Bab III : Integral Integral fungsi berharga kompleks dari variable real Definisi: dengan dan masing-masing berharga real yang kontinu sepotong-sepotong dari perubahan real dalam interval . Yang dimaksud fungsi kontinu sepotong-sepotong pada interval ialah terdiri atas beberapa sub interval di mana kontinu dan mempunyai limit yang berhingga di kedua ujung-ujungnya. Jadi fungsi ini dalam interval kontinu, kecuali pada berhingga banyaknya titik-titik di mana terjadi loncatan-loncatan yang berhingga. Menurut teori integral, kedua integral dan ada dan integral tertentu dari dapat dinyatakan

Sifat-sifat :1. , R menyatakan bagian real2. 3. 4. Integral Kontur

Kontur yang merentang sepanjang lintasan dari titik-titik sampai . Jika terletak pada dan jika dan dengan di mana dan kontinu, sedangkan dan kontinu sepotong-sepotong pada , sedangkan dan berturut-turut mewakili bilangan-bilangan kompleks yang sesuai dengan dan . Selanjutnya diberikan fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada , yaitu komponen-komponen real dan imaginer dari adalah fungsi dari yang kontinu sepotong-sepotong. Integral dari fungsi sepanjang kontur dari ujung ke ujung ditulis: atau , karena dan untuk , maka ==Integral ruas kanan ada, karena integrannya adalah fungsi berharga kompleks dari peubah real yang kontinu sepotong-sepotong.Jika maka integral terakhir di atas dapat ditulis dalam integral tertentu : Atau dalam integral garis Sifat-sifat:1. 2. 3. 4. , di mana 5.

Teorema Jika kontinu pada kontur yang panjangnya , dan , untuk pada , maka Bukti:Teorema ini cukup dibuktikan untuk C suatu busur licin Pertama akan ditunjukkan berlakunya kenyataan berikut : (*)Kemudian dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga, sifat-sifat nilai mutlak dan hipotesis untuk setiap titik pada C, didapat bentuk berikut.

Akhirnya, dengan mengambil pernyataan pertama dan terakhir untuk , akan didapat

Sehingga teorema terbukti.Dengan memperhatikan (*) didapat

Soal-soal yang berkaitan dengan teorema di atas.Tentukan batas atas untuk setiap integral berikut1. sepanjang penggal garis dari 0 ke i.2. sepanjang lingkaran |z| = 2 berlawanan arah jarum jam3. ssepanjang penggal garis dari ke 4. ssepanjang penggal garis dari ke 5. sepanjang setengah bagian atas lingkaran |z| = 2 berlawanan arah jarum jamTerdapat berbagai cara untuk menyatakan sifat-sifat integral di atas. Sebagai contoh, jika adalah tiga titik yang berturutan pada kurva, maka sifat 2 dapat ditulis sebagai . Dengan cara yang sama, jika , berturut-turut menyatakan kurva dari a ke b, a ke m dan m ke b, maka dapat ditulis . Dan menuliskan sifat 4 sebagai .Daerah terhubung sederhanaSuatu daerah R disebut terhubung sederhana jika suatu kurva tertutup sederhana yang terletak dalam R dapat menyusut ke suatu titik tanpa meninggalkan R. Suatu daerah R yang tidak terhubung sederhana dinamakan terhubung ganda. Contoh, 1. Andaikan R adalah suatu daerah yang didefinisikan oleh |z| < 2 ,lihat gambar, jika T suatu kurva tertutup sederhana yang terletak dalam R, maka ia dapat disusutkan ke suatu titik yang masih terletak pada R, sehingga tidak meninggalkan R, karena itu R terhubung sederhana. 2. Andaikan R adalah suatu daerah yang didefinisikan sebagai 1 < |z| < 2, lihat gambar, dan terdapat suatu kurva sederhana T yang terletak pada R, tetapi tidak mungkin disusutkan ke dalam suatu titik tanpa meninggalkan R, karena itu R terhubung berganda.

Suatu daerah tertutup sederhana adalah daerah yang tidak memiliki lubang di dalamnya, sedangkan daerah terhubung berganda adalah daerah yang memiliki lubang di dalamnya. Perjanjian Mengenai Perjalanan suatu Lintasan Tertutup.Batas C dari suatu daerah dikatakan dijalani dalam arah positif, jika seorang pengamat bergerak dalam arah ini (dan tegak lurus pada bidang), maka bidang tersebut terletak di sebelah kirinya.

