Bab 2 Satelit Sebagai Benda Langit -...

Suryadi Siregar Lintasan Satelit

KK-Astronomi ITB Page 2-1

Bab 2

Satelit Sebagai Benda Langit Orbit merupakan elemen dasar dalam setiap misi ruang angkasa. Untuk mengerti

bagaimana gerak dan lintasan sebuah satellit, diperlukan beberapa pengetahuan dasar tentang

kalkulus dan geometri. Roket yang terbang ke angkasa luar, satelit yang bergerak bebas dapat

dijelaskan dari persamaan gerak yang telah dikembangkan oleh Copernicus, Kepler dan Newton

yang semuanya terangkum dalam pengetahuan mekanika benda langit. Sekali posisi dan

kecepatan sebuah objek diketahui, yang merupakan fungsi dari medan gravitasi, orang dapat

memperediksi dengan tepat dimana posisi objek dalam beberapa menit mendatang maupun

tahun. Ada beberapa jenis orbit yang dapat dirancang untuk meletakkan satelit pada posisinya.

Orbit dari satelit ini diragakan dalam Gambar 2-1

Gambar 2- 1 Bermacam tipe orbit seperti orbit parking, transfer orbit dan final orbit. Sebuah

satelit umumnya memulai kala hidup pada lintasan parking, dari lintasan ini kemudian upper

stage roket digunakan sebagai booster untuk menempatkan satelit di orbitnya. Beberapa

dorongan diperlukan sampai satelit menempati posisi yang diharapkan

2.1 Persamaan gerak Persamaan gerak satelit dapat dipelajari dengan meninjau masalah dua benda yang

memenuhi persamaan;

2

r rr

(2-1)

Dimana


KK-Astronomi ITB -2

r

rr

(2-2)

Merupakan vektor satuan sepanjang garis M-m, sedangkan

= G(M+m) jika m << M maka pusat koordinat dapat dianggap titik

M itu sendiri sehingga persamaan gerak dapat ditulis dalam bentuk yang identik;

Gambar 2- 2 Koordinat kartesis untuk sistem dua benda, m bergerak relatif terhadap M. Dalam

penurunan persaman gerak m dan M dinyatakan sebagai massa titik

Dari persamaan diatas dapat diturunkan beberapa besaran antara lain kecepatan dan percepatan

dari titk massa m relatif terhadap M

v r r r r

(2-3)

Dan vektor percepatannya adalah;

2

ˆ( ) ( 2 )a r r r r r r

(2-4)

Dengan menggunakan kaedah Hukum Newton, turunkan persamaan (2-1) dua kali terhadap

waktu t, membandingkan dengan persamaan (2-4) diperoleh persamaan gerak satelit,

a) untuk gerak tanpa pengaruh gaya gangguan



2

2r r

r

(2-5)

2 0r r

(2-6)

b) untuk gerak dengan pengaruh gaya gangguan;

2

2( , )r r f r t

r

(2-7)

2 ( , )r r g r t

(2-8)

dalam hal ini ( , )f r t dan ( , )g r t masing masing merupakan fungsi gangguan pada arah radial r

dan tangensial. Gaya gangguan dapat dibedakan dalam dua katagori, yaitu yang bersifat

gravitasional dan non-gravitasional. Gaya ganggu gravitasional datang dari bentuk bumi yang

tidak simetri dan rapat massa yang yang berbeda disatu tempat dengan tempat yang lain. Untuk

satelit yang orbitnya jauh dari Bumi, gaya ganggu dari Bulan juga turut berperan, demikian pula

halnya dengan manuver wahana maupun meteor/asteroid yang mendekati Bumi. Sedangkan

gaya ganggu non-gravitasional bisa datang dari pengereman atmosfer maupun tekanan radiasi

Matahari, yang berbeda pada saat satelit melintasi bayang-bayang Bumi dibandingkan ketiga ia

menerima sinar langsung dari Matahari. Apabila gerak satelit dipengaruhi oleh gaya hambatan

atmosfer (atmospheric drag) maka gaya gangguan dapat dinyatakan dengan memperhatikan

ilustrasi berikut;

Element massa udara yang dipindahkan ketika

satelit bergerak dengan kecepatan V adalah;

m A V t

Perubahan momentum yang terjadi

2pV p mV AV t

m

Diketahui pula bahwa gaya dapat dinyatakan;

2

2 2p AVF AV ma AV a

t m

Gambar 2- 3 Menurunkan pernyataan gaya hambat udara



Disini a, menyatakan percepatan atau gaya hambat persatuan massa. Dalam bentuk yang umum

dan agar pernyataan ini lebih adaptasi untuk keperluan selanjutnya. Persamaan diatas dapat

ditulis dalam format yang umum;

21 1

2 2D D v DF C A v e C A v v

m m

(2-9)

A = adalah luas penampang satelit

= rapat massa udara

v = kecepatan satelit

m = massa satelit

ve

= v

v

merupakan vektor satuan dalam arah kecepatan v

CD koefisien gesek angkasa, dalam hal ini CD 1, untuk bola bulat sempurna dan berdimensi

jauh lebih besar dari jalan bebas rata-rata molekul. Tetapi CD = 2, bila berdimensi jauh lebih

kecil dari jalan bebas rata-rata molekul,nilai ini bergantung juga dari kelenturan material yang

diuji. Pada ketinggian 0 < H < 250 kilometer gaya ganggu atmosfer cukup berperan. Koefisien

CD ditentukan dari percobaan dengan mengukur rasio setiap satuan massa m,untuk profil yang

ditinjau.

22

2 2D DD

v

F FC

A vA v e

Berikut disampaikan beberapa keofisien hambat untuk bermacam penampang.

Tabel 2- 1 Daftar koefisien hambat untuk berbagai penampang benda.Disarikan dari beberapa

percobaan.

Drag

Force

Streamline

half body

Stream

line body

Long-

Cylinder Sphere Cube

Angle

cube Cone

Short

cylind

er

Half

Sphere

0,09

0,04

0,82

0,47

1,05

0,80

0,50

1,15

0,42

Keseimban gan orbit dan laju satelit sangat ditentukan oleh koefisien hambat udara tersebut.

Gaya hambat angkasa FD, menurut Pritchard et al (1993) dapat juga ditulis dalam komponen

radial dan tangensial dalam bentuk,

../../EBOOK/Reynold%20Numbers%20and%20Drag%20Coefficient.pptx



( , )f r t B v r

(2-10)

( , )g r t B vr

(2-11)

B dalam pernyataan (2-10) diatas disebut koefisien balistik dan didefinisikan sebagai,

2

DC AB

m (2-12)

Gaya hambat atmosfer tidak boleh diabaikan untuk satelit yang bergerak pada orbit rendah

disekitar Bumi ( kurang dari 250 km). Gaya ini mempunyai arah yang berlawanan dengan arah

vektor kecepatan dan secara bertahap menghilangkan energi satelit. Berkurangnya energi satelit

menyebabkan radius orbit menjadi mengecil secara gradual satelit akan jatuh ke Bumi.

Gambar 2- 4 Ilustrasi gerak projektil didekat permukaan Bumi.

