BAB I. PENGANTAR METODE...

1

Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012

BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode numerik merupakan metode pemrosesan dari data numerik

(diskret) menjadi hasil numerik, dimana metode ini mampu menangani

sistem persamaan besar, ketidaklinearan dan kasus dengan geometri yang komplek yang biasa dijumpai di kasus rekayasa dan seringkali

sulit untuk diselesaikan dengan cara analitis.

Analisa numerik dapat diartikan sebagai analisa mempergunakan

algoritma dari metode numerik.

Analisa numerik memunculkan dua sisi yang menarik yaitu dapat

menjadi : IPTEK (science) : Bagian dari matematika dimana algoritma

yang dipakai dikembangkan dari

persamaan-persamaan matematika

tertentu.

Seni (art) : Berkaitan dengan penentuan cara terbaik

untuk menyelesaikan suatu persoalan matematika.

Penyelesaian persoalan matematika dapat diselesaikan dengan cara

analitis (eksak), grafis dan numerik. Metode analitis mempunyai

keunggulan dalam hasilnya yang eksak, tetapi biasanya terbatas untuk

kemudahan penyelesaian pada masalah yang dengan asumsi linear dan pada kasus geometri yang sederhana. Metode grafis bertujuan

untuk menggambarkan perilaku system dalam bentuk gambar atau

nomograf dengan keterbatasan hanya mampu maksimal menguraikan

masalah dengan menggunakan gambar tiga dimensi.

Jenis persoalan Matematika yang akan diselesaikan dengan cara

numerik dapat digolongkan sebagai berikut: 1. Akar-akar persamaan

2. Persamaan aljabar linear serentak

3. Interpolasi

4. Pencocokan kurva (curve fitting)

5. Persamaan differensial biasa

6. Persamaan differensial parsial 7. Integrasi Numerik

Penyelesaian suatu persoalan matematika dengan metode numerik

umumnya dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode sehingga

harus dipilih metode terbaik yang dapat menghasilkan penyelesaian

yang efisien dan efektif serta tidak menghasilkan error yang besar.

Cara memilih metode terbaik :

1. Mengetahui jenis-jenis metode yang ada

2. Mengetahui bagaimana metode-metode tersebut bekerja.

2


3. Mengetahui kelemahan dan kelebihan metode-metode.

4. Mempunyai faktor intuisi dan pengalaman dalam menerapkan

metode-metode di atas.

Dengan mempelajari metode numerik akan memberikan sarana

langsung dalam belajar pemrograman komputer. Dengan

perkembangan hardware dan software saat ini sangat mendukung

ketrampilan dalam memanfaatkan komputer sebagai alat bantu dalam

menyelesaikan kasus rekayasa di bidang teknik mesin. Dengan

memahami dan terbiasa dengan metode numerik akan memberikan kemampuan lebih untuk merancang program sendiri tanpa harus

membeli program paket yang mahal. Beberapa bahasa program yang

umum digunakan adalah FORTRAN, PASCAL, DELPHI, VISUAL BASIC,

C++ dan banyak bahasa program lainnya.

Ciri-ciri pemrograman terstruktur harus mempunyai kriteria yaitu : Benar

Mudah Difahami

Mudah Dimodifikasi

Salah satu yang menjadi kelemahan metode numerik adalah

munculnya galat atau error dikarenakan metode ini melibatkan suatu

pendekatan/aproksimasi hasil dari metode analitis.

Galat yang umum dijumpai meliputi : 1. Galat Sintaksis Melanggar kaidah bahasa pemrograman

2. Galat waktu running Terjadi selama eksekusi program

3. Galat logika Kesalahan logika program

4. Galat pembulatan Komputer hanya mampu mempertahankan sejumlah angka

tetap angka benar selama perhitungan.

Galat pembulatan merupakan galat yang paling sering dijumpai

terutama dalam perhitungan metode numerik secara manual untuk

latihan, quiz maupun ujian kuliah. Contoh pada bilangan-bilangan

seperti dan 5 tidak dapat diekspresikan sebagai sejumlah tetap

angka benar. Untuk itu yang harus diperhatikan dalam latihan metode

numerik adalah penggunaan yang konsisten jumlah angka di belakang

koma selama perhitungan.

Kontrol kualitas program numerik mencakup pekerjaan dalam : 1. DEBUGGING

Perbaikan galat yang diketahui

2. PENGUJIAN Mendeteksi galat yang tidak diketahui

3


Berikut disajikan flowchart tahapan-tahapan dalam merancang dan

mengembangkan program yang berbasis metode numerik.

RANCANG BANGUN ALGORITMA Pengembangan yang mendasari logika program

KOMPOSISI PROGRAM Penulisan program dalam bahasa komputer

PENCARIAN DAN PENGUJIAN Pemastian bahwa program bebas Galat dan andal

DOKUMENTASI Membuat program mudah digunakan dan dipahami

PENYIMPANAN DAN PERAWATAN Menyimpan program dan memperbaikinya sesuai

pengalaman dan kebutuhan pasar

4


BAB II. AKAR-AKAR PERSAMAAN

Penyelesaian kasus akar-akar persamaan dapat digolongkan menjadi

dua metode yaitu :

1. Metode pengurung (Bracketing Methods) Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar

dan kemudian secara bersistem mengurangi lebar kurungan.

Contoh : Bisection, Regula Falsi.

2. Metode terbuka (Open Methods) Iterasi coba-coba yang sistematis.

Contoh : Newton Raphson, Secant.

2.1. Metode Bagi Dua (Bisection Methods)

Perumusan mencari akar : xmid = 2

1 nn xx

Evaluasi : f (xmid) = 0 |f (xmid)|

Misal : Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x3 - 7 x + 1

Pertama tentukan nilai awal untuk x1 dan x2 sehingga didapatkan f (x1) dan f (x2) yang berbeda tanda, yang berarti titik penyelesaian ada di

sekitar itu.

Buat tabel untuk mempermudah pembacaan prosesnya.

No x1 x2 f(x1) f(x2) xmid f(xmid)

1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,55 -0,269

f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid

2 2,55 2,6 -0,269 0,376 2,575 0,049

x1

xmid x2

y

x

y = f(x)

f(x2)

f(x1)

f(xmid)

5



3 2,55 2,575 -0,269 0,049 2,562 -0,117


4 2,562 2,575 -0,117 0,049 2,568 -0,041


5 2,568 2,575 -0,041 0,049 2,572 0,010


6 2,568 2,572 -0,041 0,010 2,570 -0,015


7 2,570 2,572 -0,041 0,010 2,571 -0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571.

Algoritma Metode Biseksi

Hitung xmid = 2

1 nn xx , f (xmid)

f(xn), f(xmid)

sama tanda ?

A

p

a

k

a

h

f (xn), f (xmid)

sama tanda

xn+1 = xmid

f (xn+1) = f (xmid)

|f (xmid)| A

pa

k

a

h

|f (xmid)|

STOP

xn = xmid

f (xn) = f (xmid)

START

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Cari posisi akar f(xn) dan f(xn+1)

beda tanda

6


2.2. Metode Posisi Palsu (False Position Methods)

Berdasar interpolasi linear antara 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda f(x1) . f(x2) < 0

Konvergensi yang dihasilkan cepat.

f(x1) dan f(x2) berbeda tanda berarti ada akar antara x1 dan x2.

Perumusan mencari akar :

x* = xn – f(xn)

)()( 1

1

nn

nn

xx

xx

ff

Evaluasi suatu akar : | f(x*) |

Algoritma Metode Posisi Palsu = Algoritma Metode Biseksi hanya

tinggal mengganti rumusan xmid = 2

1 nn xx menjadi x* = xn – f(xn)

)()( 1

1

nn

nn

xx

xx

ff

No x1 x2 f(x1) f(x2) x* f(x*)

1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,57 -0,015


2 2,57 2,6 -0,015 0,376 2,571 0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571. Terlihat dengan

metode ini hanya dibutuhkan 2 iterasi sehingga konvergensi lebih cepat dibandingkan dengan metode biseksi.

x1 x3

x2

x4

y

x

y = f(x)

f(x2)

f(x1)

7


2.3. Metode Newton

Tidak perlu mencari 2 harga f(x) yang mempunyai tanda

berbeda. Konvergensi yang dihasilkan cepat.

Perlu menghitung turunan fungsi f’(x).

Kelemahan : - tidak selalu menemukan akar (divergen).

- kemungkinan mencari f’(x) sukar.

- Penetapan harga awal sulit.

Dari deret Taylor :

f(xn + h) = f(xn) + h f’(xn) + 2

h2

f’’(x) + …..

Jika xn + h adalah akar f(xn + h) = 0

0 = f(xn) + h f’(xn) h = -)(x

)(x

n

n

f'

f

Perumusan mencari akar :

xn+1 = xn + h = xn - )(x

)(x

n

n

f'

f

Algoritma Metode Newton

diabaikan

Cari xn+1, f (xn+1)

xn + 1 = xn - )(x

)(x

n

n

f'

f

|f (xn + 1)| A

p

a

k

a

h

|f (xn + 1)|

STOP

xn = xn+1

START START

Tidak

Ya

Pilih Xn yang cocok

8


2.4. Metode Secant

Tidak perlu mencari 2 fungsi dengan tanda berbeda.

Kombinasi Metode Newton dan Metode Posisi Palsu. Tanpa mencari turunan fungsi f’(x).

x0 dan x1 dipilih

x2 = x1 +

Segitiga ABC segitiga DEA

x - x

)(x)(x

01

10 ff- =

)(x1

f- = - f(x1)

)()( 01

01

xx

xx

ff

maka : x2 = x1 - f(x1)

)()( 01

01

xx

xx

ff

Perumusan : xn+1 = xn – f(xn)

)()( 1

1

nn

nn

xx

xx

ff

Algoritma Metode Secant = Algoritma Metode Newton, hanya

tinggal mengganti rumusannya. Penggantian nilai dilakukan menurut

urutan yang ketat, dengan nilai baru xn+1 menggantikan xn dan nilai xn

menggantikan xn-1. Sehingga kadang dua nilai tersebut dapat pada posisi yang sama kemungkinan divergen.

