GT Proyeksi Isometri - istiarto.staff.ugm.ac.id Proyeksi Isometri.pdf · ......

12
istiarto Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Gambar Teknik Proyeksi Isometri Hlm | 1 PROYEKSI ISOMETRI PENDAHULUAN Proyeksi isometri(k) dapat digolongkan sebagai gambar piktorial. Ketiga bidang pada sebuah objek 3D digambar dan tampak jelas. Dimensi objek gambar pun dapat diukur langsung pada gambar proyeksi ini. Perhatikan kubus ABCDEFGH yang diletakkan pada bidang horizontal dan bertumpu pada salah satu sudut, H, dengan diagonal DF tegak lurus titik pandang (view point, VP), seperti tampak pada gambar potongan melintang yang disajikan pada Gambar 1. Perhatikan gambar tersebut dengan seksama. GAMBAR 1 DIAGRAM PROYEKSI ISOMETRI. ! Semua bidang bujursangkar sisi kubus tampak sebagai bidang miring dengan sudut kemiringan yang sama terhadap VP sehingga bidangbidang tersebut tampak sebagai bidang jajarangenjang yang sama dan sebangun. ! Ketiga rusuk DA, DC, dan DH bertemu di titik sudut D. Ketiga rusuk merupakan sisi bidangbidang kubus yang tampak (terlihat). Sudut sikusiku ketiga rusuk tersebut tampak sebagai sudut miring terhadap VP dan ketiga rusuk mengalami perpendekan dengan skala yang sama. Ketiga rusuk saling membentuk sudut 120°. Rusuk DH vertikal, sedang kedua rusuk yang lain membentuk sudut 30° terhadap bidang horizontal. ! Rusukrusuk kubus yang lain digambarkan sejajar terhadap salah satu dari ketiga rusuk DA, DC, atau DH dan juga diperpendek dengan skala yang sama. ! Diagonal bidang atas, AC, sejajar dengan VP sehingga digambarkan dengan dimensi yang sama dengan dimensi sesungguhnya.

Transcript of GT Proyeksi Isometri - istiarto.staff.ugm.ac.id Proyeksi Isometri.pdf · ......

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  1  

PROYEKSI   ISOMETRI  

PENDAHULUAN  

Proyeksi  isometri(k)  dapat  digolongkan  sebagai  gambar  piktorial.  Ketiga  bidang  pada  sebuah  objek  3D  digambar  dan  tampak  jelas.  Dimensi  objek  gambar  pun  dapat  diukur  langsung  pada  gambar  proyeksi  ini.  

Perhatikan  kubus  ABCDEFGH  yang  diletakkan  pada  bidang  horizontal  dan  bertumpu  pada  salah  satu  sudut,  H,  dengan  diagonal  DF  tegak  lurus  titik  pandang  (view  point,  VP),  seperti  tampak  pada  gambar  potongan  melintang  yang  disajikan  pada  Gambar  1.  Perhatikan  gambar  tersebut  dengan  seksama.  

 

GAMBAR  1    DIAGRAM  PROYEKSI  ISOMETRI.  

! Semua  bidang  bujur-­‐sangkar  sisi  kubus  tampak  sebagai  bidang  miring  dengan  sudut  kemiringan  yang  sama  terhadap  VP  sehingga  bidang-­‐bidang  tersebut  tampak  sebagai  bidang  jajaran-­‐genjang  yang  sama  dan  sebangun.  

! Ketiga  rusuk  DA,  DC,  dan  DH  bertemu  di  titik  sudut  D.  Ketiga  rusuk  merupakan  sisi  bidang-­‐bidang  kubus  yang  tampak  (terlihat).  Sudut  siku-­‐siku  ketiga  rusuk  tersebut  tampak  sebagai  sudut  miring  terhadap  VP  dan  ketiga  rusuk  mengalami  perpendekan  dengan  skala  yang  sama.  Ketiga  rusuk  saling  membentuk  sudut  120°.  Rusuk  DH  vertikal,  sedang  kedua  rusuk  yang  lain  membentuk  sudut  30°  terhadap  bidang  horizontal.  

