ISOMETRI

Definisi: Misalkan T suatu transformasi. Transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya

jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang euclide V berlaku bahwa PQ =

PQ dimana P = T(P) dan Q= T(Q).

Sifat-sifat isometri

Teorema 1: a. memetakan garis menjadi garis

b. mengawetkan besarnya sudut

c. mengawetkan kesejajaran dua garis

Teorema 2: Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan

T(h) juga saling tegak lurus.

Example:

Misalkan diketahui garis g pada bidang V. lihat transformasi yang ditetapkan sebagai berikut:

a. Jika P g maka T(P) = P

b. Jika P g maka T(P) = P sehingga g sumbu dari .

Apakah transformasi ini suatu isometri?

Jawab:

Ambil 2 titik sebarang pada bidang V, P dan Q. P dan Q V. misalkan T(P) = P dan T(Q) =

Q. Dari permisalan ini membentuk kondisi :

1. g sumbu dari , g sehingga PM = PM atau g = {M}

2. g sumbu dari , g sehingga QN = QN atau g = {N}

g

Q N Q

P M P

Hubungan untuk P dan Q, P dan Q, P dan M, Q dan N

Lihat PMN dan PMN

PM = PM

Didapat Ax + xB + AB = Ax + xB + AB

Ini berarti bahwa A, x, B segaris pada S dan berarti pada x = T(x) S atau h. jadi,

untuk setiap x h maka x S sehingga h S

2. Akan dibuktikan S h. Ambil y S maka y S sehingga T(y) = y

Misal A S, y S, dan B S dan Ay + yB = AB

Karena T suatu transformasi, maka ada y sehingga T(y) = y

T suatu isometri, maka Ay = Ay

yB = yB

AB = AB

Didapat Ay + yB + AB = Ay + yB + AB

Ini berarti bahwa A, y, B segaris karena h garis melalui AB maka y A, y S dan

y S maka S h.

Kesimpulan: jika S sebuah garis maka S= T(S) adalah sebuah garis dan S = S.

b. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

Misal terdapat ABC

Andaikan T(A) = A, T(B) = B, T(C) = C (lihat gambar A)

Menurut (a) maka dan adalah garis lurus.

Oleh karena

Sehingga ABC ABC Jadi

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diketahui garis g dan h seperti dapat dilihat pada gambar. Dengan menggunakan jangka

dan penggaris lukislah garis g=Mh(g) dengan Mh sebuah pencerminan pada garis h.

Jawab :

2. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. T

adalah sebuah isometri dengan B = T(A) dan u = T(s). Kalau t s, lukislah t=T(t).

Jawab:

3. Diketahui garis t, lingkaran l dengan pusat D dan segitiga ABC seperti pada gambar.

a) Lukislah Mt(

b) Hubungan apakah antara dan Mt( ?

c) Lukislah Mt(l)

Jawab:

g

h

g

o

o

() = ,.

Diketahui : = () dan = (),

Karena = () maka . Karena dan T isometri, maka () () . Jadi, untuk melukis t buat garis t melalui B yang tegak lurus u.

A

B

u

s

t

a)

b) Perhatikan ABC dan ABC

Karena A=Mt(A)OA=OA dan AP = AP

B=Mt(B)OB=OB

C=Mt(C)OC=OC

Diperoleh m(ABC)= m(ABC)

AB=OA+OB=OA+OB=AB

m(BAC)= m(B AC).

Berdasarkan teorema, (Sd S Sd) maka ABC ABC.

c)

4. Diketahui garis t.

a) Lukislah sebuah ABC sehingga Mt(ABC) = ABC (artinya : oleh Mt, ABC dan

hasil refleksi pada t berimpit).

b) Lukislah sebuah lingkaran yang berimpit dengan petanya oleh Mt.

c) Lukislah sebuah segi empat yang berimpit dengan petanya oleh Mt.

Jawab:

a)

B

C

A

t

B

A

C

P

O

Untuk melukis ABC yang berhimpit dengan

Mt(ABC), maka segitiga ABC haruslah merupakan

segitiga samakaki dengan AO sebagai sumbu simetri, t

berhimpit dengan AO, sehingga BO = OC.

Mt(A) = A = A

Mt(B) = B = C

Mt(C) = C = B

Jadi Mt(ABC) = ABC = ABC

D

D

A=A

B=C C=B t

O

b)

c)

5. Diketahui garis g = {(x,y) |x + 2y = 1} dan h = {(x,y) |x = -1}.

Tulislah sebuah persamaan garis g = Mh(g).

Jawab:

Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.

Jadi, menurut teorema sebuah isometri memetakan garis menjadi garis, dan Mh(g) =

g, maka g adalah sebuah garis.

Titik A(1,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu X.

Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi Cg dan Ch.

Karena Ch maka Mh(C) = C

Jadi g akan melalui titik C, dan g akan melalui A = Mh(A).

Koordinat titik C

g

Y

X A(1,0)

B(0,

)

C

g

h:x = -1

A(-3,0) D

l=l

O=O

t

Untuk melukis lingkaran l yang berhimpit dengan Mt(l),

maka titik pusat lingkaran l haruslah berada pada sumbu

refleksi t sehingga Mt(l) = l= l.

t

Untuk melukis segiempat yang berhimpit dengan petanya

oleh Mt, maka haruslah cermin t harus berhimpit dengan

sumbu simetri segiempat tersebut.

g x + 2y = 1 x + 2y 1 = 0,

h x = -1

substitusikan x = -1 ke persamaan garis g x + 2y = 1, diperoleh :

-1 + 2y 1 = 0 2y =2 y = 1

Jadi C(-1,1)

Kordinat A = Mh(A)

Titik D(-1,0) adalah titik potong h dengan sumbu X.

AD = xA xD = 1- (-1) = 2

Karena isometri maka D A = AD = 2

Jadi, AA = AD + DA = 2 + 2 = 4

Misal titik A(x,y)

Absis titik A adalah 1 - 4 = -3

Diperoleh x = -3 dan y = y = 0

Jadi, A(-3,0)

Jadi, g melalui titik C(-1,1) dan A(-3,0)

Persamaan garis g: 10

1

12

1

12

1

y

xx

xx

yy

yy

)1(3

)1(

x

1

1

y=

2

1

x

1 y = 2

1x

y = 12

1

2

1x

y = 2

3

2

1x

032 yx

Jadi, g = {(x,y) | x - 2y + 3 = 0}