PEMBAHASAN

Perbandingan Dan Fungsi Trigonometri

Sebelum mengetahui lebih lanjut mengenai perbandingan kalau kita

sedikit mengulang pembahasan mengenai pengukuran sudut (derajat dan radian).

A. Derajat merupakan satuan yang paling sering dipakai untuk menyatakan

ukuran suatu. Satu putaran penuh besarnya 360 o (dibaca : 360 derajat). Satuan

ukuran sudut yang lainnya yang lebih kecil dari derajat adalah menit dan detik

dimana 1 dejarat = 60 menit (1o = 60’) dan 1 menit = 60 detik (1’ = 60”).

Hubungan antara satuan derajat, menit dan detik adalah sebagai berikut :

1o = 60' 1' = 60 o

1' = 1” =

1 Putaran penuh = 360o atau 1o = putaran penuh

Contoh :

1. Nyatakan ukuran-ukuran sudut berikut hanya dalam satuan derajat

a. 32o15' b. 40o30'

Penyelesaian

a. 32o15' = 32o + (15 x )o b. 40o30' = 40o + (30 x )

= 32o + 0,25o = 40o + 0,5

= 32,25o = 40,5o

2. Nyatakan ukuran sudut berikut dalam satuan derajat menit dan detik

a. 56,5o b. 30,2o

Penyelesaian

a. 56,6o = 56o + 0,6o b. 30,2o = 30o + 0,2o

= 56o + = 30o +

= 56o + 36’ = 30o + 12’= 56o36’ = 30o12’

2. Satuan Radian

Satu radian adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang menghadap besar

lingkaran dan panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu.

pada gambar di samping POQ =

= jadi

besar sudut POQ = 1 radian

contoh :

1. Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari 20 cm

a. Jika sudut pusat lingkaran 80°, tentukan panjang busurnya.

b. Tentukan besar sudut pusat lingkungan busur lingkaran yang panjangnya

10 cm

Penyelesaian :

a. diketahui sudut pusat θ = 80° - 80° x = radian dan r = 20 cm

jadi panjang besarnya adalah :

θ = s = θ x r

s = x 20 cm = cm = 8,9 π cm

b. θ = θ = = 0,5 radian

3. Hubungan antara satuan derajat dan radian

Besar sudut POQ =

= radian

= π radian

= 180°

\Q

p

ro

r

180o

hubungan antara satuan derajat dan radian adalah sebagai berikut :

1° = radian = 0,01745 radian

1 radian =

Contoh :

1. Ubahlah satuan sudut di bawah ini ke dalam, satuan radian

a. 60° b. 210°

penyelesaian

a. 60° = x π radian = π radian

b. 210° = x π radian = π radian

2. Nyatakan sudut-sudut di bawah dalam satuan derajat

a. π radian = x 180° = 45°

b. radian = x 180° = 165°

4. Perbandingan trigonometri bilangan riil

Untuk sembarang x bilangan riil, perbandingan trigonometrinya

merupakan nilai perbandingan trigonometri sudut x dalam satuan ukuran radian.

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut yang

dinyatakan dalam satuan ukuran radian, ubah sudut dalam satuan radian

menjadi sudut dalam satuan derajat. Kemudian, tentukan perbandingan nilai

trigonometri sudut dalam satuan derajat itu menggunakan tabel trigonometri

kalkulator jika sudut itu bukan sudut-sudut istimewa.

