunan fungsi berikut :

a. f 56 25 L b. >5

165f =

c.3565f =

$a%a& :a. f 56 a5n 25 & = a 2= n & ⇒ fG 56 an5n&1 2 & 65&8 &125&8

b. f 56 a5n >

>

1 −= x x = a 1= n &>⇒ fG 56 an5n&1 1 &>65& &>5&

> x

−

c. f 56 a5n 2

33

x x =

= a 1= n 3?2

fG 56 an5n&1 5

235

2356

231 2112

3

==−

'. )urunan (- /0 c c0 ,onstanta

<<limh<

limh

cclim

h65f 6h5f

lim65Hf <h<h<h<h

===−=−+=→→→→

;adi f 56 c maka fG 56 <

2. )urunan (- /0

11limlim6

lim66

lim6H <<<< ===−+

=−+

= →→→→ hhhh hh

h xh x

h x f h x f

x f ;adi f 56 5 maka fG 56 1

3. )urunan (- /0 u- / 4 v- /

h x f h x f

x f h

66lim6H

<

−+=→

f 56 u 5670 56⇒ f 57h6 u 57h670 57h6

h

x f h x f x f

h

66lim6H

<

−+=→

[ ] [ ]h

65065u6h506h5ulim

<h

+−+++=→

[ ] [ ]h

6506h5065u6h5ulim

<h

−++−+=→

h6506h50

limh

65u6h5ulim

<h<h

−++−+=→→

u 56 7 0 N 56;adi f 56 u 56 7 0 56 maka f N 56 u 56 7 0 N 56

!engan pemikiaran serupa dapat ditun(ukkan bah)a :-urunan fungsi f 56 u 56 & 0 56 adalah f 56 u 56 L 0 56

"onto# :-entukan turunan dari fungsi berikut :1. f 56 2537 5 2&1<57>2. f 56 51< 7 1?5$a%a& :

8<



1. f 56 2537 5 2&1<57>f 56 2.3 52 7125&1<.1 7 < 5 27125&1<

2. f 56 51< 7 1?5 5 1< 7 5 &1

f 56 1.1< 5I 71. &16 5 &1&1 1<5 I & 5&2 1<5 I L 1?52

Latihan Uji Kompetensi 4

1. -entukan turunan dari fungsi berikut :a. f 56 452 c. f 56 &25B e. f 56 &5

b. f 56 358 d.I

31

x ) x( f −

=

f .1<

>2

x ) x( f =

2. -entukan turunan dari fungsi berikut :a. f 56 5&4 b. f 56 25&24. c. f 56 C 5 &

d.2

3565f = e.

2>

565f = f.4

3565f =

g.3 565f = h.

> 4565f = i. 35265f =

(. 85

>65f =

k. 452

165f =

l.

3 25

165f =

m.252

165f =

n.4 53

465f =

3. -entukan turunan dari fungsi berikut :a. f 56 527357 b. f 56 5 4&B5371<

c. f 56 85>75 4&52735 d.1>

21

3111

6 234> −+−+= x x x x x f

e.2

2

3

136

x x x f −=

f.2

3 1

x x ) x( f +=

g. x x ) x( f 23 += h. x x ) x( f

1−=

i. f 56 5275 6 5716 (. 62561565f ++=

k. 545>53

65f 2 ++=

l. 55

3565f

2 +=

4. !iketahui fungsi f ditentukan dengan rumus25>5

21

65f 2 ++=.

a. -entukan turunan dari f 56. b. "itunglah nilai dari : f N &2<6 ' f N &16' f N <6' f N 16 ' f 1<6.

>. !iketahui fungsi f ditentukan dengan rumus153525

31

65f 23 +++=.

a. -entukan turunan dari f 56. b. "itunglah nilai&nilai 5' (ika :

i6 f 56 < ii6 f N 56 B iii6 f N 56 3

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

81



5. )urunan 6asi7 Ka7i Fungsi8Fungsia. )urunan (- /0 c. u- / dengan c0 ,onstanta.

h ) x( f )h x( f

lim ) x( ' f h

−+=→<

f 56 c. u 56⇒ f 57h6 c. u 57h6

h ) x( f )h x( f

lim ) x( ' f h

−+=→<

h65u.c6h5u.c

lim<h

−+=

→

[ ]h

65u.6h5u.clim

<h

−+=→

h65u.6h5u.

lim.c<h

−+=→ c.u 56

;adi turunan f 56 c.u 56 adalah f 56 c. u 56

&. )urunan (- /0 u- /.v- /

h ) x( f )h x( f

lim ) x( ' f h

−+=→<

f 56 u 56.0 56⇒ f 57h6 u 57h6.0 57h6

h ) x( f )h x( f

lim ) x( ' f h

−+=→< h

) x( v ). x( u )h x( v ).h x( ulimh

−++=

→ <

h ) x( v ). x( u ) x( v ).h x( u ) x( v ).h x( u )h x( v ).h x( ulim

h−+++−++=

→<

[ ] [ ]h

) x( u )h x( u ) x( v ) x( v. )h x( v ).h x( ulimh

−++−++=→<

[ ] [ ]h

) x( u )h x( u ) x( vh

) x( v. )h x( v ).h x( ulimh

−++−++=→<

[ ] [ ]h

) x( u )h x( ulim ). x( vlim

h ) x( v. )h x( v.

lim ).h x( ulimhhhh

−++−++=→→→→ <<<<

) x( v ). x( ' u ) x( ' v ). x( u ) x( ' u ). x( v ) x( ' v ). x( u +=++= <

;adi turunan fungsi f 56 u 56.0 56 adalah f 56 u 56.0 56 7 u 56.0 56

"onto# :-entukan turunan dari f 56 25 2716 53&56

$a%a& :f 56 252716 53&56 u 56. 0 56Misal u 56 25 271 ⇒ u 56 45 56 53& 5⇒ 0 56 352& 1f 56 u 56.0 56 7 u 56.0 56 252716 352& 16 7 456 53& 56 54& 252735 2& 1 7454&452

1<5 4&352 &1

9. )urunan Fungsi [ ] n ) x( u ) x( f =

Misalkan y dan u adalah fungsi&sungsi dalam 5 sehingga [ ] n ) x( u ) x( f = ⇔ y un

#ntuk n 2 ⇒ y u 2 u. u ' menurut rumus turunan hasilkali dua fungsi diperoleh

82



y u .u 7 u.u 2. u.u#ntuk n 3 ⇒ y u 3 u 2. u sehingga

y u26 .u 7 u . u2 2.u.u 6.u 7 u2. u 2.u2.u 7 u2.u 3.u2.u#ntuk n 4 ⇒ y u 4 u3.u sehingga :

y u36 . u 7 u . u3 3.u2.u 6.u 7 u3. u 3u3.u 7 u3.u 4.u3.u

-ampak keteraturan dari bentuk&bentuk diatas yaitu :9 u 2 ⇒ y 2.u. u9 u 3 ⇒ y 3.u2. u9 u 4 ⇒ y 4.u3. u ' dan seterusnya sehingga y u n ⇒ y n. un&1.u

;adi : turunan fungsi y u n adalah y n. u n&1.u atau

-urunan fungsi [ ] n ) x( u ) x( f = adalah [ ] ) x( ' u. ) x( u.n ) x( ' f n 1−=

