BAB I

TRANSFORMASI GEOMETRI

A. Pengertian dan Jenis-Jenis Transformasi

1. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi Geometri atau lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap

koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu

aturan tertentu. Misalnya, transformasi T terhadap titik P(x, y) menghasilkan bayangan P’(x’ , y’),

operasi tersbut dapat kita tulis sebagai:

P( x , y )T⃗ P' ( x ', y ' )

2. Jenis-Jenis Transformasi

Transformasi pada bidang terdiri atas 4 jenis, yaitu : translasi (pergeseran), refleksi

(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/perkalian).

a. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan

arah tertentu. Jarak dari arah suatu translasi dapat dilambangkan dengan garis berarah, misalnya

AB atau vektor(ab )

. Perhatikan Gambar dibawah ini:

1

Gambar : T menggeser titik A ke titik A’

Contoh :

1. Tentukan bayangan P (2,3) oleh translasi T =(43 )

! Lengkapilah dengan gambar!

Jawab:

P (2,3 ) T⃗ =(43 ) P (x ', y ' )

x’ = x + a = 2 + 4 = 6

y’ = y + b = 3 + 3 = 6

Jadi, bayangan P (2,3) oleh translasi T =(43 )

adalah P’ (6,6).

Gambar:

2

A ( x , y ) T⃗ (ab ) A ' ( x ', y ' )=A ' ( x+a , y+b )

2. Translasi T memetakan A (2, 3) menjadi A’ (5, -1).

a. Tentukan translasi T!

b. Tentukan bayangan dari titik B (4, 5) oleh translasi T tersebut!

Jawab :

a.A (2,3 )⃗

T=¿ ( a¿ )¿¿ ¿¿¿¿

x’ = x + a →5 = 2 + a sehingga a = 3

y’ = y + b →-1 = 3 + b sehingga b = - 4

Jadi, translasi T adalah T =

( 3−4)

b.B (4,5 )⃗T=¿ ( a¿ )¿

¿ ¿¿¿¿

x’ = 4 + 3 = 7

y’ = 5 + (-4) = 1

Jadi, bayangan dari B(4, 5) adalah B’ (7, 1)

3

b. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau sering disebut dengan istilah pencerminan adalah suatu transformasi dengan

memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin

datar (bayangan cermin dari titik-titik) yang akan dipindahkan. Pencerminan dilambangkan Mi

dengan i menyatakan jenis pencerminan.

1) Pencerminan terhadap Sumbu X, Sumbu Y, Garis y = x, dan Garis y = -x

Perhatikan Gambar dibawah ini:

4

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P’ (a, -b), dapat ditulis

P (a , b ) M⃗x P ' (a ,−b ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap sumbu Y maka bayangannya adalah P’ (-a, b), dapat ditulis

P (a , b ) M⃗y P ' (−a ,b )

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap titik asal O (0, 0) maka bayangannya adalah P’(-a, -b),

dapat ditulis

P (a , b ) M⃗o P ' (−a ,−b ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah P’ (b, a), dapat

ditulis

P (a , b ) M⃗y=x P ' (b , a ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = -x maka bayangannya adalah P’ (-b, -a), dapat

ditulis

P (a , b ) M⃗y=−x P ' (−b ,−a )

2) Pencerminan terhadap Garis x = h dan garis y = k

Perhatikan Gambar dibawah ini:

5

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis x = h maka bayangannya adalah P’ (2h – a, b), dapat

ditulis P (a ,b ) M⃗x=h P ' (2 h−a ,b )

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = k maka bayangannya adalah P’ (a, 2k - b), dapat

ditulis P (a , b ) M⃗y=k P' (a ,2 k−b )

Contoh :

1. Tentukan bayangannya jika:

a. A(3, 5) dicerminkan terhadap sumbu X

b. B(4, -2) dicerminkan terhadap sumbu Y

c. C(2, -5) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0)

d. D(-7, 2) dicerminkan terhadap garis y = x

e. E(-5, -4) dicerminkan terhadap garis y = -x

f. F(2, -3) dicerminkan terhadap garis x = 3

g. G(-1, 7) dicerminkan terhadap garis y = 4

Jawab:

a. A (3,5 ) M⃗x A ' (3 ,−5 )

b. B (4 ,−2 ) M⃗y B ' (−4 ,−2 )

c. C (2 ,−5 ) M⃗o C ' (−2,5 )

6

d. D (−7,2 ) M⃗y= x D' (2 ,−7 )

e. E (−5 ,−4 )⃗ My=− x E ' (4,5 )

f. F (2 ,−3 ) M⃗x=3 F ' (2(3 )−2 ,−3 )=F ' (4 ,−3 )

g. G (−1,7 ) M⃗y=4 P ' (−1,2(4 )−7 )=G ' (−1,1 )

2. Jika titik A(2, 1) dicerminkan terhadap garis x = a menghasilkan bayangan A’ (4, 1) maka

tentukan nilai a!

Jawab :

P (a , b ) M⃗x=h P ' (2 h−a , b )

A (2,1 ) x⃗=a A ' (4,1 )x’ = 2a – x sehingga 4 = 2a – 2

6 = 2a

3 = a

c. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan

cara memutar pada pusat titik tertentu.

Rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan oleh hal-hal berikut.

a. Pusat perputaran

b. Arah perputaran

7

c. Besar sudut perputaran

Pusat perputaran suatu rotasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0, 0) dan di titik A(x, y).

Sementara itu, arah perputaran suatu rotasi dapat berlawanan arah jarum jam (disebut rotasi

positif) dan dapat pula searah jarum jam (disebut rotasi negatif). Bayangan dari rotasi suatu titik

dapat kita tentukan sebagai berikut.

Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Jika P(a, b) diputar sebesar α berlawanan arah jarum jam (rotasi positif), dengan pusat rotasi

di O(0, 0), maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )a’ = a cos α – b sin α

b’ = a sin α + b cos α

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' ) = P’ (a cos α – b sin α , a sin α + b cos α )

Jika P(a, b) diputar sebesar α searah jarum jam (rotasi negatif), dengan pusat rotasi di O(0,

0), maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )a’ = a cos α + b sin α

b’ = -a sin α + b cos α

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )= P’ (a cos α + b sin α , - a sin α + b cos α )

Rotasi terhadap Titik A (x, y)

Jika P(a, b) diputar sebesar α dengan pusat rotasi di A (x, y), maka bayangan yang terjadi

sebagai berikut.

8

P(a ,b ) R⃗ (A , a) P ' (a ', b ' )P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )= P’ [(a – x) cos α - (b – y) sin α +x, (a – x) sin α + (b – y) cos α + y)]

Catatan : Rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sudut rotasinya diberi tanda

positif (+). Rotasi yang searah jarum jam sudut rotasi diberi tanda negatif (-).

Contoh :

1. Tentukan bayangan dari A(5, 4) jika dirotasi 90o berlawanan arah dengan jarum jam dengan

pusat rotasi O(0, 0)!

Jawab :

A(5, 4) = A(a, b)

Pusat rotasi O(0, 0)

a’ = a cos 90o – b sin 90o maka a’ = 5 cos 90o – 4 sin 90o = -4

b’ = a sin 90o+ b cos 90o maka b’ = 5 sin 90o+ 4 cos 90o = 5

Jadi, bayangan dari A(5, 4) adalah A’(-4, 5)

d. Dilatasi (Perkalian)

9

Gambar : Rotasi positif sebuah segitiga

terhadap titik pusat O(0, 0) sebesar 90o.

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri

(pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi pada bidang

datar ditentukan oleh hal-hal berikut.

a. Pusat dilatasi

b. Faktor dilatasi

Pusat dilatasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0, 0) dan di titik A (x, y). Sementara itu, faktor

dilatasi dapat bersifat positif (pembesarannya searah) dan dapat pula bersifat negatif

(pembesarannya berlawanan arah). Faktor dilatasi disebut juga dengan faktor skala.

Pada dilatasi suatu bangun faktor K akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan.

(I) Jika K > 1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan

bangun semula.

(II) Jika 0 < K < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi

dan bangun semula.

(III) Jika -1 < K < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap

pusat dilatasi dan bangun semula.

(IV) Jika K < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan terhadap pusat dilatasi

dan bangun semula.

Bayangan dari dilatasi suatu titik dapat kita tentukan sebagai berikut.

Dilatasi dengan Pusat di O(0, 0)

10

Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O, maka bayangannya

sebagai berikut.

P’ (ka, kb)

Dilatasi dengan Pusat di Titik A(x, y)

Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O, maka bayangannya

sebagai berikut.

Contoh :

1. Tentukan bayangan A(2, 3) hasil dilatasi dengan faktor skala 4 dan pusat dilatasi O(0, 0)!

Lengkapi dengan gambar!

Jawab :

A(2,3 ) [⃗O, 4 ] A ' ( a ',b ' )

a’ = k a = 4. 2 = 8

b’ = k b = 4. 3 = 12

11

P(a , b ) [⃗O ,k ] P' (ka , kb )

P(a , b ) [⃗ A , k ] P '(a ', b ' )= P’ [x + k (a – x), y + k (b – y)]

Gambar : Dilatasi ∆ ABC dengan pusat dilatasi

O dan faktor skala 2 (pembesaran 2 kali)

Jadi, A’ (8, 12)

2. Tentukan bayangan B(-1, 4) hasil dilatasi dengan faktor skala 3 dan pusat dilatasi P(2, 5)!

Lengkapi dengan gambar!

Jawab :

B(−1,4 ) [⃗ P ,3 ] B ' (a ',b ' )

a’ = k (a – x) + x= 3 (-1 – 2) + 2= -7

b’ = k (b – y) + y = 3 ( 4 – 5) + 5 = 2

Jadi, B’ ( -7, 2)

B. Matriks yang Bersesuaian dengan Transformasi

Misalkan suatu transformasi T memetakan titik P ( a, b) menjadi P’ (a’, b’). Hubungan antara

titik dan bayangannya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan

a’ = pa + qb

dan dalam bentuk lain menjadi (a'b ' ) =

( p qr s )

(ab )

b’ = ra + sb

Bentuk dari ( p q

r s )disebut dengan istilah matriks transformasi .

Beberapa matriks transformasi yang bersesuaian dengan operasi transformasi yang telah

kamu pelajari sebagai berikut :

No

.

