ANALISIS REGRESI NON LINIER

MODEL SIGMOID

MAKALAH

Untuk memenuhi tugas matakuliah

Analisis regresi

yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi

Oleh Kelompok 3

Offering GG

Reni Dian Saputri (408312408018)

Rina Uktafiya (408312409119)

Lisa Dewi Priyanti (408312409128)

Budi Prasetyo (408312411949)

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

OKTOBER 2010

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Regresi linier sederhana mempelajari hubungan antara variable terikat Y dengan variable

bebasnya, dimana hubungan tersebut dituliskan dalam bentuk persamaan garis lurus

Y = a + bX. Setiap titik (X,Y) pada garis ini mempunyai koordinat X yang disebut titik

absis, dan koordinat Y disebut Ordinat yang nilai-nilainya memenuhi persamaan tersebut.

Misalkan : kita mempunyai suatu himpunan data dari kedua peubah tersebut dan

dinotasikan sebagai { (Xi , Yi) } ; I = 1,2,3, … ,}. Persamaan regresi linier umumnya ditulis

sebagai :

Yang dimaksud linier dalam regresi linier adalah peubah tak bebasnya (Y) merupakan

fungsi linier dari parameter persamaannya yang bukan dari peubah bebasnya. Dengan kata

lain Y linier terhadap dan . Dalam hal ini X adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas.

Sedangkan adalah error atau kesalahan atau galatnya.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut diatas kita harus mengetahui nilai dan , yang

kita duga / takdir dahulu dengan model regresi taksiran yaitu :

Dengan Metode Kuadrat Terkecil (yaitu meminimumkan ∑ ) akan diperoleh nilai a dan

b dengan rumus :

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

Kelinieran analisis regresi linier dapat diuji melalui suatu pengujian hipotisis, di

mana jika hipotisis nol itu diterima, maka dapat disimpulkan bahwa pendekatan analisis

regresi sederhana yang dilakukan sudah mendekati pola data yang dibentuk pasangan

data x dan y, atau dikatakan model yang diperoleh sudah mendekati pola data yang asli.

Akan tetapi jika hipotisis nol ditolak maka pendekatan analisis regresi linier sederhana

tidak dapat dilakukan untuk menarik kesimpulan dari pasangan data x dan data y, dan

sebagai gantinya dilakukan analisis regresi non-linier. Bentuk hubungan regresi non-

linier yang dikenal dikenal umum dan banyak digunakan adalah sebagai berikut:

a) Bentuk polinomial

Polinomial pangkat k

Polinomial pangkat 3 atau bentuk kubik

Polinomial pangkat dua atau bentuk parabola

b) Bentuk khusus

Bentuk khusus ini antara lain eksponen, eksponen pertumbuhan, geometri, power,

compound, sigmoid, logistic, dan lain-lain, dimana setiap model dengan melakukan

transformasi menjadi bentuk linier, maka dengan metode kuatrat terkecil koefisien-

koefisien dari model regresi non-linier dapat ditentukan.

Secara umum, terdapat beberapa model regresi nonlinier, antara lain:

jika kita dihadapkan pada pilihan beberapa model regresi yang digunkan, maka kita

kita dapat mengambil model yang terbaik berdasarkan pertimbangan berikut:

1. nilai R yang besar,

2. nilai R2 yang besar, dan

3. Standard error yang kecil.

Untuk melakukan uji regresi non linier, kita bisa menggunakan bantuan SPSS. Di

SPSS kita bisa mengikui langkah-langkah sebagai berikut:

1. Inputkan data ke dalam worksheet SPSS,

2. Klik Analyze –> Regression –> Curve estimation

Masukan variable dependent pada kolom dependent(s) dan varaibel-variabel

independent dalm kolom independent kemudian pilih model regresi yang akan di uji,

aktifkan display ANOVA table klik OK.

Atau juga dapat kita menggunakan dengan minitab.Tetapi karena pada minitab tidak

tersedia bentuk-bentuk regresi non linier maka kita harus mentransformasikannya ke

bentuk liniernya terlebih dahulu. Langkah- langkahnya akan di jelaskan pada contoh

permasalahan.

Untuk selanjutnya akan dibahas secara lebih khusus mengenai analisis regresi non-

linier model sigmoid. Fungsi sigmoid adalah fungsi yang menghasilkan kurva sigmoid

yaitu kurva yang berbentuk “S”. Model dari fungsi sigmoid adalah

sedangkan

bentuk liniernya adalah

.

4. Rumusan Masalah

a. Bagaimana pendugaan regresi yang berbentuk

?

b. Bagaimana mengubah suatu persamaan regresi non linier yang berbentuk sigmoid

menjadi regresi linier?

c. Bagaimana anova yang diperoleh dari data yang diolah?

5. Tujuan

a. Mengetahui persamaan regresi model sigmoid.

b. Mengubah suatu persamaan regresi non linier yang berbentuk sigmoid menjadi

regresi linier.

c. Mengetahui ANOVA yang diperoleh dari data yang diolah.