"onto# :-entukan turunan dari fungsi berikut :

1. f 56 52725716 > 2. 2 24

++= x x ) x( f $a%a& :1. f 56 52725716 > u 566n = u 56 5272571 dan n >

u 56 5272571 ⇒ u 56 2572[ ] ) x( ' u. ) x( u.n ) x( ' f n 1−= > 52725716 4. 25726 1<571<6. 52725716 4

2. 2 24 ++= x x ) x( f 54725 27 61?2 u 566n u 56 54725 27 ⇒ u 56 453745 dan n C

[ ] ) x( ' u. ) x( u.n ) x( ' f n 1−= C. 54725 27 61?2 &1. 453745 6 2537256. 54725 2 7 6&1?2

( ) ( )5255252

5255252

243

2?1243

+++=

+++=

:. )urunan 6asi7 Bagi Fungsi8Fungsi ; 65065u

65f =

Misal y dan u adalah fungsi&fungsi dalam 5 sehingga 65065u

65f =

⇔ 0u

y =

0u

y =

⇔ u y.0 ' menurut turunan hasil kali fungsi&fungsi diperoleh : u y .0 7 y.0⇔ y .0 u L y.0

⇔ 0H0.yHu

Hy −

=

⇔ 0

H0.0u

HuHy

−

= (ika dikalikan v

v

diperoleh :

⇔ 20

H0..u0H.uHy

−=

;adi turunan fungsi 0u

y =

adalah20

H0..u0H.uHy

−=

atau

turunan fungsi 650

65u65f =

adalah 6

6H6.66.H6H 2

xv

xv xu xv xu x f

−=

"onto# :

-entukan turunan dari 45

>5365f

2 −

+=

$a%a& :

83



4

>32 −

+= x

x ) x( f

Misalkan u 56 357> O u 56 30 56 52& 4 O 0 56 25

650

65H06..5u6506.5Hu65Hf

2

−=

22

2

645

526.>536453−

+−−=

22

22

645

651<561253−

+−−=

22

2

4

121<3

) x(

x x−

−−−=


1. -entukan turunan dari fungsi berikut :a. f 56 527456 53& 6 b. f 56 52725716 52&16f N 56 25746. 53& 6 7 527456. 3526 f N 56 25726 52&167 52725716.25

c. f 56 527>6 53725&>6 d. f 56 1&5>6 537352746

f N 56 256 53

725&>67 52

7>6. 352

726 f N 56 &>54

6 53

73527467 1&5>

6 352

7 56e. f 56 352&85&26 53&456 f. f 56 √5 75 36 52&46

f N 56 5&86 53&4567 352&85&26 1B52&46 f N 56 C 5&1?2 735 26 52&467 √5 75 36 256

2. -entukan turunan dari fungsi berikut :

a. ( )315265f += b. ( )23 >5565f ++=

f N 56 3. 257162. 125>6 f N 56 . 5375 27>6>. 3527256

c.

223 55

21

531

65f −

++=

d. ( ) 2?1> 52565f −=

f N 56 &2. 537 C 5 2756&3. 5275716 f N 56 C . 5>&256&1?2. >54&26

e. ( )82 >545

165f

++=

f. ( )3 23 >5I5565f +++=

f N 56 &8. 527457>6 &B. 25746 f N 56 Q 575 37I57>6 & . 5>735 27I6

3. -entukan turunan dari fungsi berikut :

a. 5452

>65f

3 −=

b. 1515

65f +

−=

c. 15153

65f −

+=

d. 321> 2

+

−=

x

x ) x( f

e. 253

45>65f

2 +−=

f. 1521535

65f 2

+

−+=

g. 515565f

2

2

+−+=

h. 255>52565f

2

2

+++−=

4. ;ika f <6 4' f N <6 &1' g <6 &3 ' dan g N <6 >' carilah nilai dari :a. f7g6 <6 b. f.g6 <6 c. f?g6 <6.

>. ;ika f 36 4' f N 36 2' g 36 ' dan g N 36 &1<' carilah nilai dari :

84



a. f&g6 36 b. f.g6 36 c. f?g6 36.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

D. )*R*NAN F*NGSI )RIG<N<=E)RI

!alam pembahasan materi yang terdahulu telah kita ketahui bah)a :in 5 & sin y 2 cos C 57y6. sin C 5&y6

cos 5 L cos y &2 sin C 57y6. sin C 5&y6

ba

bx )ax sin(

limh

=→<

/etiga rumus diatas dapat kita gunakan untuk menentukan turunan fungsi sinus dankosinus.

1. -urunan Dungsi f 56 sin 5

$engkapilah berikut ini untuk menemukan turunan f 56 sin 5 :

h ) x( f )h x( f

lim ) x( ' f h

−+=→<

f 56 sin 5 ⇒ f 57h6 sin 57h6

f 57h6&f 56 sin 57h6 L sin 5 2 cos C 57h6756. sin C. 57h6&56 2 cos 57Ch6. sin Ch

h

) x( f )h x( f lim ) x( ' f h

−+= →<

h

h21

sin6.h21

5cos.2lim

<h

+=

→

h

h21

sin.6h

21

5cos.2lim<h

+=→

h

h21

sin.lim6.h

21

5cos.lim.2<h<h →→

+=

2. cos 57C.<6. C cos 5

;adi turunan fungsi f 56 sin 5 adalah f 56 cos 5.

2. -urunan Dungsi f 56 cos 5

h ) x( f )h x( f

lim ) x( ' f h

−+=→<

f 56 cos 5 ⇒ f 57h6 cos 57h6f 57h6&f 56 cos 57h6 L cos 5

&2 sin C 57h6756. sin C. 57h6&56 &2 sin 57Ch6. sin Ch

h ) x( f )h x( f lim ) x( ' f

h−+=

→<

h

h21

sin6.h21

5sin.2lim

<h

+−=

→

8>



h

h21

sin.6h

21

5sin6.2lim<h

+−=→

h

h21

sin.lim6.h

2

15sin.lim.2

<h<h →→+−=

&2. sin 57C.<6. C &sin 5

;adi turunan fungsi f 56 cos 5 adalah f 56 & sin 5

"atatan :emua rumus yang berlaku pada turunan fungsi al(abar (uga berlaku pada turunan

fungsi trigonometri .

"onto# :-entukan turunan dari fungsi berikut :

1. f 56 2 sin 5 7 3 cos 52. f 56 cos> 53. f 56 53. sin 5

$a%a& :1. f 56 2 sin 5 7 3 cos 5 f 56 2 cos 56 7 3 &sin 56 2 cos 5 L 3 sin 5

2. f 56 cos> 5 cos 5 6>

f 56 u 56 6n maka u 56 cos 5 ⇒ u 56 &sin 5 dan n > f 56 n. u 56 6n&1. u 56 > cos 564. &sin 56 &> sin 5 . cos4 5

3. f 56 53. sin 5 f 56 u 56. 0 56 maka u 56 53 ⇒ u 56 352

0 56 sin 5⇒ 0 56 cos 5 f 56 u 56. 0 56 7 u 56. 0 56

35 2. sin 5 7 5 3 . cos 5


-entukan turunan fungsi berikut menggunakan rumus&rumus turunan yang sesuai :1. f 56 3 sin 5 7 >. cos 5 2. f 56 2 sin 5 & 4. cos 5 .3. f 56 sin25 7 cos 25 4. f 56 sin 5 . cos 5>. f 56 52. cos 5 . f 56 sin 5 17 cos 568. f 56 52&56. sin8 5 B. f 56 sin 3 5

I. xc s ) x( f = 1<. xc s

x sin ) x( f =

11. 5cos5sin5cos

65f +=12. 5sin.5

1565f

2 +=

13. !iketahui fungsi trigonometri dengan rumus 5sin5cos5sin5cos

65f +−=

.

