73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA

7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA

1/20

MATEMATIKA

SEMESTER I

Nama :

I Gusti Ngurah Wira Prabawa

No. Absen / Kelas :

38/ XII IPA 5


2/20

Bab 1 : Integral

Integral adalah kebalikan dari turunan. Jika turunan suatu fungsi diintegralkanmaka nhasilnya adalah fungsi semula. Integral dinotasikan :

A. Integral Tak TentuIntegral tak tentu adalah suatu bentuk pecahan yang masih mengandung nilai

C dan sifatnya sembarang.

1) Integral fungsi aljabarRumus umum :

Contoh : Jwb :

2) Integral fungsi trogonometri (rumus umum)Rumus umum :

Contoh : 2 sin x dx

Jwb : = = -2 cos x + C

.dx


3/20

B. Integral TentuRumus umum :

Contoh :

a. b.

Jawab :

a. = (3

2- 3)(1

21)

= (93)(11)

= 60

= 6.

b. = = sin 90

osin 0

= 10

= 1.


4/20

C. Teknik Integrasi1) Pengintegralan dengan substitusi

Rumus umum :

Contoh :

a) Misal : u = 2x

3+3 dx =

Sehingga :

2) Integral Parsial

Rumus umum :

Contoh :

a) Misal : u = x maka du = dx

dv = sin 3x dx maka v = sin 3x dx

=

= = =


5/20

D.Penerapan IntegralMenghitung luas daerah

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

+ 1 dan sumbu x pada

interval 1 < x < 3

Grafik :

Rumus luas daerah yg diarsir :



y=x2+1


6/20

Jawab :

f(x) = x2+ 1 pada interval 1 < x


7/20

Bab 2 : Program Linear

A.Persamaan LinearRumus umum :

Penyelesaiannya dapat dengan grafik *. Memotong sumbu x y=0

*. Memotong sumbu y x=0

Sistem persamaan linearRumus umum :

Penyelesaiannya : 1. Grafik 2. Eliminasi

3. Substitusi 4. Gabungan

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari : 4x + 10y = 40

1x + 5y = 15

Jawab :

4x + 10y = 40 x1 4x + 10y = 40

1x + 5y = 15 x4 4x + 20y = 60 _

- 10y = -20

y = 2

Lalu substitusikan untuk mencari nilai xnya:1x + 5y =151x + 5(2) = 15

1x = 15 -10

x = 5

B. Pertidaksaman LinearTanda umum : Rumus umum :

Contoh :

Tentukan batas daerah dari : 2x + 2y < 4

Jawab :

Batas daerah 2x + 2y = 4

*. Memotong sumbu xy = 0 Grafik :

2X + 2.(0) =4

2X = 4

X = 2 (2,0)

*. Memotong sumbu yx =0

2.(0) + 2y = 4

2y = 4

Y = 2 (0,2)

ax + b = c

ax1 + by1= c

ax2+ by2= c

>, ,


8/20

C. Model Matematika Program LinearContoh :

Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti, yaitu roti isi cokelat dan roti isi

keju Pembuatan satu buah roti isi cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5

gram mentega, sedangkan untuk satu buah roti isi keju memerlukan 4 gram

terigu dan 5 gram mentega. Keuntungan roti isi cokelat Rp 125,00 per buah

dan roti isi keju Rp 100,00 per buah. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram

terigu dan 2.500 gram mentega. Buatlah model matematika untuk

permasalahan tersebut, apabila banyaknya roti isi cokelat xbuah dan isi roti

keju ybuah.

Jawab :

Misal : -. Roti Isi cokelat yang diproduksi = x buah

-. Roti isi keju yang diproduksi = y buah

Pertidak samaan yang diperoleh :

6x + 4y 2.400

5x + 5y 2.500

X 0

Y 0

Fungsi tujuan : = 125x + 100y

Tabel program linear produksi roti :

Bahan Isi Cokelat Isi Keju Persediaan Pertidaksamaan

Terigu

Mentega

6 gram

5 gram

4 gram

5 gram

1.400gram2.500 gram

6x + 4y 2.400

5x + 5y 2.500

Banyaknya X Y

Keuntungan Rp 125,00 Rp 100,00 125x + 100y

D.Menentukan Nilai Optimum Fungsi ObjektifMenggunakan metode titik pojok

Contoh :