! Rusuk-­‐rusuk  kubus  yang  lain  digambarkan  sejajar  terhadap  salah  satu  dari  ketiga  rusuk  DA,  DC,  atau  DH  dan  juga  diperpendek  dengan  skala  yang  sama.  

! Diagonal  bidang  atas,  AC,  sejajar  dengan  VP  sehingga  digambarkan  dengan  dimensi  yang  sama  dengan  dimensi  sesungguhnya.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  2  

Proyeksi  kubus  ABCDEFGH  dapat  pula  dilakukan  dengan  cara  perletakan  yang  berbeda  dengan  cara  di  atas.  Perhatikan  Gambar  2.  Di  sini,  titik  sudut  F  sebagai  titik  tumpu  dan  diagonal  HB  tegak  lurus  titik  pandang  (view  point,  VP)  Perhatikan  gambar  tersebut  dengan  seksama.  Dengan  cara  ini,  bidang  kubus  yang  tampak  adalah  sisi  kiri,  ADHE,  sisi  kanan,  CGHD,  dan  sisi  bawah,  EFGH.  

 

GAMBAR  2    PROYEKSI  ISOMETRI  KUBUS  ABCDEFGH  DENGAN  TITIK  TUMPU  F.  

SUMBU,  GARIS,  DAN  BIDANG  ISOMETRI  

Garis-­‐garis  DA,  DC,  dan  DH  yang  bertemu  di  titik  D  dan  saling  membentuk  sudut  120°  disebut  sumbu  isometri.  Setiap  garis  yang  sejajar  dengan  sumbu-­‐sumbu  ini  disebut  garis  isometri.  Bidang  yang  membentuk  sisi-­‐sisi  kubus  seperti  tampak  pada  Gambar  1  dan  bidang-­‐bidang  lain  yang  sejajar  dengannya  disebut  bidang  isometri.  Pada  Gambar  1,  rusuk-­‐rusuk  EF,  FG,  EA,  GC  adalah  contoh  garis  isometri,  sedang  bidang-­‐bidang  ABCD,  ADHE,  DHGC  adalah  contoh  bidang  isometri.  

SKALA  ISOMETRI  

Dengan  perpendekan  rusuk-­‐rusuk  kubus  seperti  tampak  pada  Gambar  1,  maka  bujur-­‐sangkar  sisi-­‐sisi  kubus  menjadi  jajaran-­‐genjang.  Jajaran-­‐genjang  ABCD  merupakan  proyeksi  isometri  bujur-­‐sangkar  sisi  atas  kubus.  Pada  bidang  ini  (yaitu  ABCD),  dimensi  diagonal  AC  tetap  seperti  dimensi  sesungguhnya.  Hal  ini  dapat  dimanfaatkan  untuk  menskala  dimensi  setiap  objek  menjadi  dimensi  proyeksi  isometri.  

Dengan  memakai  diagonal  AC,  buatlah  bujur-­‐sangkar  ABʹ′CDʹ′.  Dimensi  ABʹ′  dan  ADʹ′  adalah  panjang  sesungguhnya  sisi-­‐sisi  bujur-­‐sangkar  ABʹ′CDʹ′,  sedang  dimensi  AB  dan  AD  adalah  panjang  isometrik  ABʹ′  dan  ADʹ′  tersebut.  

pada  segitiga  ABO:  !BAAO =

1cos30° =

23  

pada  segitiga  ABʹ′O:  !!B AAO =

1cos45° = 2  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  3  

!BAAO×

AO"B A =

cos45°cos30° =

23×12=

23 ≈0.8165  

Jadi  rasio  (panjang  isometrik/panjang  sesungguhnya)  =  BA/Bʹ′A  =  √2/√3  ≈  0.8165.  

Dengan  demikian,  proyeksi  isometri  mengalami  perpendekan  0.8165  kali  panjang  sesungguhnya.  

Penskalaan  dimensi  objek  dalam  penggambaran  proyeksi  isometri  dapat  dilakukan  dengan  bantuan  diagram  seperti  ditunjukkan  pada  Gambar  3.  