-un(ukkan bah)a f N 56 &1R 17f 2 56S.14. !iketahui fungsi 5sin165f 2+= . -un(ukkan bah)a f N 56.f 56 C . sin25.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

E. A)*RAN RAN)AI *N)*K )*R*NAN F*NGSI K<= <SISI

8



Misalkan y fog6 56 adalah komposisi fungsi g dilan(utkan ke fungsi f. Menurutaturan komposisi fungsi fog6 56 f g 56 6

-urunan dari fog6 56 yaitu fog6 56 ditentukan sebagai berikut( )

h

)) x( g ( f )h x( g f lim

h

) x )( f g ( )h x )( f g ( lim ) x( )' f g ( ' y

hh

−+=−+==→→ <<

Misalkan• u g 56 maka ∆u ∆g 56 g 57h6&g 56

⇔ g 57h6 g 567∆u u7 ∆u• ∆5 57h6 L 5 hsehingga :

x )u( f )uu( f

lim ) x( )' f g ( ' y x ∆

−∆+==→∆ <

uu

.5

6uf 6uuf lim

<5 ∆

∆

∆

−∆+=→∆ ;ika ∆5→ < maka ∆u→ < 6

5u

.u

6uf 6uuf lim

<u ∆∆

∆−∆+=

→∆

5u

lim.u

6uf 6uuf lim

<5<u ∆∆

∆−∆+=

→∆→∆ f u6 . u f g 566.g 56 = karena u g 56 dan u g 56.

;adi turunan fungsi y fog6 56 adalah y fog6 56 f g 566. g 56.

!engan menggunakan notasi $eibnitK untuk turunan' aturan rantai sangat mudah dihafalkan :

y f u6 dengan u g 56 maka d5du

.dudy

d5dy

=

,umus diatas dapat diperluas sesuai dengan kebutuhan misalnya :

y f u6' u g 06' 0 h 56 maka d5d0

.d0du

.dudy

d5dy =

' dan seterusnya.

"onto# ;!engan aturan rantai tentukan turunan dari fungsi berikut :1. f 56 2537>68

2. f 56 sin 53

72563. f 56 cos 4 52786

$a%a& ;1. y f 56 2537>68

Misalkan y u 8 dengan u 25 37>u O u 52 Menurut Aturan ,antai :y f 56 f N u6. u

88

5

∆5

57h6

g 56

∆g 56

g 57h6

f g 566

∆f g 566

f g 57h6

g f



8 u . 52 8 2537>6 . 5 425 2. 2537>6 .!engan notasi $eibnitK :

y u 8' dengan u 25 37> maka3 6>528u8

dudy +==

dan25

d5du =

ehingga d5

du.

du

dy

d5

dy=

3223

>242>28 ) x.( x x. ) x( +=+=

2. y f 56 sin 537256

y sin u dengan u 5 3725 maka6525cosucos

dudy 3 +==

dan253

d5du 2 +=

ehingga6525cos625362536.525cos

d5du

.dudy

d5dy 3223 ++=++==

3. y f 56 cos 4 52786

>0 u 4

dengan u cos 52

786 maka

323 6T8Ucos44 +== xu

du

dy

4cos3

52

786.

u0 cos 52786 cos 0 dengan 0 5 278 maka68sinsin 2 +−=−= xv

dvdu

0 5 278 maka x

dxdv

2=

Aturan ,antai : d5d0

.d0du

.dudy

d5dy =

5266.85sin685cos4 223 +−+=

68cos6.8sin.B 232 ++−= x x x

"onto# ;

!iketahui rusuk suatu kubus bertambah dengan la(u 3 cm per detik. /etika pan(angrusuk kubus itu 1< cm' hitunglah la(u bertambahnya 0olume kubus tersebut.$a%a& ;Misalkan pan(ang rusuk kubus adalah r cm. ,usuk kubus bertambah pan(ang dengan

la(u 3 cm per detik berarti3

dtdr =

cm?detik.;ika pan(ang rusuk r cm maka 0olume kubus adalah r 3 cm 3. $a(u bertambahnya

0olume kubus sama dengan dtdA

dan dtdA

ditentukan dengan aturan rantai yaitu :

r 3 O2r 3

dr d

=

sehingga dtdr

.dr d

dtd

=3r 26. 3 Ir 2.

/etika r 1< cm maka diperoleh dtdA

I 1<62 I.1<< I<< cm 3? detik.


1. !engan menggunakan Aturan ,antai tentukan turunan fungsi berikut :a. y 457>6I b. y 35275& 612

c. y 52&1<562< d. y 5275736 −2

e. y 37852

6−1? 2

f.

>6

5

152y −=

g. 6I52y += h. 6553y 2 +=

i. ( )3 3 6251>54y +−= (.4 32 6545y −=

2. !engan menggunakan Aturan ,antai tentukan turunan fungsi berikut :a. f 56 sin B5736 b. f 56 cos 527256

8B



c. f 56 2sin 35−π6 d. f 56 &3.cos 53−5746e. f 56 sin 1<5 f. f 56 cos> 25 7>56

g. 5sin65f 23 −= h. 651<52cos65f 33 +=

3. isi sebuah persegi bertambah pan(ang dengan la(u 1> mm per detik. -entukan la(u bertambahnya luas persegi pada saat pan(ang sisi sama dengan 8 cm.

4. ;ari&(ari sebuah bola bertambah pan(ang dengan la(u 2 cm per detik. Pada saat (ari& (ari bola itu pan(angnya 3< cm' hitunglah :a. $a(u bertambahnya luas permukaan bola.

b. la(u bertambahnya 0olume bola.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

F. ERSA=AAN GARIS SINGG*NG K*RVA

Perhatikan grafik y f 56 di samping.-itik P c' f c6 6 pada kur0a.Pada pembahasan arti geometri untuk turunan yangterdahulu bah)a gradien garis singgung di titikP c' f c6 6 adalah m :

)c( ' f h

)c( f )hc( f limmh

=−+=→<

+ambar 8.4

edangkan sudah kita maklumi bah)a persamaan garis yang melalui titik 5 1'y16dengan gradien m adalah y& y 1 m 5& 516 sehingga dengan demikian persamaan garissinggung kur0a y f 56 di titik P c' f c6 6 adalah :

y& f c6 m 5 & c6 = dengan m f c6

m f c6 di sebut gradien garis singgung.c' f c6 6 disebut titik singgung

"onto# :-entukan titik singgung' gradien' dan persamaan garis singgung kur0a y 5 2725&dititik dengan absis 5 1.$a%a& :y f 56 52725& = 5 1#ntuk 5 1 maka y f 16 16 2 7 2 16 L 1 72 L &3;adi titik singgungnya 1' &36+radien garis singgung m f 16f 56 2572⇒ m f N 16 2.1 7 2 4Persamaan garis singgungnya :

y& f c6 m 5&c6⇔ y& &36 4 5& 16⇔ y73 45&4 ⇔ y 45&8;adi persamaan garis singgungnya adalah y 45&8"onto# :-entukan titik singgung dan persamaan garis singgung kur0a y 5 2&4 dengan gradien &$a%a& ;9 f 56 5 2&4 = m &+radien m y f 56 25 sehingga 25 & ⇔ 5 &3#ntuk 5 &3 ⇒ y f &36 &362 L 4 I&4 >;adi titik singgungnya adalah &3' >6