Contoh

Tentukan nilai dari sin π cos π dan tan π

Penyelesaian

a. sin ( )π = cos ( x 180°) = sin 300° = -

b. cos π = cos = cos 135 = -

c. tan = tan = tan 225 = 1

B. Perbandingan Trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku

1. Memahami perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku

a. disebut sinus sudut α disingkat sin α

b. disebut cosinus sudut α disingkat cos α

c. disebut tangan sudut α disingkat tan α

d. disebut kotangen sudut α disingkat cotan α

e. disebut sekan sudut α disingkat sec α

f. disebut kosekan sudut α disingkan cosec α

Berdasarkan gambar di atas, panjang BC = a, AC = b, dan AB = c

perbandingan trigonometri untuk sudut α dapat dinyatakan sebagai berikut:

Sin = Cosec =

α

c

a

b

b

a

c

Cos = Sec =

Tan = Cotan =

Dari perbandingan-perbandingan itu, diperoleh hubungan sebagai berikut :

Sin = atau cosec =

Cos = atau sec =

Tan = atau cot =

Tan = atau cotan =

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B dengan panjang AB = 3

cm, BC = 4 cm, dan besar sudut BAC = tentukan nilai sin , cos

, tan , cotan , dan cosec

Penyelesaian :

Misalkan AB = C, BC = a dan AC = b, dengan menggunakan teorema

Pythagoras, kita dapat menentukan panjang AC atau nilai 6, yaitu

b =

=

=

= 5 cm

c

54

3AB

Oleh karena itu,

Sin = = ● cotan = =

Cos = = ● sec =

Tan = ● cosec =

2. Diketahui tan = . Hitunglah sin dan cos

Penyelesaian

Tan = r3 sin = sin 30 = 0,5

= Arc tan r3 cos = cos 30 = r3

= 30

2. Perbandingan trigonometri pada sudut lingkaran

Gambar disamping adalah sebuah lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan

berjari-jari r, sudut alfa (α) adalah sudut antara sumbu α positif dan garis

op. garis op dapat diputar sepanjang lingkaran sehingga besar sudut α

berkisar antara 0o sampai dengan 360o

Koordinat titik P (q, y) jari-jari lingkaran itu adalah r =

Perbandingan trigonometri untuk sudut alfa (α) didefinisikan sebagai

berikut

a. sin α = c. tan α = e. sec α =

b. cos α = d. cotan α = f. cosec α =

3. Perbandingan trigonometri sudut khusus

Nilai fungsi trigonometri sudut khusus dinyatakan dalam tabel berikut ini

α 0° 30° 45° 60° 90°Sin α 0 ½ ½ ½ 1Cos 1 ½ ½ ½ 0Tan 0 1 -

Cosec - 2r3

1

Sec 1 2 -

Cotg - 1 0

Contoh :

1. Diketahui koordinat titik P adalah (-4, 3) dan besar sudut xop = α.

Tentukan sin α, cos α, tan α, cotan α, sec α dan cosec α

Penyelesaian

P merupakan suatu titik yang dilalui oleh lingkaran dengan pusat 0

(0,0) dan jari-jari r. nilai r dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

sebagai berikut :

r =

=

=

= 25

= 5

Oleh karena itu,

a. sin α =

b. cos α =

c. tan α =

d. cotan α =

e. sec α =

f. cosec α =

2. Hitunglah nilai dari sin 30 + cos 60° + tan 45°

Penyelesaian

Sin 30° =

Cos 60° =

Tan 45° = 1

Jadi sin 30 + cos 60 tan 45 = + + 1 = 2

3. Hitunglah nilai dari sin 45 x cos 30 + cos 45

Penyelesaian

Sin 45° = maka sin 45 x cos 30 cos 45

Cos 30° = = x +

Cos 45 = = +

4. Perbandingan trigonometri sudut-sudut di semula kuadrat Kudran II 90° α 180°Fin (+) Cosec (+)

Kuadian 0° α 90°Semua positif

Kuadran III 180° α 270°tg (+) cotg (+)

Kuadran IV 270° α 360°Cos (+)Sec (+)

a. Perbandingan trigonometri sudut α° dengan sudut (90 ± α°)

