Bab 3 - Sistem Persamaan Dan Pertidaksamaan (Final)

Bab 3 Persamaan dan Petidaksamaan

A. Sistem Persamaan linier1. Pengertian Sistem Persamaan Linier

Jika beberapa persamaan merupakan satu kesatuan, dengan kata lain persamaan yang satu berkaitan dengan persamaan yang lain, maka persamaan-persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan. Secara umum, suatu sistem persamaan dinotasikan sebagai berikut.

Contoh dari suatu sistem persamaan misalnya

Menentukan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut artinya menentukan nilai-nilai yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.

Pada bagian ini akan diuraikan cara menentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan.2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)a. Metode Grafik

Secara geometris, persamaan linier dua variabel merupakan sebuah persamaan garis. Jika ada dua persamaan, artinya ada dua garis. SPLDV tersebut bisa diselesaikan jika kedua garis tersebut berpotongan. Dan yang merupakan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah titik potong kedua garis tersebut. Oleh sebab itu, salah satu cara menyelesaikan sebuah SPLDV ialah dengan menggunakan grafik.Perhatikan contoh berikut.

Dengan menggunakan grafik, tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut :

Penyelesian:Dari grafik pada Gambar 3.1, titik potong dan adalah , sehingga merupakan penyelesaian dari SPLDV tersebut.

b. Metode Substitusi

Pada dasarnya, yang dimaksud dengan metode substitusi adalah mensubstitusikan nilai suatu variabel ke persamaan lain. Tujuannya untuk membentuk persamaan linier satu variabel, sehingga nilai variabel tersebut dapat diketahui.

Perhatikan contoh berikut.

Dengan menggunakan metode substitusi, selesaikan SPLDV berikut :

Penyelesaian:Diketahui SPLDV berikut :

Dari persamaan (1), didapat . Jika persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2), didapat

Jika nilai x = 2 disubtitusikan ke persamaan (1), didapat

Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah (2,3)

c. Metode Eliminasi

Selain dengan menggunakan metode substitusi, Anda juga dapat menggunakan metode lain untuk menyelesaian suatu SPLDV. Metode tersebut adalah metode eliminasi.

Kata eliminasi merupakan padanan dari kata penghilangan. Maka, yang dimaksud dengan metode substitusi adalah metode dengan melakukan penghilangan salah satu variablnya. Penghilangan tersebut dimaksudkan agar yang terseisa hanya sebuah persamaan dengan satu variabel, sehingga variabel tersebut dapat diketahui nilainya.

Adapun cara menghilangkan cariabel tersebut adalah dengan menjumlahkan kedua persamaan atau mengurangkan satu persamaan oleh persamaan yang lain.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Dengan menggunakan metode eliminasi, selesaikan SPLDV berikut :

Penyelesaian:

Diketahui SPLDV berikut :

jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan didapat

Untuk mendapatkan nilai y, caranya sebagai berikut :

Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah .

Perhatikan bahwa untuk mendapatkan nilai x, Anda harus mengeliminasi variabel y. Sebaliknya, untuk mendapatkan nilai y, Anda harus mengeliminasi variabel x. Cara mengeliminasi bisa dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan. Selain itu, Anda dapat mengalikan satu persamaan dengan sebuah konstanta untuk menghilangkan salah satu variabel persamaan.

d. Metode Eliminasi SubstitusiUntuk mencari penyelesaian dari sebuah SPLDV, Anda telah mengenal tiga buah metode, yaitu dengan cara grafik, dengan cara substitusi, dan dengan cara eliminasi. Masing-masing cara tentu memiliki kelebihan dan kelemahannya masing-masing. Terutama yang berkaitan dengan kecepatan pengerjaan soal dan kesederhanaan penghitungan.

Metode substitusi memiliki kelebihan dalam kecepatan, namun memiliki kekurangan yaitu kadang melibatkan penghitungan yang cukup rumit, seperti penjumlahan pecahan, dan sebagainya. Metode eliminasi dapat menyederhanakan perhitungan dengan tanpa banyak melibatkan bilangan pecahan.Namun kelemahannya bahwa metode ini cukup penjang dan menyita banyak lahan. Sementara metode grafik tentu lebih menuntut ketelitian dalam menggambar.

Untuk mengurangi dari masing-masing kelemahan setiap metode, berikut ini akan kita pelajari meode campuran. Yang dimaksud dengan metode campuran adalah menggabungkan metode eliminasi dan substitusi untuk menentukan penyelesaian dari suatu SPLDV.

Pertama lakukan eliminasi untuk menentukan nilai salah satu variabel, kemudian dilanjutkan dengan mensubstitusikan nilai yang didapat ke salah satu persamaan. Dengan demikian, kedua variabel tersebut dapat diketahui nilainya. Dengan kata lain, SPLDV tersebut terselesaikan.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Dengan menggunakan metode campuran, selesaikan SPLDV berikut :

Penyelesaian:Diketahui SPLDV berikut :

Langkah pertama, lakukan metode eliminasi.

Subtitusikan ke persamaan (2), didapat

Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah

3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Selain menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel, Anda juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier yang mengandung tiga variabel. Jika syarat untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dua variabel harus ada dua persamaan, maka untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel, Anda setidaknya memerlukan tiga persamaan.

Selanjutnya Anda dapat menggunakan cara eliminasisubstitusi untuk menyelesaikannya. Supaya lebih jelas, perhatikan contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

Penyelesaian:Buat sistem persamaan linier tersebut menjadi sistem persamaan linier dua variabel. Misalnya dengan mengeliminasi variabel z.

Dari persamaan (1) dan (2)



Dari persamaan (5)

Dari persamaan (1)

Dengan demikian didapat penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah Ditulis

B. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel

Jika Anda menemui sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linier dan persamaan kuadrat, Anda dapat pula menycari penyelesaian dari sietem persamaan tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

Penyelesaian:Jika anda kurangkan persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat

Dengan menggunakan pemfaktoran,

Dari persamaan (2),

Untuk

Untuk

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah .

Secara geometris, penyelesaian dari sistem persamaan yang terdiri dari persamaan dan merupakan titik potong antara parabola dengan garis .Dengan cara yang sama, Anda dapat menentukan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dengan persamaan kuadrat yang lain. Secara geometris, ini artinya Anda menentukan titik potong dari kedua grafik fungsi kuadrat tersebut.