8I

P c'f c66

9 f 56

y

5



Persamaan garis singgungnya :y& f c6 m 5& c6⇔ y& > & 5& &366⇔ y&> & 5 L 1B⇔ y & 5&13;adi persamaan garis singgungnya adalah y & 5 &13


1. -entukan titik singgung' gradien dan persamaan garis singgung pada kur0a berikuta. y 5 27357> di titik dengan absis 5 2

b. y 45 &52 di titik dengan absis 5 &1c. y 5 372 di titik dengan ordinat y &d. y 1?5 5 &1 di titik dengan ordinat y C

y N &1.5&2

;a)ab :a. -itik singgung 2'1>6

+radien m f 26 2.2 7 3 8Persamaan : y L 1> 8 5&26

b. -itik singgung &1'&>6+radien m f N &16 4 L 2.&1 Persamaan : y 7 > 5716

c. -itik singgung &2'& 6+radien m f N &26 12Persamaan : y 7 12 5726

d. -itik singgung 2' C 6+radien m f N 26 & VPersamaan : y L C & V 5&26

2. -entukan titik singgung dan persamaan garis singgung kur0a berikut :a. y 5 27> dengan gradien 4

y N 25 4 2 maka y I

-itik singgung 2'I6Persamaan : y L I 4 5&26

b. y 5 27457 dengan gradien 12y 25 7 4 12

25 B 4 maka y 3B-itik singgung 4'3B6Persamaan : y L 3B 12 5&46

c. y 5 2 5&36 53 L 352 dengan gradien Iy N 352 L 5 I

2 L 25 &3 <5716 5&36 <

&1 atau 5 3 &1 maka y &4 ' titik singgung &1'&46 ' persamaan : y 7 4 I 5716 3 maka y < ' titik singgung 3'<6 ' persamaaan : y I 5&36

d. y 5 371 dengan gradien 33 35 2

2 1 1 atau 5 &1 1 ' maka y 2' titik singgung 1'26' persamaannya : y L 2 3 5&16 &1 ' maka y <' titik singgung &1'<6' persamaan : y 3 5716

B<



3. -entukan persamaan garis singgung pada kur0a 5 2&y725&3 < yang tegak lurusterhadap garis 5&2y7 3 <;a)ab :5&2y7 3 < gradiennya : m C

gradien geris singgung m s & 252&y725&3 <y 5 2725&3y N 25 7 2 &2

25 &4 &2 maka y &262 7 2.&2 L 3 & 3 .

)iti, singgung -8'?82/ersamaan garis singgung ; > 4 2 0 8'- 4'/

4. Jarilah koordinat titik pada kur0a y 25 2&85 71 (ika garis singgung kur0a yangmelalui titik itu membentuk sudut 4> o terhadap sumbu 5 positif. -entukan pula

persamaan garis singgung kur0a yang melalui titik tersebut.;a)ab :Membentuk sudut 4> o dengan sumbu positif berarti gradiennya m 1 1 45 L 8 maka 45 &B

& 2 maka y 2. &262 L 8.&2 7 1 23 . -itik singgung &2 ' 23 6Persamaan garis singgung : y L 23 1 5 7 2 6

>. Jarilah koordinat titik pada parabola y 5 27B571 (ika garis singgung pada parabola yang melalui titik itu se(a(ar? tega, 7urus dengan garis 3 4'>410@ .-entukan pula persamaan garis singgung parabola yang melalui titik tersebut.

;a)ab : 4572y71 <maka 2y &45 & 1 maka y &25 L Cgradiennya m & 2 25 7 B y N 25 & 1< maka 5 & >

&> 'maka y 2> L 4< 7 1 & 14 ehingga titik singgungnya &>' &146Persamaan garis singgungnya : y 7 14 &2 57 >6

y &25&1<&14y &25&24

G. F*NGSI NAIK DAN F*NGSI )*R*N

1. PengertianDungsi y f 56 kontinu pada inter0al tertutup Ua'bT.Dungsi y f 56 dikatakan naik (ika untuk setiap 5 1' 5 2∈ Ua'bT berlaku :

51 W 52 ⇔ f 516 W f 526Dungsi y f 56 dikatakan turun (ika untuk setiap 5 1' 5 2∈ Ua'bT berlaku :

51 W 52 ⇔ f 516 O f 526

+ambar 8.> +ambar 8."onto# :

B1

X a 51 5

2 b

9

f 526

f 516

y f 56

X a 51 5

2 b

9

f 516

f 526

y f 56

y f 56 fungsi naik y f 56 fungsi turun



!engan menggunakan pengertian diatas tun(ukkan bah)a fungsi f 56 >573merupakan fungsi naik untuk setiap 5 ∈ ,.

$a%a& ;f 56 >573

Ambil sembarang bilangan real p dan Y dengan p W Y ⇔ p−Y W <#ntuk menun(ukkan f 56 >573 fungsi naik ' cukup ditun(ukkan bah)a f p6 W f Y6f p6 >p73 dan f Y6 >Y73f p6−f Y6 >p736− >Y736 >p−>Y > p−Y6 W < karena p−Y W <

ehingga f p6 − f Y6 W < atau f p6 W f Y6;adi terbukti bah)a untuk pW Y ⇔ f p6 W f Y6' maka f 56 >573 merupakan fungsinaik untuk setiap 5 ∈,.

2. yarat Dungsi aik dan Dungsi -urunPerhatikan grafik fungsi berikut :

+ambar 8.8!engan kata lain bah)a (ungsi >0 (- / stasioner i,a ( - / 0 @ .• Pada inter0al cW5W b fungsi y f 56 turun. -ampak garis singgung kur0a

condong kearah kiri yang berarti gradiennya yaitu f N 56 bernilai negatif.!engan kata lain bah)a (ungsi >0(- / turun i,a ( - / C @

!ari keterangan di atas dapat kita katakan bah)a syarat :1. Dungsi y f 56 naik (ika f N 56 O <2. Dungsi y f 56 stasioner (ika f N 56 <3. Dungsi y f 56 turun (ika f N 56 W <4. Dungsi y f 56 tidak naik turun atau stasioner6 (ika f N 56 ≤ <>. Dungsi y f 56 tidak turun naik atau stasioner6 (ika f N 56 ≥ </elima syarat diatas digunakan untuk menentukan inter0al agar suatu fungsi naik'turun' stasioner' tidak naik' atau tidak turun.

"onto# ;-entukan inter0al agar fungsi :1. f 56 52 −B57> naik.