Sin (90° - α) = cos α

Cos (90° - α) = sin α

Sin (90° + α) = cos α

Cos (90° + α) = -sin α

Tg (90° - α) = cotg α

Cosec (90° - α) = sec α

Sec (90° - α) = cosec α

Cotg (90° - α) = tg α

Tg (90° + α) = c-otg α

Cosec (90° + α) = sec α

Sec (90° + α) = -cos α

Cotg (90° + α) = -tg α

Contoh

sin 45° = sin (90° - 45°) = cos45°

cos 60° = cos (90° - 30°) = sin30°

tg 50° = tg (90° - 40°) = cotg40°

sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°

cos 100° = cos (90° + 27°) = -sin 27°

tg 125° = tg (90° + 35°) = cotg 35°

b. Perbandingan Tarigonometri sudut α dengan sudut (180 ± α°)

sin (180° - α) = sin α

cos (180° - α) = sin α

tg (180° - α) = tg α

cosec (180° - α) = cosec α

sec (180° - α) = sec α

cotg (90° - α) = -cotg α

sin (180° + α) = - sin α

cos (180° + α) = - cos α

tg (180° + α) = tg α

cosec (90° + α) = - cosec α

sec (90° + α) = - sec α

cotg (90° + α) = cotg α

Contoh

sin 150° = sin (180° - 30°) = sin45°

cos 135° = cos (180° - 60°) = cos60°

tg 120° = tg (180° - 60°) = tg 60°

sin 100° = sin (180° + 10°) = cos 10°

cos 210° = cos (180° + 27°) = -cos30°

tg 225° = tg (180° + 45°) = tg45°

c. Perbandingan Trigonometri sudut α° dengan sudut (27 ± α°)

sin (180° - α) = sin α

cos (180° - α) = sin α

tg (180° - α) = tg α

cosec (180° - α) = cosec α

sec (180° - α) = sec α

cotg (90° - α) = -cotg α

sin (180° + α) = - sin α

cos (180° + α) = - cos α

tg (180° + α) = tg α

cosec (90° + α) = - cosec α

sec (90° + α) = - sec α

cotg (90° + α) = cotg α

Contoh

sin 150° = sin (180° - 30°) = sin45°

cos 135° = cos (180° - 60°) = cos60°

sin 100° = sin (180° + 10°) = cos 10°

cos 210° = cos (180° + 27°) = -cos30°

tg 120° = tg (180° - 60°) = tg 60° tg 225° = tg (180° + 45°) = tg45°

d. Perbandingan Trigonometri sudut dengan sudut – α

sin (-α) = - sin α

cos (-α) = cos α

tg (-α) = - tg α

cosec (-α) = - cosec

sec (-α) = sec α

cotg (-α) – cotgα

Contoh :

Sin 45° = - sin 45°

cos -117° = cos 117° = cos (90° + 27°) = - sin 27°

tg – 120° = - tg120° = - tg (180° - 60° = - (-1960°) = tg60°

cosec - 210° = - cosec 250° = sec (270° - 20°) = - cosec 20°

cotg - 315° = - cotg 315° = - cotg (270° + 45°) = - (-tg 45°) = tg 45°

e. Perbandingan trigonometri sudut (n. 360 - α°) dengan sudut (n.360 + α)