Tentukan koordinat titik potong kurva dengan kurva

Penyelesaian:Diketahui persamaan berikut:

Jika persamaan (1) dikurangkan oleh persamaan (2), didapat

Dari persamaan (2),

Untuk

Untuk

Dengan demikian, titik potong grafik fungsi dengan grafik fungsi adalah .

C. Pertidaksamaan Liner Satu VariabelSetelah Anda mempelajari sistem persamaan dan penyelesaiannya, sekarang Anda akan mempelajari mengenai pertidaksamaan.Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang dihubungkan dengan tanda . Seperti halnya pada persamaan, menyelesaikan suatu pertidaksamaan artinya menentukan nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan seringkali berupa selang atau interval. Untuk menggambarkan batas-batas interval pada garis bilangan, biasanya digunakan tanda tanda sebagai berikut.

1. Tanda ( (lingkaran penuh) menunjukkan bahwa bilangan pada tanda ini termasuk ke dalam interval. 2. Tanda ( (lingkaran kosong) menunjukkan bahwa bilangan pada tanda ini tidak termasuk ke dalam interval.

3. tanda panah menunjukan bahwa interval tersebut berlanjut sampai tak hingga ke kanan atau ke kiri. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut.No.Notasi PadaGaris BilanganPenulisanNotasi HimpunanPenulisanNotasi Interval

1.

2.

3.

4.

5.

Selain itu, beberapa sifat yang harus Anda kuasai dari pertidaksamaan adalah sebagai berikut.Untuk berlaku:

a. Sifat selalu positifb.

c. Sifat Transitif

a. Jika

b. Jika

d. Sifat Penjumlahan

a. Jika

b. Jika

Maksudnya: jika dua ruas pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.

e. Sifat Perkaliana. Jika

b. Jika

c. Jika

d. Jika

Maksudnya: jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Sedangkan jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan berubah.

f. Sifat Unsur-unsur Perkalian

a. Jika

b. Jika

Maksudnya: jika perkalian dua buah bilangan bernilai positif, maka kedua bilangan itu sama-sama positif atau sama-sama negatif. Sebaliknya, jika perkalian dua buah bilangan bernilai negatif, maka salah satu dari bilangan itu asalah bilangan negatif, dan yang satunya lagi positif.

Sebagai awal pembahasan, pertidaksamaan yang akan dibahas pada bagian ini adalah pertidaksamaan linier dengan satu variabel.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut.1.

3.

2.

Penyelesaian:1.

Maka penyelesaian dari adalah

Bila digambarkan pada garis bilangan, penyelesaian tersebut adalah sebagai berikut:

2.


3.


D. Pertidaksamaan yang Memuat Bentuk Pecahan

Sekarang Anda dihadapkan pada pertidaksaman yang memuat bentuk pecahan aljabar. Misalnya . Dalam hal ini, biasanya secara tergesa-gesa Anda melakukan perkalian silang untuk menyelesaikannya, yaitu . Padahal langkah ini keliru. Anda tidak dapat mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan yang belum diketahui nilainya apakah positif atau negatif. Dengan demikian, perkalian silang tidak berlaku di sini. Lalu bagaimanakah cara menyelesaikan pertidaksamaan tersebut?

Contoh berikut akan menjelaskan langkah-langkah saharusnya yang dapat Anda lakukan dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan yang memuat pecahan bentuk aljabar.

Tentukan penyelesaian dari pertisaksamaan berikut.

1.

2.

Penyelesaian:1.

Langkah 1: Ubah ruas kanan menjadi 0

Langkah 2: Tentukan titik-titik kritis pada garis bilangan.

Yang dimaksud titik kritis adalah titik-titik yang memungkinkan interval berganti tanda. Titik-titik tersebut dicapai jika pembilang atau penyebut .

Jika , dan jika

Dengan demikian, gambar garis bilangannya adalah seperti pada Gambar 3.6.Dari gambar garis bilangan tersebut, terdapat tiga interval, yaitu .

Dengan mengambil beberapa titik, Anda dapat menentukan nilai fungsi pada masing-masing interval. Misalnya Anda ambil . Maka didapat

Dari hasil pengecekan di atas, maka nilai setiap interval pada garis bilangan dapat digambarkan seperti pada Gambar 3.7.Dari gambar tersebut, maka penyelesaian dari atau adalah interval yang bernilai negatif, yaitu . Selanjutnya karena terdapat tanda pada pertidaksamaan di dalam soal, maka artinya pembilang boleh nol, sedangkan penyebut tetap tidak boleh nol. Oleh karena itu, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah

(Gambar 3.8).2.

Langkah 1: Tidak perlu dilakukan, karena ruas kanan sudah 0. Langkah 2: Tentukan titik-titik kritis pada garis bilangan.

Sampai di sini Anda harus ingat bahwa Anda tidak boleh mencoret pada pertidaksamaan tersebut.

Dari pertisaksamaan tersebut, terdapat tiga titik kritis, yaitu . Dengan demikian, pada garis bilangan terdapat empat interval, yaitu Gambar 3.9.Seperti biasa, Anda dipersilakan menambil beberapa nilai x untuk menentukan nilai dari masing-masing interval. Misalnya Anda mengambil . Jika masing-masing nilai dimasukkan ke fungsi , didapat:

Dari hasil pengecekan di atas, Anda telah mengetahui nilai dari masing-masing interval pada garis bilangan seperti pada Gambar 3.10.Dari gambar tersebut, maka penyelesaian dari adalah interval yang bernilai positif, yaitu . Selanjutnya karena terdapat tanda pada pertidaksamaan di dalam soal, maka artinya pembilang boleh nol, sedangkan penyebut tetap tidak boleh nol. Oleh karena itu, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah dan di ilustrasikan pada Gambar 3.11.

E. Pertidaksamaan yang Memuat Bentuk Akar

Pertidaksamaan yang akan dibahas kali ini adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk akar. Hal yang harus Anda ingat dalam menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat bentuk akar adalah bahwa bilangan di dalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol (). Dan karena nilai bilangan di dalam akar harus selalu lebih dari atau sama dengan nol, maka Anda dapat mengkuadratkan kedua ruas untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut.Dengan demikian, jika , maka dipenuhi bahwa , , dan .Untuk lebih jelasnya, silakan perhatikan contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan

Penyelesaian:Penyelesaian dari pertidaksamaan di atas haruslah memenuhi ketiga syarat berikut. Syarat 1: .(penyelesaian 1) Syarat 2: .

