1

BAB 1

ANALISA SKALAR DANVEKTOR

1.1 Skalar dan Vektor

Skalar merupakan besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata.

Simbul x, y, dan z yang digunakan merupakan scalar, dan besarnya juga dinyatakan

dalam scalar. Vektor mempunyai besar dan arah dalam suatu ruangan.

1.2 Aljabar Vektor

Dua buah vector dapat dijumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua vector

tersebut dari titik asal yang sama kemudian melengkapkan gambar jajaran genjangnya,

atau memulai menggambarkan vector kedua dari ujung vector pertama dan

melengkapkan gambar segitiga. Seperti pada gambar 1.1 berikut.

Gambar 1.1 Penjumlahan 2 vektor secara grafis

1.3 Sistem Koordinat Cartesian

Bentuk Koordinat Kartesian diperlihatkan pada gambar 1.2 berikut

Gambar 1.2 Sistem Koordinat Cartesian

Bentuk aplikasi penempatan titik dalam koordinat kartesian diperlihatkan pada gambar

1.3 berikut.

2

Gambar 1.3 Penempatan titik pada koordinat kartesian

Contoh jika titik P berada pada koordinat (xo,yo,zo) dan P’ berada pada (x1,y1,z1) maka

dapat dianalisis jarak antara PP’, seperti pada Gambar 1.4 berikut.

Gambar 1.4 Penggambaran titik pada koordinat kartesian

1.4 Komponen Vektor dan Vektor Satuan

Analisis vector dan vector satuan, diperlihatkan pada Gambar 1.5 berikut.

3

Gambar 1.5 Vektor dan Vektor Satuan

Mengacu pada gambar 1.5 bagian c dihasilkan bentuk persamaan, maka besar vector Rpq

1.5 Perkalian Titik

Tinjau dua vektor A dan B, perkalian skalarnya atau perkalian titiknya didefinisikan

sebagai perkalian besar A dan besar B dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vector.

Mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu, seperti diperlihatkan pada gambar

1.6 berikut.

Gambar 1.6 Dua vector A dan B

Komponen skalar vektor B pada arah vektor a adalah B.a = |B|.|a|cos Ba = |B|.|a|cos

Ba

4

1.6 Perkalian Silang

Bentuk perkalian silang dapat diasumsikan gerak putar pada sebuah skrup seperti

diperlihatkan pada gambar 1.7 berikut. Arah A x B ialah arah majunya sekrup putar

kanan.

Gambar 1.7. Arah putar skrup

Contoh Soal:

1. Tunjukkan bahwa vektor yang ditarik dari M(x1,y1,z1) ke N(x2,y2,z2) spt gambar adalah

(x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az. Koordinat M dan N dipakai untuk menuliskan kedaua

vektor A dan B.

A = x1ax + y1ay + z1az

B = x2ax + y2ay + z2az

Maka B – A = (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az

2. Diketahui A = 2 ax + 4 ay – 3 az dan B = ax – ay, tentukan A.B dan AxB.

A.B = (2 ax + 4 ay – 3 az).(ax – ay)

= (2.1 ax.ax + 2.-1 ax.ay) + (4.1 ay.ax + 4.-1 ay.ay) + (-3.1 az.ax+3.1 az.ay)

=(2 + 0) + (0-4) + (0+0)

= -2

A B

B-A N(x2,y2,z2)

x

A M(x1,y1,z1)

y

z

5

A x B =

= [(4)(0)-(-3)(-1)] ax+ [(-3)(1)-(2)(0)]ay + [(2)(-1)-(4)(1)az]

= -3 ax - 3 ay - 6 az

3. Tentukan vektor satuan normal terhadap bidang yang terdapat dua vektor

OA = 4 ax + 10 ay

OB = 4 ax + 5 az

OA x OB =

= 50 ax – 20 ay – 40 az

za40

ya20

xa50

za40

ya20

xa50

na

= 16425

a4a2a5 zyx

= )a4a2a5(53

1zyx

4. Vektor A ditarik dari titik (2,-4,1) ke titik (0,0,-2) dalam koordinat kartesian dan satuan

yang searah dengan A

A = (0-2) ax + (-2+4)ay + (0-1) az

= -2 ax + 2 ay - az

A = 222 )1()2()2(

aA = A

A

xyx a3

1a

3

2a

3

2

ax ay az

2 4 -3

1 -1 0

ax ay az

4 10 0

4 0 5

A (0,0,-2)

x

(2,-4,1)

y

z

6

(x,y,z)

(0,0,0)

4. Nyatakan vektor satuan dari suatu titik sembarang pada bidang dalam z =4 yang

mengarah ke titik asal.

R = (0-x) ax + (0-y) ay + (0-4) az

R

RaR

= 222

zyx

)4()y()x(

a4yaxa

1.7 Sistem Koordinat Tabung

Bentuk koordinat tabung diperlihatkan pada gambar 1.8 berikut. Ketiga bidang saling

tegak lurus dalam koordinat tabung

Gambar 1.8 Bentuk koordinat tabung

Volume diferensial dalam koordinat tabung, dimana , dz : dimensi panjang, d :

bukan dimensi panjang, luas permukaan tiap sisi dd, ddz, ddz, dan volume

dddz

7

Contoh soal:

5. Nyatakan vektor satuan dari suatu sumbu kuadrat silinder (r,,0) yang mempunyai titik

(0,0,5)

R = - rar + 5 az

R

RaR

= 25)r(

a5ra

2

zr

Perubah dalam koordinat cartesian dan koordinat tabung dapat dihubungkan melalui

persamaan yang dibentuk melalui gambar 1.9 berikut.