sin (n.306 - α°) = sin (-α) = - sin α

cos (n.306 - α°) = cos (-α) = cos α

tg (n.306 - α°) = tg (-α) = - tg α

cosec (n.306 - α°) = cosec (-α) = - cosecα

sec (n.306 - α°) = sec (-α) = - sec α

cotg (n.306 - α°) = cotg (-α) = - cotg α

sin (n.306 + α°) = sin α

cos (n.306 + α°) = cos α

tg (n.306 + α°) = tg α

cosec (n.306 + α°) = cosec α

cosec (n.306 + α°) = sec α

cotg (n.306 + α°) = cotg α

Contoh

sin 300° = sin (1 x 460 - 60°) = sin (-60) = - sin 60

cos 285 = cos (1 x 360 - 75°) = cos (-75°) = cos 75°

tg 700° = tg (2 x 360 - 20°) = tg )-(-20°) = - tg 20°

sin 400° = sin (1 x 360 + 40°) = sin 40°

cos 750° = cos (2 x 360 + 30°) = cos 30°

tg 900° = tg (2 x 360 + 180°) = tg 180°

Fungsi Trigonometri

Pengertian Fungsi Trigonometri

Adalah hubungan fungsional antara himpunan t ke himpunan bilangan real (R),

seperti ditunjukkan pada berikut

Hubungan fungsional tersebut dinamakan fungsi trigonometri

Grafik Fungsi Trigonometri

A. Grafik Fungsi Sinus

Grafik fungsi f (x) = sin x, untuk domain { x 10 x 2 π, x R}

dengan membuat tabel nilai fungsi untuk beberapa nilai x

Misalkan y = f (x), kemudian kita buat tabel berikut :

Y = sin x, 0 x π

X rad 0 π

Y 0 1 0

Y = sin x, 0 x π

X rad

2π

Y - -1 0

Maka berdasarkan tabel tersebut kita bisa menggambar grafik y = sin x

untuk 0< x < 2π dan xR

t sin t t cos t t tan t

Sifat-sifat utama sinus adalah sebagai berikut :

1. Grafik y = sin x kontinyu dalam interval 0 x 2π

2. Titik balik maximum dalam interval 0 x 2 π di A ( , 1), jadi,

nilai maksimum fungsi sinus f (x) = sin x adalah 1 pada saat x = ,1)

saat x = rad

3. TIHK balik minimum dalam interval 0 x 2 π di B ( jadi,

nilai minimum fungsi sinus f(x) = sin x adalah -1 pada saat x = fad

4. Untuk 0 x < π, f > 0, untuk π < x < 2π, f < 0, dan untuk x = 0, x = π,

dan x = 2π, f = 0

5. Menurut rumus, sin (n x 2 π + x) = sin x, maka :

Sin (1 x 2 π + y) = sin (2π + x) = sin y

Sin (2 x 2 π + x) = sin (4π + x) = sin y

Sin (3 x 2 π + x) = sin (6π + x) = sin y, dan seterusnya

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa grafik y = sin x berulang

kembali setelah 2 π. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = sin x adalah

fungsi berkala (fungsi periodik) dengan besar tiap periode 2π.

B. Grafik Fungsi cosinus

Kita akan membuat grafik fungsi f (x) cos x dengan dominan {x 10 x

2π}

Kita buat tabel seperti berikut ini!

Y = cos x, 0 x π

X rad

0 π

Y 0 0 - - -1

Y = cos x, π < x 2π

X rad

2π

Y - - - 0 1

Berdasarkan tabel tersebut kita dapat membuat grafik y = cos x untuk 0

x 2π dan xR π

Sifat-sifat utama fungsi, cosinus adalah sebagai berikut

1. Grafik y = cos x kontinyu dalam interval 0 x 2 π

2. Grafik y = cos x merupakan peta (bayangan) dari grafik y = sin x oleh

tranlasi ( . Jadi grafik y = cos x dapat diperoleh dengan

menggeser grafik y = sin x kekiri sejauh

3. Titik balik maksimum dalam interval 0 x 2 π di P (01) dan R (2π,

1). Jadi, nilai maksimum fungsi cosinus f (x) = cos x adalah 1 pada x =

0 rad atau x = 2 π rad.