2.B22

213

31

f 56 +−−= x x x tidak naik

B2

X a c b

y f 56

9 • Pada inter0al aW5W c fungsi yf 56 naik. -ampak garis singgungkur0a condong kearah kanan yang

berarti gradiennya positif. +radiengaris singgung sama dengan f 56.!engan kata lain bah)a (ungsi>0(- / naik i,a ( - / @

• Pada 5 c dikatakan y f 56 stasi ner . +aris singgung kur0amendatar' sehingga gradiennyayaitu f N 56 bernilai nol

•



$a%a& ;1. f 56 52 −B57>

Agar fungsi f 56 naik haruslah f N 56 O <f N 56 25&B.f 56 O <

W O 25&B O <W O 25 O BW O 5 O 4;adi fungsi f 56 5 2&B57> naik pada inter0al 5 O 4.

2.B22

213

31

f 56 +−−= x x x

Agar fungsi f 56 tidak naik haruslah f N 56 ≤ <f N 56 52 −5−2.f 56 @ W O 52 −5−2 ≤ <W O 5&26 5716≤ < f 56 7 < ZZ < 7

& 1 2W O&1≤ 5 ≤ 2

;adi fungsiB5225

2135

31

f 56 +−−= tidak naik pada inter0al &1 ≤ 5 ≤ 2.


1. -entukan inter0al agar fungsi berikut naik? turun :a. f 56 52 − 571>

;a)ab :D N 56 25 L O <

25 O D 56 naik pada inteer0al : O 3

b. f 56 5−262 f N 56 25 L 4 O <

25 O 4Dungsi naik pada : 5 O 2

c.152<25

2135

31

f 56 +−+=

D N 56 52 7 5 L 2< O < 7 < & < 7 5 7 >6 5 L 46 O <

&> 4Dungsi f 56 naik pada : 5 W &> atau 5 O 4

d. f 56 53−125f N 56 352 L 12 O < 7 < & < 7

3 5726 5&26O< &2 2

Dungsi naik pada : C 8' atau '

2. -entukan inter0al agar fungsi berikut turun? naik :a. f 56 5−16 25746 252 7 25 L 4

f N 56 45 7 2 W <45 W &2

Dungsi turun pada W & C

b.

25I2543531

f 56 +−+=

B3



D N 56 52 7 B5 L I W < 7 < & < 7 57I6 5&16 W <

&I 1Dungsi turun pada : &I W 5 W 1

c. f 56 4537I5 2−12573

f N 56 1252

7 1B5 & 12 W < 252 735 L 26 W < 7 < & < 7 25 L 16 5726 W <

&2 CDungsi f 56 turun pada : &2 W 5 W C

3. -entukan inter0al agar fungsi berikut tidak naik :a. f 56 5−>62 5 2 L 1<5 7 2>

f N 56 25 L 1< [ <25 [1<

Dungsi f 56 tidak pada : 5 [ >

b. f 56 53−35f N 56 352 L 3 [ < 7 < & < 7

3 5716 5&16 [ < &1 1Dungsi f 56 tidak naik pada : &1 [ 5 [ 1

c.

53253531

f 56 −−=

D N 56 52 L 25 L 3 [ < 7 < & < 7 5 7 16 5 L 36 [ <

&1 3Dungsi f 56 tidak naik pada : &1 [ 5 [ 3

4. -entukan inter0al agar fungsi berikut tidak turun :a. f 56 3−575 2

f N 56 &1 7 25 \ <25 \ 1

Dungsi f 56 tidak turun pada : 5 \ C

b. f 56 537I5 271>574f N 56 352 7 1B5 7 1> \ < 3 57>6 5716 \ <Dungsi tidak naik pada : 5 [ &> atau 5 \ &1

c. f 56 5 5&262 5 3 L 452 7 45f N 56 352 L B5 7 4 \ <

35 L 26 5 L 26 \ <Dungsi f N 56 tidak naik pada : 5 [ 2?3 atau 5 \ 2

>. -un(ukkan bah)a fungsi berikut :

a. 2523

531

f 56 −+= monoton naik.D N 56 52 7 2 selalu bernilai positif' sehingga f 56 selalu ? monoton naik.

b. 115835f456 +−−= monoton turun.D N 56 &352 L 8 selalu bernilai negatif ' sehinngga f 56 selalu?monoton turun.

c. f 56 53& 452 7 5 78 monoton naik.

B4



D N 56 352 L B5 7 selalu bernilai positif' sehingga f 56 monoton naik.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

6. )I)IK S)ASI<NER DAN $ENIS S)ASI<NER

1. Pengertian -itik tasioner

+ambar 8.B"onto# ;-entukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi berikut :1. f 56 52− 574.2. f 56 53735 2−I571<

$a%a& : 1. f 56 52− 574

yarat stasioner f N 56 <f N 56 25−

f N 56 < W O 25− < W O 25 W O 5 3 ilai stasioner f 36 36 2− 3674 I−1B74 −>-itik stasioner 3' −>6

2. f 56 53735 2−I571<yarat stasioner f N 56 <

f N 56 3527 5−If N 56 < W O 3527 5−I < W O 52725 −3 < W O 5−16 57 36 <

W O 5 1 atau 5 −3 ilai stasionernya :f −36 −36373 −362−I −3671< −2872872871< 38

f 16 16373 162−I 1671< 173 −I71< >-itik tasionernya : −3' 386 dan 1'>6

2. ;enis tasioner #ntuk mempermudah memahami (enis stasioner suatu fungsi' perhatikan

beberapa gambar grafik y f 56 berikut :

B>

X c

9

9 f 56

P c' f c66

!alam materi sebelumnya sudah kita bahas bah)auntuk 5 c' fungsi y f 56 stasioner. !alam hal inidikatakan :• P c' f c66 disebut titik stasioner.• f c6 disebut nilai stasioner

edangkan syarat fungsi y f 56 stasioner adalahy f N 56 <

X c

9

y f 56

P c' f c66

y f 56

P c' f c66

X c

9

P c'f c66 -itik *alik P c'f c66 -itik *alik Maksimum Minimum



+ambar 8.I +ambar 8.1<

P c'f c66 -itik *elok P c'f c66 -itik *elok "orisontal "orisontal+ambar 8.11 +ambar 8.12

!ari gambar diatas tampak bah)a ada 3 (enis stasioner yaitu :1. -itik *alik Maksimum2. -itik *alik Minimum3. -itik *elok "orisontal

Jara Menentukan ;enis tasioner uatu Dungsi :alah satu cara untuk menentukan (enis stasioner suatu fungsi adalah dengan #(i

ilai -urunan Pertama yaitu sebagai berikut :

+ambar 8.13

+ambar 8.14

B

X c

9

y f 56

P c'f c66

X c

9

P c'f c66

y f 56

X c

9

9 f 56

P c' f c66 P c'f c66 adalah -itik *alik Maksimum. :!arigrafik tampak bah)a :• #ntuk 5 Wc ⇒ y f 56 naik ⇔ f 56O<• #ntuk 5 c ⇒ y f 56 stasioner ⇔ f 56 <• #ntuk 5 Oc ⇒ y f 56 turun ⇔ f 56W<

;adi tanda dari f N 56 berubah : 4 → @ → 8

y f 56

P c' f c66

X c

9 P c'f c66 adalah -itik *alik Minimum.!ari grafik tampak bah)a :• #ntuk 5 Wc ⇒ y f 56 turun ⇔ f 56W <• #ntuk 5 c ⇒ y f 56 stasioner ⇔ f 56 <• #ntuk 5 Oc ⇒ y f 56 naik ⇔ f 56O<

