7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
1/20
MATEMATIKA
SEMESTER I
Nama :
I Gusti Ngurah Wira Prabawa
No. Absen / Kelas :
38/ XII IPA 5
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
2/20
Bab 1 : Integral
Integral adalah kebalikan dari turunan. Jika turunan suatu fungsi diintegralkanmaka nhasilnya adalah fungsi semula. Integral dinotasikan :
A. Integral Tak TentuIntegral tak tentu adalah suatu bentuk pecahan yang masih mengandung nilai
C dan sifatnya sembarang.
1) Integral fungsi aljabarRumus umum :
Contoh : Jwb :
2) Integral fungsi trogonometri (rumus umum)Rumus umum :
Contoh : 2 sin x dx
Jwb : = = -2 cos x + C
.dx
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
3/20
B. Integral TentuRumus umum :
Contoh :
a. b.
Jawab :
a. = (3
2- 3)(1
21)
= (93)(11)
= 60
= 6.
b. = = sin 90
osin 0
= 10
= 1.
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
4/20
C. Teknik Integrasi1) Pengintegralan dengan substitusi
Rumus umum :
Contoh :
a) Misal : u = 2x
3+3 dx =
Sehingga :
2) Integral Parsial
Rumus umum :
Contoh :
a) Misal : u = x maka du = dx
dv = sin 3x dx maka v = sin 3x dx
=
= = =
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
5/20
D.Penerapan IntegralMenghitung luas daerah
Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2
+ 1 dan sumbu x pada
interval 1 < x < 3
Grafik :
Rumus luas daerah yg diarsir :
Rumus luas daerah yg diarsir :
Rumus luas daerah yg diarsir :
y=x2+1
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
6/20
Jawab :
f(x) = x2+ 1 pada interval 1 < x
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
7/20
Bab 2 : Program Linear
A.Persamaan LinearRumus umum :
Penyelesaiannya dapat dengan grafik *. Memotong sumbu x y=0
*. Memotong sumbu y x=0
Sistem persamaan linearRumus umum :
Penyelesaiannya : 1. Grafik 2. Eliminasi
3. Substitusi 4. Gabungan
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari : 4x + 10y = 40
1x + 5y = 15
Jawab :
4x + 10y = 40 x1 4x + 10y = 40
1x + 5y = 15 x4 4x + 20y = 60 _
- 10y = -20
y = 2
Lalu substitusikan untuk mencari nilai xnya:1x + 5y =151x + 5(2) = 15
1x = 15 -10
x = 5
B. Pertidaksaman LinearTanda umum : Rumus umum :
Contoh :
Tentukan batas daerah dari : 2x + 2y < 4
Jawab :
Batas daerah 2x + 2y = 4
*. Memotong sumbu xy = 0 Grafik :
2X + 2.(0) =4
2X = 4
X = 2 (2,0)
*. Memotong sumbu yx =0
2.(0) + 2y = 4
2y = 4
Y = 2 (0,2)
ax + b = c
ax1 + by1= c
ax2+ by2= c
>, ,
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
8/20
C. Model Matematika Program LinearContoh :
Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti, yaitu roti isi cokelat dan roti isi
keju Pembuatan satu buah roti isi cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5
gram mentega, sedangkan untuk satu buah roti isi keju memerlukan 4 gram
terigu dan 5 gram mentega. Keuntungan roti isi cokelat Rp 125,00 per buah
dan roti isi keju Rp 100,00 per buah. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram
terigu dan 2.500 gram mentega. Buatlah model matematika untuk
permasalahan tersebut, apabila banyaknya roti isi cokelat xbuah dan isi roti
keju ybuah.
