Transformasi Dan Isometri

8/2/2019 Transformasi Dan Isometri

1/37

Lisanul Uswah Sadieda, M.Pd.


2/37

TRANSFORMASIDEFINISI

Suatu transformasi pada suatubidang V adalah suatu fungsi yangbijektif dengan daerah asalnya V

dan daerah nilainya V juga


3/37

CONTOHAndaikan A V. Ada perpetaan T dengan domain V

dan kodomain V. Jadi T : V V didefinisikan sbg

berikut:

T(A) = A

Apabila P A maka T(P) = Q dengan Q titik

tengah ruas garis

Selidiki apakah T suatu transformasi?


4/37

Bukti

1. Akan dibuktikan T surjektif (

YV

X

Vsedemikian shg Y = T(X))

Ambil sebarang titik lain YV Jika Y = A maka Y =A=T(A) (didefinisikan soal)

Jadi prapeta Y adalah A

Jika Y A, karena V bidang Euclides,ada satu garis melalui Y dan A (Postulat 1),

jadi ada sinar garis shg ada X tunggaldengan X sehingga AX = 2AY atau AY = YX(teorema penempatan titik)


5/37

Jadi Y titik tengah yang merupakansatu-satunya titik tengah.

Sehingga Y= T(X) yang berarti X prapeta

dari Y.Terbukti bahwa YV X V Y = T(X)

T surjektif


6/37

2. Akan dibuktikan T injektif

Ambil sebarang P A. Q A dan PQP, Q, A tidak segaris.

Akan ditunjukkan T(P) T(Q)Andaikan T(P) = T(Q)

Karena T(P) dan T(Q) maka dan memiliki dua titiksekutu yaitu A dan T(P).


7/37

Ini berarti garis dan berimpit,sehingga Q Kontradiksi dengan yang diketahui.Pengandaian salah jadi T(P) T(Q)Jadi T injektif.Dari 1 dan 2 maka T bijektif.

Terbukti T suatu transformasi


8/37

ContohPilihlah pd bidang Euclides V suatu sistem

koordinat ortogonal. T adalah perpetaan

yang mengkaitkan setiap titik P dengantitik P yg letaknya satu satuan dari P

dengan arah sumbu X positif. Selidiki

apakah T transformasi?


9/37

Bukti1. Akan dibuktikan T surjektif, yaitu

AV B V A = T(B)Ambil sebarang A = (x,y) VAndaikan B = (x, y)

Jika B prapeta A maka berlaku

T(B) = A

(x+1, y) = (x,y)Sehingga

X+1 = x atau x = x -1

dan y = y


10/37

Jelas T(x-1, y) = ((x-1)+1, y) = (x,y)

Tampak bahwa x , y selalu adaTerbukti AV B VA = T(B) T surjektif


11/37

2. Akan dibuktikan T injektif.

Ambil sebarang P(x1, y1), Q(x2, y2) V,P Q.Akan ditunjukkan T(P) T(Q)T(P) = (x1+1, y1) dan T(Q) = (x2+1, y2)

Andaikan T(P) = T(Q)

Maka

X1+1 = x2+1 dan y1 = y2


12/37

Berarti x1 = x2 dan y1 = y2dgn kata lain P=Q

Kontradiksi dgn yg diket.

Pengandaian salah sehingga T(P) T(Q) T injektifDari 1 dan 2 terbukti T bijektif sehingga

T suatu transformasi


13/37

SoalAndaikang dan h dua garis yg sejajar pada bid.

Euclides V. A sebuah titik yg terletak di tengahantarag dan h. Sebuah T dengan daerah asalg

yang didefinisikan sebagai berikut:

Apabila Pgmaka P = T(P) =a. Apakah daerah nilai T?

b. Apabila Dg, Eg, DE, buktikan DE = DE ;D = T(D), E = T(E)

c. Apakah T injektif?


14/37

Diketahuif: V V. Jika P(x,y) makaf(P) = (x,y)

a. Tentukanf(A) jika A = (-3,6) ?

b. Tentukan semua prapeta dari titikB (4,2) ?

c. Apakah bentuk daerah nilaif?

d.Apakahfsuatu transformasi?


15/37

Diketahui tiga titik A, R, S yangberlainan dan tidak segaris. Adaperpetaan T yang didefinisikan sebagaiberikut:

T(A) = A, T(P) = P sehingga P titiktengah

a.Lukislah R = T(R)

b.Lukislah Z sehingga T(Z) = S

c.Apakah T suatu transformasi?


16/37

(Refleksi)Definisi

Suatu pencerminan (refleksi) pd sebuahgrs s adalah suatu fgs Ms yg didefinisikanu/ setiap ttk pd bidang V sbg brk:

Jika P s maka Ms (P) = PJika P s maka Ms(P) = P shg garis sadalah sumbu


17/37

TeoremaSetiap refleksi pada garis adalah suatutransformasi

Bukti1. Akan dibuktikan Ms surjektif , yaituX V X V X = Ms (X)Ambil sebarang X V Jika X s maka X = M

s(X) = X

(definisi refleksi garis )Jadi ada X prapeta X


18/37

Jika XsDari sifat geometri ada X V shgs mjd sumbu

Berarti Ms (X) = X

Tampak bahwa

X V X VX = Ms (X) Ms surjektif


19/37

2. Akan dibuktikan Ms injektifAmbil sebarang A, B V.Jika A B akan ditunjukkan Ms (A) Ms (B) Kalau A s dan B s maka

A = Ms (A) = A dan B = Ms (B) = BJadi A B atau Ms (A) Ms (B)Kalau As dan B s, maka A = Ms (A) = ADengan kata lain A s