Gaya gravitasi gF mg k

mengarah ke pusat Bumi dan gaya gesek angkasa

1

2d DF C A v v

m

berlawanan arah dengan gerak satelit, sedangkan gaya Newton 2

2

d rF m

dt

dalam hal ini, berlaku g dF F F

,

Karena vektor posisi r x i y j z k

dan vektor kecepatan v x i y j z k

dan

percepatannya a x i y j z k

Oleh sebab itu ada tiga komponen gaya yang bekerja disepanjang sumbu koordinat yang kita

pilih gaya-gaya tesebut adalah;



2 2 21

2Dm x C A x x y z

2 2 21

2Dm y C A y x y z

2 2 21

2Dm z C A z x y z mg

Kita lihat hanya komponen gaya dalam arah sumbu -z yang mempunyai gaya berat, sebesar mg.

Gambar 2- 5 Pesawat ulang-alik Atlantis. Fungsi wahana (space shuttle) melakukan transportasi

angkasa luar termasuk menempatkan satelit pada orbitnya menjaga ia tetap ada disana memutar

dan memindahkannya bila diperlukan. Wahana mempunyai kemampuan untuk menambah

ataupun mengurangi kecepatan di angkasa bila diperlukan dan tetap berada pada orbitnya. Space

booster terdiri dari beberapa tingkat, fungsinya untuk menambah kecepatan dan kemudian

melontarkan satelit pada lintasan yang telah ditentukan.

2.2 Desain Orbit Berikut diuraikan kajian teorits cara meletakkan satelit pada bidang orbit. Asumsi gerak

mengikuti mekanika Newton factor teknologi, gangguan gravitasional dan non-gravitasional

diabaikan, semua kaedah Hukum Kepler dapat digunakan untuk bahan telaah;



Gambar 2- 6 Kajian gerak dua benda untuk mendeskripsikan penempatan orbit satelit dan jenis

n kecepatan

lontar (injection speed) V. Jari-jari Bumi R dan ketinggian satelit dari permukaan Bumi adalah

H. Jarak satelit dari pusat gaya sentral (pusat Bumi) r=R+H

Dari persamaan gerak system dua-benda (two body problem) kita ketahui sebuah partikel

yang bergerak dibawah gaya gravitasi akan memenuhi hukum berikut. Kecepatan Satelit pada

orbit elips memenuhi persamaan;

2 2 1V

r a

(2-13)

r = R + H (2-14)

dari kaedah hukum Kepler ke-3 kekekalan momentum sudut memenuhi pernyataan;

21 1 1(1 )

2 2 2r xV r V Sin a e

(2-15)

Ubah bentuknya dengan menghilangkan tanda akar diruas kiri diperoleh; 2 2 2

2 2

2

21

r V Sine V

r

(2-16)

Disamping itu diketahui bahwa kecepatan lepas (kecepatan parabola pada jarak dari pusat Bumi

adalah

2 2pVR

(2-17)

Definisikan rasio kuadrat kecepatan satelit dengan kecepatan lepas;



2

p

Vy

V

(2-18)

H

R

, perbandingan tinggi satelit dengan jejari Bumi, 2

x Sin , dan z = 1 –e2 (2-19)

jadi persamaan diatas dapat ditulis sebagai

4 1 1 (1 )z xy y (2-20)

atau dapat disederhanakan menjadi

4 1z x dalam hal ini 1 y (2-21)

2.3 Peluncuran dengan Sudut injeksi 90 derajad 1. Sin

2θ = 1 jadi sudut pelontaran θ = π/2 dan - π/2 disebut horizontal injection

2. z menjadi maksimum bila dipenuhi hubungan dz/dη = 0

atau

1

4 (1 02

dx

d

(2-22)

nilai ini dipenuhi untuk;

z(1/2) = 1 atau e = 0, orbit lingkaran dapat terbentuk

2.4 Peluncuran dengan sudut injeksi bukan 90 derajad

Sin2θ < 1 nilai θ yang memenuhi adalah θ < π/2 atau - π/2

Nilai ini dipenuhi oleh z<1 atau e ≠0 orbit lingkaran tidak pernah terbentuk

2.5 Syarat lain

rmin = a(1-e) > R untuk x =1 harus dipenuhi juga

2a > H + 2R (2-23)



dari persamaan

2 2 1V

r a

diperoleh 22

a

Vr

(2-24)

Substitusi y dan ε diperoleh;

1 1

2 1

a

R

(2-25)

dengan demikian agar satelit tidak jatuh ke Bumi haruslah

11 1

2 2

a H

R R (2-26)

atau

1 1 11

2 1 2

(2-27)

11

2

atau

2 311 ....

2 2 4 8

(2-28)

Asumsikan suku-suku faktor kuadratis dan seterusnya dapat kita abaikan terhadap bentuk

linier. Agar pernyataan (2-28) dijamin terpenuhi maka persyaratan tersebut dapat juga

dinyatakan sebagai;

11

2 2

(2-29)

Untuk nilai 1

12 2

diperoleh;

11

1 12 2

y

(2-30)

Selain itu karena ;

2

12 211 1

2 2p

Vy V V

Vp

(2-31)

kecepatan ini merupakan kecepatan kritis, jika kecepatan ini dinyatakan sebagai Vf.

12 21

1 12 2

f pV V

Dapat diambil kesimpulan;



1) Dalam hal 2 2

fV V maka satelit jatuh ke Bumi, bergerak dalam pola orbit ICM (Inter

Continental Missile). Tahanan udara dan gangguan gravitasional maupun non-

gravitasional akan mempengaruhi bentuk lintasan.

2) Jika 2 2

fV V satelit tidak akan jatuh dan mengorbit mengelilingi Bumi dalam bentuk

lintasan tertentu. Gambar 2-5 berikut meragakan berbagai kasus untuk beberapa sudut

lontar sebagai fungsi rasio kecepatan lontar kuadrat dan kecepatan parabola kuadrat, 2

p

Vy

V

Jadi jelas bahwa sudut lontar dan kecepatan lontar V harus diperhatikan dengan seksama agar

satelit dapat mengorbit dalam bentuk lintasan yang dikehendaki. Kesalahan yang terjadi pada

saat menentukan sudut dan kecepatan lontar V akan menyebabkan tidak terbentuknya orbit

yang diharapkan

Gambar 2- 7 Lintasan lingkaran,elips, parabola dan hiperbola. Lintasan lingkaran tidak pernah

terjadi bila x < 1(perhatikan legend), satelit akan jatuh bebas bila z = 0. Lintasan parabola terjadi

bila nilai eta, η = 1. Sedangkan untuk hiperbola terjadi bila η > 1

Grafik diatas menunjukkan satelit masih bisa mengorbit apabila 0 < η < 1, satelit tidak akan

jatuh ataupun lepas dari gravitasi Bumi. Untuk lingkaran hanya bisa terjadi bila x = 1 atau sudut

lontar = 900 dan harus pada nilai η = 0.5. Gambar diatas juga menunjukkan bahwa untuk,



η < 0,5 grafik menunjukkan monoton naik sedangkan pada 0,5 < η grafik memperlihatkan pola

monoton turun. Pada nilai η =1 berapapun besarnya sudut lontar, maka orbit satelit akan selalu

berbentuk parabola.

.