 

GAMBAR  3    SKALA  ISOMETRI.  

1) Buatlah  garis  horizontal  BP  dengan  panjang  sembarang.  Dari  ujung  B,  buatlah  garis  BA  dengan  sudut  15°  terhadap  BP  dan  dari  ujung  P  buatlah  garis  PA  dengan  sudut  45°  terhadap  PB.  Pada  horizontal  BP,  beri  tanda  pada  jarak-­‐jarak  dengan  ukuran  panjang  sesungguhnya.  Dari  setiap  titik  tanda,  tarik  garis  sejajar  PA;  titik-­‐titik  potong  garis  ini  dengan  BA  merupakan  panjang  isometrik  titik-­‐titik  dengan  panjang  sesungguhnya  pada  BP.  

2) Buatlah  garis  horizontal  BC  dengan  panjang  sembarang.  Pada  ujung  B,  buatlah  garis  lurus  BA  dan  BP  yang  masing-­‐masing  membentuk  sudut  30°  dan  45°  terhadap  BC.  Pada  garis  BP,  berilah  tandai  pada  jarak-­‐jarak  dengan  ukuran  panjang  sesungguhnya.  Dari  setiap  tanda  jarak  tersebut,  tarik  garis  vertikal  terhadap  BC;  titik-­‐titik  potong  garis  tesebut  dengan  BA  menandai  panjang  isometrik  titik  dengan  panjang  sesungguhnya  pada  BP.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  4  

Garis  AC  dan  BD  pada  Gambar  1  merupakan  diagonal  bujur-­‐sangkar  sisi  atas  kubus  ABCDEFGH.  Dalam  dimensi  sesungguhnya,  kedua  diagonal  ini  sama  panjang,  namun  dalam  proyeksi  isometri,  panjang  keduanya  berbeda.  Panjang  isometrik  diagonal  AC  sama  dengan  panjang  sesungguhnya,  sedang  panjang  isometrik  diagonal  BD  lebih  kecil  daripada  panjang  sesungguhnya.  Tampak  bahwa  garis-­‐garis  yang  tidak  sejajar  dengan  sumbu  isometrik  mengalami  perpendekan  dengan  skala  yang  tidak  sama.  Garis-­‐garis  semacam  ini  disebut  garis  non-­‐isometri.  Dengan  demikian,  penetapan  dimensi  dalam  panjang  isometrik  harus  dilakukan  pada  sumbu  isometri  dan  garis  isometri.  Garis-­‐garis  non-­‐isometri  digambarkan  dengan  terlebih  dulu  mencari  tempat  kedudukan  kedua  titik  ujungnya  pada  bidang  isometri,  kemudian  kedua  titik  ujung  tersebut  dihubungkan.  

Selain  dengan  cara  di  atas,  pengukuran  panjang  isometrik  dapat  dilakukan  dengan  memakai  panjang  sesungguhnya.  Gambar  proyeksi  isometri  yang  diperoleh  dengan  cara  ini  akan  berbentuk  sama  persis  namun  dengan  proporsi  yang  lebih  besar  daripada  gambar  yang  diperoleh  dengan  cara  pengukuran  panjang  isometrik.  Mengingat  cara  pengukuran  panjang  sesungguhnya  lebih  mudah  dilakukan,  maka  cara  ini  lebih  banyak  dipakai.  

Cara  penggambaran  proyeksi  isometri  dengan  memakai  panjang  sesungguhnya  tersebut  memiliki  keuntungan  pada  penggambaran  memakai  program  aplikasi  AutoCAD.  Dengan  pengukuran  panjang  sesungguhnya,  maka  angka  yang  muncul  pada  perintah  ‘Dimension’  akan  sesuai  dengan  dimensi  yang  benar.  Namun  demikian,  harus  diperhatikan  bahwa  gambar  proyeksi  isometri  yang  diperoleh  dengan  cara  ini  perlu  dikembalikan  pada  proporsi  gambar  isometri  yang  seharusnya  agar  skala  gambar  sesuai  dengan  skala  yang  telah  ditetapkan.  Ini  dilakukan  pada  saat  mengatur  tata  letak  di  bagian  ‘Layout’.  Sebagai  contoh,  apabila  skala  gambar  ditetapkan  n  =  1  :  m,  maka  skala  gambar  proyeksi  isometri  pada  ‘Layout’  diatur  menjadi  0.8165  ×  n.  

