Ringkasan materi matematika

28

Ringkasan Materi Matematika

ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 28 11/07/2012 11:17:03

29

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

1 Bab

Kelas X Semester 1

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Memecahkan masalah yang

berkaitan dengan bentuk

pangkat, akar, dan logaritma.

Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.

Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif,

pangkat bulat negatif, dan pangkat nol.

Secara umum perpangkatan bulat positif suatu

bilangan real didefinisikan sebagai

an = a × a × a × ... × a

sebanyak n faktor

Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat

untuk a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (dengan R adalah

himpunan bilangan real dan B adalah himpunan

bilangan bulat) adalah sebagai berikut,

1) am × an = am +n

2) m

m nn

aa

a−=

3) (am)n = am × n

4) (ab)n = an × bn

A. Bentuk Pangkat

5)

n n

n

a ab b

=

6) a0 = 1

8) 1 n

naa

− =

Pada bentuk akar berlaku sifat-sifat:

1) mnmn a a=

2) m a n b m n a b× = × ×

3) =m a m an bn b

4) n mmnm na a a a× = ×

5) nm

mnmn

a aab

=

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari

perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai

berikut.

x = an ⇔ alog x = n

untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0.

Keterangan:a =bilangan pokok atau basis logaritmax = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x > 0n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif

B. Bentuk Akar

C. Logaritma


30

Sifat-sifat logaritma:

1) alog a = 1

2) alog 1 = 0

3) alog x + alog y = alog (x . y)

4) alog x – alog y = alog xy

5) alog xn = n . alog x

6) alog x = loglog

c

c

xa

7) alog x = 1logx a

8) loga xa x=

9) log . logna m am

x xn

=

10) alog 1loga x

x= −

11) 1

log logaa x x= −

12) alog x . xlog y = alog y

13) alog an = n

14) log2x = log x . log x

15) log-1 x = 1log x


31

Kelas X Semester 1


Memecahkan masalah

yang berkaitan dengan

fungsi, persamaan dan

fungsi kuadrat serta

pertidaksamaan kuadrat

Memahami konsep fungsi

Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah

pemasangan ang gota-anggota himpunan A dengan

anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu

fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.

Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis

f : A → B (dibaca: fungsi f memetakan A ke B)

Pada fungsi f : A → B berlaku

1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari

f, ditulis Df.

2) Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)

dari f.

3) Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah

hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf..

Bentuk umum persamaan kuadrat dalah:

ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan

dengan:

1) memfaktorkan;

2) melengkapkan bentuk kuadrat sempurna;

3) menggunakan rumus abc:

2

1,2

42

b b acx

a− ± −=

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kadrat:.

1) jumlah akar-akar persamaan kadrat:

x1 + x2 = ba

−

3) hasil kali akar-akar persamaan kadrat:

x1 . x2 = ca

Bentuk umum fungsi kuadrat

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈R

Cara-cara menentukan fungsi kadrat:

a. jika diketahui titik potong dengan sumbu x di

x1 dan x2, diganakan maka

y = f(x) = a (x – x1) (x – x2);

b. jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik)

nya P(p,q), digunakan y = f(x) = a(x – p)2 + q;

c. jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan y = ax2 + bx + c.

Persamaan dan Fungsi

2 Bab

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

B. Persamaan Kuadrat

C. Fungsi Kuadrat


32

Kelas X Semester 1


Memecahkan masalah


sistem persamaan linear

dan pertidaksamaan satu

variabel

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya

Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau lebih

persamaan linear. Sistem persamaan linear terbagi

atas:

1) Sistem persamaan linear dengan dua variabel.

Bentuk umumnya adalah

ax + by = cpx + qy = r

;

a, b, c, p, q, r bilangan real.

2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel.


kx ly mz npx qy rz s

+ + = + + =

ax + by + cz = d ;

a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s bilangan real.

3) Sistem persamaan linear dengan persamaan

kuadrat. Bentuk umumnya adalah

2

y ax b

y px qx r

= + = + +

;

a, b, p, q, r bilangan real.

4) Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.


2

2

y ax bx c

y px qx r

= + +

= + + ;


Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem per-

samaan linear dengan dua variabel dan persamaan

kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu:

1) substitusi,

2) eliminasi, dan

3) gabungan substitusi dan eliminasi.