Gambar 2- 8 Keluarga lintasan dengan sudut pelontaran θ=π/2 sebagai fungsi V0. Segala

macam bentuk orbit bisa terjadi; lingkaran, elips, parabola, jatuh bebas dan hiperbola

Pengaruh kecepatan lontar menunjukkan apabila ia terlalu besar maka satelit akan lepas

dari gaya gravitasi Bumi, bila kecepatannya terlalu kecil maka ia akan jatuh ke Bumi. Untuk

menempatkan satelit agar tetap mengorbit Bumi diperlukan kecepatan lontar V yang memenuhi

syarat Vf < V < Vp dalam hal ini seperti biasanya Vp adalah kecepatan parabola/kecepatan lepas

dan Vf kecepatan jatuh satelit. Syarat ini didaftarkan dalam Tabel 2. Berikut

Tabel 2- 2 Batas bawah dan batas atas bagi kecepatan lontar V0 untuk berbagai ketinggian dari

permukaan Bumi

No H0 [km] Vf [km/det] Vp [km/det]

1 0 7,91 11,19

2 500 7,47 10,77

3 1000 7,06 10,40

4 1500 6,68 10,06

5 2000 6,34 9,76



Gambar 2- 9 Keluarga lintasan dengan sudut pelontaran θ π/2 sebagai fungsi V0. Orbit

lingkaran tidak pernah terjadi. Bentuk orbit yang bisa terjadi adalah, elips, parabola, jatuh

bebas dan hiperbola.

Dari Tabel 2.2 diatas dapat dilihat bahwa kecepatan jatuh sedikit lebih kecil dari

kecepatan lingkaran. Dipermukaan Bumi kecepatan jatuh sama dengan kecepatan linier rotasi

Bumi. Selain itu terlihat juga bahwa makin rendah titik pelontaran makin besar pula V0 yang kita

perlukan, hal ini dapat dimengerti karena didekat Bumi percepatan gravitasi yang menarik satelit

menjadi lebih besar. Atau dengan perkataan lain energi yang diperlukan untuk melontarkan

satelit berbanding terbalik dengan jarak satelit dari permukaan Bumi. Setiap model satelit diberi

nama berdasarkan misi ataupun tipe orbitnya biasanya, nama satelit merupakan singkatan dari

projek yang sedang diembannya. Berikut ini didaftarkan beberapa satelit buatan yang telah

diketahui, misi utamanya dan tipe orbitnya.

Tabel 2- 3 Daftar satelit berdasarkan misi yang diembannya

No Satellite Nama Lengkap

1. ADEOS/RIS Advanced Earth Observing Satellite/ Reflector In Space

2. ADEOS-2 Advanced Earth Observing Satellite 2

3. ALOS Advanced Land Observing Satellite

4. ANDE Atmospheric Neutral Density Experiment

5. ATEx Advanced Tether Experiment

6. BE-C Beacon Explorer C

7. CHAMP CHAllenging Microsatellite Payload



8. Envisat ENVIronmental SATellite

9. ERS-X Earth Remote Sensing Satellite X

10. ETS-VIII Engineering Test Satellite VIII

11. FIZEAU METEOR 2-21

12. GSTB-V2/A Galileo System Test Bed V2/A

13. GSTB-V2/B Galileo System Test Bed V2/AB

14. GEOS-X Geodetic Earth Orbiting Satellite X

15. GFO-1 Geosat Follow-On 1

16. GFZ-1 GeoForschungsZentrum 1

17. GLONASS-X GLObal NAvigation Satellite System X

18. GOCE

Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation

Mission

19. GP-B Gravity Probe B

20. GPS-X Global Positioning System X

21. GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment

22. H2A-LRE Laser Retroreflector Experiment

23. ICESat Ice, Cloud, and land Elevation Satellite

24. IRS-P5 Indian Remote Sensing Satellite P5

25. Jason-1 TOPEX Follow-On

26. LAGEOS-X LAser GEOdynamics Satellite X

27. MSTI-2 Miniature Sensor Technology Integration 2

28. NPOESS

National Polar-orbiting Operational Environmental

Satellite

29. OICETS Optical Inter-orbit Communications Engineering Satellite

30. STARSHINE-X

Student-Tracked Atmospheric Research Satellite for

Heuristic International Networking Experiment-X

31. SUNSAT Stellenbosch UNiversity SATellite

32. TiPS Tether Physics and Survivability Mission

33. TOPEX/Poseidon TOPography Experiment

34. VCL Vegitation Canopy Lidar

35. WESTPAC-1 WESTern PACific Laser Satellite 1



Tabel 2- 4 Nama satelit, informasi tentang orbit, misi utama yang diemban dan instrumen yang

dibawa ( download 19 Februari 2008 dari http://Ilrs.gsfc.nasa.gov/satellite_missions)

No Satellite

Primary

Application i e Perigee (km)

Apogee

(km)

Period

(min)

1. 1 ADEOS/RIS Earth Sensing 98.6° 0.000 815 815 101

2. ADEOS-2 Earth Sensing 98.62° 0.000 802.9 101

3. AJISAI Geodynamics 50° 0.001 1,485 1,505 116

4. Apollo 11 Sea of

Tranquility Lunar Science 5.145° 0.0549 356,400 406,700

29.53

days

5. Apollo 14 Fra

Mauro Lunar Science 5.145° 0.0549 356,400 406,700

29.53

days

6. Apollo 15 Hadley

Rille Lunar Science 5.145° 0.0549 356,400 406,700

29.53

days

7. BE-C Earth Sensing 41.2° 0.025 927 1,320

8. DIADEM-1C Geodynamics 39.9° 0.037 545 1,085 101

9. DIADEM-1D Geodynamics 39.5° 0.076 585 1,735 108

10. ERS-2 Earth Sensing 98.6° 0.0018 800 800 101

11. ETALON-1 Space

Experiments 65.3° 0.00061 19,105 19,170 676

12. ETALON-2 Geodynamics 65.2° 0.00066 19,135 19,135 675

13. FIZEAU Earth Sensing 82.6° 0.002 950 985 104

14. GEOS-1 Earth Sensing 59.4° 0.073 1,108 2,277 120

15. GEOS-2 Earth Sensing 105.8° 0.033 1,077 1,569 112

16. GEOS-3 Earth Sensing 115.0° 0.001 841 856 102

17. GFO-1 Earth Sensing 107.98

46° 0.001 800 800 100

18. GFZ-1 Geodynamics 51.6° 0.000 385 385 92

19. GLONASS(49-97) Positioning 64° 0.000 19,140 19,140 676

20. GPS-35 Positioning 54.2° 0.000 20,195 20,195 718

21. GPS-36 Positioning 55.0° 0.006 20,030 20,355 718

22. LAGEOS-1 Geodynamics 109.84° 0.0045 5,850 5,960 225

23. LAGEOS-2 Geodynamics 52.64° 0.0135 5,625 5,960 222

http://ilrs.gsfc.nasa.gov/satellite_missions



24. Luna 17 Sea of

Rains Lunar Science 5.145° 0.0549 356,400 406,700

29.53

days

25. Luna 21 Sea of

Serenity Lunar Science 5.145° 0.0549 356,400 406,700

29.53

days

26. RESURS-01-3 Earth Sensing 97.9° 0.000 675 675 98

27. SEASAT Earth Sensing 108° 0.001 793 805 100

28. Starlette Geodynamics 49.83° 0.0206 815 1,115 104

29. Stella Geodynamics 98.6° 0.000 815 815 101

30. SUNSAT Earth Sensing 96.5° 0.015 400 830 100

31. TiPS Tether

Science 63.4° 0.001 1,025 1,045 106

32.