SUMMARY

JENIS KELEBIHAN KEKURANGAN

Metode

pengurung

Bisection

Regula Falsi - Selalu

Konvergen

-Laju konvergen

lambat

Metode

terbuka

Newton-Raphson

Secant -Laju konvergen

cepat

- Cukup satu

terkaan awal

- Turunan harus

dicari secara

analitis

- Bisa divergen

B

x0 x1 x2 x3

y

x

y = f(x)

A C

E

D

9


TUGAS :

Selesaikan dengan cara manual dan Buat program komputer dengan

menggunakan metode di atas dan Uji hasil program dengan

menyelesaikan fungsi sebagai berikut : y = x4 + 3 x3 + 2 x2 + 5 x

Berikut listing program dengan menggunakan metode posisi palsu.

program posisi_palsu;

uses crt; var

j,k,l,m,n,maxit,x1,x2,nb,na,xa,gmax : real;

function f( a,b,c,d,e,x :real):real;

begin

f:=a*sqr(sqr(x))+b*x*sqr(x)+c*sqr(x)+d*x+e;

end;

{prosedur pengisian data}

procedure data;

begin

clrscr;

writeln('Menghitung akar persamaan ');

writeln('f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E '); writeln('dengan metode Posisi Palsu ');

writeln;

writeln;

write('Masukan nilai A = '); readln(j);

write('Masukan nilai B = '); readln(k);

write('Masukan nilai C = '); readln(l); write('Masukan nilai D = '); readln(m);

write('Masukan nilai E = '); readln(n);

writeln;

write('Batas Error = '); readln(gmax);

write('Jumlah Iterasi Maks. = '); readln(maxit);

write('Nilai bawah = '); readln(nb);

write('Nilai atas = '); readln(na); clrscr;

end;

{prosedur perhitungan posisi palsu}

procedure pospalsu;

var iterasi : integer;

galat,uji : real;

x:real;

begin

writeln;

10


writeln('

==========================================');

write(' Iterasi ke-');write(' ');

write('Hasil');writeln; write('

==========================================');

x1:=nb; x2:=na; iterasi:=0;

xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)-f(j,k,l,m,n,x1)));

repeat

iterasi:=iterasi+1; uji:=f(j,k,l,m,n,x1)*f(j,k,l,m,n,xa);

if uji= 0 then xa:=0

else if uji < 0 then

begin

x1:=nb; x2:=xa;

xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)- f(j,k,l,m,n,x1)));

writeln;write(' ');

write(iterasi);

write(' ',xa:3:5);

end

else if uji>0 then

begin x1:=xa; x2:=na;

xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)-

f(j,k,l,m,n,x1)));

writeln;write(' ');

write(iterasi);write(' ',xa:3:5);

end; until (abs(f(j,k,l,m,n,xa))<=gmax) or (iterasi=maxit);

writeln;

writeln('

==========================================');

writeln;

writeln('Persamaan : ',j:2:2,'X^4 + (',k:2:2,')X^3 + (',l:2:2,')X^2 + (',m:2:2,')X + (',n:2:2,')');

writeln('Jumlah Iterasi = ',iterasi,' Batas Error = ',gmax:3:5);

writeln('Batas Bawah = ',nb:3:2,' Batas Atas = ',na:3:2);writeln;

write('Salah satu akarnya adalah = ',xa:3:5);

end;

{prosedur / program utama}

begin

data;

pospalsu;

readln;

end.

11


HHAASSIILL RRUUNNNNIINNGG PPRROOGGRRAAMM

Menghitung akar persamaan

f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E dengan metode Posisi Palsu

Masukan nilai A = 1

Masukan nilai B = 3

Masukan nilai C = 2

Masukan nilai D = 5 Masukan nilai E = 0

Batas Error = 0.01

Jumlah Iterasi Maks. = 100

Nilai bawah = -3.5

Nilai atas = -1.5

=========================================

Iterasi ke- Hasil

==========================================

1 -2.34464

2 -2.62648 3 -2.78083

4 -2.85257

5 -2.88317

6 -2.89572

7 -2.90078

8 -2.90281 9 -2.90362

10 -2.90395

==========================================

Persamaan : (1.00)X^4 + (3.00)X^3 + (2.00)X^2 + (5.00)X + (0.00)

Jumlah Iterasi = 10 Batas Error = 0.01000 Batas Bawah = -3.50 Batas Atas = -1.50

Salah satu akarnya adalah = -2.90395

12


BAB III. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SERENTAK

Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :

a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2

.

.

an1 x1 + an2 x2 + ..... + ann xn = bn

dimana a adalah koefisien-koefisien konstanta, b adalah konstanta-

konstanta dan n adalah banyaknya persamaan.

Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan cara : 1. Eliminasi Eliminasi Gauss, Gauss Jordan.

2. Iterasi Iterasi Jacobi, Gauss siedel.

3. Dekomposisi Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky.

3.1. Eliminasi Gauss

Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan-

persamaan. Strategi : mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu

bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua

persamaan digabungkan.

Kebutuhan : pemahaman Operasi Matrik

Skema langkah eliminasi Gauss

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

3

2

1

3

2

1

33

2322

131211

''

'

''00

''0

b

b

b

x

x

x

a

aa

aaa

Upper Triangular System

x3 = b’’3 / a’’33

x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22

x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

…… (E1)

…… (E2)

…… (E3)

n

2

1

n

2

1

nnn2n1

2n2221

1n1211

b

b

b

x

xx

aaa

aaaaaa

.

.

.

.

.........

.

.........

.........

Back Substitution

Forward Elimination

13


Langkah eliminasi maju :

1. Eliminasikan x1 dari (E2) dan (E3), asumsi a11 0

m21 = 11

21

a

a ; m31 =

22

32

a'

a'

kurangkan (m21 x (E1)) pada (E2) dan kurangkan (m31 x (E1))

pada (E3), sehingga :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a’22 x2 + a’23 x3 = b’2

a’32 x2 + a’33 x3 = b’3

NB : tanda petik satu berarti persamaan telah dimodifikasi satu kali.

2. Eliminasikan x2 dari (E3), asumsi a22 0

m32 =

22

32

a'

a'

kurangkan (m32 x (E2)) pada (E3), sehingga :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a’22 x2 + a’23 x3 = b’2

a’’33 x3 = b’’3

NB : tanda petik dua berarti persamaan telah dimodifikasi dua kali.

Langkah substitusi mundur :

x3 = b’’3 / a’’33

Sehingga dapat dirumuskan : xn = 1)-(n

nn

1)-(nn

a

b

Untuk menghitung x sisanya :

x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22

x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

Sehingga dapat dirumuskan : xi = 1)-(i

ii

n

1ijj

1)-(i

ii

1)-(ii

a

xab

dengan i = n – 1, n – 2 , …. , 1

NB : Persamaan (E1) disebut Pivot Equation, a11 disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama dengan a21/a11

disebut sebagai Normalisasi.

14


Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang

disebut dengan Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

Masalah harus menghindari pembagian dengan nol, sehingga

muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.

Teknik untuk memperbaiki penyelesaian Eliminasi Gauss :

1. Pivoting Sebelum tiap baris dinormalkan, maka dilakukan penentuan

koefisien terbesar yang tersedia. Kemudian baris-baris tersebut

dipertukarkan sehingga elemen terbesar tersebut merupakan

elemen pivot.

2. Scaling berguna dalam peminimalan galat pembulatan untuk kasus

dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien-koefisien yang jauh lebih besar dari lainnya.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan simultan berikut ini.

27 x1 + 6 x2 – x3 = 85 ….. (1a) 6 x1 + 15 x2 + 2 x3 = 72 ….. (1b)

x1 + x2 + 54 x3 = 110 ….. (1c)

Penyelesaian :

Gunakan matrik dalam bentuk Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).

1105411

722156

851-627

106,85254,0370,7780

53,1112,22213,6670

851-627

103,82953,91100

53,1112,22213,6670

851-627

dengan menggunakan substitusi mundur akan diperoleh x1, x2, dan x3.

x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926

E2 - 6/27 E1

E3 - 1/27 E1

E3 – 0,778/13,667 E2

15


13,667 x2 + 2,222 x3 = 53,111 x2 = 3,573

27 x1 + 6 x2 - x3 = 85 x1 = 2,425

3.2. Eliminasi Gauss-Jordan

Merupakan Variasi dari Eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk

menghitung matrik invers.

Strategi : Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga

tidak diperlukan proses substitusi mundur.

Skema langkah eliminasi Gauss-Jordan

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

*b100

*b010

*b001

3

2

1

Selesaikan soal yang sama pada metode Eliminasi Gauss :

1105411

722156

851-627

1105411

722156

3,1480,337-0,2221

106,85254,0370,7780

53,1112,22213,6670

3,1480,337-0,2221

106,85254,0370,7780

3,8860,16310

3,1480,337-0,2221

Elimination

Matrik

Satuan

x1 = b*1 x2 = b*2

x3 = b*3

NO Back Substitution

…… (E1)

…… (E2)

…… (E3)

1/27 E1

E3 – E1

E2 – 6 E1

1/13,667 E2

16


103,82853,91100

3,8860,16310

2,2850,073-01

1,926100

3,8860,16310

2,2850,073-01

1,926100

3,572010

2,426001

3.3. Iterasi Gauss-Siedel

Bentuk umum persamaan linear serentak :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ................... + a2n xn = b2

.

.

.