Gbr 1.9 Koordinat tabung

dan

Hubungan perkalian titik dan vector satuan dalam koordinat tabung dan koordinat

kartesian, dapat dilakukan dengan pendekatan matrik berikut.

(0,0,5))

(r,,o)

8

1.8 Sistem Koordinat Bola

Bentuk system koordinat bola diperlihatkan pada gambar 1.10 berikut.

Gambar 1.10 Bentuk system koordinat bola

Transformasi skalar dr sistem koordinat bola dan Cartesian,

Sebagai dasar :

Contoh soal-soal latihan:

9

1

BAB 2

HUKUM COULOMB & INTENSITAS MEDAN LISTRIK

2.1 Hukum Eksperimental coulomb

Coulomb menyatakan bahwa gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam vakum

atau ruang hampa yang terpisah pada jarak yang besar dibandingkan dengan ukurannya,

berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik

dengan jarak kuadrat. Seperti diperlihatkan pada gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1 Dua buah muatan menpunyai jarak

Sehingga dapat ditulis dengan persamaan, Gaya Coulomb ,2

21

R

QQkF

k = konstanta, 04

1

k

12

0 10854.8 x m

Fx 910

36

1 (permitivitas ruang

hampa)

2

21

4 R

QQF

O

Dimana :

Q = muatan [C]

R = jarak antara muatan [m]

k = konstanta [SI]

F = gaya [N]

Contoh Soal:

Carilah gaya pada muatan 2 (F2) dengan meninjau adanya muatan 1 sebesar 3x10-4

C pada

titik P(1,2,3) dan muatan 2 sebesar -10-4

C pada titik Q(2,0,5). Penyelesainnya:

R Q1 Q2

2

2.2 Intensitas Medan Listrik.

Muatan Qt yang digerakkan mengelilingi Q1 akan selalu timbul gaya yang

bertumpu pada Qt, sehingga pada muatan Qt ini menunjukkan adanya suatu medan

gaya. Gaya yang bertumpu pada Qt dinyatakan dengan hukum Coulomb:

Q1

Besaran pada ruas kanan hanya merupakan fungsi dari Q1 dan segmen garis yang

arahnya dari Q1 ke kedudukan muatan uji. Hal ini menggambarkan sebuah medan

vektor yang disebut dengan intensitas medan listrik. Intensitas Medan Listrik

didefinisikan sebagai: gaya vektor yang bertumpu pada suatu satuan muatan uji

yang positif.

Intensitaas medan listrik = Gaya vektor yang bertumpu pada satuan muatan positif

C

N

Q

FE

t

t

coulomb

meterNewton

Coulomb

JouleVolt

m

V

C

N

Coulomb

Newton

meter

Volt

t

t

tt a

R

QQF 12

10

1

4

t

tt

t aR

Q

Q

F12

10

1 .4

Medan vektor = intensitas medan listrik

Qt

Q1

3

r1

1

r2

1 r-r1

r

r-r2

Q1

Q2

Q3 QN

R1

R2 R3

RN

P aR1

aR2

aR3 aRN

2.3 Medan dari n Muatan Titik

Untuk n buah titik - jumlah gaya masing-masing muatan pada titik yang ditinjau

m

m

mn

m

r arr

QE

2

01 4

2.4 Medan Distribusi Muatan Volume Malar

Kerapatan muatan dari suatu distribusi kontinu

vol vol

v

dvdQQ

V

QP

0lim

'

'

2'

0

''

4 rr

rr

rr

dvrPE

vol

2.5 Medan Muatan Garis

Muatan garis :

a. Asumsi gerak elektron lambat

b. Elektron statis kerapatan muatan/ satuan panjang konstan

c. Intensitas yang ditimbulkan dalam muatan garis dari - ke + adalah sebagai berikut:

Q1

Q2

z

x

y

E1

E2 E1+E22

4

z

z

y

L R

dQ=LdL

P

dEz dE

dE

Sifat kesimetrisan :

terhadap koordinasi mana medan tidak berubah

komponen medan madan yang tidak muncul

bergerak dengan & z komponen tidak berubah

bergerak dengan & tetap komponen z tidak berubah

bergerak & z tetap medan berubah terhadap

tidak ada unsur yang membuat adanya komponen E=nol

setiap muatan menghasilkan E dan Ez, sedang Ez untuk - Z

saling meniadakan Ez=0

LLQ dd

322 444

sin

R

d

R

y

R

dL

R

ddE

O

LL

O

L

O

LL

222 LR

5

P(x,0,0)

y

y

x

z

s

dy

L

L

dLE

O

L ;4 2

322

~

~

cat

~

~

222

1

4

L

LE

O

L

O

LE2

2.6 Muatan Bidang

Kerapatan muatan bidang = 2mc

S

Bidang muatan pada bidang y z, dan titik yang ditinjau pada sumbu x

222 LR

Pendekatan seperti muatan garis yang panjang yang mempunyai beban kecil (pipih) yang

banyak

L= S dy

Komponen yang ada hanya Ex, Karena Ey dan Ez saling menghilangkan

22

022

02

cos2 yx

xdy

yx

dydE SS

X

6

dQ=SdS

L

LRL

R

O

dR

aE

aR

dQdE

2

0

2

4

4

P R

L

dQ=LdL

S

SRS dR

aE

2

04

dQ=LdL

R P

S

S

R

V

VR dR

aE

2

04

~

~1

0

22

~

~0

tan22

x

y

SSX

yx

xdyE

O

SXE

2

0X O

SXE

2

N

O

SX aE

2

aN = Vektor satuan medan yang arahnya keluar dari bidang

2.7 MEDAN AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN

Muatan garis

Muatan permukaan/lembaran

Muatan Ruang

7

S dQ=d