TOPEX/Poseidon Earth Sensing 66° 0.000 1,350 1,350 112

33. WESTPAC-1 Geodynamics 98° 0.0 835 835 101

34. ZEYA Satellite Tests 97.27° 0.000 471 499 94

Data dalam tabel diatas, masih terus berubah dengan cepat karena hampir tiap bulan ada satelit

baru yang diluncurkan, pembaca yang mempunyai fasilitas internet dapat memperbaharui

informasi ini dengan berselancar di situs http://Ilrs.gsfc.nasa.gov/satellite_missions Sebagaian

dari data tersebut ditunjukkan pada Lampiran 2

2.6 Transfer Orbit Definisi: Impulse adalah gaya yang bekerja dalam interval waktu yang sangat singkat

dari t0 sampai t1 dengan t0 t1. Jadi dapat ditulis

1

0

t

t

I Fdt (2-32)

Untuk t1 t0 dapat ditulis

1

0

0

lim

t

t tt

I Fdt

= 1

1 0

0

1 0 1 0lim ( ) ( )

t

t tt

dvm dt mV t mV t mV mV

dt (2-33)

Dalam gambar 2-9 diragakan hubungan impulse I dan kecepatan V

http://ilrs.gsfc.nasa.gov/satellite_missions



Gambar 2- 10 Hubungan antara impulse I dan kecepatan awal V0 dan perkalian skalar dua

vektor . Sedangkan, norm dari perkalian vektor

Keubahan energi persatuan massa akibat adanya impulse ini diberikan oleh persamaan (2-34)

2 2

1 0

1

2E m V V = 1 0 1 0

1

2m V V V V = 2

0

1.

2I I V

(2-34)

Dalam hal ini kita lihat bahwa bila;

1. I tegak lurus 0V maka E minimum

2. I sejajar 0V maka E menjadi maksimum

3. Momentum sudut L r m v

4. Perubahan momentum sudut 1 L L -L r o I

Norm dari keubahan momentum sudut;

sinL r I rI

(2-35)

Jadi dapat dilihat bila;

1. r

tegak lurus I

maka L maksimum

2. r

sejajar I

maka L minimum

Disamping itu untuk lintasan elips diketahui energi total system adalah, 2

2

2

2 2

m dE m aE a E

a da a m

(2-36)

Jadi perubahan setengah sumbu panjang berbanding langsung dengan energi total sistem, jika

E membesar maka a juga membesar, demikian pula sebaliknya

Akibat adanya impulse dapat mempengaruhi orbit dalam bentuk;



1.mengubah periode

2.mengubah eksentrisitas

Gambar 2- 11 Akibat adanya impulse terjadi perubahan periode dan eksentrisitas orbit dalam

kasus ini kecepatan awal dan akhir selalu tangensial terhadap lintasan satelit. Garis tebal orbit

awal, garis putus-putus orbit akhir

2.7 Transfer Hohmann Alih orbit dari bentuk lingkaran ke bentuk lingkaran dikenal dengan nama transfer

Hohmann, ilustrasi transfer diragakan dalam Gambar. 2-10. Ciri dari transfer Hohmann adalah

bergerak dari orbit semula lingkaran ke orbit lain yang berbentuk lingkaran pula, sedangkan

orbit transfer berbentuk elips. Transfer Hohmann merupakan cara yang paling sering digunakan

untuk menempatkan satelit pada orbitnya yang tetap (parking orbit)

Gambar 2- 12 Transfer orbit model Hohmann dimulai dari lingkaran kecil( r = a0 ) kemudian

menjadi elips ( 2a = a0 + a1 ) selanjutnya berubah lagi menjadi lingkaran besar ( r = a1 )



Dalam hal ini berlaku pernyataan;

0 0

0

V j V ja

sedangkan 1 1

1

V j V ja

(2-37)

Impulse pada titik A dan B diberikan oleh;

0 0AI V V sedangkan 1 1BI V V (2-38)

Untuk tahap kedua orbit elips;

2 2 1V

r a

disini berlaku 1

2

oa aa

Jadi kecepatan transfer dititik A dan B adalah;

0

0

2 1V

a a

= 0

0

2a a

a a

= 1

0 1 0

2a

a a a

= 1

0

0 1

2aV

a a

(2-39)

1

1

2 1V

a a

= 1

1

2a a

a a

= 0

1 1 0

2a

a a a

= 0

1

0 1

2aV

a a

(2-40)

Dalam bentuk vektor dapat ditulis

10 0

0 1

2aV V j

a a

dan 0

1 1

0 1

2aV V j

a a

(2-41)

Oleh sebab itu diperoleh;

1/2

10

0 1

21A

aI V j

a a

(2-42)

1/2

01

0 1

21B

aI V j

a a

(2-43)

Impulse yang diperlukan untuk melakukan perpindahan orbit dari lingkaran kecil ke lingkaran

besar adalah;



2

A BI I I I I I

(2-44)

diperoleh; 1/2 1/2

010 1

0 1 0 1

221 1

aaI V V

a a a a

(2-45)

Perubahan energi pada titik A dan B adalah

21

2awalE I I V

(2-46)

Dengan menilik pada masing-masing titik diperoleh;

Manuver tunggal perubahan kecepatan pada titik A adalah;

2 1 00

1 0

1

2A

a aE V

a a

dan 2 1 0

1

1 0

1

2B

a aE V

a a

(2-47)

Tanda (-) menunjukkan bahwa orbitnya elips sedangkan (+) berubah ke segmen hiperbolik.

Sehingga energi total yang dibutuhkan untuk melakukan transfer Hohmann diambil nilai absolut

jadi;

2 2 1 00 1

1 0

1( )

2

a aE V V

a a

(2-48)

Pada dasarnya ada dua tipe manuver untuk mengubah orbit, yaitu manuver tunggal dan manuver

ganda

(a) (b)

Gambar 2- 13 Manuver tunggal (a) dan manuver ganda (b). Untuk manuver tunggal, transfer

orbit dilakukan dari orbit asal (parking orbit) langsung ke orbit tujuan, sedangkan manuver

ganda perpindahan orbit dilakukan setelah satelit mengubah lintasan dari lingkaran menjadi

elips, setelah melengkapi orbit elips pada titik perige wahana memanfaatkan energi kinetik

maksimum untuk berpindah ke orbit yang lebih besar.

A B A



2.7 Untuk manuver tunggal (skenario a) Perubahan kecepatan dilakukan pada titik A, yaitu kecepatan lingkaran diubah menjadi

kecepatan hiperbola.

a h lV V V (2-52)

Dalam hal ini Vl adalah kecepatan lingkaran dan Vh kecepatan hiperbola, bila kecepatan orbit. Di

definisikan pada titik tujuan kecepatannya adalah V dan Vp merupakan kecepatan

lepas/parabola maka berlaku;

2 2 2 2 1/22[ ]h p h

A

V V V V Vr

(2-53)

1/2

l

A

Vr

(2-54)

Energi kinetis pada posisi r adalah ;

2 2 2h

A

V Vr

(2-55)

Dengan demikian perubahan kecepatan yang diperlukan untuk manuver tunggal adalah

2 1/22[ ]a l

A

V V Vr

(2-56)

2.8 Manuver ganda (skenario b) Ada dua kali perubahan kecepatan yang dilakukan, pada titik B adalah kecepatan elips VB

menjadi kecepatan lingkaran Vl. Pada titik A kecepatan elips VA menjadi kecepatan hiperbola Vh,

sehingga perubahan kecepatan untuk manuver ini adalah

Perubahan kecepatan pada titik A;

b l B h AV V V V V (2-57)

Kecepatan orbit dititik A (kecepatan eliptik)

2 1 12A

A A B

Vr r r

(2-58)

Kecepatan eliptik di titik B

2 1 12B

B A B

Vr r r

(2-59)

Perubahan kecepatan adalah;



(2-60)

Definisikan efisiensi transfer orbit dengan parameter berikut;

