184788573 Soal Dan Pembahasan Isometri

Soal dan Pembahasan Isometri 1

SOAL HALAMAN 42

1. Diketahui garis g dan h seperti dapat dilihat pada gambar. Dengan menggunakan jangka

dan penggaris lukislah garis g’=Mh(g) dengan Mh sebuah pencerminan pada garis h.

Jawab :

2. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

T adalah sebuah isometri dengan B = T(A) dan u = T(s). Kalau t s, lukislah t’=T(t).

Jawab:

3. Diketahui garis t, lingkaran l dengan pusat D dan segitiga ABC seperti pada gambar.

a) Lukislah Mt(

b) Hubungan apakah antara dan Mt( ?

c) Lukislah Mt(l)

g’

h

g

o

o

Diketahui : dan

,

Karena maka

Karena dan T isometri, maka

.

Jadi, untuk melukis t’ buat garis t’

melalui B yang tegak lurus u.

A

B

u

s

t


Jawab:

a)

b) Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’

Karena A’=Mt(A)⇒OA’=OA dan A’P = AP

B’=Mt(B)⇒OB’=OB

C’=Mt(C)⇒OC’=OC

Diperoleh m( ∠ ABC)= m( ∠ A’B’C’)

AB=OA+OB=OA’+OB’=A’B’

m( ∠ BAC)= m( ∠ B’ A’C’).

Berdasarkan teorema, (Sd S Sd) maka ∆ABC ≅ ∆A’B’C’.

c)

4. Diketahui garis t.

a) Lukislah sebuah ∆ABC sehingga Mt(∆ABC) = ∆ABC (artinya : oleh Mt, ∆ABC

dan hasil refleksi pada t berimpit).

b) Lukislah sebuah lingkaran yang berimpit dengan petanya oleh Mt.

c) Lukislah sebuah segi empat yang berimpit dengan petanya oleh Mt.

B

C

A

t

B’

A’

C’

P

O

D’

D


Jawab:

a)

b)

c)

5. Diketahui garis g = {(x,y) |x + 2y = 1} dan h = {(x,y) |x = -1}.

Tulislah sebuah persamaan garis g’ = Mh(g).

Jawab:

g

Y

X A(1,0)

B(0, 2

1)

C

g’

h:x = -1

A’(-3,0) D

Untuk melukis ∆ABC yang berhimpit dengan Mt(∆ABC),

maka segitiga ∆ABC haruslah merupakan segitiga samakaki

dengan AO sebagai sumbu simetri, t berhimpit dengan AO,

sehingga BO = OC.

Mt(A) = A’ = A

Mt(B) = B’ = C

Mt(C) = C’ = B

Jadi Mt(∆ABC) = ∆A’B’C’ = ∆ABC

l=l’

O=O’

t

Untuk melukis lingkaran l yang berhimpit dengan Mt(l),

maka titik pusat lingkaran l haruslah berada pada sumbu

refleksi t sehingga Mt(l) = l’= l.

t

Untuk melukis segiempat yang berhimpit dengan petanya

oleh Mt, maka haruslah cermin t harus berhimpit dengan

sumbu simetri segiempat tersebut.

A=A’

B=C’ C=B’

t O


Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.

Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan

Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis.

Titik A(1,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu X.

Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi C∈g dan C∈h.

Karena C∈h maka Mh(C) = C

Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A).

♣ Koordinat titik C

g ≡ x + 2y = 1 � x + 2y – 1 = 0,

h ≡ x = -1

substitusikan x = -1 ke persamaan garis g ≡ x + 2y = 1, diperoleh :

-1 + 2y – 1 = 0 � 2y =2 � y = 1

Jadi C(-1,1)

♣ Kordinat A’ = Mh(A)

Titik D(-1,0) adalah titik potong h dengan sumbu X.