CONTOH  

Berikut  ini  beberapa  contoh  penggambaran  dalam  proyeksi  isometri  objek  yang  memiliki  bentuk  standar,  antara  lain  segiempat,  segilima,  piramid  segilima,  lingkaran,  bola,  dan  kombinasi  beberapa  bentuk.  Penggambaran  objek  cara  proyeksi  isometri  dilakukan  dengan  pengukuran  panjang  sesungguhnya  objek  yang  digambar.  

PROYEKSI  ISOMETRI  SEGIEMPAT  

Contoh  gambar  proyeksi  isometri  sebuah  segiempat  bujur-­‐sangkar  ABCD  berukuran  50  satuan  panjang  ×  50  satuan  panjang  ditampilkan  pada  Gambar  4.  Dari  sembarang  titik  D,  buatlah  garis  sepanjang  50  (satuan  panjang)  ke  A  dan  50  ke  C,  masing-­‐masing  sejajar  dengan  sumbu  isometri,  yaitu  menyudut  30°  terhadap  horizontal.  Lengkapi  dengan  garis  AB  sejajar  dengan  DC  dan  garis  CB  sejajar  DA  untuk  membentuk  segiempat  ABCD.  

Harus  diingat  bahwa  panjang  diagonal  AC  tetap  sama  dengan  panjang  sesungguhnya,  AC  =  ac.  Untuk  memenuhi  syarat  ini,  maka  ukuran  atau  skala  gambar  proyeksi  isometrik  adalah  0.8165  kali  skala  gambar  proyeksi  orthogonal.  Apabila  memakai  program  aplikasi  AutoCAD,  hal  ini  dilakukan  pada  saat  mengatur  ‘Layout’.  Gambar  proyeksi  orthogonal  dan  proyeksi  isometri  dimasukkan  kedalam  viewport  yang  berbeda.  Skala  viewport  gambar  proyeksi  isometrik  adalah  0.8165  kali  skala  viewport  gambar  proyeksi  orthogonal.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  5  

 

GAMBAR  4    PROYEKSI  ISOMETRI  SEBUAH  SEGIEMPAT  DAN  SEBUAH  SEGILIMA.  

PROYEKSI  ISOMETRI  SEGILIMA  

Contoh  gambar  proyeksi  isometri  sebuah  segilima  ABCDE  dengan  panjang  sisi  30  satuan  panjang  ditunjukkan  pada  Gambar  4.  Segilima  tersebut  berada  pada  bidang  vertikal  dan  salah  satu  sisinya  horizontal.  Mengingat  tidak  adanya  sudut  siku-­‐siku,  maka  penggambaran  segilima  dilakukan  dengan  bantuan  segiempat  1234  yang  keempat  sisinya  menyinggung  titik  sudut  segilima.  Titik-­‐titik  bantu  1,  2,  3,  dan  4  berada  pada  garis  isometri.  Berawal  dari  titik  1,  titik  A  dapat  dicari  dengan  mengukur  jarak  1a;  dari  titik  A  ditarik  garis  AB  dengan  jarak  30  satuan  panjang  mengikuti  sumbu  isometri;  selanjutnya  dicari  titik  2  dengan  mengukur  jarak  b2.  Langkah  serupa  dilakukan  untuk  melengkapi  segilima  ABCDE.  

PROYEKSI  ISOMETRI  PIRAMID  

Contoh  gambar  proyeksi  piramid  dengan  dasar  segilima  PABCDE,  panjang  sisi  dasar  30  satuan  panjang  dan  tinggi  60  satuan  panjang,  ditampilkan  pada  Gambar  5.  Contoh  ini  menunjukkan  cara  penggambaran  proyeksi  isometri  objek  yang  mimiliki  sejumlah  garis  non-­‐isometri.  Penggambaran  proyeksi  isometri  garis-­‐garis  semacam  ini  dilakukan  dengan  dua  cara,  yaitu:  box  method  dan  offset  method.  