(2-61)

(2-62)

Perubahan kecepatan untuk manuver tunggal dapat juga dicari dengan mengambil A Br r pada

persamaan (2-60) atau langsung dari pernyataan (2-56). Rasio manuver ganda dan tunggal dapat

dinyatakan dalam parameter berikut;

, (2-63)

Besaran ini disebut efisiensi, selanjutnya tinjau beberapa kasus

a) jika rasio 2

2

P

V

V

0 akibatnya 2

jadi 1 2

2 1Q

(2-64)

Nilai mutlak dari pernyataan ini memperlihatkan akan membesar jika membesar

lim1

41B

A

LimQ Q

r

r

(2-65)

b) sedangkan bila diambil ; B

A

r

r maka;

1 2lim1

2 2 1B

A

LimQ

r

r

(2-66)

Kesimpulan yang dapat diambil dari pernyataan (2-66) adalah efisiensi akan ditentukan oleh

rasio B

A

r

r semakin kecil perige semakin efisien pengalihan orbit

2

22 1 ,

P

V

V

1 4( )

( ) 1

b

a

V gandaQ

V tunggal

2

21 2(1 ) 2( )B B

b l

A P A

r V rV V

r V r

2 1 B

A

r

r



Jika dibuat tetap sedangkan 2

2

P

V

V

maka

1 4 lim

1

Lim Q

(2-67)

Atau dapat juga ditulis dengan menggunakan teorema l’Hospital bahwa pernyatan (2-67)

identik dengan

lim lim 1

4 41

Lim Q

= 1

Pernyatan ini menunjukkan bahwa akan dicapai efisiensi sebesar 100% dengan kata lain

manuver dengan kecepatan akhir mendekati kecepatan parabola VP dan orbit alih yang

mempunyai sekecil mungkin jarak perige akan lebih menguntungkan daripada manuver tunggal.

Batasan lain juga harus diperhatikan yaitu semakin kecil jarak perige semakin besar pula

hambatan udara. Cari informasi tentang Hohmann Transfer

Bola pengaruh gravitasi sebuah planet (bola khayal dimana batas pengaruh gaya gravitasi

planetosentrik dan heliosentrik seimbang) dan efek pengereman oleh angkasa sangat berperan

dalam orbit wahana lintas planet. Dalam mekanika benda langit ditunjukkan bahwa radius bola

pengaruh gravitasi sebuah planet mengikuti pernyataan. 2

5

m

mR r

M

Dalam hal ini

Rm jejari bola pengaruh planet dengan massa m

M – massa Matahari

m – massa planet

r – jarak planet dari Matahari

../../EBOOK/Hohmann%20transfer%20orbit.docx



Gambar 2- 14 Skenario tertangkapnya satelit oleh medan gravitasi planet. Ilustrasi untuk planet

Mars. Ketika mendekati Mars gerak wahana dipercepat, memasuki tropospher kecepatan

menurun kembali secara gradual.

Pemanfaatan energi potensial planet dapat dilakukan dengan teknik;

1. Tarikan Gravitasi (Gravity Pull)

Wahana melintas dengan arah membuntuti planet, kecepatan heliosentrik wahana merupakan

resultante kecepatan hiperbolik planetosentrik ditambah kecepatan gerak heliosentrik planet,

akibatnya gerak wahana dipercepat.

2. Tangkapan Gravitasi (Gravity Capture)

Wahana melintas planet dengan arah mencegat, kecepatan wahana menjadi lebih kecil sebab

energi potensial membesar. Kemungkinan wahana akan mengorbit planet atau wahana akan

menumbuk planet.



Gambar 2- 15 Efek pengereman angkasa pada satelit Sputnik 2. Apogee mengecil dengan waktu

.

Gambar 2- 16 Rapat partikel pada lapisan atmosfer Bumi pada scala log-log. Pengereman

terbesar terjadi ketika satelit berada pada lapisan tropospher, sebab pada lapisan ini kerapatan

partikel maksimum.



2.9 Perubahan pusat gaya sentral gerak partikel

Gambar 2- 17 Lintasan elips dan besaran geometrinya. Mula-mula partikel berada pada posisi

dengan pusat gaya titik A, kemudian bergerak ke posisi lain dengan pusat gaya berada pada titik

B

Misalkan p, menyatakan perilotusrectum pada saat pusat gaya ada di titik A dan p’,

menyatakan perilotusrectum pada saat pusat gaya ada di B. Berdasarkan kaedah hukum Kepler

pada kedua posisi ini berlaku pernyataan; 2 2(1 ) /p a e h (2-68)

2 2(1 ) /p a e h (2-69)

Gaya dipindahkan dari fokus A ke B

Misalkan AB=k maka c’= c-k,

(1 ) (1 )c c k c k k

e ea a a c c

(2-70)

Selain itu diketahui pula ; 2

2

11

1 ( )

e

e

kalikan besaran ini dengan 2

1

r

r maka diperoleh;

22

2 2

2

1 1

1 1r rc c k

r a r a

(2-71)

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk;



2 2 2 2 22

1

2r

a c a c kc kr

22

1

2 0r

kc kr (2-72)

2

1

2 2 ( )

( )

cr c a ck

r a c

(2-73)

2 ( ) (3 / ) (3 )1 1

( ) (1 / ) 1

k c a c a c a e ce e e e

c a c c a c a e

(2-74)

2.10 Eksentrisitas Gerak Hiperbola

Sebuah partikel bergerak dengan gaya repulsive 2

Fr

menjauhi titik asal, mula-mula

gerak orbitnya berbentuk elips, pada titik yang berjarak c dari pusat gaya sentral partikel

tersebut dilempar dengan kecepatan 2Vc

, akan ditentukan eksentrisitas orbit. Partikel yang

bergerak dibawah gaya repulsive 2

Fr

memenuhi

(2-75)

persamaan energi ini memperlihatkan energi total system partikel E, selalu bernilai positif

Dari teori tentang problem dua benda kita ketahui persamaan energi partikel yang bergerak

dibawah gaya tarik gravitasi 2

Fr

untuk jarak r=c energi total system adalah,

21

2

mmV E

c

(2-76)

misalkan 2h c

, 1

uc

dan h

c Vc

substitusi ketiga pernyataan ini kedalam

persamaan energi diatas kita peroleh persamaan kuadrat dalam bentuk u,

2 210

2mh u mu E (2-77)

sehingga kita peroleh akar persamaan,

2

1,2 2 2 2

21

Ehu

h h m

nilai maksimum dan minimum memenuhi pernyataan,

21

2

mmV E

c



2

max 2 2 2

21

Ehu

h h m

dan

2

min 2 2 2

21

Ehu

h h m

(2-78)

Bandingkan bentuknya dalam koordinat polar dan kecepatan lontar V

2u ACos

h

(2-79)

Dalam bentuk ini nilai u maksimum diperoleh bila 1Cos atau dengan perkatan

lain;

max 2

u Ah

(2-80)

Jadi

1/22

2 2

21

EhA

h m

(2-81)

selain itu diketahui juga

2

eA

h

(2-82)

jadi eksentrisitas haruslah memenuhi pernyataan, 1/2

2 2

2

21

Ah Ehe

m

(2-83)

dari pernyataan ini jelas bahwa nilai e akan sangat ditentukan oleh tanda aljabar dan besaran

energi E, yaitu jika E=0 maka lintasannya berbentuk parabola (e=1) dan jika lintasannya

berbentuk hiperbola( e>1) haruslah energi E berharga positif, sedangkan untuk lintasan elips (0