;adi tanda dari f N 56 berubah : → @ → 4

P c'f c66 adalah -itik *elok "orisontal!ari grafik tampak bah)a :• #ntuk 5 Wc ⇒ y f 56 turun ⇔ f 56W <• #ntuk 5 c ⇒ y f 56 stasioner ⇔ f 56 <• #ntuk 5 Oc ⇒ y f 56 turun ⇔ f 56W<

;adi tanda dari f N 56 berubah : → @ →

X c

9

y f 56

P c'f c66



+ambar 8.1>

+ambar 8.1"onto# ;-entukan (enis stasioner fungsi pada contoh halaman B2 diatas yaitu :1. f 56 52− 574.2. f 56 53735 2−I571<

$a%a& :

1. f 56 52

− 574-itik stasioner adalah 3' −>6;enis stasioner kita u(i menggunakan turunan pertama yaitu f N 56 25 −

ehingga 3' −>6 adalah Titik Balik Minimum"ara mengu#inya $• #ntuk 5W 3 atau 3 − :

Misalkan kita ambil 5 1 O f 16 2 16− − 4 f 56 bertanda negatif=fungsi f 56 turun6

• #ntuk 5 3 O f 36 2 36− <• #ntuk 5O 3 atau 3 7 :

Misalkan kita ambil 5 4 O f 46 2 46− 2 f 56 bertanda positif= fungsif 56 naik6

2. f 56 53735 2−I571<

-itik tasionernya : −3' 386 dan 1'>6;enis stasioner kita u(i menggunakan turunan pertama yaitu f N 56 35 27 5−I

5 −3 − −3 −37 1− 1 17

-anda f 56 7 < − − < 7

+rafik

ehingga −3' 386 adalah Titik Balik Maksimum.

B8

X c

9

P c'f c66

y f 56P c'f c66 adalah -itik *elok "orisontal!ari grafik tampak bah)a :• #ntuk 5 Wc ⇒ y f 56 naik ⇔ f 56O <• #ntuk 5 c ⇒ y f 56 stasioner ⇔ f 56 <• #ntuk 5 Oc ⇒ y f 56 naik ⇔ f 56O<

;adi tanda dari f N 56 berubah :

4 → @ → 4

5 3 − 3 3 7

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&f N 56 25− − < 7&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& +rafik

otasi :3− dibaca F3 kurang sedikitG

ilai 5 W 3 637 dibaca F3 lebih sedikitG

ilai 5 O 3 6



1'>6 adalah Titik Balik Minimum

"ara mengu#inya $• #ntuk 5W −3 atau −3− :

Misalkan kita ambil 5 −4 O f −46 3 −4627 −46 −I

4B−24 −I 1> O <• #ntuk 5 −3 O f −36 3 −3627 −36 −I

28−1B −I <• #ntuk 5O −3 atau −37 :

Misalkan kita ambil 5 −2 O f −26 3 −2627 −26 −I 12 −12 −I −I W <

• #ntuk 5W 1 atau 1 − :Misalkan kita ambil 5 < O f <6 3 <627 <6−I −I W <

• #ntuk 5 1 O f 16 3 1627 16−I <• #ntuk 5O 1 atau 1 7 :

Misalkan kita ambil 5 2 O f 26 3 2627 26−I 12712 −I 1> O <

Latihan Uji Kompetensi 1-entukan titik&titik stasioner setiap fungsi berikut' kemudian tentukan (enisnyamenggunakan u(i turunan pertama :1. f 56 52 −1<52. f 56 4− 52

3.

f 56 5726 4−

564. f 56 2−563

>. f 56 53−3574. f 56 253−I5 2712571<

8. f 56 5 5−262

B. f 56 53−BI. f 56 354−45 3

1<. f 56 54725 3

11. f 56 54−252 7 412. <5=

5

2><565f 2 ≠+=

13. <5=5

4B565f 3 ≠+=

14. π<<−= 25<=5sin521

65f

1>. π<<+= 25<=5cos5221

65f

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&%. ME ++AM*A, +,AD%/ D# + %

!alam materi yang terdahulu telah dibahas cara&cara melukis grafik fungsi al(abarantara lain yang berbentuk garis lurus atau parabola. elan(utnya akan kita pela(aricara melukis kur0a fungsi suku banyak yang berdera(at lebih dari dua' misalnyafungsi :1. f 56 53 745 2

2. f 56 54−453. f 56 5> − > dan seterusnya.

BB



!alam melukis kur0a fungsi suku banyak' peranan diferensial sangat diperlukanuntuk membantu melukis.#ntuk mempermudah melukis perlu memperhatikan beberapa langkah berikut yaitu :$angkah 1 : -entukan titik&titik potong kur0a dengan sumbu koordinat

a. -itik potong kur0a dengan sumbu 5 diperoleh (ika y <

b. -itik potong kur0a dengan sumbu y diperoleh (ika 5 <$angkah 2 : -entukan titik&titik stasioner dan (enisnya.$angkah 3 : -entukan nilai y untuk 5 besar positif dan 5 besar negatif.

/etiga langkah diatas dapat dikembangkan sendiri misalnya perlu ditambah titik&titik bantu yang memenuhi persamaan untuk memperbagus grafik.

"onto# :$ukislah grafik fungsi y 5 3 −35 2 dengan langkah&langkanya.

$a%a& ;

y f 56 53

−352

%angkah & $Menentukan titik potong kur0a dengan sumbu koordinat :a. -itik potong dengan sumbu 5 diperoleh (ika y <

53 −352 < 52 5−36 < 5 < atau 5 3;adi titiknya adalah <'<6 dan 3'<6

b. -itik potong dengan sumbu y diperoleh (ika 5 <y <63 −3 <62 <;adi titiknya adalah <'<6

%angkah ' $Menentukan titik&titik stasioner dan (enisnya :

yarat stasioner adalah y <y 5 3 −352 O y 352 − 5y < 35 2 − 5 < 35 5−26 < 5 < atau 5 2#ntuk 5 < O y <6 3 −3 <62 <#ntuk 5 2 O y 26 3 −3 262 B−12 −4;adi titik&titik stasionernya adalah <'<6 dan 2' −46;enis tasioner kita tentukan dengan u(i turunan pertama yaitu y 35 2 − 5:

5 < − < <7 2− 2 27

-anda y 7 < − − < 7

+rafik ;adi <'<6 adalah titik balik maksimum

2' −46 adalah titik balik minimum %angkah $Menentukan nilai y untuk 5 besar positif dan 5 besar negatif #ntuk 5 sangat besar maka y 5 3 −352 5 2 5−36 ≈ 52.5 ≈ 53

ehingga : #ntuk 5 besar positif maka y ≈ 53 besar positif.#ntuk 5 besar negatif maka y ≈ 53 besar negatif.