AD = xA – xD = 1- (-1) = 2

Karena isometri maka D A’ = AD = 2

Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4

Misal titik A’(x’,y’)

Absis titik A’ adalah 1 - 4 = -3

Diperoleh x’ = -3 dan y’ = y = 0

Jadi, A’(-3,0)

Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan A’(-3,0)

Persamaan garis g’: 10

1

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

)1(3

)1(

−−−

−−=

x

1

1

−

−⇔

y=

2

1

−

+x

1−⇔ y = 2

1+x

y⇔ = 12

1

2

1++x


y⇔ = 2

3

2

1+x

032 =+−⇔ yx

Jadi, g’ = {(x,y) | x - 2y + 3 = 0}

6. Diketahui garis g = {(x,y) |3x - y + 4= 0} dan h = {(x,y) |y = 2}.

Tulislah persamaan garis g’ = Mh(g).

Jawab:

Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.

Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan

Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis.

Titik A(4,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu Y.

Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi C∈g dan C∈h.

Karena C∈h maka Mh(C) = C

Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A)

♣ Koordinat titik C

g ≡ 3x - y + 4= 0, h ≡ y = 2

substitusikan y = 2 ke persamaan garis g ≡ 3x - y + 4= 0, diperoleh:

3x – 2 + 4= 0 � 3x = -2 � x = 3

2−

Jadi C (3

2− ,2)

♣ Koordinat A’ = Mh(A)

Titik D (0,2) adalah titik potong h dengan sumbu Y.

X B(

3

4− ,0)

A’(0,0)

A(0,4)

C D

Y g

h


AD = yA – yD = 4� 2 = 2

Karena isometri maka D A’ = AD = 2

Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4

Misal titik A’(x’,y’)

Ordinat titik A’ adalah 4 �4 = 0

Diperoleh y’ = 0 dan x’ = x = 0

Jadi, A’(0,0)

Jadi, g’ melalui titik C(3

2− ,2) dan A’(0,0)

Persamaan garis g’: 20

2

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

)3

2(0

)3

2(

−−

−−

=

x

2

2

−

−⇔

y=

3

23

2+x

2−⇔ y = -2 )12

3( +x

y⇔ = -3x -2 +2

y⇔ = -3x

03 =+⇔ yx

Jadi, g’ = {(x,y) | 03 =+ yx }

7. Diketahui garis-garis g = {(x,y) | y = 0}, h = {(x,y) |y = x}, dan k = {(x,y) |x = 2}.

Tulislah persaman garis-garis berikut;

a). Mg(h) b). Mh(g)

c). Mg(k) d). Mh(k)

Jawab:

a).

1

g: y=0 h’: y=-x

h: y=x

Y

X

A(1,1)

A’(1,-1)


Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) =

h’, maka h’ adalah sebuah garis.

Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi, O∈g dan O∈h.

Karena O∈g maka Mg(O) = O

Jadi h’ akan melalui titik O(0,0)

Ambil sebarang titik di h, misal A(1,1), maka h’ juga akan melalui A’ = Mg(A).

A(x,y) gM

→ A’(x,-y) , g = {(x,y) | y = 0}

Jadi, A(1,1) gM

→ A’(1,-1)

Jadi, garis h’ melalui titik O(0,0) dan A’(1,-1)

Persamaan garis h’:

01

0

12

1

12

1

−−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

01

0

−

−=

xxy −=⇔

Jadi, h’ = {(x,y) | y = -x}.

b).

Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(g) =

g’, maka g’ adalah sebuah garis.

Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi, O∈g dan O∈h.

Y

X = g:y=0

h: y=x

C’(0,1)

C(1,0)

g’: x=0


Karena O∈h maka Mh(O) = O

Jadi g’ akan melalui titik O(0,0)

Ambil sebarang titik di g, misal C(1,0), maka g’ juga akan melalui C’ = Mh(g).

C(x,y) gM

→ C’(y,x)

Jadi, C(1,0) gM

→ C’(0,1)

Jadi, garis g’ melalui titik O(0,0) dan C’(0,1)

Persamaan garis g’:

01

0

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

00

0

−

−=

x 0=⇔ x

Jadi, g’ = {(x,y) | x = 0}.

c).

Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(k) =

k’, maka k’ adalah sebuah garis.