< e < 1), E harus negatif. Selanjutnya perhatikan pernyataan berikut,

2

21h

p a e

(2-84)

atau nyatakan h dalam bentuk persamaan energi

2 2

2 1/2

2

2 2[ 1 ] 1 1

Eh Eh ah a e a

m m

(2-85)

dengan demikian energi untuk lintasan yang berbentuk elips dapat ditulis sebagai,

2

mE

a

(2-86)

masukkan kedalam persamaan energi

21

2 2

m mmV

c a

2 1 1

22

Vc a

(2-87)



Sedangkan untuk lintasan hiperbola, 2

mE

a

, diperoleh

21

2 2

m mmV

c a

2 1 1

22

Vc a

(2-88)

Karena partikel dilempar dengan kecepatan Vc

kecepatan ini tentulah harus sama dengan

kecepatan teoritis diatas, jadi

2

1 12

2c a

c c a V

(2-89)

Selain itu telah diketahui bahwa 2

2(1 )h

p a e

atau

11e

ac (2-90)

ganti a dengan –c maka

2

11e

c (2-91)

Dari pernyataan (2-91) tampak untuk orbit berbentuk hiperbola bahwa eksentrisitas orbit hanya

bergantung pada konstanta c saja.

2.11 Ilustrasi

Berikut disampaikan sebuah ilustrasi sederhana tentang perubahan massa roket dan dampaknya

pada kecepatan wahan bersangkutan.

Untuk menghitung berapa massa yang hilang setiap kali penembakan, perhatikanlah ilustrasi

berikut ini;



Gambar 2- 18 Massa yang dilontarkan roket membuat roket terdorong ke depan, kecepatan

roket bergantung pada kecepatan materi yang dilontarkan

Menurut hukum kekekalan momentum, pada kasus ini berlaku, perubahan momentum sebelum,

dan sesudah penembakan adalah tetap,

dp1+ dp2 = 0 (2-92)

Atau dapat ditulis kembali dalam bentuk

0g

dm dvV m

dt dt g

dmdv V

m (2-93)

Tinjau syarat batas t = 0 roket masih mengorbit dalam bentuk lingkaran kecepatan roket Vl

massa total m0 setelah didorong pada saat t, orbit berubah menjadi parabola misalkan

kecepatannya menjadi Vp dan massanya mf

Catatan, rasio kecepatan parabola/kecepatan lingkaran =2

Jadi f

0

mt

g

0 m

dmdv = -V

m (2-94)

Jadi rasio massa final terhadap massa awal roket dapat ditulis kembali sebagai

/

0

gV Vfme

m

(2-95)



dalam hal ini 1pV V V

Kecepatan relatif roket terhadap kecepatan lingkaran adalah

1pV V V , karena kecepatan lepas adalah 2 kali kecepatan melingkar maka dapat dinyatakan

1 1 12 0,41V V V V (2-96)

Dengan demikian rasio massa roket sebelum dan sesudah mengubah lintasannya dari lingkaran

menjadi parabola adalah, 0,41

0

l

g

V

Vfme

m (2-97)

Persamaan ini menyatakan bahwa bila; kecepatan dorong, Vg yang besar akan menyebabkan

massa final semakin membesar, demikian pula sebaliknya kecepatan dorong rendah akan

menyebabkan massa final semakin mengecil

Gambar 2- 19 Trajectory roket Ariane 4 ketika diluncurkan dari Kouru (Guyana, Amerika

Selatan) diperlukan tiga kali penembakan untuk menempatkan satelit pada orbitnya

Semakin kecil Vg semakin besar pula massa awal yang hilang demikian pula sebaliknya. Dalam

hal kecepatan lontar Vg =2,8 km/det dan kecepatan wahana pada orbit lingkaran, Vl = 5 km/det

maka rasio massa final dan awal roket tersebut adalah;



0

0,5fm

m (2-98)

Artinya untuk mendapatkan kecepatan 5 km/det, maka setengah massa roket tadi akan hilang

kalau kecepatan material yang disemburkan melaju dengan kecepatan 2,8 km/det. Gambar

berikut meragakan penempatan sebuah satelit(payload) pada roket Ariane 4 dan roket Titan.

Gambar 2- 20 Model roket Titan dan Ariane 4. Untuk Ariane 4 ada sembilan bagian utama

yaitu;

(1) First stage (L220), (2) Solid strap –on booster(PAP), (3) Liquid strap-on booster(PAL), (4)

Inter-stage ½ skirt, (5) Second stage (L33), (6)Third stage (H10), (7) Vehicle equipment bay

(VEB), (8) Dual launch structure (SPELDA) dan (9) Fairing. Sebelah kiri adalah profil roket

Titan yang membawa wahana Cassiny.



Contoh 1: Sebuah roket mula-mula bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran

dengan kecepatan 5 km/det. Kemudian lintasan roket tersebut diubah menjadi

parabola dengan kecepatan dorong Vg =2,8 km/det. Berapa prosen dari massa

awal yang harus dipergunakan untuk membuat lintasan menjadi parabola ?

Penyelesaian

Kecepatan lingkaran, jika h adalah jarak dari permukaan Bumi maka;

c

GMV

R h

Kecepatan parabola (kecepatan lepas)

2

e

GMV

R h

Dalam hal ini M = M0+m, karena massa roket jauh lebih kecil dari massa Bumi,

maka M = M0 sedangkan R dan h, masing-masing menyatakan radius Bumi dan

tinggi objek dari permukaan Bumi, kedua pernyataan diatas jika digabung

menjadi 2e cV V substitusi harga G dan M serta radius Bumi R maka Vc dapat

dihitung. Karena diberikan Vc = 5 km/det, soal diatas dengan mudah dapat kita

selesaikan, sebab telah diketahui;

0 ( 2 1)e c cV V V V V V =2,07 km/det

dari pernyataan (1-92) dapat dilihat bahwa rasio massa akhir dan massa awal roket

tersebut adalah;

2,07/2,8

0

0

0.478f

f

me m m

m

jadi massa yang dibuang adalah; m = m0 - mf = 0,522 m0 atau kira-kira 52,2%

dari massa awal. Dalam Tabel 1-2 diperlihatkan perbandingan massa mf/m0 untuk

berbagai kecepatan dorong, pada saat roket mengubah lintasan dari lingkaran ke

bentuk parabola, sebagai fungsi ketinggian h. Tabel ini meragakan bahwa roket

yang diluncurkan pada posisi ketinggian h<0,1 R dari permukaan Bumi akan

kehilangan semua massanya walaupun kecepatan lontarnya kita perbesar. Makin

tinggi roket dari permukaan Bumi massa yang harus dibuang semakin kecil. Untuk

h= R dan Vg = 4 km/det massa yang harus dilemparkan oleh roket untuk

membentuk lintasan parabola paling sedikit adalah 40% dari massa awal.



Tabel 2- 5 Rasio mf /m0 untuk berbagai kecepatan dorong Vg dalam km/det,

sebagai fungsi dari h/R. Kolom tiga menunjukkan kecepatan lingkaran Vc dalam

km/det.