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .................. + ann xn = bn

Dapat diubah bentuknya menjadi :

x1 = 11a

1( b1 - a12 x2 + a13 x3 - .................... - a1n xn)

x2 = 22a

1( b2 - a21 x1 + a23 x3 - .................... - a2n xn)

x3 = 33a

1( b3 - a31 x1 + a32 x2 - .................... - a3n xn)

xn = nna

1( bn - an1 x1 - an2 x2 - .................... - an(n-1) x(n-1))

Langkah-langkah Iterasi Gauss-Siedel

1. Asumsikan x2 = x3 = ….. = xn = 0, sehingga dapat diperoleh :

x1 = 11

1

a

b

2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan 2 untuk mendapatkan harga x2 (dimana x3 = … = xn = 0), maka akan

diperoleh :

x2 = 22a

1( b2 - a21 x1 )

3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai xn dan

selesailah proses iterasi yang pertama. Kemudian hasil proses

tersebut dimasukkan kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga “unknown” dari x1, x2, x3. ….. xn pada proses iterasi kedua,

ketiga dan seterusnya.

E3 – 0,778 E2

E1 – 0,222 E2

1/53,911 E3

E2 – 0,163 E3

E1 –(- 0,073 E3) x1 = 2,426

x2 = 3,572 x3 = 1,926

17


4. Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi terakhir sama dengan

atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya. Ini merupakan

kelemahan metode iterasi gauss-siedel yaitu proses akhir iterasi

menjadi meragukan.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan simultan berikut :

27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a)

6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b)

x + y + 54 z = 110 ….. (1c) Penyelesaian :

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi :

x = 27

1( 85 - 6 y + z ) …… (2a)

y = 15

1( 72 - 6 x - 2 z ) …… (2a)

z = 54

1( 110 - x - y ) …… (2a)

Iterasi pertama

1. Asumsikan y = z = 0, sehingga dari persamaan (2a) akan diperoleh

: x1 = 27

85 = 3,15

2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan (2b) untuk

mendapatkan harga y1 (asumsi z = 0)

y1 = 15

1( 72 - 6 (3,15) ) = 3,54

3. Masukkan hasil “x1” dan “y1” ke dalam persamaan (2c)

z1 = 54

1( 110 – 3,15 – 3,54) = 1,91

Iterasi kedua

x2 = 27

1( 85 - 6 (3,54) + 1,91 ) = 2,43

y2 = 15

1( 72 - 6 (2,43) – 2 (1,91) ) = 3,57

z2 = 54

1( 110 – 2,43 – 3,57) = 1,926

Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut :

Iterasi ke - x y z

1 3,15 3,54 1,91

2 2,43 3,57 1,926

3 2,423 3,574 1,926

4 2,425 3,573 1,926

5 2,425 3,573 1,926

Jadi hasil penyelesaiannya adalah : x =2,425 ; y=3,573 ; z = 1,926

18


3.4. Iterasi Jacobi

Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan :

xi(n+1) =

ii

i

a

b -

n

j ii

ij

a

a

1

xj (n) ; j i

Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang

sederhana, sedangkan kelemahannya adalah :

1. Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear

serentak dengan ordo tinggi.

2. Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak

yang memenuhi syarat berikut :

iia >

n

j

ija1

; j i dan i = 1, 2, ….., N

Contoh soal :

Selesaikan persamaan simultan berikut :

27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a)

6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b)

x + y + 54 z = 110 ….. (1c)

Penyelesaian :

Persamaan di atas dIbentuk menjadi :

x(1) = 27

1( 85 - 6 y(0) + z(0) ) …… (2a)

y(1) = 15

1( 72 - 6 x(0) - 2 z(0) ) …… (2b)

z(1) = 54

1( 110 - x(0) - y(0) ) …… (2c)

Iterasi pertama

Asumsikan x(0) = y(0) = z(0) = 0, sehingga dari persamaan (2a, 2b dan

2c) akan diperoleh :

x(1) = 27

85 = 3,148

y(1) = 15

72 = 4,800

z(1) = 54

110 = 2,037

Iterasi kedua

x(2) = 27

1( 85 - 6 (4,8) + 2,037 ) = 2,157

y(2) = 15

1( 72 - 6 (3,148) – 2 (2,037) ) = 3,269

z(2) = 54

1( 110 – 3,148 – 4,8) = 1,890

19


Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut :

Iterasi ke - X Y z

1 3,148 4,800 2,037

2 2,157 3,269 1,890

3 2,492 3,685 1,937

4 2,401 3,545 1,923

5 2,432 3,583 1,927

6 2,423 3,570 1,926

7 2,426 3,574 1,926

8 2,425 3,573 1,926

9 2,426 3,573 1,926

10 2,425 3,573 1,926

11 2,425 3,573 1,926

Jadi hasil penyelesaiannya adalah :

x = 2,425 ; y = 3,573 dan z = 1,926

3.5. Dekomposisi LU

Dengan cara membentuk matrik segitiga atas (Upper) dan matrik

segitiga bawah (Lower) dari matrik koefisien A serta membentuk

vektor matrik dari matrik hasil dengan aturan tertentu.

Kelebihannya adalah sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan

linear serentak ordo tinggi, dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Tentu saja konsekuensinya metode ini memerlukan cara

yang cukup kompleks.

[A] {X} = {B}

Dekomposisi

[U] [L]

[L] {D} = {B}

{D}

[U] {X} = {D}

{X}

Maju

Mundur

Pensubtitusian

20


Langkah-langkah Dekomposisi LU

1. Membentuk matrik koefisien [A], matrik variabel {X} dan matrik

hasil {B} dari persamaan simultan.

[A] {X} = {B} 2. Mencari matrik segitiga bawah [L] dan matrik segitiga atas [U] dari

matrik koefisien [A] dengan aturan berikut :

li1 = ai1 ; i = 1,2, … , n

u1j = 11

1

l

a j =

11

1

a

a j ; j = 2,3, … , n

- untuk j = 2,3, … , n-1

lij = aij -

1

1

.j

k

kjik ul ; i = j, j+1, … , n

ujk = jj

j

i

ikjijk

l

ula

1

1

.

; k =j+1, j+2, … ,n ; lnn = ann -

1

1

.n

k

knnk ul

3. Mencari matrik {B’} dengan aturan berikut :

b’1 = 11

1

l

b ; b’i =

ii

i

j

jiji

l

blb

1

1

'.

untuk i = 2, 3, … , n

4. Membentuk Augmented Matrix {UB’} dan penyelesaiannya diperoleh :

xn = b’n dan xj = b’j -

n

jk

kjk xu1

Berikut disajikan contoh listing program VISUAL BASIC untuk

menghitung persamaan linear serentak kasus di atas dengan metode

Iterasi Jacobi.

LISTING PROGRAM

Begin VB.Form Form1

Caption = "MENGHITUNG INTERASI JACOBI"

ClientHeight = 6030

ClientLeft = 60 ClientTop = 345

ClientWidth = 9510

LinkTopic = "Form1"

ScaleHeight = 6030

ScaleWidth = 9510

StartUpPosition = 2 'CenterScreen Begin VB.CommandButton Command3

Caption = "Masukkan Variabel"

BeginProperty Font

21


Name = "Nadall"

Size = 12

Charset = 0

Weight = 700 Underline = 0 'False

Italic = 0 'False

Strikethrough = 0 'False

EndProperty

Height = 495

Left = 3840 TabIndex = 38

Top = 5400

Width = 1215

End

Begin VB.CommandButton Command1

Caption = "Hitung Interasi" BeginProperty Font

Name = "Nadall"

Size = 11.25

Charset = 0

Weight = 700

Underline = 0 'False

Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False

EndProperty

Height = 495

Left = 720

TabIndex = 31

Top = 3000 Width = 1695

End

Begin VB.Frame Frame1

Caption = "Masukkan Angka"

BeginProperty Font

Name = "Palatino Linotype"

Size = 12 Charset = 0

Weight = 700


Italic = 0 'False


EndProperty Height = 2415

Left = 720

TabIndex = 0

Top = 240

Width = 6495

Begin VB.TextBox Text4

22


Height = 375

Index = 2

Left = 5160

TabIndex = 12 Top = 1800

Width = 975

End


Height = 375

Index = 2 Left = 3480

TabIndex = 11

Top = 1800

Width = 495

End

Begin VB.TextBox Text2 Height = 375

Index = 2

Left = 1920

TabIndex = 10

Top = 1800

Width = 495

End Begin VB.TextBox Text1

Height = 375

Index = 2

Left = 360

TabIndex = 9

Top = 1800 Width = 495

End


Height = 375

Index = 1

Left = 5160


Width = 975

End


Height = 375


TabIndex = 7

Top = 1080

Width = 495

End


23


Height = 375

Index = 1

Left = 1920


Width = 495

End


Height = 375


TabIndex = 5

Top = 1080

Width = 495

End

Begin VB.TextBox Text4 Height = 375

Index = 0

Left = 5160

TabIndex = 4

Top = 360

Width = 975

End Begin VB.TextBox Text3

Height = 375

Index = 0

Left = 3480

TabIndex = 3

Top = 360 Width = 495

End


Height = 375

Index = 0

Left = 1920


Width = 495

End


Height = 375


TabIndex = 1

Top = 360

Width = 495

End

Begin VB.Label Label6

24


Caption = "+"

Height = 375

Index = 2


Top = 1920

Width = 375

End


Caption = "+" Height = 375

Index = 2

Left = 1440

TabIndex = 29

Top = 1920

Width = 375 End


Caption = "Z"

Height = 375

Index = 2

Left = 4080


Width = 615

End


Caption = "Y"

Height = 375 Index = 2

Left = 2640

TabIndex = 26

Top = 1920

Width = 495

End

Begin VB.Label Label1 Caption = "X"

Height = 375

Index = 2

Left = 1080

TabIndex = 25

Top = 1920 Width = 495

End


Caption = "+"

Height = 375

Index = 1

25


Left = 3000

TabIndex = 24

Top = 1200

Width = 375 End


Caption = "+"

Height = 375

Index = 1


Top = 1200

Width = 375

End


Caption = "=" Height = 375

Index = 1

Left = 4680

TabIndex = 22

Top = 1200

Width = 495

End Begin VB.Label Label3

Caption = "Z"