Teorema Green pada bidang.Misalkan dan kontinu dan memiliki turunan parsial kontinu dalam suatu daerah R dan pada batas C, teorema Green Menyatakaan bahwa :

Teorema ini berlaku untuk daerah terhubung sederhana dan berganda.Bentuk Kompleks Teorema Green Misalkan F(z,zbar) kontinu dan memiliki turunan parsial yang kontinu dalam suatu daerah , dan pada batas C, di mana z = x +iy dan

Bab 4 : Teori Integrasi CauchyLandasan untuk pengembangan bab ini adalah teori fungsi analitik Cauchy, yang inti teorinya adalah teori integral Cauchy.Teorema 4.1 Integral CauchyMisalkan bahwa :1. analitik pada daerah terhubung sederhana R2. C adalah suatu lintasan tertutup yang terletak seluruhnya di dalam R, maka .Bukti : sebagai latihan

Konvers teorema Cauchy tidak berlaku, artinya pernyataan berikut pada umumnya salah :Jika untuk setiap lintasan tertutup C di dalam daerah terhubung sederhana R, maka f analitik dalam R.Teorema 4.2 (bebas lintasan)Misalkan bahwa:1. R adalah daerah terhubung sederhana2. dan adalah titik-titik yang letak di dalam R3. selalu analitik di dalam RMaka nilai sepanjang lintasan sembarang C yang menghubungkan dan , dalam urutan seperti itu, adalah sama asalkan C adalah lintasan yang seluruhnya letak di dalam R.Bukti : lampiran 5.Contoh :Hitung integral :iC2 -1C 1C1 , di mana C = C1 + C2 seperti pada gambar di bawah ini.

Jawab : Integran merupakan fungsi yang analitik dalam daerah terhubung sederhana yang memuat = -1 dan =1, dapat dipilih sembarang lintasan yang menghubungkan dan . Dan lintasan yang paling mudah adalah lintasan yang berupa garis lurus dari ke .

Kemudian substitusikan ke dalam integral yang dimaksud dan menghasilkan integral nyata : , yang nilainya mudah ditentukan.

Dari teorema di atas, 1. Integral mempunyai suatu nilai yang tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan antara titik dan , sehingga hanya dan yang diperhitungkan pada perhitungan integral.2. Integral tersebut dapat ditulis sebagai dengan pengertian bahwa jalur dari ke tetap berada di dalam daerah terhubung sederhana , di mana selalu analitik.3. Jika batas atas pada integral no.2 diperbolehkan berubah, asalkan selalu dalam , maka persamaan

Mendefinisikan suatu fungsi bernilai tunggal dalam peubah , karena integral pada ruas kanan hanya bergantung pada limit-limit , , di mana konstan4. Fungsi adalah suatu anti turunan bagi , , untuk semua di .

Teorema 4.3Misalkan bahwa:1. adalah daerah terhubung sederhana2. adalah titik yang letak di dalam 3. selalu analitik pada setiap titik di dalamMaka

Bukti :

Teorema 4.4 (Teorema Dasar Integral)Misalkan bahwa:1. adalah daerah terhubung sederhana2. dan adalah titik-titik yang letak di dalam 3. analitik di dalam 4. adalah anti turunan dari dalam Maka

Bukti :Catatan : Integral dari suatu fungsi yang menyeluruh sepanjang suatu lintasan yang menghubungkan sembarang dua titik pada bidang datar dapat dihitung secara langsung , asal, anti turunan fungsi tersebut dapat dicari/ditemukan.Contoh : 1. 2. 3.

Integral ini dapat dengan mudah untuk dicari.1. 2. , sepanjang lintasan seperti pada gambar.

C2 -2 C1C 2

i

Jika fungsi regular dan kontinu, di dalam dan pada kontur tertutup , maka berlaku .Bukti:

Teorema Anulus dan Perluasannya Akibat Teorema Cauchy: 1. Jika lengkungan regular , letak seluruhnya dalam lengkungan , dan kontinu pada dan , regular pada daerah yang dibatasi oleh dan , maka berlaku 2. Jika lengkungan-lengkungan regular tertutup , , letak seluruhnya di dalam lengkungan tertutup , dan jika , , tidak saling berpotongan dan juga tidak memotong , jika kontinu pada , , , dan dan regular pada daerah antara , , dan , maka berlaku Bukti :

P BA

Tarik garis-garis AB dan PQ maka daerah pada gambar itu terbagi menjadi dua daerah, yaaitu D1 dan D2. F(z) reguler pada daerah yang dibatasi oleh C1 dan C2 maka f(z) reguler pada daerah D1 dan D2.Pada D1 :

Pada D2 :

Contoh :1. Hitung : , di mana dan

2.

Rumus Integral CauchyFungsi analitik di dalam dan pada contour tertutup C, dan z0 sebarang titik di dalam C, maka

Rumus integral cauchy tersebut memperlihatkan bahwa suatu fungsi yang analitik dalam suatu daerah, harganya di seluruh daerah itu ditentukan oleh harga-harga di perbatasan daerah itu.Bukti :Buat lingkaran C0 : Di mana jari-jari cukup kecil sehingga seluruhnya di dalam contour , menurut teorema Cauchy berlaku sebab fungsi analitik pada C dan dan dalam daerah di antara kedua contour tertutup itu, tetapi tidak analitik di z = z0. = = Untuk menghitung integral di atas, dilakukan suku demi suku, untuk suku pertama dihitung sebagai berikutI.