(penyelesaian 2) Syarat 3:

(penyelesaian 3)Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan adalah irisan dari daerah penyelesaian 1, daerah penyelesaian 2, dan daerah penyelesaian 3. Daerah tersebut digambarkan sebagai berikut.

Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan adalah

F. Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak1. Pengertian Nilai Mutlak

Pada bab Fungsi dan Persamaan Kuadrat, Anda telah diperkenalkan dengan nilai mutlak suatu bilangan (dinotasikan dengan ).

dibaca nilai mutlak dari x, didefinisikan sebagai berikut:

Oleh karena itu, maka . Demikian seterusnya, sehingga nilai mutlak dari suatu bilangan selalu bernilai .

Banyak hal-hal yang selalu bernilai positif atau nol dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya jarak dua benda, selisih dua bilangan, panjang, luas, dan sebagainya. Nilai-nilai tersebut dapat dituliskan dalam notasi nilai mutlak.

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai MutlakBerikut disajikan sifat-sifat dari pertidaksamaan nilai mutlak.

1. dengan

2. dengan

3.

4.

5. (tanda mutlak dapat dihilangkan dengan menguadrat-kan kedua ruas tanpa mengubah tanda pertidaksamaan)

6. (tanda mutlak dapat dihilangkan dengan menguadrat-kan kedua ruas tanpa mengubah tanda pertidaksamaan)Sifat 1 4 dapat anda buktikan berdasarkan definisi di atas. Sedangkan sifat 5 dan 6 diperoleh dari definisi berikut:

Dengan demikian, untuk menghilangkan tanda mulak, Anda dapat menguadratkan kedua ruas persamaan tersebut. Selanjutnya secara umum Anda dapat mengganti variabel x dengan . 3. Menyelesaikan pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak

Berikut disajikan beberapa contoh cara menyelesaikan suatu pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak.

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

1.

3.

2.

4.

Penyelesaian:1.

Jadi,

2.

Jadi,

3.

Jadi,

4.

Dengan demikian, penyelesaian dari adalah

G. Menerapkan Konsep Pertidaksamaan dalam Menyelesiakan Masalah

Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan dan pertidaksamaan. Berikut beberapa di antaranya.

Seorang Pemilik toko ATK membeli 3 rim kertas HVS seharga Rp. 125.000. Jika pemilik toko menghendaki keuntungan yang diperoleh dari penjualan tersebut lebih dari 8%, tentukan batas harga jual satu lembar kertas!

Penyelesaian:Misalkan harga jual satu lembar kertas adalah x.

Harga beli 3 rim kertas (B)= 125000

Keuntungan minimal (K)= 8%

Karena pemilik toko menginginkan keuntungan lebih dari 8 % maka harga jual harus lebih besar dari harga beli ditambah keuntungan minimal yang diinginkan.

Harga jual 3 rim kertas (J) adalah

Jadi, harga jual satu lembar kertas lebih dari Rp.90,00.

Pak Maskam akan membuat sebuah kolam ikan berbentuk persegi panjang dengan keliling 30 meter. Agar ikan-ikan yang ia miliki merasa leluasa berada di kolam tersebut maka kolam harus memiliki luas paling sedikit 50 meter persegi.

Tentukanlah batasan panjang kolam ikan yang harus dibuat.Penyelesaian:Keliling kolam ikan (K) adalah 30 meter

Luas kolam ikan (L) paling sedikit 50 meter persegi

Terdapat tiga interval pada garis bilangan seperti gambar di samping. Jadi, ukuran panjang kolam ikan tersebut adalah antara 5 meter sampai 10 meter.

Kata Kunci : Persamaan, Sistem Persamaan, Pertidaksamaan, Sistem Pertidaksamaan

Hasil yang harus anda capai

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dan pertidaksamaan satu variabel

Setelah mempelajari bab ini Anda harus mampu

Menyelesaikan sistem persamaan linier dan sistem persamaan campuran linier dan kuadrat dalam dua variabel

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dan penafsirannya

Menggunakan sifat dan aturan tentang pertidaksamaan kuadrat

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan pertidaksamaan kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.

Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan dapat:

Memahami pengertian suatu sistem persamaan

Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dan kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan linier dan kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat bentuk pecahan aljabar

Menyelesaikan pertidaksamaan linier yang mengandung bentuk akar

Menerapkan konsep pertidaksamaan dalam menyelesaikan masalah

Sumber : www.motor_sport.co.id

dan Pertidaksamaan

Istem Persamaan

Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan

Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari materi bab ini, berikut disajikan diagram alurnya

Sebelum mempelajari bab ini, ukurlah kemampuan Anda dengan menjawab soal-soal berikut.

Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut.

EMBED Equation.DSMT4b. EMBED Equation.DSMT4c. EMBED Equation.DSMT4

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

EMBED Equation.DSMT4b. EMBED Equation.DSMT4

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.

EMBED Equation.DSMT4b. EMBED Equation.DSMT4c. EMBED Equation.DSMT4

Sistem persamaan linier dua variable = Linear simultaneous equation with two variables

Gambar 3.1

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.analyzemath.com/system/systems.htm" http://www.analyzemath.com/system/systems.htm. Pada situs ini, Anda dapat memperdalam pemahaman anda dengan memvisualisasikan system persamaan linier dua variable secara interaktif dengan grafik dan menemukan solusinya. Anda juga dapat menganalisa bagaimana konstanta-konstanta variable mempengaruhi pergeseran garis lurus yang direpresentasikannya.

Penggambaran grafik sistem persamaan linier dua variabel dapat Anda lakukan dengan mudah dengan memanfaatkan software ZGrapher. Software ini dapat diakses melalui situs : HYPERLINK "http://www.ZGrapher.com" www.ZGrapher.com

Bukalah situs http://www.library. thinkquest.org/ c0110248/algebra/ simquiz.htm. Pada situs ini, telah disediakan kuis mengenai sistem persamaan. Ketika mencobanya, anda dapat memperdalam pemahaman anda dan terampil menyelsaikan soal-soal sistem persamaan linier dua variabel.

Sistem persamaan linier tiga variabel = Linear simultaneous equation with three variables

EMBED Equation.DSMT4


Terdapat dua buah bilangan. Jika tiga kali bilangan yang besar dibagi dua kali bilangan yang kecil hasilnya adalah 3 dan sisanya 3 . Jika tujuh kali bilangan yang kecil dibagi bilangan yang besar hasilnya adalah 2 dan sisanya adalah 4. Tentukan hasil penjumlahan kedua bilangan itu.

