AWAL

i

ESTIMASI PARAMETER WEIBULL

PADA DATA TERSENSOR TIPE III

MELALUI METODE MAXIMUM LIKELIHOOD

S K R I P S I

Oleh

RISA RESTUWATI

H1B007019

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK

JURUSAN MIPA PROGRAM STUDI MATEMATIKA

PURWOKERTO

2011

ii




Oleh

RISA RESTUWATI

H1B007019

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika-Jurusan MIPA

Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK

JURUSAN MIPA PROGRAM STUDI MATEMATIKA

PURWOKERTO

2011

iii

SKRIPSI




Oleh

RISA RESTUWATI

H1B007019

Disetujui dan disahkan

pada tanggal.................................

Pembimbing I

Dr. Nunung Nurhayati _

NIP. 19720626 200003 2 001

Pembimbing II

Rina Reorita, M.Si____

NIP. 19800815 200912 2 002

Mengetahui,

Ketua Jurusan MIPA

_____Bilalodin, M.Si______

NIP. 19680112 199512 1 001

iv

PERNYATAAN

Saya, yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Risa Restuwati

NIM : H1B007019

menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa skripsi saya yang berjudul




adalah hasil karya sendiri dan bukan jiplakan hasil karya orang lain.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya. Jika di kemudian

hari terbukti bahwa skripsi saya merupakan jiplakan maka saya bersedia untuk

menanggalkan gelar sarjana sains yang saya peroleh.

Purwokerto, Agustus 2011

Risa Restuwati

v

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, terdaftar dan tersedia di Perpustakaan

lingkungan Unsoed, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta

ada pada pengarang. Referensi kepustakaan, diperkenankan dicatat, tetapi

pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus

disertai dengan kebiasan ilmiah yang menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh skripsi haruslah

seizin Dekan Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman.

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah

melimpahkan berkah dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

penulisan skripsi yang berjudul Estimasi Parameter Weibull Pada Data

Tersensor Tipe III Melalui Metode Maximum Likelihood. Tersusunnya

skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada

kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Purnama Sukardi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknik,

Universitas Jenderal Soedirman.

2. Bapak Bilalodin, S.Si., M.Si. selaku ketua jurusan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman.

3. Bapak Supriyanto, M.Si. selaku ketua Program Studi Matematika.

4. Ibu Dr. Nunung Nurhayati, selaku pembimbing I,

5. Ibu Rina Reorita, M.Si., selaku pembimbing II,

6. Ibu Dra. Agustini Tripena. Br. Sb., M.Si. selaku dosen penelaah I,

7. Ibu Renny, M. Si. selaku dosen penelaah II dan dosen pembimbing akademik,

8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang selama ini telah

memberikan ilmu yang bermanfaat.

9. Ayah, ibu, serta adik yang selalu memberikan doa, kasih sayang, semangat,

motivasi dan dukungan.

10. Semua pihak yang telah berperan dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi

ini. Oleh karena itu, penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari

semua pihak demi kesempurnaan skripsi ini.

Purwokerto, Agustus 2011

Penulis

vii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... ii

HALAMAN PERNYATAAN ......................................................................... iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................ iv

KATA PENGANTAR ..................................................................................... v

DAFTAR ISI .................................................................................................... vi

DAFTAR NOTASI .......................................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... x

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xi

RINGKASAN .................................................................................................. xii

SUMMARY ....................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

1.1. Latar Belakang ................................................................................... 1

1.2. Perumusan Masalah ........................................................................... 2

1.3. Batasan Masalah ................................................................................ 2

1.4. Tujuan ................................................................................................ 2

1.5. Kegunaan ........................................................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...................................................................... 4

2.1. Analisis Survival ................................................................................. 4

2.2. Fungsi Masa Hidup ............................................................................ 5

2.3. Data Survival ...................................................................................... 7

2.4. Statistik Terurut ................................................................................... 11

2.5. Metode Maximum Likelihood ............................................................. 12

2.6. Distribusi Weibull ............................................................................... 12

viii

BAB III METODOLOGI PENELITIAN......................................................... 16

3.1. Metode Penelitian ................................................................................ 16

3.2. Data ..................................................................................................... 16

3.3. Metode dan Analisis ............................................................................ 16

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................... 18

4.1. Fungsi Masa Hidup Distribusi Weibull ............................................. 18

4.2. Statistik Terurut pada Data Tersensor Tipe III .................................. 19

4.3. Metode Maximum Likelihood ............................................................ 20

4.4. Perumusan Estimasi Likelihood dari Distribusi Weibull untuk Data

Tersensor Tipe III .............................................................................. 21

4.5. Algoritma Penentuan Estimator Likelihood Menggunakan Software

R ......................................................................................................... 25

4.6. Aplikasi Penentuan Estimator Likelihood pada Data Pasien

Leukeumia ......................................................................................... 26

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................... 32

5.1 Kesimpulan .......................................................................................... 32

5.2 Saran ..................................................................................................... 32

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 33

ix

DAFTAR NOTASI

: Variabel acak masa hidup.

: Masa hidup suatu objek.

: Fungsi distribusi masa hidup.

: Fungsi densitas masa hidup.

: Fungsi survival masa hidup.

: Fungsi hazard masa hidup.

: Satu satuan waktu .

: Batas penyensoran.

: Banyaknya sampel acak.

: Banyaknya objek yang gagal sebelum/pada batas sensor.

: Rank observasi.

: Fungsi densitas untuk statistik terurut.

: faktorial.

: Ruang parameter.

: Parameter.

: Fungsi likelihood dengan parameter dengan syarat diberikan.