1) Box  method.    Cara  ini  sangat  efektif  apabila  garis-­‐garis  non-­‐isometrik  atau  ujung-­‐ujungnya  berada  pada  bidang  isometri.  Dalam  cara  ini,  objek  gambar  dianggap  dibatasi  (dilingkupi)  oleh  sebuah  segiempat.  Penggambaran  diawali  dengan  penggambaran  proyeksi  isometri  segiempat  tersebut;  setelah  itu,  tempat  kedudukan  ujung-­‐ujung  garis  isometri  dapat  ditemukan  dengan  mengukur  jaraknya  terhadap  garis  keliling  segiempat  tersebut.  Proyeksi  isometri  segilima  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  6  

dasar  piramid,  dan  juga  pada  contoh  sebelumnya,  dilakukan  dengan  box  method  ini.  

2) Offset  method.    Cara  ini  dipilih  apabila  garis-­‐garis  non-­‐isometri  maupun  ujung-­‐ujungnya  tidak  berada  pada  bidang  isometri.  Penggambaran  dilakukan  dengan  menarik  garis  tegak  lurus  dari  setiap  ujung  garis  non-­‐isometri  yang  akan  digambar  ke  arah  bidang  referensi  horizontal  atau  vertikal.  Tempat  kedudukan  titik  potong  garis  tegak  lurus  tersebut  dengan  bidang  referensi,  selanjutnya,  dapat  digambarkan  dari  koordinatnya  atau  offsetnya  terhadap  tepi  bidang  referensi.  Proyeksi  isometri  sisi-­‐sisi  piramid  dilakukan  dengan  mencari  lokasi  puncak  piramid  memakai  offset  method  ini.  

Langkah  pertama  penggambaran  piramid  adalah  penggambaran  bidang  dasarnya.  Lingkupi  segilima  dengan  segiempat  seperti  pada  contoh  sebelumnya.  Pada  gambar  tampak  atas,  tariklah  offset  titik  pusat  segilima  q  ke  garis  1-­‐2,  qʹ′.  Gambarlah  proyeksi  isometri  segiempat,  cari  tempat  kedudukan  titik-­‐titik  sudut  segilima  dasar  piramid.  Tandailah  tempat  kedudukan  Qʹ′  pada  gambar  isometri,  sedemikian  hingga  jarak  Qʹ′-­‐2  sama  dengan  jarak  qʹ′-­‐2  pada  gambar  tampak  atas.  Tarik  garis  Qʹ′Q  yang  sama  panjang  dengan  q'q  dan  yang  sejajar  dengan  2-­‐3.  Dari  Q,  tarik  garis  vertikal  QP  yang  sama  panjang  dengan  qp,  60  satuan  panjang.  Hubungkan  P  dengan  setiap  titik  sudut  untuk  melengkapi  sisi-­‐sisi  piramid.  

 

GAMBAR  5    PROYEKSI  ISOMETRI  SEBUAH  PIRAMID  DENGAN  DASAR  SEGILIMA.  

Pada  Gambar  5  ditunjukkan  pula  proyeksi  isometri  piramid  tersebut  dengan  dasar  piramid  berada  pada  bidang  vertikal.  

Jangan  dilupakan  untuk  mengatur  skala  gambar  proyeksi  isometri  menjadi  0.8165  kali  skala  gambar  proyeksi  orthogonal  untuk  mendapatkan  proporsi  gambar  yang  benar.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  7  

PROYEKSI  ISOMETRI  LINGKARAN  

Contoh  gambar  proyeksi  isometri  sebuah  lingkaran  berdiameter  50  satuan  panjang  ditunjukkan  pada  Gambar  6.  Sebuah  lingkaran  dapat  digambarkan  dalam  proyeksi  isometri  dengan  bantuan  sebuah  segiempat  bujur-­‐sangkar  yang  mengitarinya.  Dengan  offset  method,  dari  sejumlah  titik  pada  lingkaran  dicari  titik-­‐titik  bantu  pada  bujur-­‐sangkar  yang  mengelilinginya.  