Tentukan titik potong garis yang melalui titik EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4dan garis yang melalui titik EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4.

Dalam satu hari tiga buah mesin dapat memproduksi 335 unit barang. Suatu hari, mesin pertama rusak, sehingga barang yang diproduksi hanya 220 unit. Besoknya, mesin pertama telah diperbaiki, tapi mesin ketiga rusak. Akibatnya, barang yang diproduksi hanya 211 unit. Berapa unit barang yang bisa dihasilkan masing-masing mesin setiap harinya?

Dua tahun lalu perbandingan umur Rosi, Resti, dan dua kali umur Ari adalah 5:4:2. Sepuluh tahun yang akan datang perbandingan umur Rosi, Resti dan Ari adalah 9:8:5. Berapa jumlah umur mereka saat ini?

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.hostsrv.com/ webmab/app1/MSP/ quickmath/ 02/page Generate?site= quickmath&s1= inequalities&s2= solve&s3=basic.htm" http://www.hostsrv.com/ webmab/app1/MSP/ quickmath/ 02/page Generate?site= quickmath&s1= inequalities&s2= solve&s3=basic.htm. Pada situs ini, anda dapat berlatih menyelesaikan pertidaksamaan satu variable, baik pertidaksamaan linier, kuadrat atau nilai mutlak. Silakan anda coba untuk menyelesaikan jenis-jenis pertidaksamaan lainnya.




Carilah himpunan penyelesaian dari SPL berikut.

EMBED Equation.DSMT4c. EMBED Equation.DSMT4


Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

Selesaikan SPL berikut ini dengan menggunakan metode Eleminasi-Substitusi


EMBED Equation.DSMT4d. EMBED Equation.DSMT4

Carilah himpunan penyelesian dari SPL di bawah ini.

Selesaikanlah SPL berikut ini dengan menggunakan metode grafik.



Carilah himpunan penyelesaian dari SPL di bawah ini dengan metode grafik, eliminasi, dan substitusi. Bandingkan hasil-hasilnya.


Sistem persamaan linier dan kuadrat = Linear and quadratic simultaneous equations

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel dan belum tentu nilai benar atau salahnya.

Dian yang kesiangan berusaha mengejar bus DAMRI yang akan berangkat. Ia berlari dengan kecepatan konstan 5 m/detik. Ketika jaraknya dengan bus tinggal 28 meter, tiba-tiba bus berangkat dengan percepatan 1 m/detik2 . Ia pun mempercepat larinya 2 m/detik2. Kapankah Dian berhasil menyusul bus?

Sisi terpanjang suatu segitiga siku-siku adalah 30 cm. Jika kelilingnya 72 cm tentukanlah luas daerahnya.

Selisih kuadrat dua buah bilangan adalah 88. Jika jumlah keduanya 22, tentukanlah kedua bialngan tersebut.

Selisih volume dua buah kubus adalah 604 cm3. Jika perbedaan panjang rusuknya 4 cm tentukanlah volume kubus yang kecil.

Diketahui sistem persamaan sebagai berikut.


Tentukan penyelesaiannya dan jelaskan hasil jawabanmu secara geometris.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.



Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.


Suatu garis lurus bergradien 2 memotong parabola EMBED Equation.DSMT4 di titik (2,9). Tentukan koordinat titik potong yang lain.

Diketahui x dan y bilangan positif. Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4, tentukanlah nilai EMBED Equation.DSMT4.

Di sebuah ruas jalan yang searah sebuah sepeda motor bergerak dengan kecepatan konstan 54 km/jam. Sementara sebuah mobil bergerak dengan percepatan 5m/detik2 tepat setelah sepeda motor melewatinya. Kapankah mobil tersebut dapat menyusul sepeda motor?

Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak = Inequalities including the modulus sign.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

S

Dengan menggunakan bantuan software maple 9.5, Anda dapat mencari penyelesaian suatu persamaan atau pertidaksamaan. Tampilan berikut adalah penyelesaian yang diberikan untuk pertidaksamaan EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4. Dan hasilnya sama dengan yang telah Anda pelajari. Mengenai Maple 9.5, anda dapat mengunjungi situs HYPERLINK "http://www.maplesoft.com" www.maplesoft.com.

agar seluruh gula tepat memenuhi toples tersebut. Akan tetapi, toples tersebut hilang. Ia terpaksa menggunakan toples-toples lain yang lebih kecil. Jika toples kecil berdiameter 6 cm dan tinggi 10 cm, tentukan berapa minimal banyak toples agar bisa menampung seluruh gula tersebut.

Jika suhu dalam Celcius berada di antara 5o C dan 40o C, berapa batas suhu tersebut dalam Fahrenheit?


Pada ketinggian h ribu meter di atas permukaan laut, suhu udara dirumuskan oleh EMBED Equation.DSMT4 C. Pada batas ketinggian berapa suhu udara berada di antara 50o F sampai 59o F ?

Seorang pembeli membeli n satuan produk seharga EMBED Equation.DSMT4(dalam ribuan rupiah) per satuan produk. Jika uang yang dimilikinya Rp. 152.000,00 , berapa batas jumlah barang yang bisa ia beli?

Kebutuhan daya di sebuah rumah berkisar antara 550 watt sampai 3520 watt. Jika tegangan listriknya 220 volt, berapa batas kuat arus yang mengalir pada rangkaian listrik rumah tersebut?

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.


EMBED Equation.DSMT4e. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4f. EMBED Equation.DSMT4

Diketahui pertidaksamaan sebagai berikut.


Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan di atas.





Pak Budi membeli mobil bekas seharga Rp. 42.000.000,00. Ia menjualnya kembali pada Pak Dian dan mengharapkan keuntungan tidak kurang dari Rp. 1.500.000,00. Jika harga jual mobil tersebut adalah x, tentukan batas nilai x !

Seorang pedagang membeli x unit barang seharga EMBED Equation.DSMT4(dalam ribuan rupiah). Ia lalu menjaulnya kembali dengan harga EMBED Equation.DSMT4 (dalam ribuan rupiah). Berapa jumlah barang yang harus dijual agar ia memperoleh keuntungan?

Ibu akan memasukkan gula yang baru ia beli ke dalam toples berbentuk tabung dengan diameter 10 cm dan tinggi 16 cm

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.analyzemath.com/calculators/ calculator_syst_eq. html" http://www.analyzemath.com/calculators/ calculator_syst_eq. html. Pada situs ini, telah disediakan kalkulator online untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua varibel dan tiga variabel.