Titik P(2,0) merupakan titik potong antara garis g dan k.

Jadi, P∈g dan P∈k.

Karena P∈g maka Mg(P) = P, maka k’ akan melalui titik P(2,0)

Ambil sebarang titik di k, misal B(2,2

1), maka k’ juga akan melalui B’ = Mg(B).

B(x,y) gM

→ B’(x’,y’) = B’(x,-y)

Jadi, B(2,2

1)

gM

→ B’(2,-2

1)

Jadi, garis k’ melalui titik P(2,0) dan B’(2,-2

1)

O g:y=0

B(2, �

�)

P(2,0)

k : x=2 Y

X

B’(2,- �

�)

k'

’


Jadi, k’ = k = {(x,y) | x = 2}.

d).

Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(k) =

k’ , maka k’ adalah sebuah garis.

Titik A(2,2) merupakan titik potong antara garis h dan k.

Jadi, A∈h dan A∈k.

Karena A∈h maka Mh(A) = A

Jadi k’ akan melalui titik A(2,2)

Ambil sebarang titik di k, misal B(2,0), karena h: y = x maka Mh(B) = (0,2) = B’.

Jadi k’ melalui A dan B’

Persamaan garis k’:

22

2

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

02

0

−

−=

x2=⇔ y

Jadi, g’ = {(x,y) | y=2}.

8. Jika g = {(x,y) | y = x} dan h = {(x,y) |y = 3 – 2x}, tentukan persamaan garis Mg(h).

Jawab:

Y

X

g: y=x

C’(0,2

3)

B(0,3)

C(2

3,0)

B’(3,0) A

k’: y=2

Y

X B(2,0)

A(2,2) B’(0,2)

k: x=2 h: y=x


Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan

Mg(h)=h’, maka h’ adalah sebuah garis.

Titik A merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi, A∈g dan A∈h.

Karena A∈g maka Mg(A) = A

Jadi h’ akan melalui titik A

Ambil titik B(0,3) dan C(2

3,0) karena g: y = x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’.

Jadi h’ melalui B’ dan C’


02

3

0

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

30

3

−

−=

x

2

9

2

33 −=−⇔ xy

936 −=−⇔ xy

0963 =−+⇔ yx

Jadi, h’ = {(x,y) | 0963 =−+ yx }.

9. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}, selidikilah apakah A(-2,-4) terletak

pada garis h’ = Mg(h).

Jawab:

Y

X B(-3,0) C’

C(0,1)

B’(0,3)

D

g: y=-x

h: 3y=x+3



Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan

Mg(h)=h’ , maka h’ adalah sebuah garis.

Titik D merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi, D∈g dan D∈h.

Karena D∈g maka Mg(D) = D

Jadi h’ akan melalui titik D

Ambil titik B(-3,0) dan C(0,1) karena g: y = - x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’.

Jadi h’ melalui B’ dan C’


03

0

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

)1(0

)1(

−−

−−=

x3)1( +=⇔ xy 33 +=⇔ xy

Jadi, h’ = {(x,y) | 33 += xy }

Akan diselidiki apakah A(-2,-4) terletak pada garis h’ = Mg(h)

Substitusikan A(-2,-4) pada h’: y = 3x + 3

Maka h’ : -4 = 3(-2) + 3

�-4 = -3 ( pernyataan yang salah)

Diperoleh A(-2,-4) tidak memenuhi persamaan h’: y = 3x + 3, artinya A(-2,-4)

tidak terletak pada garis h’ = Mg(h)

10. Diketahui lingkaran l= ( ) ( ) ( ){ }432:,22

=−+− yxyx

T sebuah isometri yang memetakan titik A(2,3) pada A’(1,-7). Tentukan persamaan

himpunan T(l). Apakah peta l juga lingkaran?

Jawab:

l = ( ) ( ) ( ){ }432:,22

=−+− yxyx

A’=T(A) dengan A(2,3) dan A’(1,-7).

L adalah lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari=2.

Karena A adalah pusat lingkaran l, maka A’=(1,-7) adalah pusat lingkaran l’=T(l).