$ukisan grafik y 5 3 −352 adalah :

BI

&2 &1 1 2 3 4 4

9

y 53

&352




1. $ukislah kur0a dari fungsi berikut dengan langkah&langkahnya :a. f 56 52&25&3

b. f 56 4&52c. f 56 5&362

d.

f 56 53−

2e. f 56 53−35f. f 56 54−25 2

g. f 56 53−45 2745h. f 56 2537I5 2

i. f 56 5−263 74

2. +rafik fungsi y a5 37b5 27c57d mempunyai titik balik minimum 632

'1 − dan

titik belok 631

1'1 −− .

a. "itunglah nilai a' b' c' dan d. b. -ulislah persamaan grafik fingsi itu' kemudian gambarlah sketsa

grafiknya.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

;. PE E,APA -#,# A D# + % !A$AM PEMEJA"A MA A$A"1. Menggunakan -urunan dalam Perhitungan Pan(ang $intasan' /ecepatan dan

Percepatan!ia)al pembicaraan tentang pengertian turunan' kita telah membahas tentangke!epatan yang merupakan la(u perubahan (arak dalam meter6 terhadap )aktut dalam detik6 dari suatu benda yang bergerak' yang dapat kita tuliskan sebagai :

dtds =

m?dtk.edangkan per!epatan suatu benda merupakan la(u perubahan kecepatandalam?detik6 terhadap )aktu t dalam detik6 yang dapat kita tuliskan sebagai :

dtd

a =

m?dtk 2."onto# ;Pan(ang lintasan meter pada )aktu t detik dari suatu benda yang bergerakditentukan oleh rumus 4Bt −t3. -entukan :a. Pan(ang lintasan pada )aktu t 1 detik dan t 3 detik.

b. ,umus kecepatan benda dan rumus percepatan benda.c. @aktu t (ika kecepatan benda adalah nol.d. /ecepatan benda (ika percepatannya nol.

$a%a& ; 4Bt−t3

a. t 1 O 4B 16− 163 4B − 1 48

I<



;adi pan(ang lintasan pada saat t 1 detik adalah 48 meter.t 3 O 4B 36− 363 144 −28 118;adi pan(ang lintasan pada saat t 3 detik adalah 118 meter.

b. 4Bt−t3 O dtds

0 =

4B −3t2 dan dtd0

a =

− tc. /ecepatan benda nol berarti 0 <

4B −3t2 < 1 − t2 <

4 7 t 6 4−t6 < t −4 atau t 4

;adi kecepatan benda nol untuk t 4 detik.d. Percepatan nol berarti a <

− t. < t < detik.#ntuk t < maka 0 4B −3 <62 4B;adi pada saat percepatannya nol kecepatan benda adalah 4B m?dtk.


1. Pan(ang lintasan meter pada )aktu t detik dari suatu benda yang bergerakditentukan oleh rumus 28t −t3. -entukan :a. Pan(ang lintasan pada )aktu t 1 detik dan t 3 detik.

b. ,umus kecepatan benda dan rumus percepatan benda.

c. @aktu t (ika kecepatan benda adalah nol.d. /ecepatan benda (ika percepatannya nol.

2. Pan(ang lintasan meter pada )aktu t detik dari suatu benda yang bergerakditentukan oleh rumus t 3−2t278t . -entukan :a. Pan(ang lintasan pada )aktu t 1 detik dan t 2 detik.

b. ,umus kecepatan benda dan rumus percepatan benda.c. /ecepatan benda pada saat t 1 detik dan t 2 detik.d. Percepatan benda pada saat t 1 detik dan t 2 detik .

3. Pada saat t detik kecepatan suatu benda adalah 0 m?dtk dengan 0 Bt −t2. -entukankecepatan benda pada saat percepatannya nol

4. ebuah roket ditembakkan 0ertikal keatas. -inggi h meter yang dicapai roketsetelah t detik ditentukan oleh h 1<<t −>t2. tentukan tinggi roket maksimum yangdicapai roket.

>. #langi soal nomor 4 untuk h 1><t − >t2.

. uatu roda berputar melalui sudut A radian dalam )aktu t detik' kecepatan

sudutnya adalahdt

dA

radian per detik dan

3231

B18A t t t −+=.a. yatakan kecepatan sudut tersebut dalam t dan hitunglah kecepatannya pada

saat t 3 detik. b. -entukan lamanya roda berputar sampai kecepatan sudutnya nol

8. Persamaan gerak benda pada garis lurus ditentukan oleh s pt 2 7Yt 7r s dalammeter' t dalam detik' p'Y'r adalah konstanta6.a. -entukan kecepatan 0' kemudian tun(ukkan bah)a 0 2 Y2 7 4p s&r6.

I1



b. -entukan percepatan a' kemudian tun(ukkan bah)a 6r s2Y0

a22

−

−=

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

'. =engguna,an )urunan da7am er#itungan Bentu, )a, )entu Limit Fungsi

!alam materi pokok limit telah dibahas cara&cara menentukan limit suatu fungsi.alah satu cara menentukan limit fungsi adalah dengan menggunakan turunan

yang ternyata sangat memudahkan kita dalam menentukan limit dari fungsi&fungsiyang cukup rumit apalagi yang memuat bentuk&bentuk tak tentu.

Misalkan f 56 dan g 56 fungsi&fungsi yang mempunyai limit di sekitar 5 a.

• ;ika<=

→ ) x( f lim

a x dan<=

→ ) x( g lim

a x maka <<=

→ ) x( g ) x( f

lima x dinamakan "entuk

tak tentu pada 5 a.

• ;ika ±∞=→ ) x( f lima x dan ±∞=→ ) x( g lim

a x maka ∞∞

=→ ) x( g ) x( f

lima x dinamakan"entuk tak tentu pada 5 a.

Penggunaan turunan dalam perhitungan bentuk tak tentu dari limit fungsi adalahmenggunakan e rema %*+ pital yang diperkenalkan oleh seorang ahlimatematika +uillaume Drancois $ "opital 1 1&18<86 yang merupakan seorang

penulis buku kalkulus pertama kali.

Teorema L#$opital ;Misalkan f 56 dan g 56 adalah fungsi&fungsi yang terturunkan pada setiap titik

dalam inter0al terbuka %. ;ika g 56 ≠ < untuk setiap 5 ≠ a pada % dan (ika

65g65f

lima5 → mempunyai bentuk tak tentu <

<

atau ∞

∞

pada 5 a maka 65g65f

lima5 →

65Hg65Hf

lima5 → dengan catatan bah)a 65Hg

65Hf lim

a5 → ada.

!alam hal 65Hg65Hf

lima5 → masih mempunyai bentuk tak tentu'maka proses

perhitungan diteruskan dengan menggunakan turunan kedua 65g65f

lima5 →

65Hg65Hf

lima5 → 654]g

654]f lima5 → ..' demikian seterusnya

sampai diperoleh nilai limitnya.

-eorema diatas (uga dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi untuk 5 → ∞ ."onto# :!engan teorema $ "opital hitunglah limit fungsi berikut :

1. 25B5

lim3

25 −−

→ 3. 2

2

<5 5

5sin58lim

−→

2. 25351525lim

3

2

15 +− +−→ 4. 25>53B55lim

2

2

5 −+ −+∞→

$a%a& ;

1. 25B5

lim3

25 −−

→ 153

lim2

25 → 3 262 3 46 12.

