ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris,...

25
ALJABAR BOOLEAN Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom -Definisi -AB dua-nilai

Transcript of ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris,...

Page 1: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

ALJABAR BOOLEAN

Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

-Definisi

-AB dua-nilai

Page 2: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Pendahuluan

Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakanoleh matematikawan Inggris, George Boole tahun1854.

Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian sirkuit yg meneriman masukkan0 dan 1 dan keluaran juga 0 dan 1.

AB telah menjadi dasar teknologi komputer digital.

Penggunaan : rangkaian pensaklaran, rangkaiandigital, dan IC (integrated circuit) koputer.

Page 3: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi

Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner + dan , dan sebuah operator uner ’.Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka, tupel (B, +, , ’) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut :

Definisi Aljabar Boolean

Page 4: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

1. Closure: (i) a + b B (hasil operasi + tetap berada di dalam B)

(ii) a b B (hasil operasi tetap berada di dalam B)

2. Identitas: (i) a + 0 = a

(ii) a 1 = a

3. Komutatif: (i) a + b = b + a

(ii) a b = b a

4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c)

(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)

5. Komplemen: Untuk setiap a B terdapat elemen unik a’ B sehingga

(i) a + a’ = 1

(ii) a a’ = 0

# disebut Postulat Huntington (diformulasi oleh E.V. Huntington tahun 1904)

Page 5: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang di dalam B.

Kedua elemen unik dapat berbeda-beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya dan U pada himpunan, F dan T pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua buah elemen unik yang berbeda.

Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit.

Operator (+) disebut operator penjumlahan,

( ) disebut operator perkalian, dan

( ’ ) disebut operator komplemen.

Page 6: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean denganaljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil:

1. Hukum distributif yang pertama,

a (b + c) = (a b) + (a c),

sudah dikenal di dalam aljabar biasa,

tetapi hukum distributif yang kedua,

a + (b c) = (a + b) (a + c),

benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

Page 7: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian

(multiplicative inverse) dan kebalikan penjumlahan;

karena itu, tidak ada operasi pembagian dan

pengurangan.

3. Aksioma nomor 5 mendefinisikan operator yang

dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada

aljabar biasa.

Page 8: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil

dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya.

Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan

himpunan elemen B yang sampai sekarang belum

didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai,

B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua

nilai yaitu 0 dan 1.

Page 9: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Hal lain yang penting adalah membedakan elemen

himpunan dan peubah (variable) pada sistem aljabar.

Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen

himpunan bilangan riil adalah angka, sedangkan

peubahnya seperti a, b, c, dan sebagainya.

Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean,

orang mendefinisikan elemen-elemen himpunan dan

peubah seperti x, y, z sebagai simbol-simbol yang

merepresentasikan elemen.

Page 10: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Berhubung elemen-elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas menentukan anggota-anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan:

1. Elemen-elemen himpunan B,

2. kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,

3. himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi postulat Huntington.

Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean.

Page 11: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Contoh 1

Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} adalah pembagi dari 60. Tunjukkan cara membentuk Bmenjadi sebuah aljabar Boolean.

Penyelesaian:

Elemen-elemen himpunan B sudah didefinisikan. Sekarang kita tentukan kaidah operasi operator +, , dan ’. Misalkan kita definisikan

a + b = KPK(a, b) = kelipatan persekutuan terkecil

a b = PBB(a, b) = pembagi bersama terbesar

a’ = 60/a

Page 12: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Maka sekarang kita tunjukkan apakah B bersama-sama dengan kedua operator biner dan operator uner memenuhi postulat Huntington.

Ketertutupan (closure):

jelas berlaku karena setiap operasi + dan terhadap elemen-elemen himpunan B selalu menghasilkan nilai yang terletak di dalam B.

Misalnya: 3 + 4 = KPK(3, 4) = 12,

3 4 = PBB(3, 4) = 1,

3’ = 60/3 = 20,

15 + 60 = KPK(15, 60) = 60,

15 60 = PBB(15, 60) = 15, dan lain-lain.

