53

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI SEDERHANA

Pada fungsi trigonometri variabel bebasnya adalah

sudut., sehingga daerah asal fungsi itu merupakan sebuah

himpunan sudut. Harga fungsi trigonometri suatu sudut

merupakan sebuah bilangan riil, jadi daerah hasil fungsi itu

sebuah bilangan riil.

Apabila besar sudut dinyatakan dalam radian berarti besar

sudut sama dengan perbandingan panjang busur di hadapan

sudut dan jari-jari lingkaran dimana sebagai sudut pusatnya.

Oleh karena dalam perbandingan itu komponen-komponennya

mempunyai satuan yang sama,yaitu satuan panjang, maka besar

sudut merupakan bilangan murni. Jadi daerah asal fungsi

trigonometri adalah sebuah bilangan riil.

Menggambar grafik fungsi y= f(x) dapat dilakukan dengan

meletakkan titik-titik P(x,y) pada bidang koordinat kemudian

menghubungkan titik-titik ini sehingga terjadi kurva mulus.

Contoh gambar grafik fungsi y = sin x

x dalam radian

Daerah asal

Daerah hasil

Apabila skala pada sumbu x sama dengan skala pada sumbu y dan jari-jari lingkaran r

=1 satuan maka harga x dapat kita gambarkan

KOMPETENSI DASAR

Memanipulasi aljabar untuk

merancang rumus trigonometri

dan menyusun suatu bukti.

INDIKATOR

Mampu menentukan titik

potong grafik fungsi

dengan sumbu x,y

Menentukan asimtot grafik

Menentukan harga ekstrim

grafik fungsi

Melukis grafik fungsi

trigonometri

BAB 7 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

54

Contoh 2 : Gambar grafik fungsi y = cos x

Daerah asal

Daerah hasil

GRAFIK FUNGSI YANG DIPEROLEH DARI FUNGSI TRIGONOMETRI SEDERHANA

1. Bentuk y = kf(x) dimana f(x) adalah salah satu fungsi trigonometri .

k adalah bilangan riil, dan . Grafik y = k f(x) dapat diperoleh dari grafik y = f(x)

dengan jalan mengalikan ordinat y = f(x) dengan k

Apabila k>0 maka arah ordinat yang baru sama dengan arah ordinat lama. Jika k<0,

maka arah ordinat yang baru berlawanan dengan arah ordinat lama.

Contoh :

Lukislah grafik y = 2 sin x………..perhatikan grafik yang merah

Lukis y = sin (1/2 x)…….perhatikan grafik warna biru

Bagaimana dengan puncak grafik jika kita bandingkan dengan y = sin x? bagaimana dengan

titik perpotongan grafik di π dan 2π. Apa yang dapat anda simpulkan? Cobalah dengan

membuat tabel untuk sudut istimewa dari sin x

55

Perhatikan gambar grafik berikut, yakni y= sin x, y = 2sin x dan y = -2 sin x

Simpulkan

2. y = f(kx) x dalam radian , k

Periode fungsi y= f(kx) sama dengan kali periode fungsi y =f(x).

Untuk k>0 bentuk grafik y = f(x) yang terdapat dalam interval serupa dengan

bentuk grafik y = f(kx) yang terdapat dalam interval

Untuk k<0 bentuk grafik y = f(x) yang terdapat dalam interval serupa dengan

bentuk grafik y = f(kx) yang terdapat dalam interval tetapi ordinatnya mungkin

searah atau berlawanan arah bergantung pada jenis fungsi y =f(x)

Contoh : lukis grafik fungsi

56

3. y = f(x-a)

Grafik y = f (x-a) dapat diperoleh dari grafik y = f(x) dengan menggeser sumbu y

sejauh a. Jika a>0 maka grafik digeser ke kiri dan digeser ke kanan , sedangkan bila

a<0, maka grafik fungsi bergeser ke kiri

Contoh : Lukis grafik y = cos (

Perhatikan perpotongan grafik fungsi y = cos ( dengan sumbu x. bandingkan

dengan perpotongan grafik y = cos x dengan sumbu x. apa yang dapat anda

simpulkan?