Height = 375

Index = 1

Left = 4080


Width = 615

End


Caption = "Y"

Height = 375


TabIndex = 20

Top = 1200

Width = 495

End

Begin VB.Label Label1 Caption = "X"

Height = 375

Index = 1

Left = 1080

TabIndex = 19

Top = 1200

26


Width = 495

End


Caption = "+" Height = 375

Index = 0

Left = 3000

TabIndex = 18

Top = 480

Width = 375 End


Caption = "+"

Height = 375

Index = 0


Top = 480

Width = 375

End


Caption = "="

Height = 375 Index = 0

Left = 4680

TabIndex = 16

Top = 480

Width = 495


Caption = "Z"

Height = 375

Index = 0

Left = 4080

TabIndex = 15

Top = 480 Width = 615

End


Caption = "Y"

Height = 375


TabIndex = 14

Top = 480

Width = 495

End


27


Caption = "X"

Height = 375

Index = 0


Top = 480

Width = 495

End


Caption = "=" Height = 375

Index = 2

Left = 4680

TabIndex = 28

Top = 1920

Width = 495 End

End

Begin VB.Frame Frame2

Caption = "View Persamaan dan Hasil Interasi"

BeginProperty Font

Name = "Palatino Linotype"

Size = 12 Charset = 0

Weight = 700


Italic = 0 'False



Left = 120

TabIndex = 32

Top = 120

Width = 9255

Begin VB.CommandButton Command2

Caption = "CLear" BeginProperty Font

Name = "Nadall"

Size = 12

Charset = 0

Weight = 700

Underline = 0 'False Italic = 0 'False


EndProperty

Height = 375

Left = 7080

TabIndex = 37

28


Top = 5280

Width = 1815

End

Begin VB.ListBox List1 Height = 2205

Left = 240

TabIndex = 33

Top = 3000

Width = 8655


Alignment = 2 'Center

BorderStyle = 1 'Fixed Single

BeginProperty Font

Name = "Arial"

Size = 14.25 Charset = 0

Weight = 700


Italic = 0 'False


EndProperty

Height = 735 Left = 240

TabIndex = 36

Top = 2160

Width = 8655

End

Begin VB.Label Label8 Alignment = 2 'Center


BeginProperty Font

Name = "Arial"

Size = 14.25

Charset = 0

Weight = 700 Underline = 0 'False

Italic = 0 'False


EndProperty

Height = 735


Top = 1320

Width = 8655

End


Alignment = 2 'Center

29



BeginProperty Font

Name = "Arial"

Size = 14.25 Charset = 0

Weight = 700


Italic = 0 'False



Left = 240

TabIndex = 34

Top = 480

Width = 8655

End End

End

Attribute VB_Name = "Form1"

Attribute VB_GlobalNameSpace = False

Attribute VB_Creatable = False

Attribute VB_PredeclaredId = True

Attribute VB_Exposed = False Dim x(1000) As Single

Dim y(1000) As Single

Dim z(1000) As Single

Dim a(2) As Single

Dim b(2) As Single

Dim c(2) As Single Dim d(2) As Single

Private Sub Command1_Click()

On Error Resume Next

Frame2.Visible = True

Frame1.Visible = False

Command1.Visible = False Label7.Caption = Text1(0).Text & "X" & "+" & Text2(0).Text & "Y" &

"+" & Text3(0).Text & "Z" & "=" & Text4(0).Text

Label8.Caption = Text1(1).Text & "X" & "+" & Text2(1).Text & "Y" &

"+" & Text3(1).Text & "Z" & "=" & Text4(1).Text

Label9.Caption = Text1(2).Text & "X" & "+" & Text2(2).Text & "Y" &

"+" & Text3(2).Text & "Z" & "=" & Text4(2).Text If Text1(0).Text = "" And Text1(1).Text = "" And Text1(2).Text = ""

And Text2(0).Text = "" And Text2(1).Text = "" And Text2(2).Text = ""

And Text3(0).Text = "" And Text3(1).Text = "" And Text3(2).Text = ""

Then

option15 = MsgBox("ANDA BELUM MEMASUKKAN NILAI

VARIABEL", vbOKOnly, "WARNING")

30



Command3.Visible = True

End If

For I = 0 To 2 a(I) = Text1(I).Text

b(I) = Text2(I).Text

c(I) = Text3(I).Text

d(I) = Text4(I).Text

Next I

x(0) = 0 y(0) = 0

z(0) = 0

jumlah = 0

For I = 1 To 100000

jumlah = jumlah + 1

x(I) = (d(0) - (b(0) * y(I - 1) + c(0) * z(I - 1))) / a(0) y(I) = (d(1) - (a(1) * x(I) + c(1) * z(I - 1))) / b(1)

z(I) = (d(2) - (a(2) * x(I) + b(2) * y(I))) / c(2)

If x(I) = x(I - 1) And y(I) = y(I - 1) And z(I) = z(I - 1) Then

GoTo 2

End If

Next I

2 List1.Clear For I = 1 To jumlah

List1.AddItem I & vbTab & vbTab & x(I) & vbTab & vbTab & y(I) &

vbTab & vbTab & z(I)

Next I

End Sub


Label7.Caption = ""

Label8.Caption = ""

Label9.Caption = ""



Command1.Visible = True End Sub



Command1.Visible = True

Command3.Visible = False End Sub

Private Sub Form_Load()


Command3.Visible = False

End Sub

31


TAMPILAN HASIL PROGRAM

32


BAB IV. INTERPOLASI

Umumnya data engineering banyak yang berupa tabulasi. Penampilan

data seperti itu dikarenakan pada kenyataannya data yang bisa

diperoleh adalah bersifat “discrete” atau juga karena keterbatasan dalam pengukuran sehingga hanya sebagian data yang dapat disimpan

atau dicatat.

Contoh data yang discrete

x y

0.2 10.1

0.3 12.5

0.4 14.2

0.5 17.8

0.6 19.3

Menginterpretasikan manipulasi data discrete dapat dilakukan dengan

beberapa cara yaitu : 1. Numerical Interpolation.

2. Curve Fitting.

3. Numerical Differentiation.

4. Numerical Integration.

INTERPOLATION

4.1 Linear Interpolation

Yaitu interpolasi paling sederhana, dengan menganggap

hubungan berupa garis antara dua titik data.

Persamaan garis lurus yang menghubungkan dua titik

data tersebut :

x - x

yy

n

n=

x - x

yy

n1n

n1n

y = yn + x - x

yy

n1n

n1n

(x – xn)

Untuk contoh data di atas misalnya ingin dicari untuk x = 0,25

xn xn+1

y

x

y = f(x) yn+1

yn

Garis Lurus

33


y = 10,1 + 0,2 - ,30

1,015,12 (0,25 – 0,2) = 11,3

4.2 Lagrange Interpolation

Membuat hubungan titik dalam tabulasi berupa suatu polinomial dimana masing-masing titik berupa simpul-simpul yang harus dipenuhi

polinomial.

Tabulasi berupa titik-titik xi, yi dimana i = 0,1, …. , n dimana terdapat

n+1 data, akan dipresentasikan y(x) = f(x) pada interval x0 x xn

Polinomial interpolasi mempunyai bentuk :

Pn(x) = y0 b0(x) + y1 b1(x) + y2 b2(x) + …… + yn bn(x)

dengan bj(x) = suatu polinomial derajat “n”.

Polinomial bj(x) dapat dicari dengan menggunakan n+1

persamaan constraint.

Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut :

Pn(xi) = yi ; i = 0,1,2, … ,n

Sehingga : Pn(x0) = y0 y0 b0(x0) + y1 b1(x0) + ..… + yn bn(x0) = y0

Pn(x1) = y1 y0 b0(x1) + y1 b1(x1) + ..… + yn bn(x1) = y1

.

. Pn(xn) = yn y0 b0(xn) + y1 b1(xn) + ..… + yn bn(xn) = yn

Untuk mempermudah penyelesaian persamaan constraint, maka

dipilih:

bj(xi) =

Pilihan tersebut memenuhi persamaan constraint.

Bentuk persamaan polinomial bj(x) adalah sebagai berikut :

bj(x) = Cj (x - x0) (x - x1) (x - x2) …. (x - xj-1) (x - xj+1) … (x - xn) Sesuai pilihan di atas yang cocok dengan constraint yaitu : bj(xj) = 1

Maka konstanta Cj dapat dicari dengan rumusan berikut :

Cj = ))...()()....()((

1

1110 njjjjjjj xxxxxxxxxx

Dengan demikian semua polinomial bj(x) diperoleh :

b0(x) = C0 (x - x1) (x - x2) ……. (x - xn)

b1(x) = C1 (x - x0) (x - x2) (x - x3) ……. (x - xn)

b2(x) = C2 (x - x0) (x - x1) (x - x3) ……. (x - xn) .

.

bn(x) = Cn (x - x0) (x - x1) ……. (x - xn-1)

1 ; i = j

0 ; i j

34


dimana : C0 = ))....()()((

1

0302010 nxxxxxxxx

C1 = ))....()()((

1

1312101 nxxxxxxxx

C2 = ))....()()((

1

2321202 nxxxxxxxx

.

Cn = ))....()()((

1

1210 nnnnn xxxxxxxx

Jadi polinomial bj(x) dapat ditulis secara lengkap :

b0(x) = ))....()((

))....()((

02010

21

n

n

xxxxxx

xxxxxx

b1(x) = ))....()((

))....()((

12101

20

n

n

xxxxxx

xxxxxx

b2(x) = ))....()()((

))....()()((

2321202

310

n

n

xxxxxxxx

xxxxxxxx

.