Sehingga T(l)=l’= ( ) ( ) ( ){ }471:,22

=++− yxyx

Peta l yaitu l’ adalah lingkaran karena isometri T mengawetkan besarnya sudut

yaitu 360o.


11. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga g’=Mk(g), dan h’=Mk(h). Apabila

g’//h’ buktikan bahwa g//h.

Jawab:

Dipunyai g’//h’.

Adt g//h

Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri Mk

mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh g’ tidak sejajar dengan h.

Padahal dipunyai g’//h’, maka pengandaian harus dibatalkan.

artinya, g//h.

12. Diketahui garis-garis g, h, dan h’ sehingga h’=Mg(h). Apakah ungkapan-ungkapan

di bawah ini benar?

a) Jika h’//h, maka h//g.

b) Jika h’=h maka h=g.

c) Jika h’ ∩ h={A}, maka A g.

Jawab:

a) Benar

b) Benar

c) Benar

13. Buktikan sifat berikut: Apabila g h maka Mh(g)=g. Apakah ini berarti bahwa

apabila P g maka Mh(P)=P?

Jawab:

Dipunyai g h.

Adt Mh(g)=g.

Karena Mh mengawetkan besarnya dua sudut yaitu sudut antara g dan h sebesar

90o, maka sudut antara g’ dan h juga 90

o. Sehingga g’ merupakan pelurus g. Jadi, g’

berimpit dengan g sehingga Mh(g)=g.

g h’ h

h

h’

g

h

A

h'

g

P

h

g P’


Kasus I. P g, P h maka Mh(P)=P.

Kasus II. P g, P∉h. Karena Mh isometri maka OP=OP’. Diperoleh P=P’.Jadi,

Mh(P) ≠ P.

15. Jika g = {(x,y) | y = 2x + 3} dan h = {(x,y) |y = 2x + 1}, tentukan persamaan garis

h’ = Mg(h).

Jawab:


Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) =

h’ , maka h’ adalah sebuah garis.

Titik A(- 2

1,0 ) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu X.

Titik B(0,1) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.

Titik C(- 2

3,0 ) merupakan titik potong antara garis g dengan sumbu X.

Titik D(0,3) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.

Sehingga AC =1, BD =1

Diperoleh h’ memotong sumbu X di titik F(-2

5,0)

h’ memotong sumbu Y di titik E(0,5)

Persamaan garis h’ melalui F dan E sehingga persamaan g’:

P

h

g P’

Y

X

D(0,3)

C

,1)

A

B(0,1)

h: y=2x+1

g: y=2x+3 h’

E

F


05

0

12

1

12

1

−

−⇔

−

−=

−

− y

xx

xx

yy

yy

)2

5(0

)2

5(

−−

−−=

x

)2

5(5

2

5+=⇔ xy 25105 +=⇔ xy

052 =−−⇔ xy

Jadi, h’ = {(x,y) | 052 =−− xy }

16. Suatu transformasi T ditentukan oleh T(P)=(x+1,2y) untuk semua P(x,y).

a) Jika A(0,3) dan B(1,-1) tentukan A’=T(A) dan B’=T(B). Tentukan pula

persamaan AB dan ''BA .

b) Apabila C(c,d) AB selidiki apakah C’=T(C) AB

c) Apabila D’(e,f) AB selidiki apakah D AB dengan D’=T(D).

d) Menurut teorema, disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometric maka

peta sebuah garis adalah suatu garis. Apakah kebalikannya benar?

Jawab:

T(P)=(x+1,2y) ∀ P(x,y)

a) A(0,3), B(1,-1)

A’=T(A)=(0+1,2x3)=(1,6)

B’=T(B)=(1+1,2x(-1))=(2,-2)

034

441

1

1

4

1

10

1

)1(3

)1(

12

1

12

1

=−+⇔

−=−−⇔

−

−=

+⇔

−

−=

−−

−−⇔

−

−=

−

−⇒

xy

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yyAB

0148

1682

1

2

8

2

21

2

)2(6

)2(

''12

1

12

1

=−+⇔

−=−−⇔

−

−=

+⇔

−

−=

−−

−−⇔

−

−=

−

−⇒

xy

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yyBA


b) C(c,d) AB

Akan diselidiki C’=T(C) ''BA

Karena A’=T(A), B’=T(B), maka ''BA merupakan peta dari AB .