Jawab :
Misal : -. Roti Isi cokelat yang diproduksi = x buah
-. Roti isi keju yang diproduksi = y buah
Pertidak samaan yang diperoleh :
6x + 4y 2.400
5x + 5y 2.500
X 0
Y 0
Fungsi tujuan : = 125x + 100y
Tabel program linear produksi roti :
Bahan Isi Cokelat Isi Keju Persediaan Pertidaksamaan
Terigu
Mentega
6 gram
5 gram
4 gram
5 gram
1.400gram2.500 gram
6x + 4y 2.400
5x + 5y 2.500
Banyaknya X Y
Keuntungan Rp 125,00 Rp 100,00 125x + 100y
D.Menentukan Nilai Optimum Fungsi ObjektifMenggunakan metode titik pojok
Contoh :
Carilah nilai x dan y yang memaksimumkan dan meminimumkan fungsi
objektif f(x,y) = 125x + 100y dengan kendala :
6x + 4y 2.400
5x + 5y 2.500
X 0
Y 0
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
9/20
Jawab :
*. 6x + 3y 2.400
X = 0y = 800 (0 , 800)
Y = 0x = 400 (400 , 0)
*. 5x + 5y 2.500
X = 0y = 500 (0 , 500)
Y = 0x = 500 (500 , 0)
*. X 0
*. Y 0
Koordinat titik pojok :
f (a)x = 0, y = 500
f(b)5x + 5y = 2.500 x(-4) -20x20y = -10.000
6x + 4y = 2.400 x 5 30x + 20y = 12.000 -
10x = 2.000
X = 200
6x + 4y = 2.400
6(200) + 4y = 2.400
4y = 1200
Y = 300
f(b)x= 200, y = 300
F(c)x = 400, y = 0
F(x,y) = 125x + 100y
a(0,500) 125(0) + 100(500) = 50.000
b(200,300) 125(200) + 100(300) = 55.000
c(400,0) 125(400) + 100(0) = 50.000
Jadi nilai maxnya : 55.000 dan nilai minnya : 50.000
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
10/20
Bab 3 : Matriks
A.Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks1) Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegi atau
persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.
2) Notasi dan Ordo MatriksBentuk umum matriks A berordo m x n dapat dituliskan sebagai berikut :
A=
Kolom Kolom Kolom
Ke-1 ke-2 ke-3
3) Macam-Macam Matriksa) Berdasarkan banyaknya baris dan kolom
1. Matriks PersegiContoh :
Matriks A = merupakan matriks persegi berordo 32. Matriks Baris
Contoh :
Matriks B = merupakan matriks baris ordo 1 x 33. Matriks Kolom
Contoh :
Matriks C = merupakan matriks kolom ordo 4 x 1b) Berdasarkan Pola Elemen-Elemen
1. Matriks NolContoh :
Matriks O = merupakan matriks nol2. Matriks Diagonal
Contoh :
Matriks D = merupakan matriks diagonal
Baris ke-1
Baris ke-2
Baris ke-3
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
11/20
3. Matriks IdentitasContoh :
Matriks I =
merupakan metriks identitas ordo 3 x 34. Matriks Segitiga Bawah
Contoh :
Matriks B = merupakan matriks segitiga bawah5. Matriks Segitiga Atas
Contoh :
Matriks A = merupakan matriks segitiga atas4) Transpos Matriks
Transpos matriks merupakan perubahan matriks dari baris jadi kolom
Contoh :
B = BT= meupakan transpos matriksB. Kesamaan Matriks
Ciri-ciri : 1. Ordonya sama
2. Semua elemen yang seletak sama nilainya
Contoh :
A = dan B = Jika matriks A=B, tentukan nilai a+b+c+d1+8+5+5 =19C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
1) Penjumlahan MatriksSyarat : harus memiliki ordo yang sama
Contoh :
Diketahui A =
dan B =
. Tentukan A + B.
Jawab :
A + B = + = =
2) Pengurangan MatriksSyarat : harus memiliki ordo yang sama
Contoh :
Diketahui A = dan B = . Tentukan AB.
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
12/20
Jawab :
AB = - =
= D.Perkalian Matriks
1) Perkalian Skalar dengan MatriksContoh :
Diketahui K = 2 dan R = . Tentukan K x R.Jawab :
KR = 2 . = =
2) Perkalian Matriks dengan MatriksSyarat : kolom matriks 1 sa,a dengan baris matriks 2
Contoh :
Diketahui A =
dan B =
. Tentukan A x B.