.

bn(x) = ))....()()((

))....()()((

1210

1210

nnnnn

n

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat

dirumuskan sebagai berikut :

Pn(x) =

n

0jjy

))...()()....()((

))...()()....()((

1110

1110

njjjjjjj

njj

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

Atau jika : Ln(x) = )xx)...(xx)(xx)....(xx)(xx( n1j1j10

Maka : Pn(x) =

n

j

jy0 )(

)(

jj

j

xL

xL= y(x) = f(x)

Contoh Soal : Hitung harga y(1.5) pada data yang disajikan pada tabel berikut ini.

x y

1 0.1

2 0.2

3 0.4

4 0.8

35


y(1,5) = y0)x)(1x)(1x(1

)x)(1,5x)(1,5x(1,5

321

321

+ y1)x)(2x)(2x(2

)x)(1,5x)(1,5x(1,5

320

320

+ y2)x)(3x)(3x(3

)x)(1,5x)(1,5x(1,5

310

310

+ y3 )x)(4x)(4x-(4

)x)(1,5x)(1,5x(1,5

210

210

y(1,5) = 0.0313 + 0.1875 – 0.1250 + 0.0500 = 0.1438

4.3 Newton-Gregory Interpolation

Berdasarkan formulasi Beda hingga, dimana dibuat suatu polinomial

dengan titik-titik data sebagai titik simpul.

Bentuk interpolasi polinomialnya adalah :

Pn(x) = C0 + C1 (x - x0) + C2 (x - x0) (x - x1) + ….

+ Cn (x - x0) (x - x1) … (x - xn-1)

dimana : C0, C1, … , Cn suatu konstanta Cj ; j = 0, 1, … , n dapat

dicari dengan memakai persamaan constraint berikut :

Pn(x) = yi ; i = 0, 1, 2, … , n

Yang akan menghasilkan persamaan berikut :

P0(x0) = f(x0) = y0 C0 = y0

P1(x1) = f(x1) = y1 C0 + C1(x1 - x0) = y1

C0 + C1(x1 - x0) + C2 (x2 - x0)(x2 - x1) = y1

C0 + C1(xn - x0)+ … + Cn (xn - x0)(xn - x1) …(xn - xn-1)= yn

Dari persamaan linear simultan tersebut dapat dihitung Cj ; j =

0, 1, 2, … ,n. Dan seterusnya Pn(x) = f(x) = y(x) dapat dicari dan

harga y untuk setiap harga x dapat dihitung.

Harga Cj dapat dirumuskan sebagai berikut :

C0 = y0

C1 = 01

01

xx

Cy

C2 = ))((

)(

1202

02102

xxxx

xxCCy

C3 = ))()((

))(()(

231303

1303203103

xxxxxx

xxxxCxxCCy

dst.

Metode ini menjadi lebih mudah jika inkremen dari x tetap. xi+1 = xi = h atau xi = x0 + ih ; i =1,2,… , n

36


Persamaan constraint di atas menjadi :

y0 = C0

y1 = C0 + C1 h

y2 = C0 + C1 (2h) + C2 (2h2) y3 = C0 + C1 (3h) + C2 (6h2) + C3 (6h3)

.

.

yi = C0 + C1 (ih) + C2 (ih)((i-1)h) + C3 (ih)((i-1)h)((i-2)h) …

+ Ci (i !)hi

Kalau persamaan ini diselesaikan akan didapatkan :

C0 = y0

C1 = h

Cy 01 =

h

yy 01 =

h

y0

C2 = 22

1

h[ y2 - C0 – 2h C1 ] =

22

1

h[ y2 - y0 – 2h

h

Cy )( 01 ]

= 22

1

h[ (y2 - y1) – (y1 - y0) ] = 22

1

h[ (y2) ]

= 2

2

2h

y

Secara umum harga Cj dapat dirumuskan :

Cj = j

j

hj

y

)!(

Untuk menghitung Cj secara lebih mudah dapat digunakan tabel

sebagai berikut :

yi = 2yi =

3yi = 4yi =

5yi =

xi yi yi+1 - yi yi+1 - yi 2yi+1 -

2yi 3yi+1 -

3yi 4yi+1 -

4yi

x0 y0 y0

x1 y1 2y0

y1 3y0

x2 y2 2y1

4y0

y2 3y1

5y0

x3 y3 2y2

4y1

y3 3y2 .

x4 y4 2y3 . .

y4 . . .

x5 y5 . . . .

. . . . .

. . . . . . .

Dari tabel tersebut Cj dapat dihitung dengan rumus Cj = j

j

hj

y

)!(

37


Makin banyak tingkat Cj yang dipakai dalam menghitung harga y maka

makin teliti interpolasinya.

y(x) = C0 + C1(x - x0) + C2 (x - x0)(x - x1)

akan lebih kurang “teliti” dari y(x) yang dihitung dengan : y(x) = C0 + C1(x - x0) + C2 (x - x0)(x - x1) + C3(x - x0)(x - x1)(x - x2)

dan seterusnya.

Coba selesaikan soal yang sama pada kasus di Interpolasi Lagrange.

Hitung y untuk x = 1.5 dengan interpolasi Newton-Gregory.

Berikut adalah tabel beda hingga untuk kasus di atas.

xi yi yi 2yi

3yi

1 0.1

0.1 2 0.2 0.1

0.2 0.1

3 0.4 0.2

0.4

4 0.8

Jika dipakai “first order difference” saja, maka :

y(1.5)= y0 +h

y0(1.5–x0)

= 0.1 + 1

1.0(1.5 – 1)

= 0.1 + 0.05 = 0.15

Jika dipakai “first-second order difference” maka :

y(1.5)= y0 +h

y0(1.5–x0)+ 2

2

2h

y(1.5–x0)(1.5–x1)

= 0.1 + 1

1.0(1.5 – 1)+

2

1.0(1.5 – 1)(1.5 – 2)

= 0.1 + 0.05 - 0.0125 = 0.1375

Dipakai “first-second-third order difference” maka :

y(1.5)= y0 +h

y0(1.5–x0)+ 2

2

2h

y(1.5–x0)(1.5–x1)

+3

3

6h

y(1.5–x0)(1.5–x1)(1.5 – x2)

= 0.1 + 1

1.0(1.5 – 1)+

2

1.0(1.5 – 1)(1.5 – 2)

+6

1.0(1.5 – 1)(1.5 – 2)(1.5 – 3)

= 0.1 + 0.05 - 0.0125 + 0.0062 = 0.1437

38


BAB V. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

5.1. Curve Linear

Persamaan pendekatan

untuk kurva linear dapat

dirumuskan :

f(x) = a + bx

Metode kuadrat terkecil

Jumlah kuadrat terkecil (D2)

D2 =

n

1i

2iE =

n

1i

2ii )x(fy =

n

1i

2ii bxay

A dan b dicari dengan meminimumkan harga D2.

a

D2

= 0

a

n

1i

2ii bxay = 0

-2

n

1iii bxay = 0

yI - a - b xi = 0

yI - n a - b xi = 0

n a = yI - b xi

a = n

y i- b

n

x i= xby …… (1)

b

D2

= 0

a

n

1i

2ii bxay = 0

-2

n

1iii bxay xi = 0

xi yi - a xi - b xi2 = 0

a xi + b xi2 = xi yi

y

x

y = f(x)

a y1 y2

1

b

39


n

y i - b

n

x i xi + b xi2 = xi yi

xi yi - b 2ix + n b xi2 = n xi yi

b { n xi2 - 2ix } = n xi yI - xi yi

b = 2i

2i

iiii

xxn

yxyxn

……… (2)

Untuk melihat derajat kesesuaian dari curve fitting dengan cara

melihat harga (Koefisien Korerlasi).

= 2

t

22t

D

DD (berharga 0 s/d 1)

dengan Dt2 =

n

1i

2

i yy

5.2. Curve Non-Linear

a. y = a ebx Proses Linearisasi ln y = ln a + b x ln e

= ln a + b x

Y = A + b x

xi yi Yi = ln yi xi Yi xi2

x1 y1 ln y1 x1 y1 x12

x2 y2 ln y2 x2 y2 x22

. . . . .

. . . . .

xn yn ln yn xn yn xn2

xi yi yi xi yi xi 2

y

x

y = a ebx

ln y

x

Y = A + bx

1

b

40


b = 2i

2i

iiii

xxn

YxYxn

A = n

Yi- b

n

x i= xbY A = ln a a = eA

b. y = a xb Proses Linearisasi log y = log a + b log x

Y = A + b X

xi yi Xi = log xi Yi = log yi Xi Yi Xi2

x1 y1 log x1 log y1 X1 Y1 X12

x2 y2 log x2 log y2 X2 Y2 X22

. . . . . .

. . . . . . xn yn log xn log yn Xn Yn Xn

2

xi yi Xi YI Xi Yi xi 2

b = 2i

2i

iiii

XXn

YXYXn

A = n

Yi- b

n

Xi= XbY

A = log a a = log-1 A

c. Polinomial y = a0 + a1 x + a2 x

2+ ….. + ar xr

Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah :

D2 =

n

1i

2rir

2i2i10i xa....xaxaay

Dengan cara yang sama konstanta a dapat dicari dengan

meminimumkan harga D2.

y

x

y = a xb

log y

x

Y = A + bX

1

b

41


0

2

a

D

= 0 -2

n

1i

rir

2i2i10i xa....xaxaay = 0

1

2

a

D

= 0 -2

n

1i

rir

2i2i10ii xa....xaxaayx = 0

2

2

a

D

= 0 -2

n

1i

rir

2i2i10i

2i xa....xaxaayx = 0

.

.

r

2

a

D

= 0 -2

n

1i

rir

2i2i10i

ri xa....xaxaayx = 0

Atau dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut :

ir

i

i2

i

ii

i

r

2

1

0

nri

2ri

1ri

ri

2ri

4i

3i

2i

1ri

3i

2ii

ri

2ii

yx

.

.

yx

yx

y

a

.

.

a

a

a

x..xxx

......