No h/R Vc Vg=2 Vg= 3 Vg= 4 Vg=5

1 0 7.92 0.19 0.34 0.44 0.52

2 0.1 7.55 0.21 0.35 0.46 0.53

3 0.2 7.23 0.22 0.37 0.47 0.55

4 0.3 6.95 0.24 0.38 0.49 0.56

5 0.4 6.69 0.25 0.40 0.50 0.57

6 0.5 6.47 0.26 0.41 0.51 0.59

7 0.6 6.26 0.27 0.42 0.52 0.60

8 0.7 6.07 0.28 0.43 0.53 0.60

9 0.8 5.90 0.29 0.44 0.54 0.61

10 0.9 5.75 0.30 0.45 0.55 0.62

11 1 5.60 0.31 0.46 0.56 0.63

Relasi antara rasio massa final dan massa awal versus rasio ketinggian satelit

terhadap radius bumi untuk berbagai Vg diperlihatkan pada gambar 1-10 berikut

Pernyataan 0

( )f

g

m VExp

m V memberikan beberapa kesimpulan antara lain;

a) Jikag

V

V maka mf << m0 artinya massa yang dibuang dm = m0 - mf m0,

tidak ada massa yang dibakar

b) Jika 0g

V

V maka mf m0 artinya massa yangtinggal, dm = m0 - mf 0,

semua massa dibuang/terbakar untuk mendorong roket



Gambar 2- 21 Jumlah massa yang hilang sebagai fungsi ketinggian satelit dari permukaan Bumi

untuk berbagai kecepatan dorong

Grafik diatas meragakan bahwa pada nilai Vg yang membesar maka rasio antara massa final dan

massa awal semakin kecil dan grafik berkecendrungan berimpit. Artinya pada kecepatan dorong

yang sangat besar pembahasan rasio massa awal terhadap massa final tidak lagi signifikan. Pada

jarak h 8R, gradient cendrung mendekati nol, dengan perkataan lain titik stasioner dicapai

pada nilai h 8R

Ilustrasi

Sebuah projektil dilemparkan dari Planet X, projektil diharapkan tidak jatuh kembali ke Planet

X. Bila tahanan udara diabaikan demikian pula pengaruh gravitasi dari benda langit yang lain.

Buktikanlah kecepatan projektil tersebut pada jarak r dari Planet X mengikuti pernyataan

berikut; 2

2 2

0

22

gRv v gR

r

Dalam hal ini

R-Jejari Planet X. g-percepatan gravitasi planet X dan v0 –kecepatan projektil di permukaan

(r=R) planet X. Penyelesaian dilakukan dalam beberapa langkah.

Langkah 1: Pemodelan

Berdasarkan hukum gravitasi Newton, percepatan projektil tersebut adalah berbanding terbalik

dengan jarak kuadrat

2( )

dv ka r

dt r (1)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Mf/

Mo

h/R

Vg 1km/det

Vg 2 km/det

Vg 3 km/det

Vg 4 km/det



dalam hal ini

v-kecepatan projektil tersebut. t-waktu. k-konstanta pembanding dan r-jarak dari pusat gaya

Karena a mengecil bila r membesar maka pada partikel tersebut terjadi perlambatan , dengan

demikian k<0

Bila r = R maka a = - g (percepatan gravitasi Planet X). Jadi;

2

2( )

kg a R k gR

R (2)

Gabungkan (2) ke (1)

2

2( )

gRa r

r

(3)

Selanjutnya diketahui ada hubungan;

dv dv dr dva v

dt dr dt dr akibatnya;

2

2

dv gRv

dr r

(4)

Langkah 2: Pecahkan persamaan diferensial, pisahkan variabel lalu integrasikan 2 2

2 2

2 2

1

2

gR dr gRvdv dr vdv gR v C

r r r

(5)

Langkah 3: Nyatakan C sebagai fungsi v0 dan besaran yang diketahui R dan g. Karena untuk

r=R kecepatannya adalah v0 , jadi 2

2

0

1

2

gRC v

R (6)

Dengan memasukkan C kedalam pernyataan (5) kita peroleh;

2

2 2

0

22

gRv v gR

r

Oleh karena v≠0 maka diperlukan 2

0V yang memenuhi syarat lebih besar dari 2gR. Kecepatan

minimal yang diizinkan adalah 0 2v gR . Untuk Bumi, ganti R= 6372 km dan g=9,8 m/det2

(percepatan gravitasi di ekuator) kita peroleh, v0 = 11,2 km/det

Contoh 2 Sebuah wahana antariksa akan dijatuhkan di planet X. Pada saat parasut terbuka (t = 0)

wahana mempunyai kecepatan awal, v(0) = 10 km/det. Tentukan kecepatan wahana tersebut

pada waktu t sembarang v(t). Apakah kecepatan, v(t) akan menuju tak terhingga bila t menuju

tak terhingga ? [ cara Viking melakukan pendaratan di Mars]



Gambar 2- 22 Skenario pendaratan Viking di kawasan Chryse planetia planet Mars. Agar

instrument tidak mengalami benturan kecepatan jatuh wahana dikurangi dengan menggunakan

parasut.Penyelesaian dilakukan dalam beberapa langkah

Langkah 1: Modeling dan asumsi-asumsi. Misalkan

W-berat total dari wahana tersebut dan g-percepatan gravitasi

U-tahanan udara, berbanding kuadrat dengan kecepatan U=bv2

Langkah2: Selesaikan persamaan diferensial

2 2 2dv b gm b

v v kdt m b m

(1)

U

W

Hukum Newton;

F=ma



dalam hal ini; 2 gmk

b

Dapat juga ditulis;

2 2

dv bdt

v k m

(2)

Perhatikan bentuk

2 2 2 2

1 1 ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

A B v A B k A B

v k v k v k v k v k v k

dengan demikan kita punya persamaan;

(A+B) = 0 dan (–A+B)= 1/k diperoleh A= -1/2k dan B= 1/2k

Integrasikan persamaan (2)

2 2

1 1 1

2 ( ) 2 ( )

dv dv bdv dt

v k k v k k v k m

atau ;

ln 2v k b

k t cv k m

disederhanakan kita peroleh bentuk

2

bk t C

mv ke

v k

atau ; 0

0

1

1

pt

pt

c ev k

c e

dalam hal ini;

2kbp

m dan 2

0

kCc e

Kita lihat jika v→k maka 0 0ptc e artinya t→

Hal lain yang menarik adalah ternyata v tidak bergantung pada v0

Langkah 3: Menentukan konstanta c0

Untuk t=0 maka v= v0 jadi

0 00 0

0 0

1

1

c v kv k c

c v k

Dengan demikian urutan perhitungan menjadi;

1. Hitung;



W gm

kb b

2. Hitung;

2kb

pm

3. Hitung;

00

0

v kc

v k

4. Hitung;

0

0

1

1

pt

pt

c ev k

c e

Langkah 4: Andaikan nilai numerik untuk wahana yang dijatuhkan di Bumi adalah sebagai

berikut;

W = 712 nt kecepatan awal v0 = 10km/det, percepatan gravitasi g = 9,8 m/det2 dan b = 30 nt

det2/m

2 akibatnya;

2 2 223,7 / det 4,87 / detgm W

k m k mb b

ini adalah batas kecepatan minimal untuk nilai c0 = 0,345

untuk nilai p;

2 2.4,87.30

4,02 / det72,7

kbp

m

Akibatnya kita peroleh kecepatannya sebagai fungsi waktu;

4,02

4,02

1 0,345( ) 4,87

1 0,345

t

t

ev t

e

Dalam pernyataan ini dapat dilihat bila t 0 kita peroleh v = 10km/det sedangkan untuk t

diperoleh v = 4,87 km/det, bandingkan dengan kecepatan linier rotasi Bumi v = 7,92 km/det



Daftar Isi

2.1 Persamaan gerak .............................................................................................................. 1

2.2 Desain Orbit ...................................................................................................................... 6

2.3 Peluncuran dengan Sudut injeksi 90 derajad .............................................................. 8

2.4 Peluncuran dengan sudut injeksi bukan 90 derajad ................................................... 8

2.5 Syarat lain .......................................................................................................................... 8

2.6 Transfer Orbit ................................................................................................................... 15

2.7 Transfer Hohmann .......................................................................................................... 17

2.7 Untuk manuver tunggal (skenario a) ........................................................................... 20

2.8 Manuver ganda (skenario b) ......................................................................................... 20

2.9 Perubahan pusat gaya sentral gerak partikel ............................................................ 25

2.10 Eksentrisitas Gerak Hiperbola ...................................................................................... 26

2.11 Ilustrasi ............................................................................................................................. 28

Daftar Gambar

Gambar 2- 1 Bermacam tipe orbit seperti orbit parking, transfer orbit dan final orbit.