Transformasi Pemetaan Matriks yang

Bersesuaian

1. Pencerminan terhadap sumbu X (a, b) → (a, -b) (1 00 −1 )

2. Pencerminan terhadap sumbu Y (a, b) → (-a, b) (−1 00 1 )

12

3. Pencerminan terhadap O (0, 0) (a, b) → (-a, -b) (−1 00 −1 )

4. Pencerminan terhadap garis y = x (a, b) → (b, a) (0 11 0 )

5. Pencerminan terhadap garis y = - x (a, b) → (-b, -a) ( 0 −1−1 0 )

6. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar α (a, b) → (a’, b’ )

a’ = a cos α - b sin α

b’ = a sin α + b cos α

(cos α −sin αsin α cos α )

7. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar π2

(a, b) → (-b, a) (0 −11 0 )

8. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar π (a, b) → (-a, -b) (−1 00 −1 )

9. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar −π

2(a, b) → (-b, -a) ( 0 −1

−1 0 )10. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar k (a, b) → ( ka, kb) (k 0

0 k )

Matriks rotasi dan dilatasi pada tabel diatas merupakan rotasi dan dilatasi yang berpusat di

titik O(0, 0). Untuk rotasi dan dilatasi yang berpusat di titik A( x , y) perhatikan dengan baik

uraian berikut :

1. Rotasi Sebesar α dengan Pusat di Suatu Titik A( x , y)

P(a ,b ) R⃗ [ A ,α ] P ' ( a ',b ' )dengan

(a'b ' ) =

(cos α −sin αsin α cos α )(a−x

b− y ) +

(xy)

2. Dilatasi dengan Faktor Skala k dengan Pusat di Suatu Titik A( x , y)

P(a , b ) [⃗ A , k ] P ' (a ', b ' )dengan(a'b ' ) =

(k 00 k )

(a−xb− y )

+ (x

y)

13

3. Transformasi dengan Matriks

Jika P(a, b) ditransformasi dengan matriks ( p q

r s ) dengan p, q, r, dan s merupakan

bilangan real, maka bayangannya adalah (a'b ' ) =

( p qr s )(a

b ).

Contoh :

1. Tentukan bayangan dari titik P(2, 3) jika ditransformasikan oleh matriks ( 2 3−1 4 )

!

Jawab :

P’ =

( 2 3−1 4 )

(23 )

= ( 4+9−2+12)

= (1310 )

Jadi P’ ( 13, 10)

2. Tentukan bayangan dari segitiga A(1, 2), B(3, 7), dan C(1, 8) jika dicerminkan terhadap

sumbu X!

Jawab :

A’ B’ C’

(x '

y ' ) = (1 00 −1 )(1 3 1

2 7 8)

(x '

y ') = ( 1 3 1−2 −7 −8)

Jadi, A’ (1, -2 ), B’ ( 3, -7), C’ (1, -8)

C. Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah dua transformasi yang digunakan secara berurutan. Sebagai

contoh, translasi T1 yang dilanjutkan dengan translasi T2 terhadap titik P (a, b) dapat kita tulis

14

P(a ,b )T⃗ 2oT1 P ''(a '',b '' ).

Persamaan diatas dapat kita baca “T2 komposisi T1 terhadap P (a, b) menghasilkan P” (a”, b”)”.

1. Komposisi Dua Translasi

Jika T1 = (a1

b1)

dan T2 = (a2

b2)

, maka T1 º T2 = (a1

b1)

+ (a2

b2)

= (a1+a2

b1+b2)

dan T2 º T1 =(a2

b2)

+

(a1

b1)

= (a2+a1

b2+b1)

. Ternyata T1 º T2 = T2 º T1 , maka komposisi dua translasi yang berurutan bersifat

komutatif.

Contoh :

Diketahui : T1 = (43 )

, T2 = (−2

1 ) , dan P(2, 5).

Tentukan : a. T1 º T2 P b. T2 º T1 P

a. T1 º T2 P(2, 5) = T1 º [(−21 )+(25 )]

= T1 º (06 )

=(43 )

+(06 )

=(4

9) →

P’’(4, 9)

b. T2 º T P(2, 5) = T2 º [(43 )+(25 )]

= T2 º (68 )

= (−2

1 )+ (68 )

= (4

9)→P’’(4, 9)

2. Komposisi Dua Refleksi

a. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Sejajar Sumbu Y

Jika : M1 = refleksi terhadap garis x = h

M2 = refleksi terhadap garis x = k

Maka :

1) P(a , b ) M⃗ 2oM 1 P ''(a '', b '')

15

P (a ,b ) M⃗x=h P ' (2 h−a ,b ) M⃗x=k P left [2k - left (2h - a right ),b right ]} {¿

P '' [2 (k−h )+a , b ]

Jadi, P(a , b ) M⃗ 2oM 1 P '' [2 (k−h )+a ,b ] .

2) P(a ,b )⃗M1oM 21 P ''(a '', b '')

P (a , b ) M⃗x=k P' (2 k−a , b ) M⃗x=h P left [2h - left (2k - a right ),b right ]} { ¿P '' [2 (h−k )+a , b ]

Jadi, P(a , b ) M⃗1oM 2 P '' [2 (h−k )+a , b ] .

