BAB 1. PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara hitungan (Aritmatika).Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit. Sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan atau aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya/ solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat/error.

Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan di dunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Kebanyakan persoalan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena ia memberi solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol! Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah.

Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan)

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dibuat beberapa contoh masalah antara lain:

1.2.1 Bagaimana contoh solusi analitis/eksak?1.2.2 Bagaimana solusi numerik/pendekatan dengan menggunakan interval waktu 2,

1 ,dan 0,5 detik?1.2.3 Bagaimana cara memasukkan solusi numerik ke dalam bentuk algoritma?

1.3 TujuanTujuan berdasarkan masalah diatas, maka tujuan penyusunan makalah ini yaitu:

1.3.1 Mengetahui dan memahami solusi analitis/ eksak.1.3.2 Mengetahui dan memhami solusi numerik/pendekatan.1.3.3 Mengetahui bagaimana cara memasukan data kedalam algoritma.

1

Bab 2 Pembahasan2.1 Masalah

2.1.1 Penerjun dengan massa 68.100 gr, meloncat dari sebuah pesawat terbang. Dengan persamaan eksak diatas, hitung kecepatan sebelum penerjun payung membuka payungnya. Koefesiensi tahanan/geser c kira-kira besarnya 12.500 gr/detik!

2.1.2 Kasusnya sama dengan untuk solusi eksak di atas, Penerjun dengan massa 68.100 gr, meloncat dari sebuah pesawat terbang. Dengan persamaan eksak diatas, hitung kecepatan sebelum penerjun payung membuka payungnya. Koefesiensi tahanan/geser c kira-kira besarnya 12.500 gr/detik. Interval waktu 2, 1,dan 0,5 detik. Hitung v(t)nya, pada saat mulai perhitungan (ti=0), kecepatan penerjun v(ti)= 0

2.2 AlgoritmaInterval ini jika diselesaikan dengan menggunakan MATLAB, maka

flowchartnaya adalah sebagai berikut: Metode LangsungAlgoritma metode langsung

1. Program dimulai2. Sebagai persiapan membersihkan layar commad window dan menghapus

isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi3. Menginput elemen interfal waktu 2 detik ke V (2)4. Menginput elemen interfal waktu 1 detik ke V (1)5. Menginput elemen interfal waktu 0,5 detik V (0,5)6. Menentukan variabelinterfal 2 yang diisi dari hasil perhitungan V(2)7. Menentukan hasil elemen V(2)8. Menentukan variabelinterfal 1 yang diisi dari hasil perhitungan V(1)9. Menentukan hasil elemen V(1)10. Menentukan variabelinterfal 0,5 yang diisi dari hasil perhitungan V(0,5)11. Menentukan hasil elemen V(0,5)12. Program selesai

2

a. Flowchart metoe langsung

2.3 Evaluasi

2.3.1 V(t) = 980(68.100) [1-e-(12.500/68.100)t]

12.500

= 5.339,0 [1-e-0,18355t]

3

Mulai

Hapus Layar

Input Interfal2, 1, dan 0,5

V (t I + 1) = v(t i) +[g -cm

v(ti] (t I + 1 – t i)

HasilV(2), v(1), dan v(0,5)

Selesai

Yang dapat di gunakan menghtung :t (det) v (cm/det)

0 0,002 1.640,54 2.776,96 3.564,28 4.109,5

10 4.487,312 4.749,0∞ 5.339,0

2.3.2 Untuk interfal waktu 2 detik

v(2) = 0 +[980 - 12.50068.100 (0)]2

= 1.960 cm/detUntuk interval berikutnya (dari t = 2 ke 4 detik)

v(4) = 0 +[980 - 12.50068.100 (1.960)]2

= 3200,5 cm/det

Jadi bila diteruskan untuk interfal waktu 2 detik

2.3.3 Untuk interfal waktu 1 detik

v(1) = 0 +[980 - 12.50068.100 (0)]1

= 980 cm/detUntuk interval berikutnya (dari t = 1 ke 3 detik)

v(3) = 0 +[980 - 12.50068.100 (980)]1

= 1780,11 cm/det

4

t (detik) v (cm/det)

0 0,00

2 1,960

4 3200,5

6 3.985,36

Jadi bila diteruskan untuk interfal waktu 2 detik

2.3.3 Untuk interfal waktu 0,5 detik

v(0,5) = 0 +[980 - 12.50068.100 (0)]0,5

= 490 cm/detUntuk interval berikutnya (dari t = 0,5 ke 1,5 detik)

v(1,5) = 0 +[980 - 12.50068.100 (980)]0,5

= 1425,02 cm/det

Jadi bila diteruskan untuk interfal waktu 2 detik

Bab 3 Penutup 3.1 Penutup

Demikian makalah tentang metode numerik ini saya buat. Jika ada kesalahan pada penyusunan makalah ini saya minta maaf, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

3.2 Kesimpulan

5

t (detik) v (cm/det)

0 0,00

1 980

3 1780,11

5 2433,36

t (detik) v (cm/det)

0 0,00

1 980

3 1780,11

5 2433,36

Jadi setiap interfal waktu tertentu mempunyai hasil penghitungan yang berbeda. Laju perubahan kecepatan terhadap waktu menjelaskan suatu proses atau sistem dalam istilah matematika untuk hail penghitungan solusi numerikdapat ditingkatkan ketepatannya dengan caramemperkecil interfal waktunya

6