4. y-b = c f[ k (x-a)]

contoh soal berikut ini : lukislah grafik fungsi y-3 =3 sin 2(x-

sin 2(x- , makna ( artinya grafik fungsi bergeser 450 ke kanan dari grafik

fungsi y=sin x

y =sin 1/2x

y =sin 2x

57

y-3 =3 sin 2(x- , pada sin 2 (x- menunjukkan bahwa dalam interval [0,2π]

terdapat 2 gelombang atau periodisasi dari fungsi tersebut adalah π

bentuk y-3 =3 sin 2(x- , menunjukkan bahwa amplitudo dari fungsi tersebut

adalah 3, puncak gelombang ada di 3 dan -3

sedangkan y-3 =3 sin 2(x- , berarti gelombang diangkat ke atas 3 titik, sehingga

puncak gelombang fungsi y-3 =3 sin 2(x- berada pada 6 dan 0

Menggambar grafik fungsi trigonometri y =f(x)

1. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y

2. Tentukan asimtot grafik ( jika ada)

Asimtot tegak adalah harga kutub fungsi

Asimtot mendatar, karenan fungsi trigonometri bersifat periodic, maka grafik fungsi

trigonometri tidak mempunyai asimtot mendatar

3. Tentukan harga ekstrim fungsi

Harga maksimum(minimum) mutlak

Harga maksimum(minimum) realatif

Harga ekstrim batas : harga fungsi pada batas interval

4. Tentukan beberapa titik bantu

5. Hubungkan ttitik-titik tersebut dalam bentuk kurva yang “smooth”

58

Contoh : lukislah grafik fungsi dalam interval

1. Titik potong grafik dengan sumbu y, yang berarti x = 0. Sehingga y =

2. Titik potong dengan sumbu x, yang berarti y =0. Kita harus mencari penyelesaian

seperti menyelesaikan suatu persamaan trigonometri

…………sehingga tg x = x = 140+ k. 1800

3. Asimtot : tidak ada

4. Ekstrim

………..gunakan bentuk a cos x+b sin x= k cos (x-Ѳ)

….. tgѲ= -4 sehingga Ѳ= 760

Dari bentuk di atas, maka harga akan maksimum jika

dengan cos (x+760)= -1. Maka penyelesaiannya adalah saat x=1040

Dan dari bentuk di atas, maka harga akan minimum jika

dengan cos (x+760)= 1. Maka penyelesaiannya adalah saat x=2840

Ekstrim pada batas interval :

Untuk x= 00 ……………………

Untuk x = 3600 ……………

59

Sketsa grafik berikut

Titik potong sumbu y, dimana x =0 0 sehingga kita akan mempunyai harga y = 4

Latihan :

1. Grafik fungsi y = 3 + sin x

A. memotong sumbu x di banyak titik B. memotong sumbu x di tiga titik C. tidak memotong sumbu x D. memotong sumbu y dibanyak titik E. tidak memotong sumbu y

2. Dalam selang 0 < x < 2, grafik fungsi y = 1 - sin

4 + sin

x

x terletak di bawah sumbu x hanya

untuk …

A. 2

1 < x <

60

B. 2

1 < x < 2

3

C. 0 < x < D. semua x

E. semua x 2

1 dan x 2

3

3. Diketahui f (x)= 3 cos x + 4 sin x + c, c suatu konstanta. Jika nilai maksimum f (x) adalah 1,

maka nilai minimumnya …

A. 0 B. –1 C. –5 D. –9 E. –25

4. Nilai minimum dan maksimum dari fungsi y = sin x + cos x + 1 berturut-turut adalah …

A. –3 dan 3 B. –2 dan 2

C. 1 – 2 dan 1 + 2

D. –1 – 2 dan 1 + 2

E. –1 + 2 dan 1 + 2

5. Diketahui fungsi f (x) = x

x

sin

cos + 2. Garis singgung grafiknya x =

2

memotong sumbu y di

titik (0,b), b adalah …

A. 2

B. 2

C. –2 + 2

D. 2 – 2

E. 2 + 2

II Selesaikan Lukis grafik y = 3 cos x0 + sin x0 dalam interval 0 x 360 , dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Mengubah menjadi bentuk k cos (x – a)0 b. Menentukan koordinat titik balik maksimum dan minimum c. Menentukan pembuat nol d. Melukis grafiknya.

61

DAFTAR PUSTAKA

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika

. Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley

and Sons, Inc. Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New

York: Harper & Brothers Publisher. Edwin J Purcell , Dale Varberg, Steven Ridgon, Calculus, Ninth edition (2007). USA :

Pearson Prentice Hall Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin

Company. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK.

Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta:

PPPG Matematika. Trigonometry, matxtc.com Tedy Setiawan, Trigonometri 123+ 45. (2009). Bandung : Yaama Widya Wijdenes, Goniometrie Trigonometri (1950). Amsterdam