Contoh :

Diketahui : M1 = Mx = 3

dan P(2, 4)

M2 = Mx = 3

Tentukan :

a) M1 º M2 P(2, 4)

b) M2 º M1 P(2, 4)

Jawab :

a) M1 º M2 P(2, 4) = P (2,4 ) M⃗x=5 P ' (2 .5−2,4 ) = P’(8, 4)

=P ' (8,4 ) M⃗x=3 P '' (2 .3−8,4 ) = P”(-2, 4)

Jadi, M1 º M2 P(2, 4) → P”(-2, 4).

b) M2 º M1 P(2, 4) = P (2,4 ) M⃗x=3 P ' (2 . 3−2,4 ) = P’(4, 4)

= P ' (4,4 ) M⃗x=5 P '' (2 .5−4,4 ) = P”(6, 4)

Jadi, M2 º M1 P(2, 4)→ P”(6, 4).

16

Kesimpulan: M1 º M2 P ≠ M2 º M1 P.

b. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Sejajar Sumbu X

Jika : M1 = refleksi terhadap garis y = h

M2 = refleksi terhadap garis y = k

Maka :

1) P(a , b ) M⃗ 2oM 1 P ''(a '', b '')

P (a , b ) M⃗y=h P' ( a ,2 h−b ) M⃗x=k P left [a,2k - left (2h - b right ) right ]} {¿

P '' [ a ,2 k−2h+b ]

P '' [ a ,2 (k−h )+b ]

Jadi, P (a , b ) M⃗y=h P '' [a , 2 (k−h )+b ]

.

2) P(a , b ) M⃗1oM 2 P ''( a '',b '')

P (a , b ) M⃗y=k P' (a ,2 k−b ) M⃗y=h P left [a,2h - left (2k - b right ) right ]} {¿

P '' [ a ,2 h−2 k+b ]

P '' [ a ,2 (h−k )+b ]

Jadi, P(a , b ) M⃗ 1oM 2 P '' [a , 2 (h−k )+b ]

.

c. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Saling Tegak Lurus

1) Komposisi Refleksi terhadap Garis x = h dan y = k

a) Refleksi terhadap Garis x = h Dilanjutkan terhadap Garis y = k

P (a , b ) M⃗x=h P ' (2 h−a , b ) M⃗y=k P '' (2h−a ,2 k−b )

Jadi, P(a ,b )⃗My=k ° Mx=h P '' (2 h−a , 2 k−b ) .

b) Refleksi terhadap Garis y = k Dilanjutkan terhadap Garis x = h

P (a , b ) M⃗y=k P' (a ,2 k−b ) M⃗x=h P '' (2 h−a , 2 k−b )

17

Jadi, P(a ,b )⃗Mx=h ° My=k P '' (2 h−a , 2 k−b )

.

Kesimpulannya:

Mx=h º My=k = My=k º Mx=h

2) Komposisi Refleksi terhadap Sumbu Y dan X

a) Refleksi terhadap Sumbu Y Dilanjutkan terhadap Sumbu X

P(a , b ) M⃗y P' (a ', b ' ) M⃗x P ''(a '', b '')

P(a , b ) M⃗y P' (−a , b ) M⃗x P ''(−a ,−b)

Jadi, P(a , b ) M⃗x ° My P ''(−a ,−b)

.

b) Refleksi terhadap Sumbu X Dilanjutkan terhadap Sumbu Y

P(a , b ) M⃗x P' (a ', b ') M⃗y P ''(a '', b '')

P(a ,b ) M⃗x P' (a ,−b) M⃗y P ''(−a ,−b )

Jadi, P(a , b ) M⃗y ° Mx P ''(−a ,−b)

.

Kesimpulannya : My º Mx = Mx º My

3) Komposisi Refleksi terhadap Garis y = x dan y = -x

a) Refleksi terhadap Garis y = x Dilanjutkan terhadap Garis y = -x

P(a , b ) M⃗y= x P ' (a ', b' ) M⃗y=− x P ''(a '', b '')

P(a ,b ) M⃗y= x P ' (b ,a ) M⃗y=− x P ''(−a ,−b)

Jadi, P(a ,b )⃗My=−x° My=x P ''(−a ,−b )

.

b) Refleksi terhadap Garis y =- x Dilanjutkan terhadap Garis y = x

P(a , b )⃗My=−x P' (a ', b ') M⃗y= x P ''(a '', b '')

P(a , b )⃗My=−x P' (−b ,−a) M⃗y= x P ''(−a ,−b )

Jadi, P(a ,b )⃗My= x ° My=−x P ''(−a ,−b )

.

Kesimpulannya : My=x º My=-x = My=-x º My=x

d. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Yang Saling Berpotongan

18

Perhatikan Gambar dibawah ini: Komposisi Refleksi

Garis g1 dan g2 berpotongan di titik O, maka

∠g1 O g2 = θ

∠POg1 = g1OP’ = α 1

∠P’Og2 = g2OP” = α 2

α 1 + α 2= θ

∠POP” = α 1 + α 1+α2 + α 2

= 2 (α 1 + α 2) = 2 θ

Berdasarkan rumusan di atas, bayangan titik P(a, b) yang dihasilkan dari komposisi refleksi

terhadap dua garis yang saling berpotongan di titik O (0, 0) dapat kita tulis sebagai berikut :

(a ''b '' )=

(cos 2θ −sin 2θsin 2 θ cos2θ )(a

b )

3. Komposisi Dua Rotasi yang Berurutan dengan Pusat yang Sama

Perhatikan Gambar dibawah ini: Komposisi Rotasi

19

Titik P(a, b) diputar sebesar θ1 dengan pusat O(0, 0) dilanjutkan diputar sebesar θ2 dengan

pusat yang sama. Berdasarkan gambar tersebut, suatu titik yang dirotasi sebesar θ1 dilanjutkan

dengan rotasi sebesar θ2 bersesuaian dengan rotasi tunggal sebesar (θ1 + θ2) dengan pusat rotasi

yang sama.