BAB II

PEMBAHASAN

Pendugaan Parameter Model Regresi

Jika suatu data yang diberikan hanya dapat disajikan melalui kurva regresi non linear,

maka kita harus menentukan bentuk kurvanya dan menduga parameternya.

Model regresi Sigmoid adalah sebagai berikut:

Dengan a dan b merupakan parameter yang harus diduga dari data. Sehingga akan

didapatkan model linearnya, yaitu:

Misalkan a adalah dan b adalah sehingga model regresi menjadi

sehingga didapatkan kurva regresi model linier ln yx

, dan setiap data memenuhi

hubungan:

Model regresi linier dari model regresi sigmoid didapat dengan cara:

exba

y/

e xy

ii ex

y

ln

i

i

i ex

bay ln

adalah regresi linier yang terhadap (In y,

)

Analisis Data

CONTOH KASUS

Tabel Panjang Rata-Rata Daun Kacang Jogo (mm)

Umur Tanaman (hari) Panjang Rata-Rata Daun (mm)

3 33

5 45,33

7 56

9 76,67

12 108.33

18 135,71

21 138

24 145,67

28 147

33 149

Setelah dilakukan pengujian terhadap data diatas diperoleh persamaan regresi non linier

bentuk sigmoid, oleh karena itu akan ditransformasikan dalam bentuk linier, yang ditampilkan

dalam bentuk tabel di bawah ini

X Y 1/X=X* ln Y=Y* X*Y* X*X*

3 33.00 0.33333 3.4965 1.16550 0.111111

5 45.33 0.20000 3.8140 0.76279 0.040000

7 56.00 0.14286 4.0254 0.57505 0.020408

9 76.67 0.11111 4.3395 0.48217 0.012346

12 108.33 0.08333 4.6852 0.39043 0.006944

18 135.71 0.05556 4.9105 0.27281 0.003086

21 138.00 0.04762 4.9273 0.23463 0.002268

24 145.67 0.04167 4.9813 0.20756 0.001736

28 147.00 0.03571 4.9904 0.17823 0.001276

33 149.00 0.03030 5.0039 0.15163 0.000918

Σ 1.08149 45.1740 4.42080 0.200093

Dengan perhitungan manual kita peroleh :

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

Sehingga persamaan yang diperoleh adalah dimana

.

Pengolahan menggunakan minitab

Worksheet size: 100000 cells

MTB > let c3 = 1/c1

MTB > let c4 = loge (c2)

MTB > regr c4 1 c3

Regression Analysis The regression equation is

ln y = 5.12 - 5.59 1/x

Predictor Coef StDev T P

Constant 5.12200 0.08482 60.39 0.000

1/x -5.5904 0.5996 -9.32 0.000

S = 0.1729 R-Sq = 91.6% R-Sq(adj) = 90.5%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 2.5981 2.5981 86.92 0.000

Residual Error 8 0.2391 0.0299

Total 9 2.8372

Unusual Observations

Obs 1/x ln y Fit StDev Fit Residual St Resid

1 0.333 3.4965 3.2585 0.1457 0.2380 2.56RX

R denotes an observation with a large standardized residual

X denotes an observation whose X value gives it large influence.

Persamaan yang diperoleh dari minitab adalah dimana

Analisis data dari minitab

1) Melihat taksiran parameter

Dari hasil perhitungan minitab didapatkan persamaan lnY = 5,12 - 5,59(1/X).

Persamaan ini memperlihatkan taksiran intersep b0 sebesar 5,12 dan taksiran parameter b1

sebesar -5,59.

2) Memeriksa mean square

R-Sq atau koefisien determinasi menyatakan seberapa besar keragaman variable X*

mempengaruhi Y*. Berdasarkan perhitungan minitab diperoleh R-Sq sebesar 91,6 % dalam

model Y* = 5,12-5,59X* sisanya sebesar 8,4% dipengaruhi oleh variabel lain yang tidak

masuk dalam model. R-Sq berkisar antara 0 sampai 1, dengan catatan semakn kecil nilai R-

Sq, semakin lemah hubungan antara kedua variabel(begitu juga sebaliknya).

3) Pengujian koefisien regresi

Hipotesis :

artinya tidak ada pengaruh waktu dalam hari terhadap pertumbuhan batang.

0: 11 bH artinya ada pengaruh waktu dalam hari terhadap pertumbuhan batang.

Menggunakan uji T:

Ttabel dengan 05.0 diperoleh hasil 6,31.

Thitung dari hasil minitab sebesar 60,39.

Karena Thit > Ttabel sehingga menolak H0. Hal ini berarti ada pengaruh lama hari terhadap

pertumbuhan batang.

4) Pengujian model regresi

Hipotesis:

H0: model yang diperoleh tidak bermakna.

H1: model yang diperoleh bermakna.

Menggunakan uji F:

Ftabel df regression = 1 dan df residual error = 8 dengan 05.0 sebesar 5,32. Sedangkan F

hitung dari minitab ( 86,92 ) . Karena Fhit > Ftabel maka menolak H0 dengan kata lain model

yang diperoleh bermakna.

