13

BAB III

TEOREMA GLEASON DAN t-DESAIN

Dalam subbab 3.1, kita akan mempelajari salah satu sifat penting dari kode swa-dual

genap. Sifat tersebut diberikan oleh Teorema 3.1(Teorema Gleason), Teorema ini secara

mengesankan telah menentukan bentuk pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap.

Di samping itu, pada subbab 3.2 kita akan mempelajari teori t-desain. Kemudian kita

tunjukan bahwa untuk sebarang kode linier C, jika banyaknya bobot tak nol pada C kurang

dari atau sama dengan jarak minimum pada kode dual 𝐶⊥ , maka setiap katakode di C

membentuk t-desain.

Dua hasil yang disebutkan di atas merupakan dua hal penting yang akan digunakan

dalam menentukan batas atas bagi jarak minimum kode swa-dual genap. Penentuan batas atas

tersebut dibahas pada bab IV.

3.1 Teorema Gleason

Teorema 3.1.1 Teorema Gleason(Gleason, 1970). Pencacah bobot sebarang kode swa-dual

genap merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥,𝑦 = 𝑥8 + 14𝑥4𝑦4 + 𝑦8 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 =

𝑥4𝑦4 𝑥4 − 𝑦4 4.

Bukti: Misal 𝐶 kode swa-dual biner dengan panjang n dan dimensi 2

nk , serta setiap

bobot dari semua kata kode di C merupakan kelipatan 4. Misalkan ,CW x y adalah

pencacah bobot kode swa-dual tersebut, karena C swa-dual ,CW x y = ,C

W x y .

Berdasarkan teorema Mac Williams, ,C

W x y dapat dihitung sebagai berikut :

,C

W x y =2

1

2n

,CW x y x y

14

=2

1

2n

0

nn j j

j

j

A x y x y

=

0 22

n j jn

j

nj

A x y x y

=

0 22 22

n j jn

j jn jj

x y x yA

=1/2 1/2

0 2 2

n j jn

j

j

x y x yA

=0 2 2

n j jn

j

j

x y x yA

= ,2 2

x y x yW

Sehingga diperoleh ,CW x y = ,C

W x y = ,2 2

x y x yW

. (3.1.a)

Kita tinjau ,CW x y berdasarkan definisi pencacah bobot, bentuk ,CW x y dapat

dituliskan sebagai :

,CW x y0

n

n j j

j

j

A x y

; jA banyaknya kata kode berbobot j .

Karena setiap bobot dari semua kata kode di 𝐶 merupakan kelipatan 4, ,CW x y hanya

memuat pangkat dari 4y . Sehingga ,CW x y dapat kita tulis sebagai :

,CW x y = 0

1n jn j

j

j

A x y

= ,CW x iy , dengan i = 1 . (3.2.b)

Persamaan (3.2.a) menunjukan ,CW x y tidak berubah atau invarian terhadap

transformasi linier 1T :

15

Ganti x dengan 2

x y

Ganti y dengan 2

x y

Atau dalam bentuk matriks 1T : ganti x

y

dengan 1

2

1 1

1 1

x

y

.

Sejalan dengan hal di atas, persamaan (3.2.b) menunjukan bahwa ,CW x y juga

tidak berubah atau invarian terhadap transformasi linier 2T :

Ganti x dengan x

Ganti y dengan iy

Atau dalam bentuk matriks 2T : ganti x

y

dengan 1 0

0 i

x

y

.

Selain hal di atas, ,CW x y

tentulah invarian terhadap sebarang kombinasi

2

1 2 1 1 2 1, , ,....T T T TT T dari transformasi ini. Tidaklah sulit untuk menunjukan bahwa matriks

transformasi 1T dan 2T ketika dikalikan dalam semua kemungkinan, menghasilkan sebuah

grup 1G yang memuat 192 matriks.

Sehingga permasalahan kita adalah mencari semua polinom ,CW x y yang invarian

terhadap setiap matriks dari 1G . Polinom-polinom tersebut kita sebut sebagai polinom-

polinom yang invarian terhadap grup 1G . Akan tetapi, kita tidak akan mendapatkan

jawaban yang tunggal. Karena jika polinom f dan g invarian terhadap setiap matriks dari 1G

, maka cf untuk semua c elemen 𝐹, f+g, f-g, dan fg juga invarian terhadap setiap matriks dari

1G . Oleh karena itu, cukuplah kita cari banyaknya polinom homogen yang bebas linier dan

invarian terhadap semua matriks dari 1G untuk setiap derajat d, sebut sebagai da .