Carilah nilai x dan y yang memaksimumkan dan meminimumkan fungsi

objektif f(x,y) = 125x + 100y dengan kendala :

6x + 4y 2.400

5x + 5y 2.500

X 0

Y 0


9/20

Jawab :

*. 6x + 3y 2.400

X = 0y = 800 (0 , 800)

Y = 0x = 400 (400 , 0)

*. 5x + 5y 2.500

X = 0y = 500 (0 , 500)

Y = 0x = 500 (500 , 0)

*. X 0

*. Y 0

Koordinat titik pojok :

f (a)x = 0, y = 500

f(b)5x + 5y = 2.500 x(-4) -20x20y = -10.000

6x + 4y = 2.400 x 5 30x + 20y = 12.000 -

10x = 2.000

X = 200

6x + 4y = 2.400

6(200) + 4y = 2.400

4y = 1200

Y = 300

f(b)x= 200, y = 300

F(c)x = 400, y = 0

F(x,y) = 125x + 100y

a(0,500) 125(0) + 100(500) = 50.000

b(200,300) 125(200) + 100(300) = 55.000

c(400,0) 125(400) + 100(0) = 50.000

Jadi nilai maxnya : 55.000 dan nilai minnya : 50.000


10/20

Bab 3 : Matriks

A.Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks1) Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegi atau

persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.

2) Notasi dan Ordo MatriksBentuk umum matriks A berordo m x n dapat dituliskan sebagai berikut :

A=

Kolom Kolom Kolom

Ke-1 ke-2 ke-3

3) Macam-Macam Matriksa) Berdasarkan banyaknya baris dan kolom

1. Matriks PersegiContoh :

Matriks A = merupakan matriks persegi berordo 32. Matriks Baris

Contoh :

Matriks B = merupakan matriks baris ordo 1 x 33. Matriks Kolom

Contoh :

Matriks C = merupakan matriks kolom ordo 4 x 1b) Berdasarkan Pola Elemen-Elemen

1. Matriks NolContoh :

Matriks O = merupakan matriks nol2. Matriks Diagonal

Contoh :

Matriks D = merupakan matriks diagonal

Baris ke-1

Baris ke-2

Baris ke-3


11/20

3. Matriks IdentitasContoh :

Matriks I =

merupakan metriks identitas ordo 3 x 34. Matriks Segitiga Bawah

Contoh :

Matriks B = merupakan matriks segitiga bawah5. Matriks Segitiga Atas

Contoh :

Matriks A = merupakan matriks segitiga atas4) Transpos Matriks

Transpos matriks merupakan perubahan matriks dari baris jadi kolom

Contoh :

B = BT= meupakan transpos matriksB. Kesamaan Matriks

Ciri-ciri : 1. Ordonya sama

2. Semua elemen yang seletak sama nilainya

Contoh :

A = dan B = Jika matriks A=B, tentukan nilai a+b+c+d1+8+5+5 =19C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1) Penjumlahan MatriksSyarat : harus memiliki ordo yang sama

Contoh :

Diketahui A =

dan B =

. Tentukan A + B.

Jawab :

A + B = + = =

2) Pengurangan MatriksSyarat : harus memiliki ordo yang sama

Contoh :

Diketahui A = dan B = . Tentukan AB.


12/20

Jawab :

AB = - =

= D.Perkalian Matriks

1) Perkalian Skalar dengan MatriksContoh :

Diketahui K = 2 dan R = . Tentukan K x R.Jawab :

KR = 2 . = =

2) Perkalian Matriks dengan MatriksSyarat : kolom matriks 1 sa,a dengan baris matriks 2

Contoh :

Diketahui A =

dan B =

. Tentukan A x B.