Sedangkan B = Ms (B) dan berdasarkandefinisi refleksi maka B s.Jadi A B atau Ms (A) Ms (B)


20/37

Kalau A s, B sAndaikan Ms (A) = Ms (B)Jadi s dan s.Karena A = B berarti dari titik A ada duagaris berlainan yang tegak lurus pada s.Kontradiksi dengan teorema yang berbunyiPada sebuah bidang, melalui sebuah titik diluar garis, ada satu dan hanya satu garis yangtegak lurus garis itu.Pengandaian salah


21/37

Jadi Ms (A) Ms (B).Terbukti Ms injektifDari 1 dan 2 terbukti bahwa Ms suatutransformasi


22/37

Rumus PencerminanMisal pers. sumbu s adalahs : ax + by+c = 0 (*)Bila P = Ms(P) dan P(x,y), P(x,y) diluar smaka harus dipenuhi s jika

(**)Misal (x1, y1) titik tengah maka

dan (***)


23/37

Substitusikan (***) ke (*) diperoleh :(****)

Dari (**) dan (****) diperoleh bx ay = bx ay

ax+by = -ax by-2cSehingga

(#)

(##)


24/37

Jika s dinyatakan dalam bentuk normal

s: x cos + y sin - p = 0Dgn mensubstitusikan

a = cos ,

b = sin , c = -p

Ke persamaan (#) dan (##) diperoleh:


25/37

Kejadian Khusus Refleksi terhadap y = 0

Refleksi terhadap x = 0

Refleksi terhadap y = x Refleksi terhadap y = -x

Refleksi terhadap x = a

Refleksi terhadap y = b


26/37

ISOMETRIDefinisi

Suatu transformasi T adalah suatuisometri jika untuk setiap pasangtitik P, Q berlaku PQ = PQ dengan

P = T(P) dan Q = T(Q)


27/37

TEOREMA

Setiap refleksi pada garis adalah suatu

isometri


28/37

Contoh Soal1. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal

dan A(1,3) sedangkan B(-2,-1) tentukanlahpersamaan sebuah garis g sehingga Mg (A) =B

2. Diketahui g = {(x,y) x = -3}a.Apabila A(2,1) tentukan A = Mg (A)

b. Tentukan C apabila Mg (C)=(-1, 7)

c. Apabila P (x,y) sebuah titik sebarangtentukanlah Mg (P)

3. Diketahui garis k = {(x,y) ax 3y + 1 = 0} dansebuah titik B (3, -1). Tentukan a apabila Mk

(B)=B


29/37

4. Sebuah transformasi T didefinisikanuntuk semua P(x,y) sebagai

T(P) = (y, 4x). Selidiki apakah T suatuisometri?

5. Diketahui titik-titik A (1, -1), B(4,0),

C(-4,1) dan D(-2, k). Apabila T suatuisometri sehingga T(A) = C dan T(B) = Dmaka tentukanlah k


30/37

Teorema

Suatu isometri bersifat:Memetakan garis menjadi garisMengawetkan besarnya sudutantara dua garisMengawetkan kesejajaran dua garis


31/37

Akibat

Apabila a b maka T(a) T(b)dengan T isometri


32/37

CONTOHDiketahui garis g = {(x,y) y = -x} dan garish = {(x,y) y = 2x-3}. Apabila Mg adalahrefleksi pada garis g. Tentukanlahpersamaan garis h = Mg (h)


33/37

Jawabh suatu isometri maka h berupa garish akan melalui titik potong h dan g, misalnya R,

karena Mg (R) = R. Jadi R = (1, -1)Misalkan titik potong h dengan sumbu X adalah

Q, maka h akan melalui Q = Mg (Q). KarenaQ = (3/2, 0) maka Q = (0, -3/2)

Maka persamaan h = {(x,y) x 2y 3 = 0}


34/37

SoalDiketahui garis g = {(x,y) y = 0}

dan h = {(x,y) y = x}. Tulislahsebuah persamaan garis

g = Mh (g)


35/37

Isometri Langsung danLawan Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasiapabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1 , P2 , P3 )orientasinya sama dengan dengan orientasi peta-

petanya (P1 , P2, P3) dengan P1 = T(P1), P2 =T(P2) , P3 = T(P3 ) Suatu transformasi T membalik suatu orientasiapabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1 , P2 , P3 )orientasinya tdk sama dengan orientasi peta-petanya(P1 , P2, P3) dengan P1 = T(P1), P2 = T(P2) , P3= T(P3 )


36/37

DefinisiOrientasi dikatakan langsungapabila transformasi itumengawetkan orientasiSuatu transformasi dinamakan

transformasi lawan apabilatransformasi itu mengubah orientasi


37/37

SoalMisalkan R adalah yang didefinisikan untuk semua titikP(x,y) dengan R(P) = (-y,x)

Buktikan atau sangkal bahwa R itu isometri?

Apakah R isometri langsung atau isometri berlawanan?

Transformasi Dan Isometri

Documents

Transcript of Transformasi Dan Isometri