13/02/2013

1

Keep running

2/13/2013 Fisika II 1

BAB I : VEKTOR

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 2

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

c a

R S

T

T = R + S

Keep running

2/13/2013 Fisika II 3

BESAR VEKTOR RESULTAN

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

R S

T

T = R + S

θ

(1.1)

13/02/2013

2

Keep running

2/13/2013 Fisika II 4

PENGURANGAN VEKTOR

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.

A B

-B

D D = A – B

Keep running

2/13/2013 Fisika II 5

CONTOH

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

40 km

S

10 km

20 km

U

B

Keep running

2/13/2013 Fisika II 6

CONTOH

Jawab : 40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

13/02/2013

3

Keep running

2/13/2013 Fisika II 7

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan didefenisikan sebagai :

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. •Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif •Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif •Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

(1.2)

Keep running

2/13/2013 Fisika II 8

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk

Besar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 9

CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

Rx

Ry

a.

13/02/2013

4

Keep running

2/13/2013 Fisika II 10

CONTOH

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

Rx

Ry

b.

Besar vektor R = c. satuan

Sudut yang dibentuk :

Keep running

2/13/2013 Fisika II 11

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :

R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

xA xB

yA

yB

A

B

xA + xB

A

B

yA + yB

(1.3)

Keep running

2/13/2013 Fisika II 12

CONTOH

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A B dan A B Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j

= 5i 2j

A + B =

b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j

A B =

A B

-B A B

13/02/2013

5

Keep running

2/13/2013 Fisika II 13

SOAL

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga

berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C

Keep running

2/13/2013 Fisika II 14

SOLUSI

R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuan Ry = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j

60o

X

Y

R

1.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 15

SOLUSI

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0).

Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. b. R =

c.

2.

13/02/2013

6

Keep running

2/13/2013 Fisika II 16

SOLUSI

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j

b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j

-5i + 12j = = 13 satuan

3. Besar vektor A = = 5 satuan

Dengan demikian nilai c = 2 satuan

Keep running

2/13/2013 Fisika II 17

PERKALIAN SKALAR

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos (1.4)

Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

A

B

Keep running

2/13/2013 Fisika II 18

PERKALIAN SKALAR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

Perhatikan animasi di samping ini !

13/02/2013

7

Keep running

2/13/2013 Fisika II 19

CONTOH

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab :

A

B

Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vektor A = Besar vektor B =

Dengan demikian = 79,7o

AB

Keep running

2/13/2013 Fisika II 20

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A B = C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A B

C’ = B A

C = -C’

Keep running

2/13/2013 Fisika II 21

PERKALIAN VEKTOR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i i = j j = k k = 0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j

Perhatikan animasi di samping ini !

13/02/2013

8

Keep running

2/13/2013 Fisika II 22

PERKALIAN VEKTOR

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

Keep running

2/13/2013 Fisika II 23

CONTOH

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + k Tentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B A Jawab :

A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B

terbukti

b.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 24

SOAL

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah

tegak lurus !

13/02/2013

9

Keep running

2/13/2013 Fisika II 25

SOLUSI

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :

1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : Dengan demikian = 55,1o

Besar vektor B :

2. A

B AB

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

Keep running

2/13/2013 Fisika II 26

SOLUSI

B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b. A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k c.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 27

BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

13/02/2013

10

Keep running

2/13/2013 Fisika II 28

BESARAN FISIS

Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

y

x x1 x2 x3 x4

y1 y2

y3

Keep running

2/13/2013 Fisika II 29

BESARAN FISIS

Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.

t (detik) x (meter)

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9 7 16

8 25

9 36

x(t) = (t – 3)2

Keep running

2/13/2013 Fisika II 30

BESARAN FISIS

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

r (m) E (N/C)

1 9

2 2,25

3 1

4 0,5625

5 0,36

6 0,25

7 0.1837

8 0,1406

9 0,1111

10 0,09

13/02/2013

11

Keep running

2/13/2013 Fisika II 31

CONTOH

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !

x

F

Keep running

2/13/2013 Fisika II 32

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !

2.

CONTOH

t

Q = q(1 – e-At)

Q

q

Keep running

2/13/2013 Fisika II 33

DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu.

f(x)

x c c+h

f(c+h)

f(c)

Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :

P

(1.9)

13/02/2013

12

Keep running

2/13/2013 Fisika II 34

DIFERENSIAL

Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

(1.10)

Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh :

f’(x) Dxy

Berlaku untuk turunan : 1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) 2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) 3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) 4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) 5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

Keep running

2/13/2013 Fisika II 35

DIFERENSIAL

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

Keep running

2/13/2013 Fisika II 36

CONTOH

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t)

Jawab : Besar arus I : a.

Pada saat t = 0 harga I adalah :

I = qAe-A.0 = qA

b.

qA I(t)

t

c.

13/02/2013

13

Keep running

2/13/2013 Fisika II 37

INTEGRAL

Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.

x0

x

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 38

Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :

A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x

INTEGRAL

Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 39

INTEGRAL

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

Sebagai contoh :

Usaha = Gaya jarak

Fluks = Medan luas

13/02/2013

14

Keep running

2/13/2013 Fisika II 40

CONTOH

Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu

Jawab : Usaha yang dilakukan : a.

W

x

b.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 41

SOAL

Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

1.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. 2.

x (m) 10

8

4

V (volt) Tentukan : a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x b. Jika diketahui medan listrik E adalah

turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x)

c. Gambarkan grafik E terhadap x

Keep running

2/13/2013 Fisika II 42

SOAL

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :

a. Gambarkan grafik v(t)

b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik

c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)

d. Gambarkan grafik a(t)

e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu

f. Posisi saat kecepatan v = 0

3.

13/02/2013

15

Keep running

2/13/2013 Fisika II 43

SOLUSI

x (cm)

F (N) 1. a.

Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

= A – 2Bx = 103 – 104x

1. b.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 44

SOLUSI

Usaha yang dilakukan :

W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4

Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 10

8

4

V (volt)

x (m)

Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

Keep running

2/13/2013 Fisika II 45

SOLUSI

Medan listrik E(x) =

Dengan demikian nilai E(x) konstan.

x (m)

E (V/m)

2,5

2. b.

2. c.

x (m)

v (m/s)

3. a.

= 2,5

13/02/2013

16

Keep running

2/13/2013 Fisika II 46

SOLUSI

Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.

3. b.

Percepatan a(t) = = 10 – 4t 3. c.

x (m)

a (m/s2) 3. d.

Keep running

2/13/2013 Fisika II 47

SOLUSI

Fungsi posisi x(t) = 3. e.

Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di :

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m

3. f.

x(5) =