Gambar 3.6

Gambar 3.7

Gambar 3.8

Gambar 3.9

Gambar 3.10

Gambar 3.11

Penerapan konsep sistem persamaan dan pertidaksamaan sangat banyak di kehidupan sehari-hari, seperti dalam peluruhan Zat Radioaktif, penentuan PH larutan, menghitung bunga majemuk, dan sebagainya. Tugas Anda sekarang, carilah penerapan-penerapan konsep sistem persamaan dan pertidaksamaan pada permasalahan-permasalahan selain yang telah diuraikan di atas. Informasinya dapat Anda cari dari buku-buku sumber maupun intenet.

Gambar 3.12

Gambar 3.13

Gambar 3.14

Gambar 3.15

Menyelesaikan Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak

Sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pengertian Nilai Mutlak

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Pengertian Sistem Persamaan Linier

Menerapkan Konsep Pertidaksamaan dalam Menyelesaikan Masalah

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.analyzemath.com/AbsEqIneq/ AbsEqIneq.html" http://www.analyzemath.com/AbsEqIneq/ AbsEqIneq.html. Pada situs ini, anda dapat mempelajari pertidaksamaan dengan nilai mutlak. Anda juga dapat berlatih dengan soal-soal berjawab lalu mencoba latihan soal pada applet yang tersedia.

Definisi


Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak

Pertidaksamaan yang Memuat Bentuk Akar

Pertidaksamaan yang Memuat Bentuk Pecahan

Definisi

Jika EMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4.

Bukalah situs http://www.netsoc.tcd. ie/~jgibert/maths_site/ applets/algebra/ modulus_equations_ and_inequalities.html. Pada situs ini, anda dapat secara interaktif berlatih soal-soal pertidaksamaan nilai mutlak, memahami penyelesaiannya langkah per langkah, dan menentukan solusi pada interval yang disimulasikan dengan gambar.

Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel

Seringkali masalah-masalah dalam keseharian dapat diselesaikan secara metematis. Dimulai dengan mengubah permasalahan tersebut menjadi kalimat matematika, selanjutnya Anda dapat menerapkan sifat dan algoritma (langkah-langkah) matematika untuk menemukan penyelesaiannya. Sebagai contoh, misalnya Anda mengetahui harga 2 potong baju dan 3 potong celana. Anda juga mengetahui harga 4 potong baju dan 1 potong celana. Dengan menggunakan konsep sistem persamaan linier, Anda dapat mengetahui harga satu potong baju dan satu potong celana

Selain itu, mungkin pula Anda dihadapkan pada permasalahn yang mengandung batas. Misalnya kecepatan maksimum sepeda motor adalah 120 km/jam, jumlah penumpang di dalam lift tidak boleh lebih dari 15 orang, keuntungan perusahaan tidak boleh kurang dari setengah modal produksi, dan sebagainya. Konsep-konsep ini dapat Anda selesaikan dengan menerapkan konsep pertidaksamaan.

Diketahui pertidaksamaan sebagai berikut.


Tentukan interval x yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.

Jika persamaan kuadrat EMBED Equation.DSMT4selalu memiliki akar-akar penyelesaian yang positif, tentukanlah batas nilai k!

Sebuah kawat dengan panjang m akan dibentuk sebuah persegi. Tentukanlah batas nilai m yang memenuhi jika keliling persegi yang terbentuk lebih besar dari luasnya.

Jika EMBED Equation.DSMT4, tentukanlah batas nilai x yang mungkin.

Misalkan a dan b bilangan real positif. Buktikan bahwa EMBED Equation.DSMT4 dan tentukan kapan kesamaan berlaku!

( diambil dari contoh soal buku Panduan Menguasai Soal-soal Olimpiade Matematika )

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.











Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah ini.






Tentukan himpunan penyelesaian dari :




EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4












Suatu bilangan terdiri dari dua angka yang jumlahnya 11. Jika kedua angkanya dipertukarkan, diperoleh bilangan baru yang lebih besar 27 dari bilangan semula. Tentukan bilangan baru tersebut!

Grafik fungsi EMBED Equation.DSMT4 melalui titik-titik EMBED Equation.DSMT4. Tentukanlah nilai a,b dan c!

Selisih dua bilangan adalah 12. Jika jumlah kuadratnya 80, tentukanlah hasil kali kedua bilangan tersebut!

Perhatikan gambar bangun datar di samping.

Jika luas bangun datar tersebut 1.450 cm2 dan kelilingnya 100 cm, tentukanlah nilai x dan y!

Tentukan interval nilai x agar grafik fungsi EMBED Equation.DSMT4 selalu berada di bawah grafik EMBED Equation.DSMT4

Nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 adalah



EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4

(UM UGM 2003)

Diketahui pertidaksamaan EMBED Equation.DSMT4






Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan EMBED Equation.DSMT4 adalah






Jika EMBED Equation.DSMT4 maka :






Himpunan semua nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 adalah




(SPMB 2002)

Nilai-nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 adalah






(UMPTN 2000)

Diketahui EMBED Equation.DSMT4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah




Semua nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 adalah




(SPMB 2002 Regional 2 kode 321)

Jika pertidaksamaan EMBED Equation.DSMT4 memiliki penyelesaian EMBED Equation.DSMT4, maka nilai k adalah

EMBED Equation.DSMT4 d. 2

1e. EMBED Equation.DSMT4


Himpunan penyelesaian pertidaksamaan EMBED Equation.DSMT4 adalah




(UMPTN 99)

Agar persamaan kuadrat EMBED Equation.DSMT4 memiliki akar-akar persamaan yang real, maka batas niali a adalah

EMBED Equation.DSMT4d. EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4e. EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4


Himpunan semua nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 adalah

EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4d. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4e. EMBED Equation.DSMT4


EMBED Equation.DSMT4(SPMB 2003 Regional II Kode 110)

Grafik fungsi EMBED Equation.DSMT4 selalu tidak pernah berada di atas sumbu x. Maka nilai p adalah

EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4d. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4e. EMBED Equation.DSMT4


+++

_ _ _

+++

10

5

Untuk materi yang belum Anda pahami, coba diskusikan dengan teman Anda, kemudian konsultasikan hasilnya dengan guru Anda.

Buat rangkuman dari materi yang telah Anda pelajari pada bab ini. Kemudian hasilnya bandingkan dengan rangkuman berikut.

Tuliskan materi pada bab ini yang sudah Anda pahami.

Tuliskan materi pada bab ini yang belum Anda pahami.