Sebuah satelit umumnya memulai kala hidup pada lintasan parking, dari lintasan ini

kemudian upper stage roket digunakan sebagai booster untuk menempatkan satelit di

orbitnya. Beberapa dorongan diperlukan sampai satelit menempati posisi yang

diharapkan .................................................................................................................................... 1

Gambar 2- 2 Koordinat kartesis untuk sistem dua benda, m bergerak relatif terhadap M.

Dalam penurunan persaman gerak m dan M dinyatakan sebagai massa titik .............. 2

Gambar 2- 3 Menurunkan pernyataan gaya hambat udara ................................................. 3

Gambar 2- 4 Ilustrasi gerak projektil didekat permukaan Bumi. ........................................ 5

Gambar 2- 5 Pesawat ulang-alik Atlantis. Fungsi wahana (space shuttle) melakukan

transportasi angkasa luar termasuk menempatkan satelit pada orbitnya menjaga ia

tetap ada disana memutar dan memindahkannya bila diperlukan. Wahana mempunyai

kemampuan untuk menambah ataupun mengurangi kecepatan di angkasa bila

diperlukan dan tetap berada pada orbitnya. Space booster terdiri dari beberapa tingkat,

fungsinya untuk menambah kecepatan dan kemudian melontarkan satelit pada lintasan

yang telah ditentukan. ................................................................................................................. 6

Gambar 2- 6 Kajian gerak dua benda untuk mendeskripsikan penempatan orbit satelit



dan kecepatan lontar (injection speed) V. Jari-jari Bumi R dan ketinggian satelit dari

permukaan Bumi adalah H. Jarak satelit dari pusat gaya sentral (pusat Bumi) r=R+H .. 7

Gambar 2- 7 Lintasan lingkaran,elips, parabola dan hiperbola. Lintasan lingkaran tidak

pernah terjadi bila x < 1(perhatikan legend), satelit akan jatuh bebas bila z = 0. Lintasan

parabola terjadi bila nilai eta, η = 1. Sedangkan untuk hiperbola terjadi bila η > 1 ...... 10

Gambar 2- 8 Keluarga lintasan dengan sudut pelontaran θ=π/2 sebagai fungsi V0.

Segala macam bentuk orbit bisa terjadi ; lingkaran, elips, parabola, jatuh bebas dan

hiperbola ..................................................................................................................................... 11

Gambar 2- 9 Keluarga lintasan dengan sudut pelontaran θ π/2 sebagai fungsi V0.

Orbit lingkaran tidak pernah terjadi. Bentuk orbit yang bisa terjadi adalah, elips,

parabola, jatuh bebas dan hiperbola ...................................................................................... 12

Gambar 2- 10 Hubungan antara impulse I dan kecepatan awal V0 dan perkalian skalar

dua vektor . Sedangkan, norm dari perkalian vektor ..................................................... 16

Gambar 2- 11 Akibat adanya impulse terjadi perubahan periode dan eksentrisitas orbit

dalam kasus ini kecepatan awal dan akhir selalu tangensial terhadap lintasan satelit.

Garis tebal orbit awal, garis putus-putus orbit akhir ............................................................. 17

Gambar 2- 12 Transfer orbit model Hohmann dimulai dari lingkaran kecil( r = a0 )

kemudian menjadi elips ( 2a = a0 + a1 ) selanjutnya berubah lagi menjadi lingkaran

besar ( r = a1 ) ........................................................................................................................... 17

Gambar 2- 13 Manuver tunggal (a) dan manuver ganda (b). Untuk manuver tunggal,

transfer orbit dilakukan dari orbit asal (parking orbit) langsung ke orbit tujuan,

sedangkan manuver ganda perpindahan orbit dilakukan setelah satelit mengubah

lintasan dari lingkaran menjadi elips, setelah melengkapi orbit elips pada titik perige

wahana memanfaatkan energi kinetik maksimum untuk berpindah ke orbit yang lebih

besar. ........................................................................................................................................... 19

Gambar 2- 14 Skenario tertangkapnya satelit oleh medan gravitasi planet. Ilustrasi

untuk planet Mars. Ketika mendekati Mars gerak wahana dipercepat, memasuki

tropospher kecepatan menurun kembali secara gradual. ................................................... 23

Gambar 2- 15 Efek pengereman angkasa pada satelit Sputnik 2. Apogee mengecil

dengan waktu. ............................................................................................................................ 24

Gambar 2- 16 Rapat partikel pada lapisan atmosfer Bumi pada scala log-log.

Pengereman terbesar terjadi ketika satelit berada pada lapisan tropospher, sebab pada

lapisan ini kerapatan partikel maksimum. ............................................................................. 24



Gambar 2- 17 Massa yang dilontarkan roket membuat roket terdorong ke depan,

kecepatan roket bergantung pada kecepatan materi yang dilontarkan .......................... 29

Gambar 2- 18 Trajectory roket Ariane 4 ketika diluncurkan dari Kouru (Guyana,

Amerika Selatan) diperlukan tiga kali penembakan untuk menempatkan satelit pada

orbitnya ....................................................................................................................................... 30

Gambar 2- 19 Model roket Titan dan Ariane 4. Untuk Ariane 4 ada sembilan bagian

utama yaitu; ................................................................................................................................ 31

Gambar 2- 20 Jumlah massa yang hilang sebagai fungsi ketinggian satelit dari

permukaan Bumi untuk berbagai kecepatan dorong ........................................................... 34

Gambar 2- 21 Skenario pendaratan Viking di kawasan Chryse planetia planet Mars.

Agar instrumenttidak mengalami benturan kecepatan jatuh wahana dikurangi dengan

menggunakan parasut. ............................................................................................................. 36

Daftar Tabel

Tabel 2- 1 Daftar koefisien hambat untuk berbagai penampang benda. ........................... 4

Tabel 2- 2 Batas bawah dan batas atas bagi kecepatan lontar V0 untuk berbagai ketinggian dari permukaan Bumi ............................................................................................ 11

Tabel 2- 3 Daftar satelit berdasarkan misi yang diembannya ........................................... 12

Tabel 2- 4 Nama satelit, informasi tentang orbit, misi utama yang diemban dan instrumen yang dibawa ( download 19 Februari 2008 dari http://Ilrs.gsfc.nasa.gov/satellite_missions) ........................................................................... 14

Tabel 2- 5 Rasio mf /m0 untuk berbagai kecepatan dorong Vg dalam km/det, .............. 33

Bab 2 Satelit Sebagai Benda Langit -...

Documents

Transcript of Bab 2 Satelit Sebagai Benda Langit -...