Bayangan titik P(a, b) yang dihasilkan dari komposisi dua rotasi yang berurutan dengan pusat

rotasi di titik O(0, 0) dapat kita tulis sebagai berikut:

P(a , b )⃗R [O ,θ1 ] P' (a ', b' ) R⃗ [O ,θ2 ] P \( a ,b \) } {¿

P” =

(a ''b '' )

=(cos ( θ1+θ2) −sin (θ1+θ2)sin (θ1+θ2 ) cos (θ1+θ2) )(a

b )

4. Komposisi Dua Dilatasi yang Berurutan dengan Pusat yang Sama

Jika P(a, b) mengalami dilatasi dengan faktor skala k1 dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala

dengan pusat yang sama, yaitu di O(0, 0), maka bayangannya dapatkita tulis sebagai berikut:

P(a , b ) [⃗O ,k 1 ] P '( a ', b ' ) [⃗O, k 2] P \( a ,b \) } { ¿

P” =

(a ''b '' )

=(k1 k2 0

0 k1 k2) (ab )

= (k1 k2 ak1 k2 b )

Jadi, bayangannya P” (k1k2a, k1k2b).

Contoh :

20

1. Titik P(3, 4) dirotasi sebesar 45o dengan pusat putaran di O(0, 0), kemudian dilanjutkan

dengan rotasi sebesar 15o dengan pusat yang sama. Tentukan bayangan dari titik P tersebut.

Jawab :

P” =

(a ''b '' ) =

(cos (45+15 ) ° −sin ( 45+15 )°sin ( 45+15 ) ° cos ( 45+15 )° )(34 )

=(cos 60° −sin 60°sin 60 ° cos 60° )(34 )

=

(12

−12 √3

−12 √3 1

2)(34 )

=( 1 1

2−2√3

1 12 √3 +2 )

Jadi , bayangannya P” = [1 12−2√3 ,1 1

2 √3+2].

2. Tentukan bayangan dari titik P(2, -4) jika mengalami dilatasi dengan faktor skala 3 dan pusat

dilatasi di titik O(0, 0), kemudian dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala -4 dan pusat dilatasi

yang sama!

Jawab:

P(2 ,−4 ) [⃗ 0,3 ] P ' (a ',b ' ) R⃗ [0 ,−4 ] P \( a , b \) } {¿

(a ''b '' )

=(k1 k2 0

0 k1 k2) (ab )

=(3(−4 ) 0

0 3(−4 ))( 2−4)

=

(−12 00 −12 )

( 2−4)

=(−2448 )

Jadi, bayangannnya adalah P”(-24, 48).

21

5. Komposisi Transformasi yang Dinyatakan dengan Matriks

Misalkan M1 =

(a1 b1

c1 d1) , M2 =

(a2 b2

c2 d2) dan P(a, b).

Maka P(a , b ) M⃗1oM 2 P ''( a '',b '')

= M1 º M2 (ab )

P(a ,b ) M⃗2οM 1 P ''(a '', b '')

= M2 º M1 (ab )

Catatan : Karena perkalian dua matriks tidak komutatif, maka M1 º M2 ≠ M2 º M1

Contoh :

1. Diketahui : M1 = (1 23 4 )

, M2 = (2 −14 3 )

.

Tentukan : a. M1 º M2 P(3, 5) b. M2 º M1 P(3, 5)

Jawab :

a. M1 º M2 P(3, 5)

(1 23 4 )(2 −1

4 3 )(35 )=(1 23 4 )

( 6−512+15)

= (1 23 4 )( 1

27)= ( 1+543+108)

=(55111)

Jadi, P” (55, 111).

b. M2 º M1 P(3, 5)

(2 −14 3 )(1 2

3 4 )(35 )=

(2 −14 3 )(3+10

9+20 )=

(2 −14 3 )(13

29 )= (26−2952+87 )

=(−3139)

Jadi, P” (-3, 139).

Terbukti bahwa M1 º M2 P ≠ M2 º M1P.

D. Luas Bangun Hasil Transformasi

22

Jika suatu matriks transformasi(a1 b1

c1 d1) menentukan bangun B menjadi bangun B’, maka

luas B’ sama dengan nilai mutlak determinan matriks tersebut dikalikan luas bangun mula-mula.

Contoh :

Tentukan peta (bayangan) dari ∆ ABC jika A(2, 1), B(10, 1), dan C(5,7) ditransormasikan

oleh matriks (2 31 5 )

. Tentukan pula bayangan segitiga yang terbentuk!

Jawab:

(a'b ' )

= (2 31 5 ) (2 10 5 ¿ ) ¿

¿¿¿

=

(7 23 31 ¿ ) ¿¿

¿¿

Jadi, A(7, 7), B(23, 15), dan C(31,40).