Dengan  proyeksi  isometri,  sebuah  lingkaran  tampak  sebagai  sebuah  ellips.  Penggambaran  ellips,  apabila  dilakukan  dengan  program  aplikasi  komputer  semisal  AutoCAD,  bukan  merupakan  tugas  yang  sulit.  Namun  apabila  dilakukan  secara  manual,  penggambaran  ellips  tidak  mudah  dilakukan  sehingga  memerlukan  suatu  pendekatan.  Cara  pendekatan  ini  akan  diuraikan  terlebih  dulu  di  bawah  ini,  disusul  dengan  penggambaran  ellips  langsung.  

 

 

GAMBAR  6    PROYEKSI  ISOMETRI  SEBUAH  LINGKARAN.  

1) Cara  I.    Bentuk  ellips  didekati  dengan  empat  busur  lingkaran.  Pertama,  dibuat  sebuah  bujur-­‐sangkar  abcd  yang  melingkupi  lingkaran  pada  gambar  tampak  atas.  Selanjutnya,  proyeksi  isometri  bujur-­‐sangkar  ini  dengan  mudah  dapat  dibuat.  Dari  titik  sudut  A,  ditarik  garis  lurus  ke  titik  3  (titik  tengah  BC);  garis  ini  memotong  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  8  

diagonal  BD  di  titik  Bʹ′.  Jarak  Bʹ′3  akan  sama  dengan  jarak  Bʹ′1.  Dengan  cara  yang  sama,  dapat  ditarik  garis  A5  yang  memotong  BD  di  titik  Dʹ′,  sehingga  ditemukan  Dʹ′5  yang  jaraknya  sama  dengan  jarak  Dʹ′7.  Dengan  titik  pusat  A,  dibuat  busur  lingkaran  345  dengan  radius  A3  =  A4  =  A5.  Selanjutnya,  dengan  titik  pusat  Bʹ′,  dibuat  busur  lingkaran  123  dengan  radius  Bʹ′1  =  Bʹ′2  =  Bʹ′3.  Kedua  busur  lingkaran  tersebut  membentuk  separuh  ellips.  Paruh  ellips  yang  lain  dapat  dibuat  dengan  mudah  mengikuti  langkah-­‐langkah  yang  sama.  

2) Cara  II.    Program  aplikasi  komputer,  semisal  AutoCAD,  memiliki  fasilitas  perintah  pembuatan  ellips  ataupun  busur  ellips  yang  dapat  dipakai  untuk  menggambar  ellips  dengan  mudah,  cepat,  dan  akurat.  Langkah  pertama  adalah  menemukan  tempat  kedudukan  titik  6  dan  8  yang  dapat  dilakukan  dengan  offset  method.  Dari  titik  A,  dicari  titik  8ʹ′  dan  8ʺ″  dimana  jarak  A8ʹ′  =  jarak  a8ʹ′  dan  A8ʺ″  =  a8ʺ″.  Dari  titik  8ʹ′  dan  8ʺ″,  ditarik  garis  sejajar  sumbu  isometri;  kedua  garis  berpotongan  di  titik  8.  Titik  6  dapat  ditemukan  dengan  cara  yang  sama.  Proyeksi  isometri  lingkaran  yang  dicari  adalah  ellips  dengan  pusat  di  P,  radius  panjang  P6,  dan  radius  pendek  P8.  Ellips  ini  melewati  titik-­‐titik  1,  2,  3,  4,  5,  dan  7,  seperti  halnya  lingkaran  pada  gambar  tampak  atas.  

Pada  Gambar  6  ditampilkan  pula  proyeksi  isometri  lingkaran  pada  bidang  horizontal  dan  vertikal  yang  dibuat  dengan  Cara  II.  