Sehingga jika C AB maka C’=T(C) ''BA

c) D’(e,f) AB diselidiki apakah D AB dengan D’=T(D).

Karena ''BA merupakan peta AB maka jika D’ AB pasti D AB .

d) Dipunyai h’ adalah garis.

Akan ditunjukkan h adalah garis dengan h’=T(h).

Andaikan h bukan garis maka h’=T(h) bukan garis.

Padahal dipunyai h’ garis.

Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya, h suatu garis .

Jadi, jika h’ garis maka h juga garis dengan h’=T(H).

18. Ada berapa refleksi garis dengan sifat berikut:

a) Sebuah segitiga sama kaki direfleksi pada dirinya sendiri?

b) Sebuah persegi panjang direfleksi pada dirinya sendiri?

c) Sebuah segiempat beraturan direfleksi pada dirinya sendiri?

Jawab:

a) 1 refleksi

b) 2 refleksi

c) 4 refleksi


SOAL HALAMAN 47

1. Pada gambar 4.10, ada tiga titik tidak segaris, yaitu P, Q, R; T dan S adalah isometri-

isometri dengan P’ = T(P), Q

’ = T(Q), R

’ = T(R) sedangkan P

’’ = S(P), Q

’’ = S(Q),

R’’ = S(R). Termasuk golongan manakah T dan S itu?

Jawab :

Jadi :

T merupakan isometri lawan dan S merupakan isometri langsung.

2.Isometri T memetakan A pada X; B pada Y dan C pada Z. Apabila T sebuah isometri

lawan tentukan titik Z.

3. Sebuah isometri S memetakan D pada W, E pada Z dan F pada U. Apabila S sebuah

isometri langsung, tentukan U.

Jawab:

P

Q

R

P’

R’

Q’

R’’

Q’

’

P’’

P

Q

R

P’

R’

Q’

R’’

Q’

’

P’’

D Z

W

F

E

B

A

C

Y

X

Z


4. Diketahui sebuah titik A dan dua transformasi T dan S yang didefinisikan sebagai

berikut: T(A)=A, S(A)=A. Jika P ≠ A, T(P)=P’ dan S(P)=P’’. P’ adalah titik tengah

ruas garis AP sedangkan A titik tengah ''PP . Termasuk golongan manakah masing-

masing trnsformasi S dan T itu?

Jawab:

T(A)=A, S(A), jika P ≠ A⇒T(P)=P’,S(P)=P”

Ilustrasi:

Dari gambar diperoleh S isometri berlawanan karena APPA "−=

Dan T isometri langsung karena APPA '=

5. Tentukan koordinat-koordinat titik P pada sumbu X sehingga BPXAPO ∠=∠ .

Diketahui bahwa A=(0,3) dan B=(6,5).

Jawab:

A=(0,3) dan B=(6,5).

Misal P(x,0)

6. Sebuah sinar mamancar dari titik A(6,4) dan diarahkan ke titik P(2,2) pada sebuah

cermin yang digambar sebagai garis g = {(x,y) |y = x}. Ada sebuah garis h = {(x,y)

P A P’ P”

β α

6-x x P

B(6,5)

A(0,3)

Agar BPXAPO ∠=∠ maka,

4

9

8

18

5318

6

53

tantan

=

=⇔

=−⇔

−=⇔

=

x

xx

xx

βα

Jadi, agar BPXAPO ∠=∠ maka

P(9/4,0)

6

5

Y

X


|x = -1}. Sinar yang dipantulkan memotong garis h pada sebuah titik Z. Tentukan

koordinat- koordinat titik Z.