16

Salah satu cara sederhana untuk menangani bilangan-bilangan 0 1 2, , ,...a a a adalah

dengan mengombinasikan 0 1 2, , ,...a a a dalam bentuk deret pangkat atau fungsi pembangkit

𝜙 𝜆 = 2

0 1 2 ...a a a .

Sebaliknya, jika kita tahu Φ 𝜆 , kita bisa mendapatkan da . Sampai pada tahap ini kita akan

memanfaatkan teorema Molien berikut ini :

Teorema 3.2.2 Teorema Molien. Untuk suatu grup hingga 𝒢 dari matriks-matriks

kompleks 𝑚 × 𝑚, 𝜙 𝜆 diberikan oleh :

𝜙 𝜆 =1

𝒢

1

𝑑𝑒𝑡 𝐼−𝜆𝐴 𝐴∈𝒢

dimana 𝒢 adalah banyaknya matriks di 𝒢, det adalah determinan, 𝐼 adalah matriks

identitas, dan A merupakan matriks-matriks di 𝒢.

Bukti Teorema Molien tidak dituliskan dalam Tugas Akhir ini, demi menjaga

kefokusan Tugas Akhir ini. Bukti Teorema Molien dapat dilihat di [1].

Untuk grup G1 , kita dapatkan 𝜙𝐺1 𝜆 =

1

192

1

1−𝜆 2 +1

1−𝜆2 +1

1−𝜆 1−𝑖𝜆 + ⋯ . Dengan

penghitungan langsung menggunakan program Maple, diperoleh :

𝜙𝐺1 𝜆 =

1

1−𝜆8 1−𝜆24 (3.2.a)

Persamaan (3.2.a) diekspansi dalam pangkat dari 𝜆, menghasilkan :

𝜙𝐺1 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1𝜆 + 𝑎2𝜆

2 + ⋯

= 1 + 𝜆8 + 𝜆16 + 𝜆24 + ⋯ 1 + 𝜆24 + 𝜆48 + ⋯ (3.2.b)

Persamaan (3.2.b) menunjukan 𝑎𝑑 sama dengan nol, kecuali untuk d kelipatan 8.

Artinya, derajat dari polinom homogen yang invariant terhadap grup G 1 haruslah

kelipatan 8. Hal ini membuktikan bahwa panjang dari sebarang kode swa-dual genap

merupakan kelipatan 8. Lebih lanjut, ruas kanan dari persamaan ini menunjukan bahwa

terdapat dua buah polinom ‘basis’ berderajat 8 dan 24 yang invarian terhadap grup G 1,

sedemikian rupa sehingga semua polinom homogen yang invarian terhadap grup G 1

17

dibentuk dari penjumlahan dan perkalian dua buah polinom berderajat 8 dan 24

tersebut. Sebut dua polinom tersebut sebagai 𝑊1 𝑥,𝑦 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 .

Karena, 𝑊1 𝑥, 𝑦 berderajat 8 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 berderajat 24, akan membangkitkan

polinom-polinom yang invarian terhadap grup G1 berikut :

derajat (d) poliom yang invarian nilai 𝑎𝑑

0 1 1

8 𝑊1 𝑥, 𝑦 1

16 𝑊1 𝑥,𝑦 2 1

24 𝑊1 𝑥,𝑦 3 , 𝑊2 𝑥, 𝑦 2

32 𝑊1 𝑥, 𝑦 4, 𝑊1 𝑥,𝑦 𝑊2 𝑥, 𝑦 2

40 𝑊1 𝑥, 𝑦 5 , 𝑊1 𝑥,𝑦 2 𝑊2 𝑥,𝑦 2

48 𝑊1 𝑥, 𝑦 6 , 𝑊1 𝑥, 𝑦 3 𝑊2 𝑥, 𝑦 ,𝑊2 𝑥, 𝑦 2 3

… … …

Dari tabel di atas semua hasil kali 𝑊1 𝑥, 𝑦 𝑖 𝑊2 𝑥, 𝑦 𝑗 bebas linier, dengan kata