5) Pengujian asumsi

Uji normalitas

Dari hasil minitab diperoleh:

Tampak titik-titik plot tidak jauh dari garis merah. Dan karena P-value (0,077) > (0,05)

maka memenuhi asumsi kenormalan sisaan. Selain itu, dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa

plot yang terbentuk membentuk suatu garis lurus 450, maka dapat dikatakan sisaan mengikuti

sebaran normal.

Uji homogenitas

Dari grafik diatas dapat kita simpulkan bahwa antara variable terikat dengan

variable bebas mempunyai keragaman yang homogeny, dengan melihat titik-titik plotnya

saling menyebar dan tidak ada titik plot yang melewati 2 garis merah itu berarti tidak ada

data pencilan.

Uji kebebasan

Dari gambar diatas grafik tidak membentuk corong atau membentuk garis horizontal dan plot

autokorelasi dari nilai sisaannya tidak membentuk pola acak yang berarti bahwa dapat dikatakan

tidak ada autokorelasi antar sisaan atau saling bebas.

Analisis data dari SPSS

Model Summary

R R Square

Adjusted R

Square

Std. Error of

the Estimate

.957 .916 .905 .173

The independent variable is x.

ANOVA

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Regression 2.598 1 2.598 86.922 .000

Residual .239 8 .030

Total 2.837 9

ANOVA

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Regression 2.598 1 2.598 86.922 .000

Residual .239 8 .030

The independent variable is x.

Coefficients

Unstandardized

Coefficients

Standardized

Coefficients

t Sig. B Std. Error Beta

1 / x -5.590 .600 -.957 -9.323 .000

(Constant) 5.122 .085 60.387 .000

The dependent variable is ln(y).

Dari hasil pengolahan data menggunakan SPSS diperoleh parameter a = 5,122 dan parameter

b = -5,590 dan kurva berbentuk sigmoid. Sehingga diperoleh persamaan regresi non linier model

sigmoid yaitu

. Selain itu diperoleh R-sq sebesar 91,6% yang

menunjukkan bahwa variabel x mempengaruhi keragaman y sebesar 91,6% dalam model

sigmoid

. sisanya sebesar 8,4% dipengaruhi variabel lain yang tidak

masuk dalam model.

Uji F

Dari table ANOVA diatas diperoleh sebesar 86,922 dengan tingkat signifikansi

sebesar 0,000. Oleh karena probabilitas ( 0,000 ) < 0,05(dalam kasus ini menggunakan taraf

signifikansi atau = 5% ), maka model regresi nonlinier sigmoid ini dapat digunakan untuk

memprediksi panjang tanaman. Biasanya output ini digunakan untuk menguji hipotesis.

hipotesisnya yaitu

H0 : tidak ada hubungan antara pengamatan(hari) terhadap panjang tanaman.

H1 : ada hubungan antara pengamatan(hari) terhadap panjang tanaman.

Ftabel = 5,32

Karena statistik hitung (Fhitung) > statistik tabel (Ftabel) maka H0 ditolak, dan probabilitas

(0,0000) jauh lebih kecil dari 0,05 maka model regresi dapat dipakai untuk memprediksi

panjang tanaman.

Uji T

Uji t digunakan untuk menguji signifikansi konstanta dan variabel independen (pengamatan).

Menguji signifikan konstanta pada model

Hipotisis:

H0 : koefisien regresi a tidak signifikan.

H1 : koefisien regresi a signifikan.

Dalam table coefficient diperoleh nilai signifikan sebesar 0,000 dibandingkan dengan taraf

signifikan ( = 5%) = 0,05 maka

Sig < maka disimpulkan untuk menolak H0, yang berarti koefisien regresi a signifikan.

Menguji signifikan koefisien variabel

Hipotisis :

H0 : koefisien regresi panjang tanaman tidak signifikan.

H1 : koefisien regresi panjang tanaman signifikan.

Dari perhitungan SPSS diperoleh Thit = 60,387 sedangkan Ttabel = 6,31. karena Thit > Ttabel , maka

H0 ditolak. Artinya koefisien regresi di atas sudah signifikan.

Karena signifikanT dan signifikanF adalah 0.0000 dan kurang dari 0.05, maka H0 ditolak.

Dengan kata lain koefisien regresi signifikan.

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dari hasil analisis regresi hubungan antara pengamatan dalam hari dengan panjang

tanaman kacang jogo (mm) dengan perhitungan secara manual, maupun menggunakan minitab

dan SPSS menghasilkan persamaan regresi linier lnY = 5,20 - 5,59(1/X) sedangkan persamaan

regresi non linier model sigmoidnya adalah

.

Berdasarkan hasil analisis diperoleh nilai F-hitung ( F = 5,32 ) dengan signifikasi

F = 0,0000, dimana nilai signifikasi ini lebih kecil dari 0,05 yang berarti nilai F-hitung lebih

besar dari F-tabel, dengan kata lain data sangat mendukung adanya hubungan antara waktu

pengamatan dalam hari dengan tinggi batang (cm) kacang jogo.