aljabar boole

RRRRiyiyiyiyanananana a a a FaFaFaFairiririrusususus KhKhKhKhololololisisisisa,a,a,a, Stkip BBm. NIM : 2202110062

Page | 1

BAB II

PEMBAHASAN

ALJABAR BOOLE

A. Definisi Aljabar Boole

Aljabar Boole adalah suatu letis distributive berkomplemen

Suatu aljabar Boole secara umum dinotasikan dengan ( B, ∗, ⨁, ‘,

0, 1 ) yang didalanya terdapat letis ( B, ∗, ⨁ ) dengan dua operasi biner

∗ �� ⨁ . Himpunan teurut bagian poset yang bersesuaian akan

dinotasika ( B, ≤ ). Batas-batas letis dinotasikan dengan 0 dan 1.

0 Merupakan elemen Terkecil dan

1 Merupakan elemen Terbesar dari ( B, ≤ )

Karena ( B, ∗, ⨁ ) merupakan LETIS DISTRIBUTIF berkomplemen,

maka tiap elemen dari B memiliki komplemen yang unik.

Operasi uner komplemen ini akan dinotasikan dengan ( ‘ ), sehingga

untuk suatu a є B, komplemen a di notasikan a’ є B .

Karena Aljabar Boole itu merupakan letis distributive

berkomplemen, maka sebagian sifat-sifat aljabar Boole telah dibicarakan

pada materi sebelumnya. Namun demikian beberapa sifat yang penting

akan di daftar kembali karena sifat-sifat tersebut satu dengan lainnya

saling berkaitan


Page | 2

B. SIFAT-SIFAT ALJABAR BOOLE

Alajabar Boole ( B, ∗, ⨁, ‘, 0, 1 ), memenuhi sifat-sifat berikut

dengan a, b, c, є B

1. ( B, ∗, ⨁ , ‘, 0, 1 ) adalah letis dengan operasi ∗ � ⨁ . B

memenuhi sifat-sifat berikut :

( L-1 ) a*a = a

( L-2 ) a*b = b*a

( L-3 ) (a*b)*c = a*(b*c)

( L-4 ) a*(a⨁ b) = a

( L-1 )’ a⨁ a = a

( L-2 )’ a⨁ b = b ⨁ a

( L-3 )’ (a⨁ b) ⨁ c = a ⨁ ( b ⨁ c )

( L-4 )’ a⨁ (a * b) = a

2. Misalkan ( B, ∗, ⨁ ) letis distributive. B memenuhi sifat-sifat

berikut :

( D-1 ) a*( b ⨁ c ) = (a * b) ⨁ ( a*c )

( D-2 ) a ⨁ ( b * c ) = (a ⨁ b) * ( a ⨁ c )

( D-3 ) (a * b) ⨁ ( b * c ) ⨁ ( c*a ) = (a ⨁ b) *( b ⨁ c ) * ( c ⨁ a )


Page | 3

( D-4 ) (a * b) = a*c dan a ⨁ b = a ⨁ c maka b = c

3. Misalkan ( B, ∗, ⨁, ‘, 0, 1 ), sebuah letis terbatas dan a є B. b

memenuhi sifat-sifat sebagai berikut

( B-1 ) 0 ≤ a ≤ 1

( B-2 ) a * 1 = 0

( B-3 ) a * 1 = a

( B-2 )’ a ⨁ 1 = 1

( B-3 )’ a ⨁ 0 = a

4. Misalkan ( B, ∗, ⨁, ‘, 0, 1 ), adalah letis berkomlpemen unik dan

komplemen dari a є B adalah a’ є B. B memenuhi sifat-sifat

sebagai berikut

( C-1 ) a * a’ = 0

( C-2 ) 0’ = 1

( C-3 ) (a*b)’ = a’ ⨁ b’

( C-1 )’ a ⨁ a’ = 1

( C-2 )’ 1’ = 0

( C-3 )’ ( a ⨁ b )’ = a’ * b’


Page | 4

5. Terdapat relasi terurut bagian B sedemikian hingga

( P-1 ) a *b = INF { a,b} ( P-1 )’ a ⨁ b = SUP {a,b}

( P-2 ) a ≤ b ↔ a * b = a ↔ a ⨁ b = b

( P-3 ) a ≤ b ↔ a * b’ = 0 ↔ b’ ≤ a’ a’ ⨁ b = 1

Identitas – identitas di atas muncul kaena aljabar

Booledibicarakan sebagai suatu Letis Khusus. Sebenarnya, Aljabar Boole

bias juga dibicarakan sebagai suatu sistem aljabar Abstrak yang

memenuhi sifat-sifat tertentu :

Contoh 1

Misalakn B = ( 0, 1 ) adalah suatu himpunan. Operasi *, ⨁ dan ‘ pada B

didefinisikan sebagai tercantum dalam table 1

Selidiki apakah ( B, ∗, ⨁, ‘, 0, 1 ) Aljabar Boole atau bukan

Table 1

* 0

1

⨁ 0 1 x

x’

0 0

0

0 0

1

0

1

1 0

1

1 1

1

1

0

RRRRiyiyiyiyanananana a a a FaFaFaFairiririr Stkip BBm. N

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa ( B,

kita teliti

Apakah ( B, ∗,⨁

Berdasarkan informasi dan table 1 kita dapat menggambarkan dengan

diagram Hasse dari B yaitu sebagai berikut :

Dari diagram ini jelas bahwa B adalah letis berkomplemen karena setiap

a є B terdapat komplemen a

bahwa ( B, ∗,⨁, ) merupaka letis distributive. Dengan demikian ( B,

∗,⨁, ) adalah letis distributive berkomplemen atau dengan kata lain

bahwa ( B, ∗,⨁, ‘, 0, 1) adalah sebuah aljabaar boole

iriririrusususus KhKhKhKhololololisisisisa,a,a,a, NIM : 2202110062

Untuk menunjukkan bahwa ( B, ∗,⨁, ‘, 0, 1 ) aljabar boole, berarti harus

⨁ , ) letis distributive berkomplemen atau bukan.


diagram Hasse dari B yaitu sebagai berikut :


B terdapat komplemen a є B melihat table juga daapat diperiksa

, ) merupaka letis distributive. Dengan demikian ( B,

, ) adalah letis distributive berkomplemen atau dengan kata lain

, ‘, 0, 1) adalah sebuah aljabaar boole.

gambar -1

Page | 5

, ‘, 0, 1 ) aljabar boole, berarti harus

, ) letis distributive berkomplemen atau bukan.



B melihat table juga daapat diperiksa

, ) merupaka letis distributive. Dengan demikian ( B,

, ) adalah letis distributive berkomplemen atau dengan kata lain


Page | 6

Contoh 2.

Gunakan sifat-sifat aljabar boole untuk memperlihatkan bahwa

penyelesaian : a ⨁ ( a * b ) = a ⨁ b

a ⨁ ( a’ * c ) = (a ⨁ ‘a) * (a ⨁ b) (D-2)

= 1 * (a ⨁ b) (C-1)

= (a ⨁ b) (B-3)

Contoh 3

Misalkan S adlah himpunan tidak kosong dan P ( S ) adalah himpunan

kuasa dari S. Aljabar Himpunan ( P (S), ∩, U, ̴ ,Ø, S ) merupakan

sebuah Aljabar Boole. Komplemen suatu subset A ⊆ S adalah ̴ A = S-A.

jika S memiliki n elemen, maka P(S) memiliki 2n elemen. Relasi terurut

bagian pada P (S) yang bersesuaian dengan operasi * dan ⨁ adalah relasi

himpunan bagian yang dilambangkan ⊆ . Diagram Aljabar Boole ( P(S),

∩, U ) yang banyaknya anggota S berturut-turut adalah 1, 2, dan 3

diperlihatkan dalam gambar-2 dibawah ini :

RRRRiyiyiyiyanananana a a a FaFaFaFairiririr Stkip BBm. N

Jika S merupaakan himpunan kosong, maka P(S) hanya memiliki suatu

elemen yaitu Ø, sehingga Ø = 0 = 1

Contoh 4

Misalakna S adalah himpunan formula pernyataan yang memuat

variable pernyataan . sistem aljabar ( S,

aljabar boole dengan menyatakan operasi :

Elemen F dan T berturut

tautology. Du pernyataan yang ekivalen dengan satu dengan lainnya

dipandang sebagai dua pernyataan yang sama .

Relasi terurut baian yang sesuai dengan operasi

adalah relasi → ( implikasi )

iriririrusususus KhKhKhKhololololisisisisa,a,a,a, NIM : 2202110062


elemen yaitu Ø, sehingga Ø = 0 = 1

Misalakna S adalah himpunan formula pernyataan yang memuat

variable pernyataan . sistem aljabar ( S, ˄, ˅, T, F, ¬ )

aljabar boole dengan menyatakan operasi :

˄ adalah konjungsi

˅ adalah Disjungsi

¬ adalah Negasi

Elemen F dan T berturut-turut menyatakan formula kontradiksi dan


ebagai dua pernyataan yang sama .

Relasi terurut baian yang sesuai dengan operasi

→ ( implikasi )

gambar-2

Page | 7


Misalakna S adalah himpunan formula pernyataan yang memuat ∩

, T, F, ¬ ) adalah sebuah

formula kontradiksi dan


Relasi terurut baian yang sesuai dengan operasi ˄ dan ˅


Page | 8

Contoh 5

Misalkan B merupakan himpunan n-tupel yang anggotanya 0 dan 1. Jadi

a є Bn jika dan hanya jika :

a = ( a1, a2, ……, an ) dengan a1 = 0 atau 1 untuk I = 1,

2, 3, …. n.