Sepotong kawat dengan panjang 36 cm akan dipotong menjadi dua bagian dengan salah satu potongan panjangnya x cm. Masing-masing potongan dibentuk menjadi kerangka persegi. Tentukan nilai x agar jumlah luas kedua persegi itu tidak lebih dari 45 cm2 !

Suatu pabrik memproduksi dan menjual tas seharga m ribu rupiah. Pemilik pabrik memperkirakan bahwa biaya produksi untuk semua tas adalah EMBED Equation.DSMT4 (ribu rupiah) dan hasil penjualan sebesar EMBED Equation.DSMT4 (ribu rupiah). Tentukanlah batas harga tas agar pabrik tidak mengalami kerugian!

Sebuah perusahaan jasa pengiriman barang akan memperoleh pendapatan EMBED Equation.DSMT4 (dalam ribuan rupiah) untuk pengiriman sejumlah b barang setiap minggu. Jika biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk pengiriman adalah EMBED Equation.DSMT4(dalam ribuan rupiah), berapa batas jumlah pengiriman barang agar perusahaan memperoleh keuntungan?

Sebuah peluru ditembakkan ke atas dari atap bangunan yang tingginya 10 meter. Ketinggian peluru mencapai EMBED Equation.DSMT4 meter di atas permukaan atap gedung dalam waktu t detik. Kapankah ketinggian bola lebih dari 40 meter di atas permukaan tanah?

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat

Pak Yana membeli 2 kuintal beras seharga Rp. 1.100.000,00. Ia akan menjual kembali semua beras tersebut dengan mengharapkan keuntungan tidak kurang dari 5 %. Tentukanlah batas harga jual per kilogram beras!

Pak Yoga adalah seorang peternak sukses yang memiliki 2500 ekor ayam. Suatu hari, 200 ekor ayamnya mati karena flu burung. Karena wabah flu burung yang cepat menyebar, setiap hari ada 175 ekor ayamnya yang mati. Setelah berapa hari banyaknya ayam yang masih hidup tidak lebih dari setengahnya?

Selisih dua bilangan positif tidak kurang dari 13. Jika bilangan pertama sama dengan empat kali bilangan kedua ditambah 1, tentukanlah batas nilai hasil kali kedua bilangan tersebut.

Jika jumlah suatu bilangan dengan kebalikannya tidak lebih dari 2,9 tentukanlah batas bilangan-bilangan tersebut!

Luas suatu segitiga siku-siku lebih dari 54 cm2. Jika panjang sisi terpendeknya 9 cm, tentukanlah batas keliling yang mungkin dari segitiga tersebut.

Keliling suatu persegi panjang adalah 42 cm dan luasnya tidak kurang dari 90 cm2. Jika panjang salah satu sisinya adalah x cm, tentukanlah batas nilai x !

7d. -7

5e. -13

-1

(UAN 2002)

Diketahui nilai x,y dan z dalam persamaan sebagai berikut.


Berapakah nilai dari EMBED Equation.DSMT4 ?

25d. 16

24e. 12

23

(Lomba Matematika UGM 2006)

Persamaan garis yang tegak lurus garis EMBED Equation.DSMT4 dan menyinggung parabola EMBED Equation.DSMT4 di titik berabsis 3 adalah .




Kurva EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4

Bersinggungan di satu titik

Berpotongan di dua titik

Saling asing

Mempunyai sumbu simetri yang sama

Mempunyai titik ekstrem yang sama

(Lomba Matematika UGM 2006)

Titik potong parabola EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 adalah

(-3,19) dan (1,15) d. (-3,25) dan (-1,15)

(-3,19) dan (-1,13) e. (3,25) dan (-1,13)

(3,19) dan (1,13)

Apabila EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4, maka berlaku






(UMPTN 94)

Jika EMBED Equation.DSMT4, maka nilai x adalah




Diketahui sistem persamaan linear EMBED Equation.DSMT4

Jika nilai x dan y memenuhi sistem persamaan di atas, maka nilai EMBED Equation.DSMT4

-2d. 1

-1e. 2

0

Diketahui nilai p dan q memenuhi persamaan EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4. Jika EMBED Equation.DSMT4, maka nilai dari EMBED Equation.DSMT4

1d. 4

2e. 5

3

Himpunan penyelesaian sistem persamaan

EMBED Equation.DSMT4 adalah EMBED Equation.DSMT4. Nilai EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4d. 6

EMBED Equation.DSMT4e. 36

1

(EBTANAS 2000)

Persamaan garis yang melalui titik potong garis EMBED Equation.DSMT4 dan garis EMBED Equation.DSMT4 serta tegak lurus dengan garis EMBED Equation.DSMT4 adalah




Himpunan penyelesaian

EMBED Equation.DSMT4 adalah EMBED Equation.DSMT4.

Nilai dari EMBED Equation.DSMT4 adalah

3d. 9

5e. 11

7

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

EMBED Equation.DSMT4 adalah EMBED Equation.DSMT4. Nilai EMBED Equation.DSMT4

Penyelesaian sistem persamaan linier dapat dicari dengan berbagai cara, diantaranya adalah Metode Grafik, Metode Subtitusi, Metode Eliminasi, Metode Eliminasi-Subtitusi.

Secara geometris, penyelesaian dari sistem persamaan yang terdiri dari persamaan EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 merupakan titik potong antara parabola EMBED Equation.DSMT4 dengan garis EMBED Equation.DSMT4.

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang dihubungkan dengan tanda EMBED Equation.DSMT4.

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan seringkali berupa selang atau interval.

Tanda ( (lingkaran penuh) menunjukkan bahwa bilangan pada tanda ini termasuk ke dalam interval.

Tanda ( (lingkaran kosong) menunjukkan bahwa bilangan pada tanda ini tidak termasuk ke dalam interval.

tanda panah EMBED Equation.DSMT4 menunjukan bahwa interval tersebut berlanjut sampai tak hingga ke kanan atau ke kiri.

Beberapa sifat dari pertidaksamaan adalah sebagai berikut.

Untuk a, b, c EMBED Equation.DSMT4 maka berlaku:

Sifat selalu positif

a2 EMBED Equation.DSMT4 0

Sifat Transitif

Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4

Sifat Penjumlahan

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4

Sifat Perkalian

Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 , maka EMBED Equation.DSMT4




Sifat Unsur-Unsur Perkalian

Jika ab > 0, maka a > 0 dan b > 0, atau a < 0 dan b < 0

Jika ab < 0, maka a > 0 dan b < 0, atau a < 0 dan b > 0

Ada dua cara yang dapat dilakukan untuk menentukan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan kuadrat, yaitu dengan metode grafik dan dengan garis bilangan.