I2



2. =engguna,an )urunan Fungsi *ntu, =en>e7esai,an =asa7a# >ang&er,aitan dengan Ni7ai E,strimPenggunaan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengannilai ekstrim nilai maksimum atau minimum6 sangatlah luas' baik dalam mata

pela(aran matematika sendiri maupun dalam mata pela(aran lain atau dalam

kehidupan sehari&hari.

Masalah&masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrim biasanya memuat kataterbesar atau terkecil yang merupakan indikator karakteristik masalah yangmodel matematikanya berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi.

#ntuk memudahkan pemecahan masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrim perlu diperhatikan langkah&langkah berikut :1. -entukan besaran masalah yang dirancang sebagai 0ariabel dalam ekspresi

matematikanya.2. ,umuskan fungsi satu 0ariabel yang merupakan model matematika dari

masalah.3. -entukan penyelesaian dari model matematika pada langkah 2.4. *erikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

"onto# :!iketahui dua bilangan (umlahnya 2<. -entukanlah hasil kalinya yang terbesar.

$a%a& ;$angkah 1 : Misalkan bilangan&bilangan itu 5 dan y

*erdasar informasi pada soal diperoleh hubungan :57y 2< y 2< −5

$angkah 2 : Misalkan hasilkali dua bilangan itu /' maka / dapat dinyatakandalam bentuk :/ 56 5.y / 56 5. 2<−5 6 / 56 2<5. −52

$angkah 3 : Model matematika / 56 2<5. −52 akan dimaksimumkan denganmenggunakan analisis turunan fungsi.Agar / mencapai maksimum nilai stasi ner 6 maka / 56 </ 56 2<5. −52 W O / 56 2<& 25/ 56 < 2<−25 < 25 2< 5 1<

ilai stasioner / adalah / 1<6 2< 1<6 − 1<62 2<<− 1<< 1<<;enis nilai stasionernya#(i turunan pertama :

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&5 1<& 1< 1<7

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&/ 56 2<&25 7 < −&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

/ 1<6 1<< ilai balik maksimum.

$angkah 4 : #ntuk 5 1< maka y 2<&1< 1< ilai maksimum / 56 2<5&5 2 adalah P 1<6 1<<;adi hasilkali maksimum kedua bilangan itu adalah 1<< untuk 5 1<dan y 1<.

I4




1. !iketahui 5 dan y masing&masing bilangan positif dan berlaku hubungan 57y 2>."asilkali kedua bilangan itu dilambangkan dengan P.a. yatakan P sebagai fungsi 5.

b. -entukan nilai 5 dan nilai y supaya P mencapai nilai maksimum' kemudiantentukan nilai maksimum dari P.

2. !ua buah bilangan 5 dan y (umlahnya 3<. ;ika P 5.y 2' tentukan nilai maksimumdari P.

3. ;umlah dua bilangan positif sama dengan 4<. -entukan bilangan&bilangan itu agara. "asil kalinya mencapai maksimum.

b. ;umlah kuadratnya mencapai minimum.

4. -inggi h meter suatu roket setelah t detik adalah h t6 4<<t & >t 2O -entukanm

tinggi maksimum roket tersebut.>. $uas sebuah persegi pan(ang adalah 2< cm 2.

a. ;ika pan(ang sebuah sisinya adalah 5 cm' tun(ukkan bah)a kelilingnya

adalah )

x x( ,

4<2 +=

cm. b. -entukan ukuran persegi pan(ang tersebut agar kelilingnya mencapai

maksimum.

.

8.

B.

I>

J

M

25

*

! 5

A

+ambar disamping adalah persegi denganA* B cm ' *M 25 cm' dan J 5 cm.a. *ila luas segitiga AM adalah $' nyatakan

$ dalam 5. b. -entukan nilai minimum dari $

+ambar disamping adalah persegi dari karton

dengan sisi 1B cm. !isetiap sudutnya dipotong persegi dengan sisi 5 cm' kemudian dibuat kotak tanpa tutup.a. *ila 0olume kotak tersebut ' nyatakan

dalam 5. b. -entukan maksimum 0olume kotak

tersebut.

1B

+ambar disamping adalah sebagian dari talangair yang penampangnya berbentuk persegi

pan(ang. -alang itu dibuat dari seng yanglebarnya < cm.a. ;ika A* J! 5 cm dan luas

penampang talang adalah $ cm 2'nyatakanlah $ dalam 5.

b. -entukanlah ukuran penampang agardapat mengalirkan air sebanyak&

banyaknya.

A

* 5

!

J5



I. $uas dari selembar kertas poster sama dengan 2 m 2. *idang gambar pada kertas poster itu dibatasi oleh tepi atas dan tepi ba)ah masing&masing selebar 21 cm' tepi

kiri dan tepi kanan masing&masing selebar 14 cm seperti diperlihatkan padagambar berikut.

a. ;ika pan(ang kertas poster sama dengan 5 cm dan $ adalah luas bidang gambar'

nyatakan luas $ sebagai fungsi dari 5. b. -entukan ukuran pan(ang dan lebar6 kertas poster itu supaya luas bidanggambar maksimum.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

I

*idang +ambar

21

21

14

14

5

*idang +ambar



*$I K<= E)ENSI

elesaikanlah ^

1. !engan menggunakan rumus definisi tentukan turunan fungsi berikut :

a. f 56 257 b. f 56 52−25 c. 53

65f =

2. !engan menggunakan rumus&rumus turunan tentukan turunan fungsi berikut :

a.4

2 5B

5

>565f −+=

c. 35225>

65f −

+=

b. f 56 52716 53725736 d. 154565f 2 ++=

3. !engan aturan rantai tentukan turunan dari fungsi berikut : a. f 56 252&357>61<

b. f 56 cos B52

725736 c. f 56 sin 4 52785726

4. -entukan persamaan garis singgung pada kur0a : a. y 5 3725 dititik dengan absis 5 1 b. y 5 4&5 dengan gradien m 3

>. -entukan inter0al dimana fungsi : a. f 56 52&1<57 turun

b.>52<5

21

531

65f 23 +−−= naik

c. f 56 54

&252

tidak naik.

. $ukislah grafik fungsi dengan persamaan y 5 3& 52 dengan menentukan terlebihdahulu :

a. -itik potong kur0a dengan sumbu koordinat. b. -itik stasioner dan (enisnya. c. ilai y untuk 5 besar positif dan 5 besar negatif.

8. Pan(ang lintasan meter pada )aktu t detik dari suatu benda yang bergerakditentukan oleh rumus 12t&t 3.

a. "itunglah pan(ang lintasan pada )aktu t 1 detik dan t 3 detik.

b. -entukan rumus kecepatan dan percepatan dalam t. c. -entukan t (ika kecepatannya nol d. -entukan kecepatan (ika percepatannya nol.

B. !engan teorema $ "opital tentukan nilai limit berikut :

a. I32

32lim

2

2

3 −+

−+

−→ x x

x x

x c. 2

2

5 5532

535>1lim

−++−

∞→

b. 245

45lim

345 −+−

→ d. 3<5 5

5sin5lim

−→

I. !ino mempunyai 2<< meter ka)at duri yang ia rencanakan untuk memagarihalaman berbentuk persegi pan(ang. ;ika ia ingin agar luasnya maksimum' berapa ukuran yang seharusnya.

&&&oo<oo&&&

Bab VIII Diferensial.doc

Documents

Transcript of Bab VIII Diferensial.doc