PROYEKSI  ISOMETRI  BOLA  

Contoh  gambar  proyeksi  isometri  sebuah  bola  berdiameter  50  satuan  panjang  yang  diletakkan  di  atas  bidang  horizontal  ditunjukkan  pada  Gambar  7.  

Ambil  potongan  melintang  vertikal  melalui  titik  pusat  bola.  Bentuk  potongan  adalah  lingkaran  berdiameter  sama  dengan  diameter  bola.  Proyeksi  isometri  lingkaran  ini  adalah  ellips,  yaitu  ellips  2  dan  3  berpusat  di  titik  P,  yang  masing-­‐masing  digambarkan  pada  dua  bidang  isometri  vertikal  yang  berbeda.  Panjang  sumbu  utama  kedua  ellips  adalah  sama  dengan  diameter  lingkaran.  Jarak  dari  pusat  ellips  P  ke  titik  Q  adalah  sama  dengan  radius  isometrik  bola.  

Sekali  lagi,  ambil  potongan  melintang  melalui  titik  pusat  bola,  namun  kali  ini  melalui  bidang  horizontal.  Bentuk  potongan  adalah  lingkaran  berdiameter  sama  dengan  diameter  bola.  Proyeksi  isometri  lingkaran  ini  adalah  ellips  1  yang  berpusat  di  titik  P  dan  berada  pada  bidang  horizontal.  Panjang  sumbu  utama  ellips  ini  adalah  juga  sama  dengan  diameter  bola.  

Tampak  bahwa  pada  proyeksi  isometri,  jarak  setiap  titik  pada  permukaan  bola  dari  titik  pusat  bola  adalah  sama  dengan  radius  bola  sesungguhnya.  

Dengan  demikian,  proyeksi  isometri  sebuah  bola  adalah  sebuah  lingkaran  yang  berdiameter  sama  dengan  diameter  bola.  

Di  samping  itu,  tampak  bahwa  jarak  titik  singgung  bola  dengan  bidang  horizontal,  Q,  dari  titik  pusat  bola,  P,  adalah  sama  dengan  radius  isometri  bola.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  9  

 

GAMBAR  7    PROYEKSI  ISOMETRI  SEBUAH  BOLA.  

PROYEKSI  ISOMETRI  TUGU  

Gambar  8  menunjukkan  dua  gambar  proyeksi  isometri  sebuah  tugu  yang  merupakan  gabungan  silinder,  kubus,  dan  piramid,  dilihat  dengan  dua  sudut  pandang  yang  berbeda.  Dari  kedua  gambar,  maka  gambar  kedua  (gambar  di  bawah)  lebih  baik  daripada  yang  pertama  (gambar  di  atas)  mengingat  bentuk  ketiga  bidang  tugu  tampak  lebih  jelas.  

LATIHAN  

Lihat  Gambar  9.  Buatlah  gambar  proyeksi  isometrik  setiap  objek  pada  gambar  tersebut.  Latihan  ini  bermanfaat  untuk  menguji  kemampuan  membaca  gambar.  Sebagian  besar  gambar  teknik  sipil  dibuat  dengan  cara  gambar  proyeksi  orthogonal.  Adalah  sangat  penting  bahwa  gambar-­‐gambar  tersebut  dibaca  dan  difahami  dengan  benar.  

Lihat  Gambar  10.  Buatlah  gambar  proyeksi  orthogonal  setiap  objek  pada  gambar  tersebut.  Latihan  ini  bermanfaat  untuk  menguji  kemampuan  “menuliskan”  objek  kedalam  (bahasa)  gambar.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  10  

 

 

GAMBAR  8    PROYEKSI  ISOMETRI  TUGU  SILINDER,  KUBUS,  DAN  PIRAMID.  

 

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  11  

 

GAMBAR  9    LATIHAN  MENGGAMBAR  PROYEKSI  ISOMETRI.  

istiarto  ●  Jurusan  Teknik  Sipil  dan  Lingkungan  FT  UGM  ●  http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/  

Gambar  Teknik  

Proyeksi  Isometri   Hlm  |  12  

 

GAMBAR  10    LATIHAN  MENGGAMBAR  PROYEKSI  ORTHOGONAL.