......

x..xxx

x..xxx

x..xxn

Penyelesaian persamaan ini akan didapat a0, a1, a2, ….. ar

5.3. Curve Multi Linear / Non-Linear

Hubungan antara variabel terikat dengan lebih dari satu veriabel

bebas secara linier dapat dirumuskan sebagai berikut :

y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + ........ + bk xk

dimana: y = variabel terikat x1 s/d xk = variabel bebas

D2 =

n

1i

2ResponsePredictedResponseObserv ed

D2 =

n

1i

2kiki33i22i110i xb........xbxbxbby

Dengan Metode Kuadrat Terkecil, nilai D2 diturunkan terhadap

konstanta bo s/d bk dan diminimumkan (disamakan dengan nol),

sehingga dapat dicari nilai dari konstanta bo s/d bk.

42


Dirumuskan dalam bentuk matrik :

2kikii3kii2kii1ki

kii32

i3i3i2i3i1i3

kii2i3i22

i2i2i1i2

kii1i3i1i2i12

i1i1

kii3i2i1

x...xxxxxxx

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xx...xxxxxx

xx...xxxxxx

xx...xxxxxx

x...xxxn

k

4

2

1

0

b.

.

b

b

b

b

=

iki

ii3

ii2

ii1

i

yx.

.

yx

yx

yx

y

Contoh kasus di bidang mesin :

Rumuskan persamaan empirik Parameter Pemotongan Proses Pembubutan Terhadap Gaya Pemotongan Material ST 42

Besarnya gaya pemotongan merupakan informasi yang

diperlukan dalam perencanaan mesin perkakas, karena itu merupakan

titik tolak setiap hitungan dan analisa mesin perkakas. Gaya

pemotongan yang bereaksi pada pahat dan benda kerja, yang

selanjutnya diteruskan pada bagian-bagian tertentu mesin perkakas, akan mengakibatkan lenturan. Meskipun lenturan itu kecil tapi

mungkin sudah cukup untuk menjadi penyebab kesalahan geometri

produk maupun sebagai sumber getaran yang dapat memperpendek

umur pahat. Gaya pemotongan teoritis telah dapat dirumuskan, tetapi

karena adanya penyederhanaan dan anggapan yang mendasari

penurunan rumus tersebut, maka tidak dapat dipakai dalam perencanaan proses pemesinan sesungguhnya. Sehingga masih

dibutuhkan suatu bentuk rumus empirik yang menggambarkan

hubungan antara gaya pemotongan dengan variabel-variabel dalam

proses pemesinan. Dengan menetapkan dan mengubah beberapa

variabel proses pemesinan (di eksperimen ini dilakukan pada variabel

a dan f) maka dapat dicari suatu korelasi berupa rumusan empirik

variabel proses a dan f terhadap gaya pemotongan . Variabel yang diukur terdiri dari :

1. Variabel Bebas (Independent Variable)

a) Kedalaman potong (a1 = 0,5 ; a2 = 0,1 ; a3 = 1,0 )

b) Kecepatan pemakanan (f1 = 0,05 ; f2 = 0,16 ; f3 = 0,20)

2. Variabel Terikat (Dependent Variable)

a) Variabel Utama, sebagai variabel yang menjadi pembahasan utama yaitu:

gaya pemotongan (Fv) (N)

b) Data pendukung

Diameter sebelum dan sesudah pemotongan (mm)

Putaran spindel tanpa beban dan dengan beban (rpm)

Waktu pemotongan sebenarnya (detik)

3. Parameter yang dikonstankan pada eksperimen ini adalah : a) Jenis material kerja (ST 42) dan pahat (Karbida).

b) Panjang pemotongan (L) = 30 mm.

43


c) Putaran spindel (n) = 494 rpm.

d) Posisi pemotongan Orthogonal (kr =90o).

Hasil eksperimen berupa besar Gaya Pemotongan (Fv) yang terjadi terhadap perubahan parameter a dan f dapat dilihat pada tabel

berikut:

a

(mm)

f (mm/put)

0.05 0.16 0.2

0.5 83.768 202.295 215.205

82.542 192.469 239.084

0.1 16.402 60.704 85.404

18.968 110.964 83.140

1 151.598 380.966 270.679

124.435 370.195 444.666

Model curve fitting yang dipilih adalah :

Fv = c1 ab1 fb2

Model non-linear dilinierisasi menjadi model linear dengan cara

di-log-kan sebagai berikut:

Log Fv = log c1 + b1 log a + b2 log f

Y = b0 + b1 X1 + b2 X2

No Fv a f Y = Log Fv

X1 = Log a

X2 = Log f

X12 X2

2 X1X2 X1Y X2Y

1 2

3

4 5

6

7 8

9

10

11 12

13

14 15

16

17 18

83.768 82.542

16.402

18.968 151.598

124.435

202.295 192.469

60.704

110.964

380.966 370.195

215.205

239.084 85.404

83.14

270.679 444.666

0.5 0.5

0.1

0.1 1

1

0.5 0.5

0.1

0.1

1 1

0.5

0.5 0.1

0.1

1 1

0.05 0.05

0.05

0.05 0.05

0.05

0.16 0.16

0.16

0.16

0.16 0.16

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2 0.2

1.923 1.917

1.215

1.278 2.181

2.095

2.306 2.284

1.783

2.045

2.581 2.568

2.333

2.379 1.931

1.920

2.432 2.648

-0.301 -0.301

-1.000

-1.000 0.000

0.000

-0.301 -0.301

-1.000

-1.000

0.000 0.000

-0.301

-0.301 -1.000

-1.000

0.000 0.000

-1.301 -1.301

-1.301

-1.301 -1.301

-1.301

-0.796 -0.796

-0.796

-0.796

-0.796 -0.796

-0.699

-0.699 -0.699

-0.699

-0.699 -0.699

0.091 0.091

1.000

1.000 0.000

0.000

0.091 0.091

1.000

1.000

0.000 0.000

0.091

0.091 1.000

1.000

0.000 0.000

1.693 1.693

1.693

1.693 1.693

1.693

0.633 0.633

0.633

0.633

0.633 0.633

0.489

0.489 0.489

0.489

0.489 0.489

0.392 0.392

1.301

1.301 0.000

0.000

0.240 0.240

0.769

0.769

0.000 0.000

0.210

0.210 0.699

0.699

0.000 0.000

-0.579 -0.577

-1.215

-1.278 0.000

0.000

-0.694 -0.688

-1.783

-2.045

0.000 0.000

-0.702

-0.716 -1.931

-1.920

0.000 0.000

-2.502 -2.494

-1.581

-1.663 -2.837

-2.726

-1.835 -1.818

-1.419

-1.628

-2.054 -2.044

-1.631

-1.663 -1.350

-1.342

-1.700 -1.851

37.820 -7.806 -16.775 6.544 16.888 7.275 -14.129 -34.136

Dari tabel di atas akan didapatkan persamaan berikut ini:

18 b0 + -7.806 b1 + -16.775 b2 = 37.820

-7.806 b0 + 6.544 b1 + 7.275 b2 = -14.129 -16.775 b0 + 7.275 b1 + 16.888 b2 = -34.136

44


Dengan prosedur numerik Gauss-Siedel didapatkan :

b0 = 3.2375

b1 = 0.7193

b2 = 0.8847

Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 = 3.2375 + 0.7193 X1 + 0.8847 X2

Karena model tersebut dilinearisasikan maka harus dikembalikan ke

model non linearnya yaitu meng-anti log-kan b0-nya.

sehingga c1 = Log-1 3.2375 = 1727.825

Maka : Fv = 1727,825 . a 0,7193 . f 0,8847

45


BAB VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Persamaan differensial biasa dengan ordo n, merupakan persamaan

dengan satu perubah (variabel) yang dapat dituliskan dalam bentuk :

F(x, y, dx

dy,

2

2

dx

yd, ...... ,

n

n

dx

yd ) = 0

dengan y = f (x)

Penyelesaian persamaan differensial ordo satu dapat lebih dari

satu, sehingga untuk mencari penyelesaian yang unik atau khusus

memerlukan informasi tambahan berupa syarat batas.

Metode untuk penyelesaian Persamaan differensial biasa :

1. EULER’S METHOD

Deret taylor orde 1

Sangat sensitif terhadap besarnya “h”

yn = yn-1 + h . f ( xn-1,yn-1 ) ; n = 1,2, 3, ……

h = n

xxn 0

dengan : xn = nilai x yang ditanya nilai fungsinya.

x0 = nilai x awal.

n = bilangan bulat

2. MODIFIED EULER’S METHOD

Mengurangi kesalahan akibat pemilihan “h”

yn(k+1) = yn-1 +

2

h. ),(),(x

)(

1-n1-n

k

nn yxfyf

Dengan : yn(k) = yn-1 + h. f ( xn-1, yn-1)

k = 0,1,2,… dan n = 1,2, 3, ……

3. RUNGE-KUTTA METHOD

Deret taylor orde 4

Lebih teliti

43211 226

kkkkh

yy nn

dimana : k1 = f (xn, yn) k2 = f (xn+ 0,5h, yn+ 0,5 h . k1)

k3 = f (xn+ 0,5h, yn+ 0,5 h . k2)

k4 = f (xn + h, yn+ h . k3)

Contoh :

dx

dy= 3x2 + 5x + y ; y(1) = 1

Cari nilai y (1,2) dengan Metode Euler, Modified Euler dan Runge Kutta (pakai h = 0,1).

46


6.1. Euler’s Method

Dipilih h = 0.1

h = n

xxn 0 n =

h

xxn 0=

1.0

12,1 = 2

Dari data kondisi batas didapatkan x0 = 1 dan y0 = 1

Iterasi Pertama (n = 1)

y1 = y(1,1) = y0 + h. f (x0, y0)

= y0 + h (3 x02 + 5 . x0 + y0)

= 1 + (0,1) (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 1,9

Iterasi Kedua (n = 2)

y2 = y(1,2) = y1 + h. f (x1, y1)

= y1 + h (3 x12 + 5 . x1 + y1)

= 1,9 + (0,1) (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 1,9) = 3,003

Jadi penyelesaian kasus tersebut : y(1,2) = 3,003

6.2. Modified Euler’s Method

Dengan rumusan Euler’s Method

y1(0) = y0 + h. f ( x0, y0)

= y0 + h (3 x02 + 5 . x0 + y0)

= 1 + (0,1) (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 1,9

Proses iterasi dilakukan pada rumusan Modified Euler’s.

