ALJABAR BOOLEAN

Matematika Diskrit

Senin, 18-3-2013

Pokok Bahasan

1. Definisi

2. Hukum-Hukum aljabar boolean

3. Fungsi boolean

4. Ekspresi boolean

5. Komplemen fungsi

6. Rangkaian logika

1. Definisi

Fungsi aljabar boolean

a. Suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan George Boole untuk manipulasi nilai kebenaran logika. Cocok untuk aplikasi komputer.

b. Struktur aljabar & hukum-hukum di dalamnya

c. Review slide Logika Informatika

1.a. Aljabar Boole sebagai Aljabar

Didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan:

, , ¬ (atau ‘) serta “0” dan “1”. Atau...

(B, , , ¬, 0, 1) atau (B, , , ‘ , 0, 1)

Review hukum-hukum logika (komutatif, asosiatif, distributif, identitas, negasi)

Simbol ditulis “+”

Simbol ditulis “.” atau tidak ditulis sama sekali

Teorema 1

Teorema yang diturunkan dari aturan aljabar Boole (B, , , ¬, 0, 1) dan x, y, x’, y’ Є B berlaku :

a. Idempoten

b. Ikatan/null/dominasi

c. Absorbsi (penyerapan)

d. De Morgan

Teorema 2

Dalam suatu aljabar Boole (B, , , ¬, 0, 1), elemen 0 dan 1 adalah tunggal

Teorema 3

Untuk setiap elemen x (B, , , ¬, 0, 1), terdapatlah dengan tunggal x’ yang memenuhi hukum negasi

2. Fungsi Boolean

Mis B = (B, , , ¬, 0, 1): aljabar Boole

Suatu fungsi Boole n variabel adalah fungsi f: Bn → B

Fungsi Boole sederhana jika B = {0,1}.

Jadi f: {0,1}n → {0,1}

Input: {0,1}n. Output: {0,1}

3. Ekspresi Boole

Ekspresi Boole dalam n buah variabel x1, x2,…, xn didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

a. 0 dan 1: ekspresi Boole

b. x1, x2,…, xn masing-masing adalah ekspresi Boole

c. Jika E1 dan E2 adalah ekspresi Boole, maka E1 E2, E1 E2, E1’ adalah ekspresi Boole.

4. Komplemen Fungsi

1. Gunakan hukum De Morgan

2. Gunakan prinsip dualitas

Prinsip Dualitas

Mis: S adalah kesamaan di dalam aljabar Boole yang melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka jika S* diperoleh dengan mengganti operator dan membiarkan komplemen tetap ada, maka kesamaan S* juga benar.

S* disebut dual dari S

Ilustrasi dari buku fiksi berjudul Ching Hua Yuan (Flowers in the Mirror) ditulis oleh Li Ju-Chen (1763-1830)

5. Rangkaian Logika a. Saklar buka

b. Saklar tutup

c. Rangkaian seri

d. Rangkaian paralel

e. Gerbang pembalik/Not/Inverter

f. Gerbang AND

g. Gerbang OR

h. Gerbang XOR

i. Gerbang NOR

j. Gerbang NAND