Jawab :

A x B = = =

E. Pemangkatan Matriks PersegiContoh :

Diketahui matriks P = . Tentukan P2.Jawab :P

2= PP =

=


13/20

F. Determinan dan Invers Matriks1) Determinan Matriks

a) Determinan Matriks Berordo 2 x 2Jika A =

maka determinan matriks A adalah

||=

= ad-

bc - +

Contoh :

Jika A = maka det ||= = 2x45x1 = 3b) Determinan Matriks Berordo 3 x 3

Jika B = maka determinan matriks B adalah :

||= - - - + + +Contoh :

Jika B = , maka determinan matriks B adalah :Jawab :

||=

= 1x5x9 + 2x6x7 +3x4x83x5x71x6x82x4x9

= 45 + 84 + 961054872

= 0

G. Invers MatriksRumus umum :

Contoh :

Diketahui A = tentukanlah A-1.Jawab :

A-1

= * +

= * +

= * += [

]


14/20

H.Penerapan Matriks Dalam Sistem Persamaan LinearBentuk : a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Diubah ke persamaan matriks menjadi :

A X B

Bentuk persamaan :

Contoh :

Tentukan penyelesaian SPL dari

dengan matriks

Jawab :

Langkah 1 : ubah SPL ke bentuk persamaan matriks AX = B Langkah 2 : tentukan A

-1

A = Langkah 3 : selesaikan x dengan menggunakan rumus X = A

-1B

Langkah 4 : selesaikan SPL berdasarkan kesamaan dua matriks pada akhir

langkah 3 x = 2 dan y = -1

1. AX = BX = A-1

. B

2. X . A = BX = B . A-1


15/20

Bab 4 : Vektor

A.Sifat dan Operasi Aljabar Vektor1) Definisi Vektor

Vektor = Ruas garis berarah

2) Penjumlahan Dua VektorDiketahui dua vektor

Maka a + b adalah:

- Cara segitiga Cara jajaran genjang

3) Pengurangan VektorOA + AB = OB

atau AB = ba4) Perkalian Vektor

1) Perkalian Skalar :Misal :

Maka : r = konstanta2) Perkalian Antar Vektor :

Rumus umum :

a. (x1x2+ y1y2+ z1z2)bila jawabannya berupa skalarb. || bila diketahui cos

o

A

a

b

ba

a

b ba b

a


16/20


17/20

B. Proyeksi OrtogonalMisal :

Proyeksi oBoA = || || ||

|| ||

*) Rumus proyeksi skalar vektor b pada a :|| || *) Rumus proyeksi vektor b pada a : || || Contoh soal :

Diketahui . Tentukan :a. Proyeksi skalar a pada bb. Proyeksi vektor b pada aJawab :

a. || ||

=

=

b.||

||

=

=

(

)


18/20

Bab 5 : Transformasi Geometri

A.Pengertian TransformasiTransformasimerupakan suatu pemetaan yang mentransformasikan suatu

titik atau suatu gambar ke suatu titik atau suatu gambar lain.

1) TranslasiRumus : Contoh : Tentukanlah bayangan titik-titik P(2,1) oleh translasi T = Jawab : P=T(P)= Jadi, bayangannya P(6,3)

2) Refleksia) Terhadap Sumbu x

b) Terhadap Sumbu y c) Terhadap Pusat (0,0) d) Terhadap Garis y=0 / y=x

e) Terhadap Garis y=-x f) Terhadap Garis x=h g) Terhadap Garis y=k

h) Terhadap M (a,b) Contoh :

Titik A(-2, 5) dicerminkan terhadap garis y = x,

kordinat titik bayangan A adalah

Jawab :


19/20

jadi, bayangan A adalah A =

3) Rotasia) Pusat (0,0) b) Pusat M (a,b)

Contoh :

Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B

apabila titik B dirotasikan sejauh 900berlawanan arah dengan jarum jam.

Jawab :

4) Dilatasi (perkalian)

a) Pusat (0,0) b) Pusat M (a,b)

Contoh :

Bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor

skalar 2 adalah. . .

Jawab : K = 2, x = 1, y = 3


20/20

jadi, bayangan B adalah B = B. Transformasi Linear

Rumus : B = AXX = A

-1. B

Contoh :

Bayangan dari hasil transformasi matriks

terhadap titik B(2,-3) adalah..

Jawab : Jadi, bayagan B adalah B (-8,-9)

C. Komposisi TransformasiRumus : dinyatakan dengan G (T2o T1) GTitik B(2,4) ditranslasikan oleh T1 Kemudian dilanjutkan dengan T2,bayangan titik B adalah. . .

Jawab :

T = T2o T1=

= Jadi, bayangannya adalah (6,10)

73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA

Documents

Transcript of 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA