ALJABAR LINEAR

MATRIKSVEKTORDETERMINANSISTEM LINEARALJABAR LINEAR7.1 MatriksDEFINISIContoh 1. Sistem LinearContoh 1.Contoh 2. Penjualan ProdukNotasi UmumPenjumlahan Matriks SyaratMatriks yang dijumlahkan mempunyai ukuran yang sama

Aturan PenjumlahanA + B = B + Ahukum komutatif(A + B) + C = A + (B + C)hukum asosiatifA + 0 = AA + (-A) = 0Perkalian Matriks dengan Skalar c(A + B) = cA + cB (c + k)A = cA + kA c(kA) = (ck)A 1A = ANodal Incidence Matrix

Mesh Incidence Matrix

7.2 Perkalian MatriksDEFINISIAturan PerkalianTransposisiDEFINISIAturan TransposisiMatriks KhususMatriks SimetrisMatriks persegi yang transposenya sama dengan matriks itu sendiri

Matriks Skew SimetrisMatriks persegi yang transposenya sama dengan minus matriks itu sendiri

Matriks TriangularMatriks Triangular AtasMatriks persegi mempunyai entri-entri taknol pada diagonal utama dan atas diagonal utama

Matriks Triangular BawahMatriks persegi mempunyai entri-entri taknol pada diagonal utama dan bawah diagonal utamaMatriks KhususMatriks DiagonalMatriks dengan entri-entri taknol hanya pada diagonal utama

Matriks SkalarMatriks diagonal dengan nilai entri-entri diagonalnya sama

Matriks IndentitasMatriks skalar dengan entri-entri taknol sama dengan 1.Contoh 11Supercomp Ltd memproduksi dua model komputer yaitu PC1086 dan PC1186. Matriks A menunjukkan harga per komputer (dalam ribuan dolar) dan B menunjukkan produksi tahun 2005 (dalam perkalian 10000 unit). Tentukan matriks C yang menunjukkan pada pemegang saham harga per kuarter (dalam juta dolar) untuk bahan baku, pegawai, dan biaya lain-lain.

7.3Sistem Persamaan LinearEleminasi GaussSistem LinearOverdeterminedLebih banyak persamaan daripada variabel yang tidak diketahui

DeterminedJumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui

UnderdeterminedJumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel yang tidak diketahui

ConsistentMempunyai setidaknya satu solusi

InconsistentTidak mempunyai solusiMatriksMatriks yang DiperluasOperasi Dasar MatriksMenukar dua barisMenambahkan hasil perkalian satu baris dengan sebuah konstanta ke baris yang lainMengalikan satu baris dengan konstanta yang taknolElectrical Network

7.4 Bebas Linear. Rank Matriks. Ruang Vektor Rank MatriksRank dari matriks A adalah jumlah maksimum dari vektor baris yang bebas linear dari matriks A.

Dinotasikan dengan rank A.DEFINISITeoremaTeorema 1Dua matriks dikatakan ekivalen baris jika mempunyai rank yang sama.

Teorema 2Matriks A dan AT mempunyai rank yang sama7.5 Solusi Sistem LinearEksistensi. Sistem persamaan konsisten jika dan hanya jika matriks koefisien dan matriks yang diperluas mempunyai rank yang sama.Tunggal. Sistem persamaan mempunyai solusi tunggal jika rank A sama dengan n.Banyak solusi. Sistem persamaan mempunyai banyak solusi jika rank A < n.Eliminasi Gauss. Jika solusi sistem persamaan ada, maka solusi dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi Gauss.7.6 Determinan7.8 Invers Matriks Eleminasi Gauss-JordanInvers MatriksInvers dari matriks Anxn adalah dinotasikan dengan A-1 adalah matriks berukuran n x n sedemikian sehinggaAA-1 = A-1A = Idimana I adalah matriks identitas yang berukuran n x n.DEFINISIJika matriks A mempunyai invers, maka A disebut matriks nonsingular.

Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular.

Jika matriks A mempunyai invers, maka inversnya tunggal.Teorema 1Eksistensi InversInvers matriks A yang berukuran nxn ada jika dan hanya jika rank A = n.

A nonsingular jika rank A= n.A singular jika rank A < n.Contoh 1. Invers Matriks dengan Eleminasi Gaus-JordanTeorema 2. Invers MatriksTeorema 3. Hukum KanselasiMisalkan A, B, dan C matriks-matriks berukuran n x n. MakaJika rank A = n dan AB = AC, maka B = C.Jika rank A = n, jika AB = 0 maka B = 0. Jika AB = 0, tetapi A 0 dan B 0, maka rank A < n dan rank B < n.Jika A singular, maka BA dan AB juga singular.Teorema 4. Determinan Perkalian MatriksUntuk sebarang matriks n x n A dan B,

det (AB) = det (BA) = det A det BTUGAS