SISTEM PERSAMAAN KUADRAT

1

SILABI

• Fungsi kuadrat

- Identifikasi persamaan kuadrat

- Lingkaran

- Elips

- Hiperbola

- Parabola

2

Fungsi Kuadrat dan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat Fungsi dengan pangkat tertinggi variabelnya dua

Bentuk garisnya melengkung dan hanya punya satu titik puncak

• Bentuk Umum :f(x) = ax2 + bx + c atau Y = ax2 + bx + c a ≠ 0

Grafika =

Titik puncak (h,k) h = - b 2a k = b2 – 4ac = D

-4a - 4a

+Y

x

Ya = -

x

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat1.Titik potong dengan sumbu koordinat

a.Memotong sumbu x y = 0 ax2 + bx + c = 0

D = b2- 4ac ≥ 0b. Memotong sumbu y x = 0 y = c

(0, c) 2.Nilai balik x = - b 2a Y = D -4 a3. Koordinat titik balik -b , D 2a -4a

4. Jenis titik balik a > 0 kurva terbuka keatas minimum a < 0 kurva tebuka ke bawah maksimum

Mencari Grafik Fungsi KuadratCara :

- Cari titik puncak- Cari nilai x dan y lainnya dengtan cara memasukkan nilai x pada persamaan untuk

memperoleh nilai y, atau dapat juga mencari titik potong sumbu x dan yContoh :

Y = x2 – 2x – 3

Titik puncak :h = - b = - (-2) = 1 2a 2.1k = D = b2 – 4 ac - 4a - 4a

= (-2)2 – (4.1.-3)- 4.1

= 16 = - 4 - 4

Jadi titik puncak p (h,k) = ( 1,-4) Titik potong sumbu x y = 0

X2 -2 x -3 = 0(x-3) (x+1) = 0 x -3 = 0 x + 1 = 0 x1 = 3 x2 = -1

Jadi (3,0) Jadi ( -1,0)

Titik potong sumbu y x = 0

X2 - 2x - 3 = y

02 - 2.0 - 3 = y Y = - 3 jadi (0,- 3)

x -2 0 1 2 4

y 5 -3 -4 -3 5 (4,5)(-2,5)

(-1, 0)

(0,-3) (1, - 4)

Contoh soal• Cari titik puncak, titik potong sumbu x

dan y serta gambar grafiknya• Y = 2 + 3x + x2 • y = 2 + 5x + 2x2

• y = 2x2 + 8x + 1• Y = 3x2 + 2x -7• Y = x2 – 15 x -7 • Y = 5x2 + 3x - 1• Y = X2 – 23 x -8

Gambar Potongan Kerucut

Lingkaran

Elips

Parabola

Hiperbola

9

Identifikasi Persamaan KuadratAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0• Jika B = 0 dan A = C ≠ 0 lingkaran• Jika B2 – 4AC < 0 Elips• Jika B2 – 4AC > 0 Hiperbola• Jika B2 – 4AC = 0 Parabola

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0• Jika A = C ≠ 0 lingkaran• Jika A ≠ C, tanda sama elips• Jika A dan C berlawanan tanda Hiperbola• Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya

parabola10

Lingkaran

• Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama.

• Persamaan lingkaran menjadi sederhana bila pusat lingkaran berimpit dengan asal 0. Berlaku hukum Pythagoras x2 + y2 = r2

11

Lingkaran ©Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k) , maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran :

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

x (x – h), y (y – k)

Dapat ditulis

x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2+r2)=0

r

r

y

x

M(h,k)

xh

k

y

P(x,y)

P(x,y)

x

y

h dan k bisa positif / negatif persamaan lingkaran :

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 A = C dan B = 0 12

Elips

• Elips didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang jumlah jaraknya hingga dua titik tertentu, yang dinamakan fokus F dan F’ adalah tetap.

• Persamaan elips menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di pertengahan FF’ dan sumbu y tegak lurus FF’.

• Misal 0F = 0F’ = c, PF + PF’ = 2a dan a2 – c2 = b2

13

Elips ©

xa

cayxc

cxyxcaacx

yxc

yxcayxc

a – PF PF’

a PF PF’

b – cdan a

a PF’ c, PF F’ F

22

222

222

2222

222

)(

2)(442

dikanandan dikiri

dikurangidan an dikuadratk

)(2)(

2

2

200Y

X

P (x,y)

x cAa0-c

y rr’F’ FA’

B

Bb

1 -- dengan dibagi

1

22 :andikuadratk

2

2

2

2222

22222

2

22

22222

b

y

a

xbca

cayxa

c

xa

ccxayxcxc

14

Elips ©• Adapun AA’ adalah sumbu mayor dan BB’

adalah sumbu minor elips. Bila elips dipindahkan sejajar sehingga pusatnya tidak lagi di 0. titik M (h,k) maka :

• Bentuk umum persamaan elips :

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

15

Parabola

• Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direkstris

• Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y.

• Dengan hukum pythagoras :x2 + (y – x)2 = (y + x)2

x2 – 2yp = 2ypx2 = 4pyy = ¼ px2 = ax2

16

Parabola ©Y

Xd

T0 p

pF y – p

y + pP(x,y)

M(h,k)

Bila parabola dipindahan sejajar sehingga puncaknya tidak lagi 0 tetapi di M(h,k) maka:

(x - h)2 = 4p(y - k)

x2 - 2hx - 4py + (h2 + 4pk) = 0

Ax2 + Dx + Ey + F = 0

Cx2 + Dx + Ey + F = 0

a

acb

a

b

4

4,

2

EkstrimTitik 2

17

Hiperbola

• Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

18

Hiperbola ©y

x0

(i,j)

asimtot

Sumbu lintang

y

x0

(i,j) asimtot

Sumbu lintang

Rumus Umum :

Ax2 – Cy2 + Dx + Ey + F =019