BAB VI

LIMIT FUNGSI

Sesungguhnya yang dimaksud dengan “fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f

mendekati L, untuk x mendekati c”. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada

sembarang persekitaran-ε, hanya berlaku jika x terletak pada persekitaran-δ dari c, dan x ≠ c.

Pemilihan nilai δ bergantung pada pemilihan nilai ε, sehingga kadang-kadang ditulis δ = δ(ε).

Yang perlu diperhatikan adalah, f tidak harus terdefinisi di c, tetapi harus terdefinisi pada titik-

titik di sekitar c (terletak pada persekitaran-δ dari c)

6.1 Definisi

A ⊆ R. Titik c ∈ R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,

= (c-δ, c + δ), memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c.

Dengan kata lain : A ⊆ R, c titik limit dari A jika ∩ A – {c} ≠ ∅

Contoh :

1. A1 = (0,1),

0 merupakan titik limit dari A1?

= ………………

∩ A1 – {0} = ………… - {0} ≠ ∅. Jadi, 0 merupakan titik limit dari A1.

1 merupakan titik limit dari A1 ?

= …………….

∩ A1 – {1} = ………… - {1} = ……. Jadi, ……………..

Dengan demikian, titik limit dari A1 adalah ……………..

2. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. Buktikan!

3. A2 = { | n ∈ N}. 0 merupakan satu-satunya titik limit dari A2.

6.2 Teorema

Bilangan real c adalah titik limit dari A, A ⊆ R, jika dan hanya jika ada barisan (an) dalam A dan

an ≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim (an) = c

Bukti :

(⇒) A ⊆ R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan ada barisan (an)

dalam A dan an ≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim (an) = c

c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n ∈ N, persekitaran- dari c, yaitu

memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c. Jika an, ∀n ∈ N

merupakan titik-titik tersebut, maka an ∈ A, an ≠ c, dan lim (an) = c. (terbukti)

(⇐) jika ada barisan (an) dalam A dan an ≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim (an) = c akan

ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

(an) dalam A dan an ≠ c maka (an) dalam A – {c}, dan lim (an) = c, artinya untuk sembarang

δ > 0, ∃ K(δ) ∈ N, sehingga jika n ≥ K(δ), maka an ∈ .

Dengan kata lain, terdapat persekitaran-δ dari c, , yang memuat titik-titik an,∀ n ≥ K(δ)

, an ∈ A dan an ≠ c. Jadi, c merupakantitik limit dari A.

6.3 Definisi Limit

A ⊆ R, f : A → R, dan c merupakan titik limit dari A

Bilangan real L merupakan limit dari f di c, jika untuk sembarang persekitaran-ε dari L, ,

ada persekitaran-δ dari c, , sedemikian hingga untuk sembarang x ∈ ∩ A, x ≠ c, maka

f(x) ∈ .

Catatan

• Pengambilan nilai δ bergantung pada pengambilan ε, sehingga kadang-kadang δ ditulis

dengan δ(ε).

• Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan ditulis :

L = lim atau L = lim

f(x) menuju L untuk x menuju c

6.4 Teorema

Jika f : A → R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.

Bukti :

Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 ≠ L2.

Pilih ε > 0, sehingga dan saling asing, yaitu ε = |L1 – L2|.

L1 merupakan limit f di c, maka ∃ δ1 > 0, sehingga jika x ∈ A ∩ , x ≠ c → f(x) ∈

L2 merupakan limit f di c, maka ∃ δ2 > 0, sehingga jika x ∈ A ∩ , x ≠ c → f(x) ∈

Ambil δ = min{δ1, δ2}, dan merupakan persekitaran-δ dari c.

Karena c merupakan titik limit dari A, maka paling sedikit terdapat satu titik dalam A, yaitu

x0 ≠ c dan x0 ∈ A ∩ . Sebagai akibatnya, f(x0) ∈ , dan f(x0) ∈ .

Hal tersebut kontradiksi dengan …………………..

Kontradiksi tersebut terjadi karena asumsi bahwa …………………., akibatnya ……………..