Sistem Persamaan3

Bab

A. Sistem Persamaan Linear

B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan


33

2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel.


kx ly mz npx qy rz s

+ + = + + =

ax + by + cz = d ;

a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s bilangan real.

3) Sistem persamaan linear dengan persamaan

kuadrat. Bentuk umumnya adalah

2

y ax b

y px qx r

= + = + +

;

a, b, p, q, r bilangan real.

4) Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.


2

2

y ax bx c

y px qx r

= + +

= + + ;


Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem

persamaan linear dengan dua variabel dan persamaan

kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu:

1) substitusi,

2) eliminasi, dan

3) gabungan substitusi dan eliminasi.


34

Kelas X Semester 1


Memecahkan masalah


fungsi, persamaan dan

fungsi kuadrat serta

pertidaksamaan kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya

Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang

memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tanda-

tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥).

Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk

pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi

atas:

1) Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidak -

samaan yang mempunyai variabel pangkat

satu.

Contoh: x + 4 < 2x + 7

2) Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidak-

samaan yang mempunyai variabel pangkat

dua.

Contoh: x2 – 2x + 4 < 7

3) Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidak-

samaan yang mempunyai bentuk pecahan dan

mengandung variabel x pada penyebutnya.

Contoh: 2 3

01 2

xx

+ >−

4) Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak),

yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai

tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak

berlaku

• 0x > sama artinya –a < x < a.

• 0x < sama artinya x < –a atau x > a.

6) Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidak-

samaan yang variabelnya terletak di bawah

tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali

dengan menguadratkan kedua ruas.

Contoh: 1 0x − <

Pertidaksamaan4

Bab

A. Pengertian Pertidaksamaan

B.

Jenis-Jenis Pertidaksamaan

dan Penyelesaiannya


35

Kelas X Semester 1


Menggunakan logika

matematika dalam

pemecahan masalah


pernyataan majemuk dan

pernyataan berkuantor

Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya

Menentukan nilai kebenaran dari suatu per-nyataan majemuk dan pernyataan berkuantor

Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan

Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah

A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat

variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan,

apakah bernilai benar atau salah.

Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat

ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau

salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah

bersamaan.

Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah

kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar,

ingkarannya salah, dan sebaliknya.

Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca:

tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p

atau non-p.

Contoh:

p = Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat.

(benar/B)

Ingkarannya:

∼ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat.

(salah/S)

∼ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota

Provinsi Jawa Barat. (salah/S)

B. Penyataan Majemuk

Perrnyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri

dari dua pernyataan atau lebih dapat dihubungkan

Logika Matematika5

Bab


36

dengan kata hubung, yaitu: ... dan ... , ... atau ... , jika

... maka ..., dan ... jika dan hanya jika ... .

Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna biru.

Jenis-Jenis Kalimat Majemuk

Ada empat pernyataan majemuk, yaitu:

1) Konjungsi, yaitu gabungan antara dua per-

nyataan dengan memakai kata hubung ”dan”,

dinotasikan dengan

p ∧ q dibaca: p dan q

Tabel kebenaran konjungsip q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

2) Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan

dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi-

kan dengan

p ∨ q dibaca: p atau q.

Tabel kebenaran disjungsip q p ∨ q

B B B

B S B

S B B

S S S

3) Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan

dengan memakai kata hubung ”jika … maka …”,

dinotasikan dengan

p → q

dibaca: jika p maka q, p hanya jika q,p syarat

cukup untuk q, q syarat perlu untuk p, atau q

jika p

Tabel kebenaran implikasi:p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

4) Biimplikasi, dibentuk dari (p → q) ∧ (q → p),

dinotasikan dengan

p ⇔ q

dibaca: p jika dan hanya jika q,

p syarat cukup dan perlu untuk q,

p ekuivalen dengan q

Tabel kebenaran biimplikas:p q p → q q → p p ⇔ q

B B B B B

B S S B S

S B B S S

S S B B B

C. Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas

1) Ingkaran dari konjungsi, berlaku

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

2) Ingkaran dari disjungsi, berlaku

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

3) Ingkaran dari implikasi, berlaku

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

4) Ingkaran dari biimplikasi, berlaku

~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru,

yaitu:

• Konvers: q → p

• Invers: ~p → ~q dan

• Kontraposisi: ~q → ~p


37

E. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

Pernyataan berkuantor terdiri atas:

1) Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan

dengan

∀p(x)

(dibaca: “Untuk semua x, berlakulah p(x)”)

Ingkarannya adalah

~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran

untuk semua x yang berlaku p(x) adalah

ada x yang bukan p(x)”).

3) Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasikan

dengan

∃(x) p(x)

(dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”)

Ingkarannya adalah

~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x)

(dibaca: “ingkaran beberapa x berlaku p(x)

adalah semua x bukan p(x)”).

F. Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan terbagi atas:

1) Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk,

dengan aturan

a) Modus Ponens, berlaku

Jika p → q benar dan p benar

maka pernyataan q bernilai benar.

p → q

p

∴ q

merupakan argumentasi yang sah.

b) Aturan Tollens, berlaku

Jika p→q benar dan ~q benar

maka pernyataan ~p bernilai benar.

p → q

~p

∴ ~q

c) Silogisme, berlaku:

Jika p → q dan q → r keduanya benar

maka p → r juga benar.

p → q

q → r

∴ p → r

3) Penarikan kesimpulan dari pernyataan ber-

kuantor

Contoh:

p(x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga

sama kaki maka mempunyai dua sudut

sama besar.

≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua

sudut sama besar.


38

Kelas X Semester 1


Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya

A. Perbandingan Trigonometri

Rumus-rumus perbandingan trigonometri

1) sin α = yr

=panjang sisi depanpanjang sisi miring

cos α = xr

=panjang sisi apitpanjang sisi miring

tan α = yx

=panjang sisi depanpanjang sisi apit

2) 1sin = ;

cos 1

cosec = ; sin

1 cos cotan = =

tan sin

αα

αα

ααα α

3) sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

tan (90° – α) = cotan α

cotan (90° – α) = tan α

4) sin (180° – α) = sin α

cos (180° – α) = –cos α

tan (180° – α) = –tan α

cotan (180° – α) = –cotan α

5) sin (180° + α) = –sin α

cos (180° + α) = –cos α

tan (180° + α) = tan α

cotan (180° + α) = cotan α

Trigonometri6

Bab


39

B. Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai

berikut,

1) f(x) = a sin (kx + b)

Periode = 360 2

k k° π=

nilai maksimum = a nilai minimum = – a

2) f(x) = a cos (kx + b)

Periode = 360 2

k k° π=

nilai maksimum = a nilai minimum = – a

3) f(x) = a tan (kx + b)

Periode = 180

k k° π=

Tidak ada nilai maksimum dan minimum.

C. Identitas Trigonometri

Contoh identitas trigonometri

1) sin2 a + cos2 a = 1

2) 1 + tan2 a = sec2 a

D. Persamaan Trigonometri

Untuk k ∈ B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh

persamaan sebagai berikut,

1) Jika sin x = sin a, penyelesaiannya adalah

x1 = a + k . 360° x2 = (180° – a) + k . 360°

2) Jika cos x = cos a, penyelesaiannya adalah

x1 = a + k . 360° x2 = –a + k . 360°

3) Jika tan x = tan a, penyelesaiannya adalah

x = a + k . 180°

4) Jika cotan x = cotan a, penyelesaiannya adalah

x = a + k . 180°

E.

Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus

Segitiga

Aturan sinus:

sin sin sina b c= =

α β γ

Aturan kosinus:

1) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

2) b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

3) c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

Luas segitiga:

1. sin

21

sin 2

1. sin

2

ABC

ABC

ABC

L b c

L ac

L a b

∆

∆

∆

= α

= β

= γ


40

Kelas X Semester 2


Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga

Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

A.

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

pada Bangun Ruang

Kedudukan titik dibedakan atas:

1) Titik terletak pada garis

2) Titik terletak di luar garis

3) Titik terletak pada bidang

4) Titik terletak di luar bidang

Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis)

dibedakan atas:

1) Berimpit 3) Berpotongan

3) Sejajar 4) Bersilangan

Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua

bidang) dibedakan atas:

1) Berimpit

2) Sejajar

3) Berpotongan

Ruang Dimensi Tiga7

Bab


41

B. Proyeksi Ruang

Proyeksi ruang meliputi:

1) Proyeksi titik pada garis.