Iterasi Pertama (x1 = 1,1 dan k = 0) :

y1(1) = y0 +

2

h. ),(),(x

)0(

1100 yxfyf

= y0 + 2

h )x5x3()x5x3(

)0(

11

2

100

2

0 yy

= 1 + 2

1,0 )9,11,1.51,1.3()11.51 . (3 22

= 2,0015

Iterasi Kedua (x1 = 1,1 dan k = 1) :

y1(2) = y0 +

2

h. ),(),(x

)1(

1100 yxfyf

= y0 + 2

h )x5x3()x5x3(

)1(

11

2

100

2

0 yy

= 1 + 2

1,0 )0015,21,1.51,1.3()11.51 . (3 22

= 2,0066

47


Iterasi Ketiga (x1 = 1,1 dan k = 2) :

y1(3) = y0 +

2

h. ),(),(x

)2(

1100 yxfyf

= y0 + 2

h )x5x3()x5x3(

)2(

11

2

100

2

0 yy

= 1 + 2

1,0 )0066,21.1.51,1.3()11.51 . (3 22

= 2,0068

Iterasi Keempat (x1 = 1,1 dan k = 3) :

y1(4) = y0 +

2

h. ),(),(x

)3(

1100 yxfyf

= y0 + 2

h )x5x3()x5x3(

)3(

11

2

100

2

0 yy

= 1 + 2

1,0 )0068,21,1.51,1.3()11.51 . (3 2

= 2,0068

Karena hasil iterasi keempat dan iterasi ketiga (iterasi sebelumnya)

sama maka proses iterasi dihentikan dengan hasil harga y1 = 2,0068

y2

(0) = y1 + h. f ( x1, y1)

= y1 + h (3 x12 + 5 . x1 + y1)

= 2,0068 + (0,1) (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 2,0068) = 3,1205

Iterasi Pertama (x2 = 1,2 dan k = 0) :

y2(1) = y1 +

2

h. ),(),(x

)0(

2211 yxfyf

= y1 + 2

h )x5x3()x5x3(

)0(

22

2

211

2

1 yy

=2,0068+2

1,0 )1205,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22

= 3,2357

Iterasi Kedua (x2 = 1,2 dan k = 1) :

y2(2) = y1 +

2

h. ),(),(x

)1(

2211 yxfyf

= y1 + 2

h )x5x3()x5x3(

)1(

22

2

211

2

1 yy

=2,0068+2

1,0 )2357,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22

= 3,2414

48


Iterasi Ketiga (x2 = 0,1 dan k = 2) :

y2(3) = y1 +

2

h. ),(),(x

)2(

2211 yxfyf

= y1 + 2

h )x5x3()x5x3(

)2(

22

2

211

2

1 yy

=2,0068+2

1,0 )2414,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22

= 3,2417

Iterasi Keempat (x2 = 0,1 dan k = 3) :

y1(4) = y0 +

2

h. ),(),(x

)3(

2211 yxfyf

= y1 + 2

h )x5x3()x5x3(

)3(

22

2

211

2

1 yy

=2,0068+2

1,0 )2417,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22

= 3,2417

Hasil iterasi keempat dan iterasi sebelumnya yaitu iterasi ketiga sama

maka proses iterasi dihentikan dengan hasil harga y2 = 3,2417

Jadi penyelesaian kasus tersebut : y(1,2) = 3,2417

6.3. Runge-Kutta Method

Dipilih h = 0,1

Iterasi Pertama ( y1 = y(1,1) )

x0 = 1 ; y0 = 1

k1 = f (x0, y0) = (3 x02 + 5 . x0 + y0) = (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 9

k2 = f (x0+ 0,5h, y0+ 0,5 h . k1)

= 3 (x0+ 0,5h)2 + 5 . (x0+ 0,5h) + (y0+ 0,5 h . k1)

= 3 (1+ 0,5 . 0,1)2 + 5 . (1+ 0,5 . 0,1) + (1+ 0,5 . 0,1 . 9)

= 10,0075 k3 = f (x0+ 0,5h, y0+ 0,5 h . k2)

= 3 (x0+ 0,5h)2 + 5 . (x0+ 0,5h) + (y0+ 0,5 h . k2)

= 3 (1+ 0,5 . 0,1)2 + 5 . (1+ 0,5 . 0,1) + (1+ 0,5 . 0,1 . 10,0075)

= 10,0579

k4 = f (x0 + h, y0+ h . k3)

= 3 (x0+ h)2 + 5 . (x0+ h) + (y0+ h . k3)

= 3 (1+ 0,1)2 + 5 . (1+ 0,1) + (1+ 0,1 . 10,0579) = 11,1358

432101 226

kkkkh

yy

49


= 1 +6

1,0(9+ (2 . 10,0075) + (2 . 10,0579) + 11,1358)

= 2,0044

Iterasi kedua ( y2 = y(1,2) )

x1 = 1,1 ; y1 = 2,0044

k1 = f (x1, y1) =(3 x12 + 5 . x1 + y1) = (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 2,0044)

= 11,1344

k2 = f (x1+ 0,5h, y1+ 0,5 h . k1)

= 3 (x1+ 0,5h)2 + 5 . (x1+ 0,5h) + (y1+ 0,5 h . k1)

= 3 (1,1+0,5.0,1)2 + 5.(1,1+0,5.0,1) + (2,0044+0,5.0,1.11,1344) = 12,2787

k3 = f (x1 + 0,5h, y1 + 0,5 h . k2)

= 3 (x1+ 0,5h)2 + 5 . (x1+ 0,5h) + (y1+ 0,5 h . k2)

= 3 (1,1+0,5.0,1)2 + 5.(1,1+0,5.0,1) + (2,0044+0,5.0,1.12,2787)

= 12,3359

k4 = f (x1 + h, y1+ h . k3)

= 3 (x1+ h)2 + 5 . (x1+ h) + (y1+ h . k3) = 3 (1,1+ 0,1)2 + 5 . (1,1+ 0,1) + (2,0044+ 0,1 . 12,3359)

= 13,5580

432112 226

kkkkh

yy

= 2,0044 +6

1,0(11,1344+(2. 12,2787)+(2. 12,3359)+13,5580)

= 3,2356

50


BAB VII. PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL

Formulasi matematik dari kebanyakan permasalahan dalam ilmu

pengetahuan dan teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk

persamaan differensial parsial. Persamaan tersebut merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih variable bebas yang biasanya

adalah waktu dan jarak (ruang).

Persamaan differensial dapat dibedakan menjadi tiga jenis yaitu :

A. Persamaan Differensial Parabolik Biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu

(tidak permanen) dan penyelesaiannya memerlukan kondisi awal

dan batas. Persamaan parabolik paling sederhana adalah

perambatan panas.

2x

T2K

tT

Penyelesaian dari persamaan di atas adalah mencari temperatur T

untuk nilai x pada setiap waktu t.

B. Persamaan Differensial Eliptik Biasanya berhubungan dengan masalah kesetimbangan atau

kondisi permanen (tidak tergantung waktu) dan penyelesaiannya

memerlukan kondisi batas di sekeliling daerah tinjauan. Seperti

aliran air tanah di bawah bendungan dan karena adanya

pemompaan, defleksi plat akibat pembebanan, dsb.

02y

2

2x

2

C. Persamaan Differensial Hiperbolik Biasanya berhubungan dengan getaran atau permasalahan dimana

terjadi diskontinue dalam waktu, seperti gelombang kejut yang

terjadi discontinue dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa.

2x

U22C

2t

U2

51


7.1. Penyelesaian Persamaan Parabolik dengan Skema Eksplisit

2x

T2K

tT

……………. (7.1)

dengan : T = temperatur

K = koefisien konduktivitas

t = waktu

x = jarak

Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n+1 dihitung

berdasarkan variabel pada waktu n yang sudah diketahui. Dengan menggunakan skema seperti di bawah ini, fungsi f(x,t) dan turunannya

dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut :

f (x, t) = fi n

t

)t,x(f

=

t

ffni

1ni

2

2

t

)t,x(f

=

2

n1i

ni

n1i

t

ff2f

Dari skema di atas, persamaan (7.1) dapat ditulis dalam bentuk

berikut :

t

TTni

1ni

= Ki 2

n1i

ni

n1i

x

TT2T

atau

1n

iT

= n1i

ni

n1i2i

ni TT2T

x

tKT

………… (7.2)

n

n +1

i i - 1 i + 1

52


Stabilitas Skema Eksplisit

Dalam skema eksplisit, niT tergantung pada tiga titik

sebelumnya yaitu: 1n

1iT

, 1n

iT dan 1n

1iT

. Keadaan ini dapat menyebabkan

ketidakstabilan dari skema tersebut, yang berupa terjadinya

amplifikasi hasil hitungan dari kondisi awal. Agar stabil dibutuhkan suatu syarat yaitu :

0 < < 1/2 dengan = 2x

t

Contoh:

Dimana : k = 1

x = 0,1

t = 0,001

= 2x

t

=

21,0

001,0 = 0,1 < 0,5 (stabil)

Syarat batas : pada t = 0 T = 2x ; 0 x ½ L

dan T = 2(1-x) ; ½ L x L pada semua t untuk x = 0 T = 0

Dengan menggunakan persamaan (6.2), hitungan dilakukan dari

i = 2 sampai dengan 5 dan dari n = 1 sampai waktu yang dikehendaki

(N).

Untuk n = 1 dan i bergerak dari i = 2 sampai i = 6,

1

2T = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

1

3T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4 1

4T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6

15T = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 1) = 0,8

16T = 1 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 1 + 0,8) = 0,96

untuk n = 2 dan i bergerak dari i =2 sampai i = 6,

22T = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

23T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4

24T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6

25T = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 0,96) = 0,796

26T = 0,96 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 0,96 + 0,8) = 0,928

L = 1 m

53


Demikian perhitungan terus dilanjutkan s/d waktu yang dikehendaki

(N).