4. Titik balik minimum dalam interval 0 x 2π di Q (π , -1). Jadi nilai

minimum fungsi cosinus f(x) = cos x adalah -1 pada x = π rad

5. Untuk 0 x < atau π < x 2 π, f (x) > 0

Untuk < x < π, f (x) < 0, dan

f(x) = 0 di x = dan x : π

6. Dari Rumus cos (n x 2π + x) = cos x, n B+, disimpulkan bahwa

fungsi f(x) = cos x adalah fungsi berkala dengan periode 2 π

C. Grafik fungsi tangen

Kita juga akan menggambar grafik fungsi f(x) : tan x, dengan domain { x

10 x 2π}

Kita buat tabel sebagai berikut

Y = tan x, 0 x 2π

X rad

0 π π π π 2π

Y 0 -1 Td -1 0 -1 Td -1 0

Berdasarkan tabel tersebut di atas kita dapat membuat grafik y = tan x

untuk 0 x 2π dan xR

Dari grafik tangen di atas dapat diperoleh keterangan berikut

1. Grafik y = tan x, diskontinu di x = π dan y = π

2. Tidak mempunyai titik balik

3. Garis x = π dan y = 1 π disebut asimtot

4. Periode fungsi tangan adalah π, karena dari y = 0 hingga y = π kurva

berulang

5. Apabila x mendekati : , , …. Fungsi y = ton x mendekati α

(positif atau negatif)

Persamaan Trigonometri

Bentuk sin x° = 0,5, cos x° = -0,2846, dan tan x° = 0,5745 merupakan

contoh persamaan trigonometri yang sederhana menyelesaikan persamaan

trigonometri diatas berarti menentukan sudut x yang memenuhi persamaan

tersebut untuk memenuhi persamaan tersebut untuk memahami hal ini

perhatikan ketiga contoh berikut contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x° = 0,5 untuk 0 x 2π!

Jawab

Langkah-langkah

Sin x = 0,5

Sin x = sin atau

Sin x = sin (π - )

X = atau x = π - = π

Jadi. Himpunan penyelesaiannya

= ( ; π)

Keterangan

Sin x = 0,5 maka x pada kuadran

1 dan II, nilai sin x = 0,5 maka x

(kuadran 1) atau x = (x-

(kuadran II)

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x° = 0,2846 untuk 0 x 360!

Jawab :

Cos x° = -0,2846

Untuk cos x° = 0,2846, x° = 73,47°

Maka cos x° = cos° (180 – 73,47)°

x = cos,53

atau

cos x° = cos (180 + 73,47) °

x = 253,47

jadi hp = {106,53; 253.47}

contoh 3

tentukan himpunan penyelesaian tan x° = - 0.5735 untuk 0 x 360!

Jawab :

Tan x° = -0,5735

Untuk tan x° = 0,5735, x° = 29,83

Maka tan x° = tan (180 – 29,83) °

X = 150,17

Atau

Tan x° = tan (360 + 29,83)°

x = 330,17

jadi, himpunan penyelesaiannya = (150,17; 33017)

I. Identitas trigonometri

Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku pada gambar

adalah seperti pada tabel di bawah ini

Terhadap θ

Sin θ =

Terhadap a

Sin a =

a

θ

y

x

Cos θ =

Tan θ =

Cos θ =

Cos a

Tan a =

Cos a =

Dari rumus-rumus diatas dapat diperoleh hal-hal berikut ini :

1. Jumlah sudut θ + a = 90 a = 90° - θ maka

Sin a = cos θ = atau sin (90° - θ) = cos θ

Cos α = sin θ = atau cos (90° - θ) = cos θ

Tan α = cos θ = atau cos (90° - θ) = tan θ

II. sin θ = atau y = r sin θ

cos θ = aau x = r cos θ

dari teorema Pythagoras : x2 + y2 = r2, maka

(r cos θ) + (r sin θ)2 = r2

r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r2

cos2 θ + sin2 θ = r

III. tan θ = dan cos θ =

IV. cos2 + sin2 θ = 1

1 +

1 +

1 + tan2 θ = (sec θ)2

1 + tan θ = sec2 θ, dan cos2 θ + sin2 θ = 1

Cot2 θ + 1 = csc2 θ

Contoh

Buktikan bahwa :

1. cos α (1 - tan α) = cos α – sin α

jawab

cos α ( 1 – tan α) = cos α – cos α tan α

= cos α – cos α (

cos α (1-tan α) = cos α – α

Diketahui cos α = dan α sudut lancir tentukan nilai sin α dan tga!