2) Proyeksi titik pada bidang.

3) Proyeksi garis pada bidang.


42

Kelas XI Semester 2


Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive

Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya

Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya

Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah

Menentukan ruang sampel suatu percobaan

Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

A. Statistika

Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika

Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari

suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan

gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan

statistika adalah cara ilmiah yang mem pelajari

pengumpulan, pengaturan, perhitungan, peng-

gambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan

kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan

yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang

rasional.

Penyajian Data Tunggal Penyajian data dapat berupa:

1) Diagram batang, yaitu penyajian data dengan

menggunakan batang-batang berbentuk

persegi panjang dengan lebar batang yang

sama dan dilengkapi dengan skala tertentu

untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data.

2) Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik

dengan menggunakan gambar yang berbentuk

lingkaran, yang dibagi atas juring-juring.

3) Diagram garis, yaitu penyajian data pada

bidang Cartesius dengan menghubungkan

titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x

dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik

berupa garis.

Statistika dan Peluang8

Bab


43

4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang

dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan

daun. Bagian batang memuat angka puluhan,

sedangkan bagian daun memuat angka

satuan.

5) Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam

bentuk kotak garis.

Penyajian Data Berkelompok Apabila data cukup banyak maka data

dikelompokkan dalam beberapa kelompok,

kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk

tabel distribusi frekuensi.

Langkah-langkah membuat tabel distribusi

frekuensi adalah sebagai beriku,.

1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar.

2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi

frekuensi, dengan menggunakan metode

Sturgs:

k = 1 + 3,3 log n

Keterangan: k = banyak kelas n = banyak data

3) Tentukan interval kelas dengan rums:

R

Ik

=

Keterangan: I = interval kelas R = range = jangkauan = data tertinggi – data terendah k = banyak kelas

4) Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah

kelas (Bb).

Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan

atas:

1) Tabel distribusi frekuensi relatif: mempunyai

frekuensi relatif dalam bentuk persentase

(%). Besarnya frekuensi relatif dapat

ditentukan dengan rums:

Frekuensi relatif kelas ke-

frekuensi kelas ke- 100%

banyak data

kk= ×

2) Tabel distribusi frekuensi kumulatif,

merupakan tabel frekuensi yang berisikan

frekuensi kumulatif (frekuensi hasil

akumulasi). Frekuensi kumulatif adalah

frekuensi yang dijumlahkan, yaitu frekuensi

suatu kelas dijumlahkan dengan frekuensi

kelas sebelumnya.

Ukuran Data Statistik a. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi

Sentral)

Ada tiga macam ukuran tendensi sentral,

yaitu:

a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah

seluruh nilai-nilai data dibagi dengan

banyaknya data.

1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak

berkelompok) , rumusnya adlah:

1 2 3 1....

n

in i

xx x x x

xn n

=+ + + += =∑

3) Rata-rata untuk data berkelompok,

rumusnya adlah:

1 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

........

n

i in n i

nn

ii

f xf x f x f x f x

xf f f f f

=

=

+ + + += =+ + + +

∑

∑

5) Rata-rata sesungguhnya, rumusnya

adalah:

10

1

n

i ii

n

ii

f dx x

f

=

=

= +∑

∑


44

7) Rata-rata sesungguhnya dengan mem-

faktorkan interval kelasnya, rumusnya

adalah:

10

1

n

i ii

n

ii

f ux x I

f

=

=

= +

∑

∑ Keterangan:

x (eksbar) = rata-rata data

n = jumlah semua bobot data

0x = rata-rata sementara

fi = bobot untuk nilai-nilai xi

xi = nilai data ke-I

I = interval kelas

faktor intervald

uI

= =

b) Median (Md), yaitu nilai yang terletak di

tengah deretan data setelah diurutkan dari

yang terkecil.

Rumus median untuk data berkelopok:

12

n fkMd Tb I

f

− = + Keterangan: Md = median Tb = tepi bawah kelas fk = frekuensi kumulatif

c) Modus (Mo), yaitu data yang paling sering

muncul atau yang mempunyai frekuensi

terbanyak.