Misalakan didefinisikan untuk suatu :

a = ( a1, a2, ……, an )

b = ( b1, b2, ……, bn ) dan a, b є Bn

a * b = ( a1 ˄ b1 , a2 ˄ b2 ,……….. , an ˄ bn )

(a ⨁ b) = ( a1 ⨁ b1 , a2 ⨁ b2 ,……….. , an ⨁ bn )

a’ = ( ¬a1, ¬a2, ……, ¬an )

dengan ˄, v dan ¬ dalam operasi biasa pada {0,1}. Aljabar ( Bn, *, ⨁, ‘,

0n, 1n) merupakan sebuah aljabar boole dengan 0n dan 1n berturut-turut

adlah n-tupel yang anggotanya semua 0 dan semua 1.

Dalam sebuah aljabar boole, hukum-hukum asosiatif, distributive

dan de morgan dimungkinkan untuk digeneralisasikan dengan

menggunakan prinsip induksi matematika. Untuk tujuan ini, kita

misalkan S = { a1, a2, ……, an } dan T = { b1, b2, ……, bn. }. Selanjutnya

misalkaan pula a1, a2,…. b1, b2,….,bn adalah elemen-elemen dari sebuah

aljabar boole, maka :

(∗ � )�

* (∗ �� )

� =

∗ ��

��


Page | 9

Dimana

(∗ � )�

= ( a1 * a2 * ……* a0 )

(∗ �� )

� = ( b1 * b2 * ……* b0 )

(∗ �� )��

= ( a1 * a2 * ……* a0 * b1 * b2 * ……* b0)

Untuk penulisan elemen pada ekspresi a1, a2,…. b1, b2,… tidaklah

penting. Dengan cara yang sama, hukum distributive dapat

digeneralisasikan sebagaai berikut :

(∗ � )�

⨁ (∗ �� )

� =

∗ (� ⨁ �� )

��

(⨁ � )�

∗ (⨁ �� )

� =

⨁ (� ∗ �� )

��

Generalisasiuntuk hukum de morgan adalah

(∗ � )′�

= (⨁ � )′

� dan

(⨁ � )′�

= (∗ � )′

�

Dengan menggunakan hasil diatas kita peroleh :

[(∗ � )

� ⨁

(∗ �� )

� ]’ =

⨁ (� ′ ∗ �� ′ )

��

[(⨁ � )

� ∗

(⨁ �� )

� ]’ =

∗ (� ⨁ �� )

��


Page | 10

Latihan dan penyelesaian

1. Gunakanlah sifat-sifat aljabar boole untuk membuktikan

identitas

a* (a’ ⨁ b ) = a * b

penyelesaian :

a*( a’ ⨁ b ) = (a * a’) ⨁ ( a*b ) (D-1)

= 0 ⨁ ( a * b ) (C-1)

= a * b (B-3)

2. Dalam suatu aljabaar boole ,perhatikan bahwa

a = b ↔ ( a * b’ ) ⨁ ( a’ * b ) = 0

penyelesaian :

Bukti ( → )

Misalkan a = b, maka

( a * b ) ⨁ a’ * b ) = ( a * a’ ) ⨁ ( a’*a )

= 0 ⨁ 0 (C-1)

= 0 (L-1)

Bukti ( ← )

Misalkan ( a*b’ ) ⨁ ( a’ * b ) = 0. Dengan sifat ( L-1)’ didapat

a*b’ = 0 dan a’ * b = 0

selanjutnya dengan menggunakan ( C-1 ) kita peroleh

a’ = b’ dan a = b


Page | 11

3. Sederhanakanlah ekspresi boole berikut

( a * b )’ ⨁ ( a ⨁ b )

Penyelesaian :

(a*b)’ ⨁ ( a⨁b’) = (a’⨁ b’) ⨁ (a’*b’) (C-3)dan (C-3)’

= [(a’⨁ b’) ⨁ a’] * [(a’⨁b’) ⨁ b’] (D-2)

= [(a’⨁ a’) ⨁ b’] * [a’⨁ (b’⨁ b’)] (L-3)’

= (a’⨁ b) * (a’⨁ b’) (L-1)’

= a’⨁ (b* b’) (D-2)

= a’ ⨁ 0 (C-1)

= a’ (B-3)’

Jadi, (a*b)’ ⨁ (a ⨁ b)’ = a’

4. Tunjukkan bahwa dalam sebuah aljabar boole berlaku

( a * b ) ⨁ ( a * b’ ) = a

Penyelesaian :

( a* b ) ⨁ ( a* b’) = a * ( b ⨁ b’) (D-1)

= a * 1 (C-1)’

= a (B-3)


Page | 12

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

1. Karena Aljabar boole merupakan letis khusus, maka dengan

sendrinya sifat-sifat letis dipenuhi oleh aljabar boole

2. Sifat-sifat aljabar boole dapat digunkan untuk

menyederhanakan suatu ekspresi boole, membuktikan

ekivalenssi dua ekspresi boole dan membuktikan kesamaan dua

ekspresi boole

aljabar boole

Documents

Transcript of aljabar boole