Luas ∆ ABC = 8 ×6

2 = 24

Luas ∆ ABC = |2 31 5

|

X Luas ∆ ABC

= |10−3| ×24=¿ 7 ×24=168satuan luas

Jadi, luas bayangan segitiga yang terbentuk adalah 168satuan luas.

23

Luas bangun B’ =

|a1 b1

c1 d1

|X luas bangun B.

BAB II

APLIKASI TRANSFORMASI GEOMETRI

1. Penggunaan Transformasi Geometri Dalam Mengedit Foto

Mungkin kita tidak sadar bahwa selama ini kita sudah sering menggunakan rumus

transformasi geometri sehari-hari. Contohnya ketika kita mengedit sebuah foto dengan software

seperti Adobe Photoshop sebetulnya kita sedang melakukan transformasi geometri. Kita tidak

sadar karena yang melakukan perhitungan (perkalian matriks) adalah komputer.

Sebuah gambar sebetulnya adalah sebuah matriks yang sangat besar. Gambar di bawah ini

adalah matriks berukuran 320 (baris) x 240 (kolom). Dan setiap element berisi angka dari 0

sampai 16,777,215 yang menunjukkan warna suatu titik. Ada  76,800 elemen dari matriks 320 x

240 tersebut yang berarti ada 76,800 titik yang berwarna.

Dalam prakteknya, gambar yang berupa matriks 320 x 240 ini ketika dibuka di editor photo

seperti Photoshop, untuk setiap elemennya masih "ditambahkan" informasi berupa matriks [x,y]

yang menunjukkan titik kordinat di mana tirik itu ditampilkan di dalam canvas.

Ketika kita melakukan zoom in/ zoom out sebetulnya kita melakukan transformasi geometri

titik-titik [x,y] dengan transformasi yang disebut dilatasi dengan faktor skala pembesaran dalam

persen. Misalnya kita bisa zoom out 200% artinya skalanya adalah 2.

24

Kegiatan editing flip horizontally atau vertically sebetulnya adalah transformasi geometri

refleksi terhadap sumbu-y dan sumbu-x. Sedangkan kegiatan rotasi juga mewakili transformasi

geometri rotasi.

Proses transformasi geometri dilatasi, translasi, refleksi dan rotasi di atas dilakukan terhadap

kordinat (x,y) setiap elemen tanpa mengubah nilai elemen warna tersebut sehingga kita masih

mendapatkan gambar yang sama, hanya berubah posisi atau ukurannya saja.

Kita bisa juga melakukan transformasi terhadap gambarnya dengan mengalikan matriks

gambar tersebut dengan suatu filter. Ada beberapa filter yang tersedia seperti blur, sharpen edges,

dll. Dengan menambil filter-filter tersebut sebetulnya kita mengalikan matriks gambar kita dengan

suatu matriks filter.

2. Penggunaan Geometri Transformasi dalam Karya Seni Batik di Indonesia

A. Bentuk Geometri pada Batik

Batik merupakan karya seni warisan budaya bangsa milik Indonesia. Keindahan batik telah

diakui dunia melalui penetapan UNESCO sejak 2 Oktober 2009 bahwa batik merupakan salah

satu warisan kemanusiaan untuk karya lisan dan non bendawi (Masterpieces of the Oral and

Intangible Heritage of Humanity). Karya seni batik tidak hanya didominasi dari budaya Jawa,

karena sesungguhnya daerah-daerah lain di Indonesia juga memiliki karya seni lukis kain (jika

boleh disebut demikian) atau batik. Lukisan bernilai seni tinggi dapat kita jumpai pada ornamen

kain ulos (batak), sasirangan (Kalimantan Selatan), maupun dari belahan Indonesia lainnya yaitu

batik Papua, batik Sulawesi dan sebagainya. Hal ini menunjukkan bahwa betapa kayanya budaya

kita.

Keindahan batik dapat dinikmati dari bentuk-bentuk artistik yang dituangkan pada lembaran

kain tersebut. Bila diamati secara seksama, dalam bentuk-bentuk batik sesungguhnya terdapat

sifat-sifat keteraturan yang berirama atau berpola. Beberapa bentuk keteraturan pada batik

merupakan bentukan transformasi geometris.

Bentuk geometri yang dapat dijumpai pada batik berupa titik, garis dan bidang datar. Bidang

datar tersebut misalnya lingkaran, elips, segiempat dan sebagainya. Bentukan artistik pada batik

25

dihasilkan melalui transformasi titik, garis atau bidang datar tersebut melalui translasi

(pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan) atau dilatasi (perkalian).

B. Aplikasi Refleksi (Pencerminan) pada Motif Batik

Berikut ini adalah salah satu motif batik Kawung.

Bentuk dasarnya adalah elips dan titik (Gb 1).

Bentukan pada motif batik kawung dapat dipandang sebagai hasil refleksi (pencerminan)

bentuk dasar. Hasil pencerminan gambar 1 pada garis x, y, dan z menghasilkan orientasi bentuk

sebagai berikut (Gb. 2, Gb. 3, dan Gb.4).

26

Gabungan gambar 1, 2, 3, dan 4 menghasilkan satu bentukan pada batik kawung berikut (Gb. 5)

Berikut ini adalah salah satu motif batik Madura.

Perhatikan bentuk kupu-kupu pada motif batik Madura tersebut. Bentuk kupu-kupu tersebut

simetris, sehingga dapat dipandang sebagai hasil pencerminan beberapa bangun datar terhadap

sumbu simetrinya.