: Fungsi densitas masa hidup dengan syarat diberikan.

: Perkalian faktor-faktor.

: Estimator parameter .

: Parameter distribusi Weibull.

: Rata-rata populasi.

: Fungsi gamma dari .

: Variansi populasi.

: Nilai harapan dari .

: Nilai harapan dari .

: Masa hidup setelah batas sensor.

x

: Turunan fungsi likelihood terhadap parameter dengan syarat

diberikan.

: Fungsi log-likelihood dengan parameter dengan syarat

diberikan.




diberikan.


diberikan.

: Turunan fungsi log-likelihood terhadap parameter dengan

syarat diberikan.

: Turunan fungsi log-likelihood terhadap parameter dengan

syarat diberikan.

: Estimator parameter dan .

, : Syarat nilai awal untuk parameter dan

: Penjumlahan suku-suku.

xi

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Contoh Data Tersensor Tipe I ...................................................... 8

Gambar 2.2 Contoh Data Tersensor Tipe II ..................................................... 9

Gambar 2.3 Contoh Data Tersensor Tipe III ................................................... 10

Gambar 2.4 Fungsi Hazard untuk dan Nilai ................. 15

Gambar 4.1 Grafik Tiga Dimensi dan terhadap Fungsi Log-likelihood .. 27

Gambar 4.2 Kontur dan terhadap Fungsi log-likelihood ......................... 28

Gambar 4.3 Grafik Fungsi Survival ................................................................. 30

Gambar 4.4 Grafik Fungsi Hazard .................................................................. 30

xii

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Halaman

1. Penyelesaian persamaan (4.9) ................................................................... 34

2. Perintah pada software R untuk grafik tiga dimensi dan kontur parameter

dan terhadap fungsi log-likelihood ........................................................ 37

3. Perintah pada software R untuk grafik fungsi survival dan fungsi hazard 39

xiii

RINGKASAN

Masa hidup (survival time) merupakan waktu dari awal sampai terjadinya

suatu kejadian khusus. Data yang diperoleh dari pengamatan masa hidup disebut

data survival. Apabila objek yang masuk periode pengamatan tidak dimulai pada

waktu yang bersamaan dan pengamatan dihentikan setelah waktu t, maka data

survival yang diperoleh disebut data tersensor tipe III. Salah satu metode yang

dapat digunakan untuk menganalisis data survival adalah metode parametrik, yang

mengasumsikan data survival berdistribusi tertentu. Distribusi yang umum

digunakan adalah distribusi eksponensial, Weibull, gamma, Rayleigh dan

lognormal. Pemilihan distribusi dapat didasarkan dari bentuk fungsi hazard

distribusi-distribusi tersebut. Distribusi yang paling cocok dengan kehidupan

manusia adalah distribusi Weibull. Permasalahannya, bagaimana cara

mengestimasi parameter-parameter pada distribusi tersebut.

Untuk mengatasi permasalahan tersebut, pada penelitian ini dipelajari

estimasi parameter distribusi Weibull melalui metode maximum likelihood.

Prinsip metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter berdasarkan

data observasi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Estimator maximum

likelihood dapat diperoleh dalam dua tahap. Pertama, menentukan fungsi

likelihood untuk data survival tersensor tipe III, dan kedua, menentukan parameter

yang memaksimumkan fungsi likelihood. Diperoleh hasil bahwa estimator untuk

scale parameter merupakan fungsi eksplisit dari masa hidup. Sedangkan,

estimator untuk shape parameter merupakan fungsi implisit. Namun demikian,

dengan bantuan software R.2.13.0 nilai estimator untuk shape parameter dapat

diselesaikan secara numerik melalui metode Nelder-Mead.

Sebagai contoh aplikasi, estimator yang diperoleh selanjutnya diterapkan

pada data 21 pasien leukeumia akut grup I yang diberi perlakuan 6-

mercaptopurine (6-MP). Berdasarkan hasil perhitungan dan analisis, diperoleh

bahwa nilai estimator untuk scale parameter dan shape parameter masing-masing

adalah 0,0296 dan 1,3536.

Kata Kunci : Survival time, data tersensor tipe III, distribusi Weibull, metode

maximum likelihood.

xiv

SUMMARY

Survival time is time duration of a particular event. The observation data

of survival time is called survival data. If the objects enter the observation period

at the different times and terminate at the same time, the survival data is referred

to the third type of censored data. When the distribution is given, the data can be

analyzed by a parametric method. The common distributions used on the method

are Weibull distribution, gamma distribution, Rayleigh distribution, and

lognormal distribution. Among the distributions, the hazard function of the

Weibull distribution gives the best representation of the human life hazard

behavior. The problem is how to estimate the Weibull parameters.

To solve the problem, this research studied the maximum likelihood

estimation. The principle of the method is to find the estimator which maximizes

the likelihood function. There are two steps in derivation of the Weibull estimator.

Firstly, define the likelihood function for third type of censored data, and

secondly, find the parameter which maximizes likelihood function. The results

shows that the Weibull scale parameter is an explicit function of survival data,

while the shape parameter is an implicit function. However, by the help of

statistical software R.2.13.0 the numerical solution of the shape parameter

estimate can be found using the Nelder-Mead method.

As an application, the estimation is applied to the case of 21 patients of

acute leukemia group I given 6-mercaptopurine (6-MP) treatment. Based on the

results of R.2.13.0 programming, the estimate of Weibull the scale parameter and

shape parameter for the data respectively are 0,0296 and 1,3536.

Keyword : Survival time, the third type of censored data, Weibull distribution,

maximum likelihood method.

AWAL

Documents

Transcript of AWAL