Page 13: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Identitas:

1 adalah elemen identitas untuk operasi penjumlahan

dan 60 adalah elemen identitas untuk operasi

perkalian, karena

(i) a + 1 = KPK(a, 1) = a (1 sebagai elemen zero)

(ii) a 60 = PBB(a, 60) = a (60 sebagai elemen unit)

Page 14: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Komutatif:

jelas berlaku karena

(i) a + b = b + a = KPK(a, b)

(ii) a b = b a = PBB(a, b)

Page 15: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Distributif:

jelas berlaku karena (ditunjukkan dengan contoh)

(i) 20 (3 + 5) = PBB(30, KPK(3, 5)) = PBB(20, 15) = 5

(20 3) + (20 5) = KPK(PBB(20, 3), PBB(20, 5)) = KPK(1, 5) = 5

(ii) 20 + (3 5) = KPK(20, PBB(3, 5)) = KPK(20, 1) = 20

(20 + 3) (20 + 5) = PBB(KPK(20, 3), KPK(20, 5)) = PBB(60, 20) = 20

Page 16: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Definisi Aljabar Boolean ….

Komplemen:

jelas berlaku karena

(i) a + a’ = KPK(a, 60/a) = 60

(ii) a a’ = PBB(a, 60/a) = 1

Kesimpulan :

Oleh karena semua postulat Huntington dipenuhi, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} yang didefinisikan pada operator biner + dan , dan operator komplemen ’ adalah sebuah aljabar Boolean.

Page 17: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Mengingat B tidak ditentukan anggota-

anggotanya, maka kita dapat membentuk sejumlah

tidak berhingga aljabar Boolean.

Pada aljabar Boolean terhingga, banyaknya

anggota B terbatas, tetapi paling sedikit

beranggotakan dua buah elemen karena (menurut

definisi) di dalam B harus terdapat dua elemen

yang berbeda.

Aljabar Boolean Dua-Nilai

Page 18: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Aljabar Boolean yang terkenal dan memiliki

terapan yang luas adalah aljabar Boolean dua-

nilai (two-valued Boolean algebra).

Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada

sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0

dan 1 (sering dinamakan bit – singkatan dari

binary digit), yaitu B = {0, 1}, operator biner +

dan , operator uner ’.

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

Page 19: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Kaidah untuk operator biner dan operator uner

ditunjukkan pada tabel di bawah ini :

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

a b a b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a a’

0 1

1 0

Page 20: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Kita harus memperlihatkan bahwa postulat Huntington benar untuk himpunan B = {0, 1} dengan dua operator biner dan satu operator uner yang didefinisikan di atas: Closure :

jelas berlaku karena dari tabel terlihat hasil tiap operasi adalah 1 atau 0 B.

Identitas:

jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:

(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1

(ii) 1 0 = 0 1 = 0

yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1 seperti yang didefinisikan pada postulat Huntington.

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

Page 21: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel

operator biner.

Distributif:

a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar

dari tabel operator biner di atas dengan membentuk

tabel kebenaran untuk semua nilai yang mungkin dari

a, b, dan c.

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

Page 22: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Oleh karena nilai-nilai pada kolom a (b + c) sama

dengan nilai-nilai pada kolom (a b) + (a c), maka

kesamaan (a b) + (a c) = (a b) + (a c) adalah benar.

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Page 23: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat

ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran

dengan cara yang sama seperti (i).

Komplemen:

jelas berlaku karena tabel memperlihatkan bahwa:

(i) a + a’ = 1,

karena 0 + 0’ = 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’ = 1 + 0 = 1

(ii) a a’ = 0,

karena 0 0’ = 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

Page 24: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Postulat 6 dipenuhi karena aljabar Boolean dua-nilai

memiliki dua buah elemen yang berbeda 1 dan 0

dengan 1 0.

Karena keenam postulat Huntington dipenuhi,

maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-

sama dengan operator biner + dan operator

komplemen ’ merupakan aljabar Boolean.

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….

Page 25: ALJABAR BOOLEAN€¦ · Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian

Aljabar Boolean dua-nilai mempunyai terapan yang sangat luas dalam bidang elektronika, khususnya pada perancangan sirkuit di dalam komputer. Beberapa terapan lainnya juga ditemukan di bidang teknik sipil, teknik mesin, dan sebagainya.

Untuk selanjutnya, jika disebut aljabar Boolean, maka aljabar Boolean yang dimaksudkan di sini adalah aljabar Boolean dua-nilai.

Aljabar Boolean Dua-Nilai ….