ANALISI TENSOR

Tensor adalah generalisasi dari skalar dan vektor. Skalar adalah tensor orde nol, sedangkan tensor orde satu menggambarkan suatu vektor. Dalam ruang 3 dimensi, suatu skalar mempunyai komponen sebanyak 30 = 1 komponen, sedangkan suatu vektor mempunyai jumlah komponen sebanyak 31= 3 buah komponen. Demikian juga tensor orde 2 akan mempunyai 32 = 9 komponen dalam ruang 3 dimensi. Dari tensor orde dua keataslah kita memerlukan analisis yang berbeda dari scalar dan vektor. Misalnya tensor yang menggambarkan gaya persatuan luas yang dialami oleh suatu titik pada material yang mengalami stress dan strain:

Tensor Kartesian

Tinjau vektor r beserta sumbu sumbunya, kemudian rotasikan vektor r terhadap titik pusat yang tetap pada titik O seperti pada gambar. Rotasi tersebut digambarkan dengan kosinus sudut antara masing-masing sumbu koordinat xyz dan xyz yang bila ditabelkan dapat dinyatakan dalam bentuk

Gambar 1. Uraian vektor r

Secara sederhananya hubungan antara xyz dengan xyz dapat diperlihatkan pada table berikut ini:

Tabel. 1 hubungan antara xyz dan xyz

Dimana nilai dari l1 merupakan nilai hasil dari cosinus sudut yang dibentuk antara x dan x.

Vektor r dapat dinyatakan baik dalam koordinat xyz maupun xyz:

r = ix + jy + kz = ix + jy + kz

Kemudian jika ditinjau dari persamaan komponen r pada sumbu yang telah dirotasikan, perkalian titik vektor r dengan i akan menghasilkan:

r.i = i'.i x + i'.j y + i'.k z = x

dimana seperti yang kita ketahui mengenai perkalian dot pada materi vektor bahwa i'.i = 1 dan i'.j = i'.j = 0. Sehingga yang bernilai hanya nilai x.

Ditinjau dari nilai r pada sumbu xyz jika di lakukan orasi perkaliam titik dengan i akan menjadi seperti berikut ini:

r.i = i'.i x + i'.j y + i'.k z

dengan menggunakan table.1 di atas (nilai-nilai kosinus sudut antara sumbu-sumbu), dimana nilai i.i adalah hasil cosinus dari sumbu x dan x sehingga i.i = l1 ,begitu juga berlaku pada i'.j = m1 dan i'.k = n1 maka nilai x dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut ini:

x = l1 x + m1 y + n1 z

dengan melakukan langkah langkah yang sama maka kita akan mendapatkan persamaan berikut ini:

y = l2 x + m2 y + n2 z

z = l3 x + m3 y + n3 z

persamaan x, y, z merupakan hasil transformasi dari sumbu (x,y,z) menjadi (x,y, z)

Dengan cara yang sama dengan mendotkan nilai r dan i kita akan mendapatkan nilai x, y, dan z dalam persamaan berikut ini:

r.i = i.i x + i.j y + i.k z = x

r.i = i.i x + i.j y + i.k z

x = l1 x + l2 y + l3 z

dengan cara yang sama kita akan mendapatkan:

y = m1 x + m2 y + m3 z

z = n1 x + n2 y + n3 z

Sehingga bila disusun dalam bentuk matriks dapat dituliskan

Atau dapat dituliskan sebagai berikut ini:

r = A.r

r = AT r

Dengan AT menyatakan matriks transpose dari A.

Defenisi dari vector kartesia V selalu tetap pada tiga komponen pada setiap tegak lurus dari koordiant system, jika Vx, Vy, Vz adalah komponen dalam satu system dan Vx, Vy, Vz adalah komponen dari rotasi system tersebut, dua komponen tersebut memiliki hubungan dalam persamaan seperti berikut ini:

Dimana matrik A adalah rotasi matrik pada persamaan diatas. Untuk mempermudah persamaan kita dengan mengubah perubahan seperti berikut ini:

Maka persamaan

akan menjadi

Sedangkan untuk kebalikannya

Misalkan U dan V adalah dua buah vektor sembarang yang komponennya masing-masing adalah (U1, U2, U3) dan (V1, V2, V3). Perkalian komponen-komponen tersebut dapat disusun dalam bentuk table

Karena U dan V adalah vektor, maka dapat dinyatakan

Perkalian masing-masing komponen memberikan bentuk

Hasil perkalian komponen tersebut dinyatakan dalam bentuk tensor yang didefinisikan Tij =Ui Vj dan Tkl =Uk Vl sehingga dapat dinyatakan

Dapat diperluas untuk tensor orde 4, sehingga dituliskan

Dari ungkapan transformasi vektor (tensor orde satu) yang telah disebutkan di atas, maka dapat dibuat analogi transformasi tensor orde 0 (yaitu skalar):

S = S

yang berarti tensor orde 0 (yang mempunyai satu komponen) komponennya tidak berubah pada transformasi yang berupa rotasi. Hal ini disebut invariant atau scalar.