27

Bentuk dasarnya adalah garis lengkung dan beberapa bentuk bangun datar (Gb. 1). Kemudian

dicerminkan terhadap sumbu simetrinya yaitu garis q (Gb. 2), sehingga diperoleh bentuk utuh

seekor kupu-kupu (Gb. 3).

C. Aplikasi Rotasi (Perputaran) pada Motif Batik

Berikut ini adalah salah satu motif batik Papua.

28

Bentuk dasar pada motif batik Papua tersebut adalah garis lengkung (Gb. 1)

Selanjutnya, bentuk dasar tersebut diputar 180 derajat (Gb. 2)

Bentuk lainnya diperoleh dengan cara refleksi terhadap garis vertikal (Gb.3) dan kemudian

diputar 180 derajat (Gb. 4)

Gabungan dari gambar 1, 2, 3, dan 4 menghasilkan bentuk motif batik Papua berikut (Gb. 5)

D. Aplikasi Translasi (Pergeseran) pada Motif Batik

29

Berikut ini adalah salah satu motif sasirangan (Kalimantan) yang disebut dengan ombak

sinampar karang.

Bentuk dasar dari motif sasirangan ini berupa garis lengkung (Gb. 1).

Selanjutnya penggabungan dari pencerminan bentuk dasar (Gb.1) terhadap garis horisontal

menghasilkan bentuk mirip kelopak bunga (Gb. 2).

Misalkan motif mirip kelopak bunga tersebut diletakkan pada sumbu cartesius, maka bentuk

kelopak bunga selanjutnya diperoleh melalui translasi atau pergeseran vektor   berikut

ini (Gb. 3).

30

Dan seterusnya translasi dilakukan dengan menggunakan rumus vektor  dengan

n adalah bilangan asli sehingga diperoleh rangkaian kelopak bunga yang membentuk motif ombak

sinampar karang berikut ini (Gb. 4).

E. Aplikasi Dilatasi (Perkalian) pada Motif Batik

Berikut ini adalah salah satu motif sasirangan kangkung kaumbakan.

31

Perhatikan motif mirip bunga teratai pada sasirangan tersebut. Bentuk dasar dari bunga teratai

tersebut adalah bangun datar (Gb. 1) yang dapat dipandang sebagai kelopak bunga teratai,

kemudian melalui beberapa rotasi dan refleksi diperoleh susunan kelopak bunga membentuk

teratai (Gb. 2).

Bunga teratai yang terlukis pada motif kangkung kaumbakan di atas memiliki ukuran yang

berbeda-beda, dimana besar atau kecilnya ukuran bunga dapat dipandang sebagai hasil dilatasi

atau perkalian dengan suatu konstanta k terhadap bentuk gambar 2 dimana k adalah bilangan riil

posituf. Selanjutnya, bentuk gambar 2 disebut sebagai B.

Misalkan k1=2, maka bentuk k1B adalah perbesaran dua kali B, sebut saja hasil k1B=B1  (Gb.

3). Kemudian untuk memperoleh bentuk bunga teratai selanjutnya dengan mengambil k2=1/3,

sebut saja hasil k2B=B2 (Gb.4).

32

Untuk mendapatkan letaknya yang artistik pada tangkai, selanjutnya B2 direfleksikan pada

garis vertikal sehingga diperoleh susunan membentuk motif kangkung kaumbakan (Gb.5).

Demikian beberapa contoh aplikasi geometri transformasi dalam karya seni batik di

Indonesia. Pola bentuk pada motif batik dapat menjadi alternatif sumber belajar matematika bagi

siswa kita.

Contoh lainnya yang dapat kita ambil ialah bermain catur, permainan komedi putar,

permainan baling-baling, menggunakan teleskop, kipas angin, perpindahan jarak (berjalan,

berlari), membuka sekrup, bercermin, pertumbuhan dan lain-lain ini adalah aplikasi dari

transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari.

33

BAB III

KESIMPULAN

1. Transformasi Geometri atau lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap

koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan

satu aturan tertentu. P( x , y )T⃗ P' ( x ', y ' )

2. Transformasi pada bidang terdiri atas 4 jenis, yaitu : translasi (pergeseran), refleksi

(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/perkalian).

a. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan

arah tertentu. Jarak dari arah suatu translasi dapat dilambangkan dengan garis berarah,

misalnya A B̄atau vektor(ab )

. A ( x , y ) T⃗ (ab ) A ' ( x ', y ' )=A ' ( x+a , y+b )

b. Refleksi (pencerminan)

Refleksi atau sering disebut dengan istilah pencerminan adalah suatu transformasi dengan

memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada

cermin datar (bayangan cermin dari titik-titik) yang akan dipindahkan.