Kriteria ε – δ untuk Limit

6.5 Teorema

f : A → R, c titik limit dari A, maka :

(i) lim L jika dan hanya jika

(ii) Untuk sembarang ε > 0, terdapat δ(ε) > 0 sehingga jika x ∈ A dan 0 < |x - c| < δ(ε), maka

|f(x) - L| < ε.

Bukti :

(i) → (ii) Jika f mempunyai limit L di c. Maka untuk sembarang ε > 0 terdapat δ(ε) > 0, sehingga

untuk setiap x ∈ A dan x ∈ , x ≠ c, maka f(x) ∈ .

Apabila kita uraikan satu-persatu dari pernyataan di atas, akan terdapat :

* untuk sembarang ε > 0 terdapat δ(ε) > 0, berarti …………..

** untuk setiap x ∈ A dan x ∈ , x ≠ c, berarti x ∈ A , …………., dan …………..

*** f(x) ∈ , berarti ………………..

Jika *, **, dan *** kita gabungkan, maka akan diperoleh ………………….

(iii)→ (i) Untuk sembarang ε > 0, terdapat δ(ε) > 0 sehingga jika x ∈ A dan 0 < |x - c| < δ(ε),

maka |f(x) - L| < ε.

Kita uraikan masing-masing pernyataan tersebut :

* Untuk sembarang ε > 0, maka akan diperoleh ……………

** Terdapat δ(ε) > 0, artinya ……………..

*** x ∈ A dan 0 < |x - c| < δ(ε) artinya x ∈ A dan |x - c| > 0 dan |x - c| < δ(ε), sehingga

diperoleh ……………… dan …………………….

**** |f(x) - L| < ε artinya …………………..

Dari *, **, ***, dan **** dapat disimpulkan ………………………..

Contoh -contoh

1. Tentukan |x - 1| agar memenuhi |x2- 1| <

Jawab :

Ambil |x - 1| < 1, maka akan diperoleh : …………. < x-1 < ……….

⇔ ………… < x < …………

⇔ ………… < x + 1< ………

|x2- 1| < ⇔ |(x – 1)(x + 1)| < ⇔ |x - 1||x +1|<

⇔ …….. |x - 1|< , jadi |x - 1| ………..

2. lim = b

Bukti :

Tampak bahwa f(x) = ……, ∀ x ∈ R. Agar lim = b, maka ∀ ε > 0, ambil δ = 1, sehingga

jika 0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b| = 0 < ε . Terbukti bahwa …………..

3. lim = c

Bukti :

g(x) = …….. ∀ x ∈ R. Jika ε > 0, ambil δ = ……, sehingga jika 0 < |x - c| < δ maka diperoleh

|g(x) – c| = |… - ….| < ε . Karena ε diambil sembarang, maka terbukti bahwa ………..

4. lim = c2

Bukti :

h(x) = …….. ∀ x ∈ R. Untuk menunjukkan lim = c2, maka harus ditunjukkan :

|h(x) – c2| = |… - ….| < ε

Ambil sembarang ε > 0 dan x yang cukup dekat dengan c. Misal |x - c| < 1.

Pergunakan teorema ketidaksamaan - ∆, diperoleh : |x| ≤ |c| + 1 sehingga |x + c| ≤ |x| + |c|

≤ ……..

Oleh karena itu, jika |x - c| < 1, maka akan diperoleh :

(*) |x2 – c2| = |…….||…….| ≤ ……… |x - c| dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari ε.

Hal tersebut akan dipenuhi jika |x - c| < ….. (1)

Oleh karena itu, pilih δ(ε) = inf (1, ……..) ; sehingga jika 0 < |x - c| < δ(ε) maka memenuhi:

|x - c| < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan dari (1) diperoleh |x2 – c2| ≤ ……… |x - c| < ε.

Karena nilai δ(ε) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai ε > 0, maka terbukti

bahwa …………………..