lain 𝑊1 𝑥,𝑦 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 bebas aljabar, dan nilai 𝑎𝑑 pada tabel di atas merupakan

koefisien-koefisien pada persamaan

1 + 𝜆8 + 𝜆16 + 2𝜆24 + 2𝜆32 + 2𝜆40 + 3𝜆48 + ⋯

= 1 + 𝜆8 + 𝜆16 + 𝜆24 + ⋯ 1 + 𝜆24 + 𝜆48 + ⋯

=1

1 − 𝜆8 1 − 𝜆24

yang sama dengan persamaan (3). Jadi, jika kita dapat menemukan polinom homogen

𝑊1 𝑥,𝑦 berderajat 8 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 berderajat 24 yang bebas aljabar, kita dapat

menyatakan bahwa sebarang polinom homogen yang invarian terhadap grup G 1

merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥,𝑦 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 .

18

Pandang Θ = 𝑥8 + 14𝑥4𝑦4 + 𝑦8 suatu polinom homogen berderajat 8, dan

Φ = 𝑥4𝑦4 𝑥4 − 𝑦4 4 suatu polinom homogen berderajat 24, Θ dan Φ bebas aljabar. Pilih

𝑊1 𝑥,𝑦 = 𝛩 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 = Φ, maka sebarang polinom homogen yang invarian

terhadap grup G1 merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥,𝑦 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 . Pernyataan ini

Setara dengan menyatakan bahwa pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap

merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥,𝑦 dan 𝑊2 𝑥,𝑦 .

Terbukti. ∎

3.2 t-desain

Definisi 3.2.1 Misal X merupakan suatu v-himpunan (himpunan dengan v buah elemen),

eleman-elemen di X disebut titik atau varietas. Suatu t(𝒗,𝒌,𝝀)-desain adalah suatu koleksi

dari k-subhimpunan (dinamakan blok) dari X, yang berbeda satu sama lain, dengan sifat

sebarang t-subhimpunan dari X termuat di tepat 𝜆 buah blok.

Dalam bahasa yang lebih ilustratif, t-desain merupakan koleksi dari komite-komite yang

dibentuk dari v orang, setiap komite beranggotakan k orang, sedemikian rupa sehingga

setiap t orang bekerja bersama-sama dalam tepat 𝜆 komite.

Contoh 3.2.2 Perhatikan gambar di bawah ini :

Gambar 3.2

Terdapat tujuh titik dan tujuh garis (salah satunya merupakan garis lengkung) pada

gambar di atas . Jika kita mengambil garis-garis sebagai blok, kita peroleh tujuh blok yaitu :

19

013, 045, 062, 165, 412, 463, dan 325. Selanjutnya kita dapatkan 2-(7,3,1) desain, karena

setiap dua buah titik dilewati oleh sebuah garis yang tunggal.

Teorema 3.2.3 Di dalam t-(v,k ,𝜆) desain, misalkan 𝑃1,𝑃2,… ,𝑃𝑡 merupakan t titik yang

berbeda, misal 𝜆𝑖 adalah banyaknya blok yang memuat 𝑃1,𝑃2,… ,𝑃𝑖, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, dan

misal 𝜆0 = 𝑏 merupakan jumlah keseluruhan dari blok-blok. Maka 𝜆𝑖 tidak bergantung pada

pemilihan dari 𝑃1,𝑃2,… ,𝑃𝑖 dan diperoleh fakta :

𝜆𝑖 =𝜆 𝑣−𝑖

𝑡−𝑖

𝑘−𝑖𝑡−𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡

= 𝜆 𝑣−𝑖 𝑣−𝑖−1 …(𝑣−𝑡+1)

𝑘−𝑖 𝑘−𝑖−1 …(𝑘−𝑡+1)

Hal ini menyebabkan suatu t-(v, k , 𝜆) juga merupakan i-(v, k , 𝜆𝑖) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡.