Hal yang harus Anda ingat dalam menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat bentuk akar adalah bahwa bilangan di dalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol (EMBED Equation.DSMT4).

Berikut disajikan sifat-sifat dari pertidaksamaan nilai mutlak.

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4 dengan EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4 dengan EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4maka EMBED Equation.DSMT4 (tanda mutlak dapat dihilangkan dengan menguadrat-kan kedua ruas tanpa mengubah tanda pertidaksamaan)

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4 (tanda mutlak dapat dihilangkan dengan menguadrat-kan kedua ruas tanpa mengubah tanda pertidaksamaan)

BAB

3

Gambar 3.16

Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas

Sistem persamaan = Simultaneous equation

_1271365968.unknown

_1271423446.unknown

_1271426309.unknown

_1271427940.unknown

_1271429935.unknown

_1271430060.unknown

_1271679021.unknown

_1271794151.unknown

_1271794182.unknown

_1271794258.unknown

_1271794257.unknown

_1271794171.unknown

_1271794088.unknown

_1271794109.unknown

_1271679028.unknown

_1271678688.unknown

_1271679006.unknown

_1271678656.unknown

_1271429955.unknown

_1271429965.unknown

_1271429945.unknown

_1271428300.unknown

_1271429917.unknown

_1271429926.unknown

_1271428358.unknown

_1271429908.unknown

_1271428357.unknown

_1271428222.unknown

_1271428281.unknown

_1271428213.unknown

_1271426508.unknown

_1271426759.unknown

_1271427139.unknown

_1271427169.unknown

_1271427183.unknown

_1271427198.unknown

_1271427215.unknown

_1271427931.unknown

_1271427207.unknown

_1271427190.unknown

_1271427176.unknown

_1271427155.unknown

_1271427162.unknown

_1271427146.unknown

_1271426803.unknown

_1271426972.unknown

_1271426980.unknown

_1271426819.unknown

_1271426931.unknown

_1271426781.unknown

_1271426796.unknown

_1271426766.unknown

_1271426660.unknown

_1271426700.unknown

_1271426731.unknown

_1271426741.unknown

_1271426711.unknown

_1271426714.unknown

_1271426692.unknown

_1271426538.unknown

_1271426555.unknown

_1271426568.unknown

_1271426531.unknown

_1271426422.unknown

_1271426455.unknown

_1271426479.unknown

_1271426487.unknown

_1271426463.unknown

_1271426437.unknown

_1271426447.unknown

_1271426429.unknown

_1271426380.unknown

_1271426399.unknown

_1271426414.unknown

_1271426388.unknown

_1271426390.unknown

_1271426326.unknown

_1271426334.unknown

_1271426318.unknown

_1271425544.unknown

_1271425871.unknown

_1271425912.unknown

_1271426151.unknown

_1271426294.unknown

_1271426302.unknown

_1271426197.unknown

_1271426256.unknown

_1271426212.unknown

_1271426158.unknown

_1271426159.unknown

_1271425935.unknown

_1271426139.unknown

_1271426146.unknown

_1271426099.unknown

_1271425927.unknown

_1271425899.unknown

_1271425906.unknown

_1271425877.unknown

_1271425892.unknown

_1271425799.unknown

_1271425820.unknown

_1271425864.unknown

_1271425819.unknown

_1271425721.unknown

_1271425735.unknown

_1271425798.unknown

_1271425742.unknown

_1271425728.unknown

_1271425551.unknown

_1271425364.unknown

_1271425475.unknown

_1271425508.unknown

_1271425523.unknown

_1271425532.unknown

_1271425487.unknown

_1271425410.unknown

_1271425466.unknown

_1271425385.unknown

_1271425321.unknown

_1271425342.unknown

_1271425352.unknown

_1271425332.unknown

_1271423459.unknown

_1271425306.unknown

_1271423452.unknown

_1271395705.unknown

_1271397871.unknown

_1271419535.unknown

_1271419948.unknown

_1271420069.unknown

_1271420314.unknown

_1271423412.unknown

_1271423428.unknown

_1271423435.unknown

_1271423406.unknown

_1271420323.unknown

_1271420244.unknown

_1271420281.unknown

_1271420289.unknown

_1271420274.unknown

_1271420090.unknown

_1271419993.unknown

_1271420000.unknown

_1271419957.unknown

_1271419865.unknown

_1271419900.unknown

_1271419907.unknown

_1271419915.unknown

_1271419873.unknown

_1271419778.unknown

_1271419795.unknown

_1271419537.unknown

_1271400139.unknown

_1271418989.unknown

_1271419060.unknown

_1271419103.unknown

_1271419115.unknown

_1271419143.unknown

_1271419291.unknown

_1271419299.unknown

_1271419280.unknown

_1271419130.unknown

_1271419109.unknown

_1271419080.unknown

_1271419087.unknown

_1271419094.unknown

_1271419070.unknown

_1271419017.unknown

_1271419049.unknown

_1271419002.unknown

_1271418959.unknown

_1271418974.unknown

_1271418981.unknown

_1271418967.unknown

_1271418834.unknown

_1271418863.unknown

_1271400218.unknown

_1271398679.unknown

_1271398734.unknown

_1271399313.unknown

_1271399776.unknown

_1271399859.unknown

_1271399900.unknown

_1271399991.unknown

_1271400053.unknown

_1271399941.unknown

_1271399862.unknown

_1271399828.unknown

_1271399843.unknown

_1271399816.unknown

_1271399784.unknown

_1271399643.unknown

_1271399710.unknown

_1271399734.unknown

_1271399677.unknown

_1271399681.unknown

_1271399542.unknown

_1271399567.unknown

_1271399333.unknown

_1271399009.unknown

_1271399055.unknown

_1271399174.unknown

_1271399246.unknown

_1271399043.unknown

_1271399030.unknown

_1271398999.unknown

_1271398870.unknown

_1271398958.unknown

_1271398702.unknown

_1271398717.unknown

_1271398693.unknown

_1271398267.unknown

_1271398339.unknown

_1271398661.unknown

_1271398320.unknown

_1271398247.unknown

_1271398260.unknown

_1271397907.unknown

_1271396402.unknown

_1271396636.unknown

_1271397348.unknown

_1271397847.unknown

_1271397863.unknown

_1271397836.unknown

_1271397096.unknown

_1271397306.unknown

_1271396714.unknown

_1271396730.unknown

_1271397079.unknown

_1271396722.unknown

_1271396706.unknown

_1271396496.unknown

_1271396620.unknown

_1271396627.unknown

_1271396611.unknown

_1271396480.unknown

_1271396488.unknown

_1271396471.unknown

_1271395779.unknown

_1271396325.unknown

_1271396385.unknown

_1271396393.unknown

_1271396377.unknown

_1271396090.unknown

_1271396323.unknown

_1271396324.unknown

_1271396114.unknown

_1271396322.unknown

_1271396098.unknown

_1271396106.unknown

_1271396073.unknown

_1271396082.unknown

_1271395787.unknown

_1271395742.unknown

_1271395763.unknown

_1271395771.unknown

_1271395754.unknown

_1271395725.unknown

_1271395734.unknown

_1271395713.unknown

_1271394203.unknown

_1271394793.unknown

_1271395648.unknown

_1271395663.unknown

_1271395670.unknown

_1271395655.unknown

_1271394847.unknown

_1271395625.unknown

_1271395635.unknown

_1271394846.unknown

_1271394420.unknown

_1271394758.unknown

_1271394784.unknown

_1271394561.unknown

_1271394309.unknown

_1271394397.unknown

_1271394261.unknown

_1271394035.unknown

_1271394104.unknown

_1271394118.unknown

_1271394051.unknown

_1271394059.unknown

_1271394044.unknown

_1271366004.unknown

_1271366023.unknown

_1271366251.unknown

_1271366013.unknown

_1271365984.unknown

_1271365993.unknown

_1271365976.unknown

_1271352345.unknown

_1271359277.unknown

_1271359649.unknown

_1271361258.unknown

_1271365836.unknown

_1271365889.unknown

_1271365958.unknown

_1271365872.unknown

_1271362632.unknown

_1271365817.unknown

_1271365704.unknown

_1271362201.unknown

_1271360974.unknown

_1271361218.unknown

_1271361245.unknown

_1271361256.unknown

_1271360994.unknown

_1271360946.unknown

_1271360956.unknown

_1271360965.unknown

_1271360935.unknown

_1271359387.unknown

_1271359485.unknown

_1271359537.unknown

_1271359545.unknown

_1271359493.unknown

_1271359412.unknown

_1271359449.unknown

_1271359395.unknown

_1271359335.unknown

_1271359354.unknown

_1271359368.unknown

_1271359345.unknown

_1271359302.unknown

_1271359317.unknown

_1271359285.unknown

_1271353815.unknown

_1271354016.unknown

_1271354051.unknown

_1271359249.unknown

_1271359268.unknown

_1271354058.unknown

_1271359237.unknown

_1271354034.unknown

_1271354041.unknown

_1271354025.unknown

_1271353938.unknown

_1271353990.unknown

_1271353995.unknown

_1271353975.unknown

_1271353977.unknown

_1271353875.unknown

_1271353911.unknown

_1271353862.unknown

_1271352449.unknown

_1271353072.unknown

_1271353110.unknown

_1271353231.unknown

_1271353376.unknown

_1271353528.unknown

_1271353806.unknown

_1271353550.unknown

_1271353508.unknown

_1271353384.unknown

_1271353262.unknown

_1271353269.unknown

_1271353238.unknown

_1271353195.unknown

_1271353216.unknown

_1271353144.unknown

_1271353088.unknown

_1271353103.unknown

_1271353080.unknown

_1271352751.unknown

_1271352795.unknown

_1271353063.unknown

_1271352768.unknown

_1271352633.unknown

_1271352666.unknown

_1271352627.unknown

_1271352566.unknown

_1271352573.unknown

_1271352559.unknown

_1271352407.unknown

_1271352423.unknown

_1271352438.unknown

_1271352415.unknown

_1271352363.unknown

_1271352399.unknown

_1271352354.unknown

_1271350446.unknown

_1271350825.unknown

_1271351938.unknown

_1271351986.unknown

_1271352326.unknown

_1271352336.unknown

_1271352284.unknown

_1271351970.unknown

_1271351978.unknown

_1271351961.unknown

_1271351402.unknown

_1271351902.unknown

_1271351920.unknown

_1271351929.unknown

_1271351912.unknown

_1271351870.unknown

_1271351893.unknown

_1271351418.unknown

_1271351830.unknown

_1271351410.unknown

_1271351160.unknown

_1271351344.unknown

_1271351392.unknown

_1271351343.unknown

_1271351048.unknown

_1271351055.unknown

_1271351067.unknown

_1271351036.unknown

_1271350658.unknown

_1271350768.unknown

_1271350784.unknown

_1271350791.unknown

_1271350776.unknown

_1271350737.unknown

_1271350746.unknown

_1271350676.unknown

_1271350577.unknown

_1271350591.unknown

_1271350600.unknown

_1271350584.unknown

_1271350463.unknown

_1271350489.unknown

_1271350461.unknown

_1271347611.unknown

_1271348602.unknown

_1271349707.unknown

_1271349978.unknown

_1271350354.unknown

_1271350408.unknown

_1271350007.unknown

_1271349776.unknown

_1271349849.unknown

_1271349891.unknown

_1271349824.unknown

_1271349749.unknown

_1271348864.unknown

_1271349276.unknown

_1271349489.unknown

_1271349497.unknown

_1271349510.unknown

_1271349364.unknown

_1271349471.unknown

_1271349372.unknown

_1271349302.unknown

_1271349211.unknown

_1271349249.unknown

_1271348887.unknown

_1271348790.unknown

_1271348800.unknown

_1271348644.unknown

_1271347968.unknown

_1271348027.unknown

_1271348475.unknown

_1271347972.unknown

_1271347906.unknown

_1271347919.unknown

_1271347855.unknown

_1271347052.unknown

_1271347222.unknown

_1271347483.unknown

_1271347590.unknown

_1271347454.unknown

_1271347086.unknown

_1271347194.unknown

_1271347072.unknown

_1271346487.unknown

_1271346559.unknown

_1271346583.unknown

_1271346544.unknown

_1271345638.unknown

_1271345795.unknown

_1271143597.unknown

_1271345627.unknown

_1271143872.unknown

_1271143596.unknown

Bab 3 - Sistem Persamaan Dan Pertidaksamaan (Final)

Documents

Transcript of Bab 3 - Sistem Persamaan Dan Pertidaksamaan (Final)