Kriteria Barisan Untuk Limit

6.6 Teorema (Kriteria Barisan)

f : A → R, dan c merupakan titik limit dari A; maka :

(i) lim L jika dan hanya jika

(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga xn ≠ c,

∀ n ∈ N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L

Bukti :

(i) → (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam A dengan

lim(xn) = c dan xn ≠ c, ∀ n ∈ N. Kita harus menunjukkan bahwa barisan (f(xn)) konvergen ke

L.

f mempunyai limit L di c, (menurut kriteria …..), jika diambil sembarang ε > 0 akan terdapat

……., sehingga jika x memenuhi ……. < |x - c| < ….., dengan x ∈ A, maka f(x) memenuhi

|f(x) - L| < ε

lim(xn) = c, artinya untuk sembarang δ > 0, ∃ K(δ) ∈ N, sehingga untuk n ≥ K(δ) berlaku

……(2)

Tetapi, setiap xn memenuhi (1). Jadi, jika n ≥ K(δ) maka berlaku |f(xn) - L| < ε artinya ……….

(ii) → (i) Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan mengandaikan (i) tidak

benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.

Andaikan lim ≠ L, maka akan ada persekitaran-ε0 dari L, , sehingga untuk setiap

persekitaran-δ dari c, , yang diambil, terdapat paling sedikit satu nilai xδ ∈ A ∩

dengan xδ ≠ c, tetapi f(xδ) ∉ .

Oleh karena itu, ∀ n ∈ N, persekitaran- dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga

0 < |xn - c| < , dan xn ∈ A

Tetapi, |f(xn) - L| ≥ ε0, ∀ n ∈ N.

Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A – {c} yang

konvergen ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.

Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat kontra positif,

maka (ii) → (i) bernilai benar!

Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fungsi dapat

dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.

Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu bilangan c, maka (xn2)

konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2

mempunyai limit : lim c2

Kriteria Divergensi

Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari suatu fungsi

pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada suatu titik.

6.7 Kriteria Divergensi

A ⊆ R, f : A → R, dan c merupakan titik limit dari A.

(a) Jika L ∈ R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika ∃ barisan (xn)

dalam A, xn ≠ c ∀ n ∈ N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak

konvergen ke L.

(b) Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ∃ barisan (xn) dalam A, xn ≠ c

∀ n ∈ N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak konvergen di R.

Contoh :

1. lim tidak ada di R.

Bukti :

Jika diambil barisan (xn) dengan xn = , untuk n ∈ N, maka lim (xn) = 0, tetapi ϕ(xn) = = n,

dan barisan (ϕ(xn)) =(n) merupakan barisan yang tidak konvergen karena ………. Oleh

karena itu menurut teorema 6.7 disimpulkan bahwa …………………………..

2. lim tidak ada.

Bukti :

Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut : sgn (x) 1 00 0 1 0

Ingat bahwa sgn (x) = | | untuk x ≠ 0. Akan ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit

di x = 0. Karena akan ditunjukkan lim tidak ada, maka harus ditunjukkan ada

barisan (xn) dan lim (xn) = 0, tetapi …………..

Ambil xn = , untuk n ∈ N, maka lim (xn) = …… dan sgn(xn) = ……. untuk n ∈ N,

sehingga ………………..

Jadi, lim tidak ada.

3. lim sin tidak ada di R.

Bukti :

Jika g(x) = sin , untuk x ≠ 0. Akan ditunjukkan bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c

dengan menetapkan dua barisan (xn) dan (yn), dimana xn ≠ 0 dan yn ≠ 0, ∀ n ∈ N sedemikian

hingga lim (xn) = 0 dan lim (yn) = 0 tetapi lim (g(xn)) ≠ lim (g(yn)), hal itu menunjukkan

bahwa lim tidak ada.

Ingat : sin t = 0 jika t = n , dan sint = + 1 jika t = 2 , untuk n ∈ Z.

Ambil xn = untuk n ∈ N, maka lim (xn) = ….. dan g(xn) = …… = …… ∀ n ∈ N, sehingga

lim (g(xn)) = ……

Ambil yn = , untuk n ∈ N, maka lim (yn) = ….. dan g(yn) = ……… = ……, ∀ n ∈ N

sehingga lim (g(yn)) = ……

Karena ……………… ≠ …………………., maka lim sin tidak ada di R.