Bukti : Teorema benar untuk 𝑖 = 𝑡 , karena menurut definisi t-desain, setiap t titik termuat

tepat pada 𝜆 blok. Kita lanjutkan dengan induksi pada i. Asumsikan 𝜆𝑖+1tidak bergantung

pada pemilihan 𝑃1,𝑃2, … ,𝑃𝑖+1. Untuk setiap blok B yang memuat 𝑃1,𝑃2, … ,𝑃𝑖, dan untuk

setiap titik Q yang berbeda dengan 𝑃1,𝑃2, … ,𝑃𝑖 definisikan 𝜒 𝑄,𝐵 = 1 jika 𝑄 ∈ 𝐵, dan

𝜒 𝑄,𝐵 = 0 jika 𝑄 ∉ 𝐵. Maka dari hipotesis induksi kita peroleh : 𝜒 𝑄,𝐵 = 𝜆𝑖+1(𝑣 −𝐵𝑄

𝑖) = 𝜒 𝑄,𝐵 = 𝜆𝑖+1(𝑘 − 𝑖)𝐵𝑄 , yang menunjukan bahwa 𝜆𝑖 bebas dari pemilihan

𝑃1,𝑃2, … ,𝑃𝑖 ,dan menunjukan fakta pada teorema di atas.

Terbukti. ∎

Misal v dan w merupakan dua vektor di nF , 1v ... nv v dan 1w ... nw w . Misalkan

I 1; 1... dan I 1; 1... .v j w ij v j n i w i n Vektor w dikatakan menyelimuti v, jika

I Iw u .

Teorema 3.2.4(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal [C] adalah matriks Mxn dengan baris-

barisnya merupakan semua katakode di suatu kode C. Sebarang himpunan dari ' 1r d

kolom di [C] memuat setiap r-tuple sebanyak tepat M 2r kali, dan 'd merupakan bilangan

terbesar dalam kasus ini.

Bukti Teorema ini dapat dilihat pada [1].

20

Teorema 3.2.5(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal kita pilih sebuah vektor u berbobot t di

nF , '0 t d . Untuk i t , misal ( )

iu adalah banyaknya katakode di C yang berbobot i

yang menyelimuti u. Maka ( )

iu memenuhi persamaan :

1

( )2i

si

t ji

t n tMu

j j

'2, dengan 0 1 .

n t j n tj d t

N j

(3.2.1)

Bukti : Kita gunakan Teorema 3.2.4 untuk menghitung (dalam dua arah) banyaknya

katakode berbobot t+j yang menyelimuti u dan terselimuti oleh sebuah katakode di C.

Terbukti ∎

Teorema 3.2.6 (Mac Williams dan Sloane[1]) Jika 's d , maka semua katakode berbobot

i di C membentuk ( , , )iit n desain, dengan ( ' )t d s , dan parameter

i diberikan

oleh 1,

. ( ) 1 ( ). ( )

i

s nn

j i

r tj j i i i

n tA S n S r

r tn N r, memberikan ' i d s .

Bukti : Karena vektor 1= 1…1 di nF menyelimuti semua semua vektor di nF , kita dapat

menuliskan persamaan (3.2.1) menjadi :

1

2 ( ) .

i

n t jsi

ni

t n tu A

Nj j (3.2.2)

Jika kita dapat memilih t sedemikian rupa sehingga 'd t s , maka kita dapatkan sebanyak

s persamaan yang bebas linier dalam veriabel ( )

iu . Dengan kata lain, ( )

iu

tidak

bergantung pada pemilihan u. Oleh karena itu, semua katakode berbobot i membentuk t-

desain, dengan 't d s . Parameter-paremeter dari desain ini diperoleh sebagai berikut :

Persamaan (3.2.2) memiliki solusi :

0

1( ) ( ) ( ),

i i i i

n t

t i t n tr

n tg t g r A g n t

N r

dengan

21

1,

( )i

s

t jj j i

g x t x

.

Jelas bahwa ( ) ( )i itg x t g x

, sehingga solusi dari persamaan (3.2.2) adalah :

1( ) ( ) ( ),

i i i i

n

i nr t

n tg g r A g n

N r t

atau 1,

. ( ) 1 ( ). ( )

i

s nn

j i

r tj j i i i

n tA S n S r

r tn N r. (3.2.3)

Terbukti ∎