BAB 2VEKTOR

1. Vektor di Ruang 2Besaran Skalar dan Besaran VektorBesaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai)Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massaBesaran Vektor-> memiliki besar dan arahEx: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik Notasi VektorRuas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.Vektor dinyatakan dg huruf , u, u (bold), atau u (italic).Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca vektor u

Penyajian VektorVektor sbg pasangan bilanganu = (a,b)a : komponen mendatar, b : komponen vertikalVektor sbg kombinasi vektor satuan i dan ju = ai + bj Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

Kesamaan VektorDua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka |u| = |v| arah u = arah va=c dan b=d

Penjumlahan VektorPenjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjangDalam bentuk pasangan bilangan sbb:

Warsun Najib, 2005

Elemen IdentitasVektor nol ditulis 0Vektor nol disebut elemen identitasu + 0 = 0 + u = u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.u u = u + (-u) = 0

Pengurangan VektorSelisih dua vektor u dan v ditulis u v didefinisikan u + (-v)Dalam bentuk pasangan bilanganvuw = u - v-vu

Warsun Najib, 2005

Perkalian Vektor dengan Skalarmu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.u2u

Warsun Najib, 2005

Sifat-Sifat Operasi VektorKomutatif a + b = b + aAsosiatif (a+b)+c = a+(b+c)Elemen identitas terhadap penjumlahanSifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| |u| + |v|1u = u 0u = 0, m0 = 0.Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)(mn)u = m(nu)|mu| = |m||u|(-mu) = - (mu) = m (-u)Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Penguranganuvu-v

Warsun Najib, 2005

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan u + vuvuvu-v

Warsun Najib, 2005

Vektor PosisiOA = a dan OB = b adalah vektor posisi.AB = AO + OB = OB OA = b a

Warsun Najib, 2005

Dot Product (Inner Product)Perkalian titik (dot product) ab (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :

ab > 0 jika {| 0 < < 90o}ab = 0 jika {| = 90o}ab < 0 jika {| 90o < < 180o}

Vektor OrtogonalTeoremaHasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurusVektor a disebut ortogonal thd vektor b jika ab = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.Untuk vektor bukan-nol ab = 0 jika dan hanya jika cos = 0 = 90o = /2

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot ProductBesar Sudut dapat dihitung dgn:

Contoh Perkalian Dot Producta = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]Hitung sudut antara dua vektor tsb

Applications of Vector ProductMoment of a forceFind moment of force P about the center of the wheel.Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).

Scalar Triple Product

Scalar Triple ProductGeometric representationa,b,c vektor sudut antara (bxc) dan ah tinggi parallelogramb

Warsun Najib, 2005

****