Jawab :
A x B = = =
E. Pemangkatan Matriks PersegiContoh :
Diketahui matriks P = . Tentukan P2.Jawab :P
2= PP =
=
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
13/20
F. Determinan dan Invers Matriks1) Determinan Matriks
a) Determinan Matriks Berordo 2 x 2Jika A =
maka determinan matriks A adalah
||=
= ad-
bc - +
Contoh :
Jika A = maka det ||= = 2x45x1 = 3b) Determinan Matriks Berordo 3 x 3
Jika B = maka determinan matriks B adalah :
||= - - - + + +Contoh :
Jika B = , maka determinan matriks B adalah :Jawab :
||=
= 1x5x9 + 2x6x7 +3x4x83x5x71x6x82x4x9
= 45 + 84 + 961054872
= 0
G. Invers MatriksRumus umum :
Contoh :
Diketahui A = tentukanlah A-1.Jawab :
A-1
= * +
= * +
= * += [
]
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
14/20
H.Penerapan Matriks Dalam Sistem Persamaan LinearBentuk : a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Diubah ke persamaan matriks menjadi :
A X B
Bentuk persamaan :
Contoh :
Tentukan penyelesaian SPL dari
dengan matriks
Jawab :
Langkah 1 : ubah SPL ke bentuk persamaan matriks AX = B Langkah 2 : tentukan A
-1
A = Langkah 3 : selesaikan x dengan menggunakan rumus X = A
-1B
Langkah 4 : selesaikan SPL berdasarkan kesamaan dua matriks pada akhir
langkah 3 x = 2 dan y = -1
1. AX = BX = A-1
. B
2. X . A = BX = B . A-1
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
15/20
Bab 4 : Vektor
A.Sifat dan Operasi Aljabar Vektor1) Definisi Vektor
Vektor = Ruas garis berarah
2) Penjumlahan Dua VektorDiketahui dua vektor
Maka a + b adalah:
- Cara segitiga Cara jajaran genjang
3) Pengurangan VektorOA + AB = OB
atau AB = ba4) Perkalian Vektor
1) Perkalian Skalar :Misal :
Maka : r = konstanta2) Perkalian Antar Vektor :
Rumus umum :
a. (x1x2+ y1y2+ z1z2)bila jawabannya berupa skalarb. || bila diketahui cos
o
A
a
b
ba
a
b ba b
a
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
16/20
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
17/20
B. Proyeksi OrtogonalMisal :
Proyeksi oBoA = || || ||
|| ||
*) Rumus proyeksi skalar vektor b pada a :|| || *) Rumus proyeksi vektor b pada a : || || Contoh soal :
Diketahui . Tentukan :a. Proyeksi skalar a pada bb. Proyeksi vektor b pada aJawab :
a. || ||
=
=
b.||
||
=
=
(
)
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
18/20
Bab 5 : Transformasi Geometri
A.Pengertian TransformasiTransformasimerupakan suatu pemetaan yang mentransformasikan suatu
titik atau suatu gambar ke suatu titik atau suatu gambar lain.
1) TranslasiRumus : Contoh : Tentukanlah bayangan titik-titik P(2,1) oleh translasi T = Jawab : P=T(P)= Jadi, bayangannya P(6,3)
2) Refleksia) Terhadap Sumbu x
b) Terhadap Sumbu y c) Terhadap Pusat (0,0) d) Terhadap Garis y=0 / y=x
e) Terhadap Garis y=-x f) Terhadap Garis x=h g) Terhadap Garis y=k
h) Terhadap M (a,b) Contoh :
Titik A(-2, 5) dicerminkan terhadap garis y = x,
kordinat titik bayangan A adalah
Jawab :
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
19/20
jadi, bayangan A adalah A =
3) Rotasia) Pusat (0,0) b) Pusat M (a,b)
Contoh :
Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B
apabila titik B dirotasikan sejauh 900berlawanan arah dengan jarum jam.
Jawab :
4) Dilatasi (perkalian)
a) Pusat (0,0) b) Pusat M (a,b)
Contoh :
Bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor
skalar 2 adalah. . .
Jawab : K = 2, x = 1, y = 3
7/22/2019 73996056-RINGKASAN-MATERI-MATEMATIKA
20/20
jadi, bayangan B adalah B = B. Transformasi Linear
Rumus : B = AXX = A
-1. B
Contoh :
Bayangan dari hasil transformasi matriks
terhadap titik B(2,-3) adalah..
Jawab : Jadi, bayagan B adalah B (-8,-9)
C. Komposisi TransformasiRumus : dinyatakan dengan G (T2o T1) GTitik B(2,4) ditranslasikan oleh T1 Kemudian dilanjutkan dengan T2,bayangan titik B adalah. . .
Jawab :
T = T2o T1=
= Jadi, bayangannya adalah (6,10)
Top Related