Pencerminan terhadap Sumbu X, Sumbu Y, Garis y = x, dan Garis y = -x

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P’ (a, -b), dapat ditulis

P (a , b ) M⃗x P ' (a ,−b )

34

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap sumbu Y maka bayangannya adalah P’ (-a, b), dapat ditulis

P (a , b ) M⃗y P ' (−a ,b )

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap titik asal O (0, 0) maka bayangannya adalah P’(-a, -b),

dapat ditulis

P (a , b ) M⃗o P ' (−a ,−b ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah P’ (b, a), dapat

ditulis

P (a , b ) M⃗y=x P ' (b , a ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = -x maka bayangannya adalah P’ (-b, -a), dapat

ditulis

P (a , b ) M⃗y=−x P ' (−b ,−a )

Pencerminan terhadap Garis x = h dan garis y = k

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis x = h maka bayangannya adalah P’ (2h – a, b), dapat

ditulis P (a ,b ) M⃗x=h P ' (2 h−a ,b )

Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = k maka bayangannya adalah P’ (a, 2k - b), dapat

ditulis P (a , b ) M⃗y=k P' (a ,2 k−b )

c. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan

cara memutar pada pusat titik tertentu. Pusat perputaran suatu rotasi terdiri atas dua, yaitu di

titik O(0, 0) dan di titik A(x, y). Sementara itu, arah perputaran suatu rotasi dapat berlawanan

arah jarum jam (disebut rotasi positif) dan dapat pula searah jarum jam (disebut rotasi

negatif). Bayangan dari rotasi suatu titik dapat kita tentukan sebagai berikut.

Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Jika P(a, b) diputar sebesar α berlawanan arah jarum jam (rotasi positif), dengan pusat rotasi

di O(0, 0), maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )a’ = a cos α – b sin α

b’ = a sin α + b cos α

35

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' ) = P’ (a cos α – b sin α , a sin α + b cos α )

Jika P(a, b) diputar sebesar α searah jarum jam (rotasi negatif), dengan pusat rotasi di O(0,

0), maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )a’ = a cos α + b sin α

b’ = -a sin α + b cos α

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )= P’ (a cos α + b sin α , - a sin α + b cos α )

Rotasi terhadap Titik A (x, y)

Jika P(a, b) diputar sebesar α dengan pusat rotasi di A (x, y), maka bayangan yang terjadi

sebagai berikut.

P(a ,b ) R⃗ (A , a) P '(a ', b ' )

P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )= P’ [(a – x) cos α - (b – y) sin α +x, (a – x) sin α + (b – y) cos

α + y)]

Catatan : Rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sudut rotasinya diberi tanda positif

(+). Rotasi yang searah jarum jam sudut rotasi diberi tanda negatif (-).

d. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri

(pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Pusat dilatasi terdiri

atas dua, yaitu di titik O(0, 0) dan di titik A (x, y). Sementara itu, faktor dilatasi dapat bersifat

positif (pembesarannya searah) dan dapat pula bersifat negatif (pembesarannya berlawanan

arah). Faktor dilatasi disebut juga dengan faktor skala.

Dilatasi dengan Pusat di O(0, 0)

Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O, maka bayangannya

sebagai berikut.

P’ (ka, kb)

P(a , b ) [⃗O , k ] P' (ka , kb ) Dilatasi dengan Pusat di Titik A(x, y)

36

Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O, maka bayangannya

sebagai berikut.

P(a , b ) [⃗ A , k ] P '(a ', b ' )= P’ [x + k (a – x), y + k (b – y)]

3. Beberapa matriks transformasi yang bersesuaian dengan operasi transformasi yang telah

kamu pelajari sebagai berikut :

No

.

Transformasi Pemetaan Matriks yang

Bersesuaian

1. Pencerminan terhadap sumbu X (a, b) → (a, -b) (1 00 −1 )

2. Pencerminan terhadap sumbu Y (a, b) → (-a, b) (−1 00 1 )

3. Pencerminan terhadap O (0, 0) (a, b) → (-a, -b) (−1 00 −1 )

4. Pencerminan terhadap garis y = x (a, b) → (b, a) (0 11 0 )

5. Pencerminan terhadap garis y = - x (a, b) → (-b, -a) ( 0 −1−1 0 )

6. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar α (a, b) → (a’, b’ )

a’ = a cos α - b sin α

b’ = a sin α + b cos α

(cos α −sin αsin α cos α )

7. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar π2

(a, b) → (-b, a) (0 −11 0 )

8. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar π (a, b) → (-a, -b) (−1 00 −1 )

9. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar −π

2(a, b) → (-b, -a) ( 0 −1

−1 0 )10. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar k (a, b) → ( ka, kb) (k 0

0 k )

4. Aplikasi transformasi dalam kehidupan sehari-hari ialah mengedit foto menggunakan photo

shop, membatik, bermain catur, permainan komedi putar, permainan baling-baling,

37

menggunakan teleskop, kipas angin, perpindahan jarak (berjalan, berlari), membuka sekrup,

bercermin, pertumbuhan dan lain-lain ini adalah aplikasi dari transformasi geometri dalam

kehidupan sehari-hari.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, Cecep.Pesta. Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA kelas XII Program Studi Ilmu

Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.2008.

Herynugroho,dkk. Matematika SMA kelas XII Program IPA. Jakarta: Yudhistira.2010.

Http://www.rustamaji.net/id/matematika/penerapan-transformasi-geometri-dalam-kehidupan-

sehari-hari

Https://wendiferdintania.wordpress.com/2014/12/17/geometri-transformasi-dalam-karya-seni-

batik-di-indonesia/

Noormandiri. Matematika Jilid 3A Untuk SMA kelas XII . Jakarta: Penerbit Erlangga.

Suprayitno,dkk. Matematika SMA/MA kelas XII IPA. Medan: Agmasu.2013.

38

39