Jawab:

7. Diketahui garis-garis g dan h dan titik-titik P dan R.

Diketahui bila bahwa P’=Mg(P), P”=Mh(P’), R’=Mg(R), dan R”=Mh(R).

a. Lukislah P’ dan R”

b. Bandingkan jarak PR dan P”R”

Jawab:

a.

b. Karena PR = P’R

’ (isometri mengawetkan jarak)

Maka jarak P’ dengan h = jarak P

’’ dengan h

Jarak R’ dengan h = jarak R

’’ dengan h

Jadi jarak P’R

’ = jarak P

’’R

’’

Y

X

h: x=-1

g; y=x

A(6,4)

P(2,2)

A’

Z

Koordinat A’(4,6)

Persamaan sinar A’P

0442

164122

)4(4)6(2

42

4

62

6

12

1

12

1

=+−⇔

+−=+−⇔

−−=−−⇔

−

−=

−

−⇔

−

−=

−

−

xy

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yy

Jika x = -1 maka 2y + 4 +4 =0

Jadi, y = -4

Jadi, koordinat Z(-1,-4)

P

R

h

g

R’

P”

P’

R”


Karena jarak PR = jarak P’R

’ dan jarak P

’R

’ = jarak P

’’R

’’, maka jarak PR = jarak

P’’R

’’.

8. Diketahui bahwa T dan S adalah padanan- padanan sehingga untuk semua titik P

berlaku T(P) = P’ dan S(P’) = P’’.

W adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk semua P sebagai W(P) = P’’.

Apakah W suatu transformasi?.

Jawab:

W suatu fungsi sehingga ∀ titik P ∃P”∈S ∋ W(P) = P”.

♣ Ditunjukkan W surjektif

Pikirkan sebarang titik A(x,y)

Jelas A(x,y) T

→ A’(x’,y’) S

→ A”(x”,y”), atau

A(x,y) W

→ A”(x”,y”)

Jadi, ∀ titik A ∃A”∈S ∋ W(P) = P”.

Jadi, W surjektif.

♣ Ditunjukkan W injektif

Pikirkan sebarang titik B(x,y) dan C dengan B≠C.

Jelas B W

→ B” = W(B)

C W

→ C” = W(C) , dengan W(B) ≠ W(C)

Jadi, ∀ titik B dan C dengan B ≠ C berlaku W(B) ≠ W(C).

Jadi, W injektif.

Jadi, karena W surjektif dan injektif maka W merupakan transformasi.

9. R adalah suatu transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P��, �sebagai

R�=��, �

a) Selidiki apakah R suatu isometri

b) Jika R sebuah isometri, apakah isometri langsung atau isometri lawan?

Jawab :

R transformasi

∀ P��, �, R�=��, �

a) Apakah R isometri

Ambil P1��, �, P2��,

R�P1=��, �=1′


R�P2=��, =2′

Akan ditunjukkan P1P2= 1′ 2′

P1P2=�� 2 � �� 2

� �� 2�� 2 � � �

1′ 2′ = �� 2 � �� 2

= �� 2 � �� 2

� �� 2 � � � � �� 2��

� �� 2�� 2 � � �

Diperoleh P1P2= 1′ 2′

Jadi, R mengawetkan jarak, sehingga R merupakan isometri.

b) Apakah R isometri langsung atau isometri lawan

Ambil sebarang titik P, Q, S tidak segaris.

Misalkan P��, , Q��, �, dan S��, �. Maka ′�� , �, �′��, �, dan �′��, � dengan R�=′, R��=�′, dan

R��=�′

10. Diketahui sebuah garis g dan titik A, A’ dan B sehingga Mg(A) = A’ dan garis >−−<

AB

// g. Dengan menggunakan suatu penggaris saja tentukan titik B’ = Mg(B)

Jawab:

g

B’

B A

A’

X

Y

�′��, �

′�� ,�

Q��, �

�′��, �

P��,

S��, �

184788573 Soal Dan Pembahasan Isometri

Documents

Transcript of 184788573 Soal Dan Pembahasan Isometri