Jawab

a. sin2α + cos2 α = 1

sin2 α = 1 - cos2 α

sin2 α = 1 - =

sin α = (diambil nilai sin α positif, karena sudut α, lancip)

b. tan α =

3. Buktikan bahwa cos α + tan α, sin α = sec α

Bukti :

Cos α + tn α, cos α = cos α + sin α =

= = sec α (terbukti)

2.

Soal-soal Latihan

1.

Tentukan nilai fungsi trigonometri segitiga tersebut!

Penyelesaian

Sin α° =

Cos α° =

Tg α° =

Cosec α° =

Sec α°

Cotg α° =

2. Hitunglah nilai fungsi trigonometri berikut:

a. Sin 60° + cos 30° b. sin 45° cos 60° + tg 45°

Penyelesaian

a. sin 60° + cos 30° =

b. sin 45° cos 60° + tg 45° =

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut:

sin 2x° = sin 60° (0 ≤ x ≤ 360°)

Penyelesaian

sin 2x° = sin 60° (0 ≤ x ≤ 360°)

2x° = 60° + k.360° atau

k = 0 x = 30°

k = 1 x = 210°

2x° = (180-60)° + k.360°, k B

K = 60° + k.180°

k = 0 x = 60°

k = 1 x = 240°

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut:

cos x = (0 ≤ x ≤ 2π°)

α

610

8

α

610

8

Penyelesaian

cos x = = cos , maka diperoleh

atau

K = 0 x =

K = 1 x =

Jadi, HP =

5. Tentukan semua sudut yang memenuhi persamaan

5 cos2 θ + 3 cos θ – 2 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Penyelesaian

5 cos2 θ + 3 cos θ – 2 = 0

Persamaan Kuadrat dalam

Variabel cos θ

Faktor seolah-olah persamaan di atas berbentuk:

5x2 + 3x – 2 = 0

(5x – 2)(x + 1) = 0

(5 cos θ – 2)(cos θ + 1) = 0

Cos θ = atau cos θ = -1

Jika cos θ = = 0,4 maka

θ= 66,42° atau 293,58°

Jika cos θ = -1 maka

θ = 180°

Jadi sudut yang memenuhi adalah θ = 66,42° ; 180° ; 293,58°

6. Sin4α – sin2 α = cos4 α – cos2 α

Penyelesaian

Cara I

(sin2 α)2 - sin2 α

= (1 – cos2 α)2 – (1 – cos2 α)

= 1 – 2 cos2 α + cos4 α – 1 + cos2 α

Sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α

Cara II

Ruas kiri = sin2 α (sin2 α – 1)

= - (1 – cos2 α) cos2 α

Sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α

7. Jika a sin x + b cos x = sin (30° + x) untuk setiap x maka + b = …

Penyelesaian

a sin x + b cos x = sin (30° + x)

sin (30° + °) = sin 30° cos x + 30° sinx

= cos x + sin x

= sin x + cos x

Diperoleh a = dan b =

8. Nilai tan 75° = ….

Penyelesaian

Tan 75° + tan 15°

=

=

=

=

=

9. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 4 sin x cos x = 2

dengan 0 ≤ x ≤ 2π° adalah ….

Penyelesaian

Jadi HP =

10. Himpunan penyelesaian persamaan sin (x + (210)° + sin (x – 210)° =

untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ….

Penyelesaian

sin (x + 210)° + sin (x - 210)° =

2 sin x cos 210° =

2 sin x . ( ) =

Sin x = = sin 210°

(i) x = 210° + k.360° = 210°

(ii) x = 180° - 210° + k.360°

= -30° + k.360°

= 330°

Jadi Himpunan Penyelesaiannya {210°,330°}