Penggunaan tensor dalam perkalian langsung (Dyadic)

Pertama kita misalkan U V adalah tensor orde dua. Sekarang dalam analisis vektor kita dapat menuliskan kedalam komponen i, j, k, katakana bahwa V = i - j dan U = i + 3k. kita dapat menuliskan tensornya. Dengan catatan bahwa perkalian UV adalah bukan perkalian atau perkalian kros, ini berarti:

UV = (i + 3 k)(i j)= ii ij + 3ki 3kj

Persamaan diatas kita sebut dengan dyadic. Dari hasil perkalian tersebut merupakan tensor orde dua. Hasil dyadic tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks, yaitu:

Perkalian dyadic tersebut merupakan tensor, maka dapat kita mengalikannya dengan vektor, katakanlah vektor i perkalian yang digunakan adalah pendotan dengan i seperti pada tensor seblumnya, maka akan menjadi:

(UV).i = (ii ij + 3ki 3kj).i

= i(i.i) i(j.i) +3k (i.i)- 3k(j.i)

= i + 3k

i.(UV)= i .( ii ij + 3ki 3kj)

= (i.i)I (i.i)j +3(i.k)i 3(i.k)j

= i - j

Kita dapat menemukan dari kualitas matematika dapat merubah dari satu vektor ke vektor yang lain dan kita dapat melihat bahwa nilai tersebut adalah tensor orde dua atau dyadic. Jika kita menulis dyadic dengan T dalam mengenaik komponendan unit basis vektor dalam dua koordinat system (dari nilai r = ix + jy + kz = ix + jy + kz), maka nilai T dapat dituliskan sebagai berikut ini:

T= iiT11 + ijT12 + ikT13 + jiT21 + jjT22 +

= iiT11+ i'jT12 + i'kT13 + ji'T21 + jjT22 +

Matriks dari persamaan transformasi yang dijelaskan diatas dari tensor orde dua adalah:

T = ATA-1

Dimana T dan T adalah matriks, dimana elemennya merupakan komponen dari T dalam dua sistem koordinat, dan A adalah rotasi matriknya.

Sistem Koordinat Umum

Tinjau sistem koordinat bola yang variabelnya dinyatakan dengan r, dan . Hubungan variabel-variabel ini dengan variabel-variabel dalam sistem koordinat kartesian adalah

Transformasi dari variabel x, y, z menjadi variabel r, q, f bukanlah transformasi linier seperti yang sebelumnya dibahas (rotasi sistem koordinat kartesis). Bila diperoleh differensial dari persamaan-persamaan tersebut maka:

Persamaan diatas bukanlah transformasi linear, dan kita tidak bias menulis dan menggantinya menjadi persamaan yang sebelumnya untuk mengetahui hubungan antar variabel nya. Kita dapat menemukan nilai dx, dy dan dz dengan menurunkan terhadap dr, d dan d sehingga bisa disusun dalam bentuk matriks

yang artinya meskipun hubungan transformasi antara variabel-variabelnya tidak linear, namun transformasi differensialnya dapat dinyatakan dalam hubungan yang linear. Dalam bentuk yang umum, bisa dinyatakan

Biasanya dituliskan dalam bentuk yang sederhana

Determinan dari matriks J dinamakan Jacobian dari transformasi tersebut. Jadi

Kita dapat menuliskan

Kita dapat melihat bahwa transformasi antara sumbu yang tegak lurus (yang disebut dengan rotasi)

Vektor Covariant dan Contravariant

dengan mendefenisikan V adalah vektor covariant jika komponen transformasi seperti berikut ini:

Dan V adalah vektor contravactorian jika komponen transform yang dimiliki adalah sebagai berikut:

Dengan membandingkan kedua persamaan diatas, kita dapat melihat bahwa differensial dari koordinat adalah komponen dari contravariant vektor. Dimana contoh dari vektor covariant adalah gradient

Ini sangat penting untuk melihat fisika atau pengertian geometrical dari komponen contravariant dan komponen kovariant akan lebih baik jika dibandingkan dengan vektor, tetapi sebelumnya component yang dimiliki memilii batas.

Kita mempertimbangkan transformasi dari koordinat tegaklurus x, y, ke koordinat polar r, , maka kita dapat menuliskan:

ds = i dx + j dy = er dr + = ardr +

V = Vr er + = Vr ar +

Dimana Vr dan adalah komponen ordinat.

Sekarang terus terang untuk mengartikan tensor dan jenisnya. Tensor mungkin covariant dalam pesanan yang lain, contravariant atau pencampuran.

Berikut ini adalah beberapa tensor dengan beberapa orde