Tabel hasil skema eksplisit

i = 1 2 3 4 5 6 7 x = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t = 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8

t = 0,001 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.96 0.8

t = 0,002 0 0.2 0.4 0.6 0.796 0.928 0.796

t = 0,003 0 0.2 0.4 0.5996 0.7896 0.9016 0.7896 . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

t = N N N N N N N N

7.2. Penyelesaian Persamaan Parabolik dengan Skema Implisit

Dalam skema eksplisit, ruas kanan dari persamaan ditulis pada waktu n yang nilainya sudah diketahui. Sedangkan pada skema

implisit, ruas kanan tersebut ditulis pada waktu n+1 di mana nilainya

belum diketahui.

Gambar di bawah ini menunjukkan jaringan titik simpul dari skema

implisit. Dengan menggunakan skema tersebut, fungsi f(x,t) dan

turunannya dalam ruang waktu didekati oleh bentuk berikut ini.

n

n + 1

i i - 1 i + 1

2

1n1i

1ni

1n1i

2

2

1n1i

1n1i

ni

1ni

1ni

ni

xΔ

ff2f

x

t)f(x,

xΔ2

ff

x

t)f(x,

tΔ

ff

t

t)f(x,

fatauft)(x,f

54


B1 C1 0 0 0 . . . . . . . . . 0 T1 D1

A2 B2 C2 0 0 . . . . . . . . . 0 T2 D2

0 A3 B3 C3 0 . . . . . . . . . 0 T3 D3

0 0 A4 B4 C4 . . . . . . . . . 0 T4 D4

. . . . . . . . . . . . . . 0 . = .

. . . . . . . . . . . . . . 0 . .

0 0 0 0 0 . . . . . . AM BM TM DM

Dengan menggunakan skema di atas, maka dapat dibentuk persamaan

dalam bentuk beda hingga :

Apabila persamaan (7.3) ditulis untuk setiap titik hitungan dari i

= 1 sampai M maka akan terbentuk suatu sisten persamaan linier yang

dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks.

Untuk :

Untuk penyederhanaan penulisan, variabel Tin+1 ditulis Ti (tanpa

menulis n+1). Persamaan di atas dalam bentuk matrik menjadi :

tΔ

TT

xΔ

KT)

xΔ

K2

tΔ

1(T

xΔ

K

tΔ

TT

xΔ

KT

xΔ

K2T

xΔ

KT

tΔ

1

xΔ

TT2TK

tΔ

TT

ni1n

1i2i1n

i2i1n

1i2i

ni1n

1i2i1n

i2i1n

1i2i1n

i

2

1n1i

1ni

1n1i

i

ni

1ni

i = 1 → A1T 0 + B1T1 + C1T2 = D1

i = 2 → A2T 1 + B2T2 + C2T3 = D2

i = 3 → A3T 2 + B3T3 + C3T4 = D3

i = 4 → A4T 3 + B4T4 + C4T5 = D4

.

.

i = M → AMTM-1 + BMTM + CMTM+1 = DM

tΔ

TD;)

xΔ

K2

tΔ

1(B

xΔ

KC;

xΔ

KA

dengan

)3.6(..........DT.CT.BT.A

atau

ni

i2i

i

2i

i2i

i

i1n

1ii1n

ii1n

1ii

55


Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode

penyelesaian persamaan serentak untuk mendapatkan nilai Ti (i

=1........M).

Penyelesaian dengan menggunakan skema implisit lebih sulit

dibanding dengan skema eksplisit. Kelebihan dari skema implisit

adalah skema tersebut stabil tanpa syarat, langkah waktu Δt dapat

diambil sembarang (besar) tanpa menimbulkan kesalahan pemotongan

dalam batas-batas yang dapat diterima.

7.3. Penyelesaian Persamaan Eliptik

Penyelesaian dilakukan dengan mendiskretisasi suatu

persamaan differensial parsial eliptik dengan kondisi batas untuk dapat

ditransformasikan ke dalam suatu sistem dari N persamaan dengan N bilangan anu.

Penyelesaian persamaan eliptik dilakukan dengan langkah-

langkah berikut ini.

1. Membuat jaringan titik simpul di dalam seluruh bidang yang

ditinjau dan batas-batasnya.

2. Pada setiap titik dalam bidang tersebut dibuat turunan-

turunannya dalam bentuk beda hingga. 3. Ditulis nilai-nilai fungsi pada semua titik di batas keliling bidang

dengan memperhatikan kondisi batas.

Dari persamaan bentuk eliptik berikut :

02y

2

2x

2

Sehingga :

0y

2

x

2

2

1j,ij,i1j,i

2

j,1ij,ij,1i

Untuk x = y, maka persamaan di atas menjadi :

04 1j,i1j,ij,1ij,1ij,i

56


Contoh Soal :

Determine the steady state temperature of the following plate

using α = 1 and Δx = 1 ft.

Jawab :

☺ Node 1 ☺ Node 3

Tb

Td

Tc Ta

1 3 5

2 4 6

-4

1

1

1 1

10 + 40 - 4 T1 + T2 + T3 = 0

Ta = 10°F

Tb = 40°F

Td = 20°F

Tc = 0°F

y

x

4 ft

3 ft

1 3 5

2 4 6 Ta = 10°F

Tb = 40°F

Td = 20°F

Tc = 0°F

1 3 5

2 4 6

-4

1

1

1 1

40 + T1 - 4 T3 + T4 + T5 = 0

Tb

Td

Tc Ta

57




Sehingga hasil persamaan-persamaan tersebut dapat dibentuk dalam suatu matrik :

1 3 5

2 4 6 -4

1

1

1 1

10 + 20 + T1 -4 T2 + T4 = 0

Tb

Td

Tc Ta

1 3 5

2 4 6 -4

1

1

1 1

20 + T2 + T3 -4 T4 + T6 = 0

Tb

Td

Tc Ta

1 3 5

2 4 6

-4

1

1

1 1

40 + T3 -4 T5 + T6 = 0

1 3 5

2 4 6

-4

1

1

1 1

Tb

Td

Tc Ta

1 3 5

2 4 6 -4

1

1

1 1

20 + T4 + T5 - 4 T6 = 0

Tb

Td

Tc Ta

-4 1 1 0 0 0 T1 -50

1 -4 0 1 0 0 T2 -30

1 0 -4 1 1 0 T3 -40

0 1 1 -4 0 1 T4 -20

0 0 1 0 -4 1 T5 -40

0 0 0 1 1 -4 T6 -20

= .

T1 = 23,561 °F

T2 = 18,344 °F

T3 = 25,901 °F

T4 = 19,814 °F

T5 = 20,228 °F

T6 = 15,010 °F

58


BAB VIII. INTEGRASI NUMERIK Metode Gauss Quadrature merupakan salah satu metode integrasi

numerik yang paling dapat diterima dan dipakai secara intensif untuk

menyelesaikan integrasi matrik kekakuan di Metode Elemen Hingga pada

elemen jenis isoparametrik. Dibandingkan dengan metode Trapezoid

yang hanya terbatas pada penggunaan dengan infromasi data yang equispaced, maka metode Gauss Quadrature lebih luas penggunaannya

pada penyelesaian fungsi yang non-equispaced dan memiliki keakuratan

lebih tinggi.

Rumusan Gauss Quadrature mengubah batas integral dari suatu batas

(misal a s/d b) menjadi -1 s/d +1. Formula dasarnya adalah merupakan penjumlahan dari perkalian koefisien berat dan harga dari fungsi pada

sampling points.

I = b

a

dx)x(f =

n

1kkk )x(fW

Dengan : Wk = Koefisien berat (Weighting Coeff.)

xk = sampling (Gauss) point

untuk menentukan Koefisien berat (Weighting Coeff.) dilakukan

dengan prosedur memindah batas integral dari a s/d b menjadi -1 s/d

+1.

Tabel Gauss Quadrature

Polinomial

Degree

Jumlah

Point

Sampling (Gauss)

Point

Koefisien Berat

1 1 x1 = 0 W1 = 2

3 2 x1 = - 0.5773503 W1 = 1

x2 = 0.5773503 W2 = 1

= 5 3 x1 = - 0.7745967 W1 = 0.5555556

x2 = 0 W1 = 0.8888889

x3 = 0.7745967 W2 = 0.5555556

59


Persamaan matrik kekakuan untuk elemen segiempat isoparametrik

dapat ditulis sebagai berikut:

= W1W1 [B(s1, t1)]T [C] [B(s1, t1)] |J(s1, t1)|

+ W1W2 [B(s1, t2)]T [C] [B(s1, t2)] |J(s1, t2)|

+ W2W1 [B(s2, t1)]T [C] [B(s2, t1)] |J(s2, t1)|

+ W2W2 [B(s2, t2)]T [C] [B(s2, t2)] |J(s2, t2)|

Dengan asumsi polynomial degree yang dipakai 3 dan sampling point

2 maka digunakan harga :

s1 = t1 = -0,577 s2 = t2 = 0,577

W1 = W2 = 1

Hitung I = dydxxy

2

0

2

0

22

dengan Gauss Quadrature (point n = 2)

*A

TT J [B][C][B]hdYdX [B][C][B]][ dtdshkA

60


DAFTAR PUSTAKA

Abd. Munif, (1995), Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan

Metode Numerik, Guna Wijaya, Jakarta.

Chapra, Steven C., (1991), Metode Numerik, Erlangga, Jakarta.

Soehardjo (1985), Analisa Numerik, ITS, Surabaya.

Triatmodjo, Bambang, (1995), Metode Numerik, Beta Offset,

Yogyakarta.

BAB I. PENGANTAR METODE...

Documents

Transcript of BAB I. PENGANTAR METODE...