Rumus modus data kelompok adalah

1

1 2

dMo Tb I

d d

= + +

Keterangan: Mo = modus d

1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan

frekuensi kelas sebelumnya d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

b. Ukuran Letak Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan

dalam bentuk fraktil.

Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi

seperangkat data yang telah berurutan menjadi

beberapa bagian yang sama, yaitu:

a) Kuartil, yaitu ukuran letak yang membagi

sekumpulan data tersebut menjadi

4 bagian yang sama. Kuartil terbagi atas:

• Kuartil bawah (Q1), terletak pada data

uruta ke- 14

¼ (n + 1)

• Kuartil tengah (Q2), terletak pada data

uruta ke- 12

½ (n + 1)

• Kuartil atas (Q3), terletak pada data

uruta ke- 34

¾ (n + 1)

Rumus kuartil untuk data berkeompok:

4 j

j

j

Q

j QQ

jn fk

Q Tb If

− = +

Keterangan: Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3)TbQi = tepi bawah kelas yang memuat Qjn = jumlah seluruh frekuensifkQi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas

yang memuat QjfQi = frekuensi kelas yang memuat QjI = lebar atau panjang kelas (interval kelas)

b) Desil, yaitu ukuran letak yang membagi

sekumpulan data menjadi 10 bagian.

Rumus desil untuk data berklompok:

10 j

j

j

D

j DD

jn fk

D Tb If

− = +

Keterangan: Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 9)TbDi = tepi bawah kelas yang memuat Djn = jumlah seluruh frekuensifkDi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas

yang memuat DjfDi = frekuensi kelas yang memuat DjI = lebar atau panjang kelas (interval kelas)


45

d) Persentil, yaitu ukuran letak yang membagi

sekumpulan data menjadi 100 bagian.

Rumus kuartil untuk data berelompok:

4 j

j

j

P

j PP

jn fk

P Tb If

− = +

Keterangan: Pj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 99)TbPi = tepi bawah kelas yang memuat Pjn = jumlah seluruh frekuensifkPi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas

yang memuat PjfPi = frekuensi kelas yang memuat PjI = lebar atau panjang kelas (interval kelas)

c. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi) Ukuran penyebaran data terbagi atas:

a) jangkauan atau range (R),berlaku:

R = Xmaks – Xmin

c) simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata

(SR), rumusny adalah:

1 1

1

atau

n n

i i ii i

n

ii

x x f x xSR SR

n f

= =

=

− −= =

∑ ∑

∑

e) simpangan baku/standar deviasi / deviasi

standar (SD), rumusnya

( )2

1 jika 30

n

ii

x xSD n

n=

−= >

∑

( )2

1 jika 301

n

ii

x xSD n

n=

−= ≤

−

∑

f ) simpangan kuartil atau jangkauan semi

interkuartil (Qd), rumusny adalah:

( )3 1

12dQ Q Q= −

Keterangan: Qd = simpangan kuartil Q3 = simpangan atas Q1 = simpangan bawah

B. Peluang

PermutasiPermutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah

unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.

Rumusny adalah:

Di mana: k ≤ n

Permutasi terbagi atas:

1) Permutasi dengan beberapa objek sama,

berlaku:

a) Banyaknya permutasi dari n objek dengan

r objek sama (r < n) adalah

!

!n r

nP

r=

b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana

ada beberapa objek sama, misalnya ada m1

objek yang sama, ada m2 objek yang sama

serta m3 objek yang sama, dan seterusnya

adalah

1 2 3 ,...., , 1 2 3

!

! ! ! ....n m m m

nP

m m m=

3) Permutasi siklis,berlaku:

Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n –

1)!

KombinasiBanyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis

dengan nCr atau Crn adalah

( )!

! ! n r

nC

r n r=

−

Peluang Suatu Kejadian Peluang (P) merupakan ukuran mengenai

kemungkinan suatu kejadian tertentu akan

terjadi dalam suatu percobaanabilaJika hasil suatu

percobaan yang mungkin itu dihimpun dalam suatu


46

himpunan maka himpunan itu disebut ruang sampel

yang dilambangkan dengan S.

Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E

adalah

( )( )

( ) n E

P En S

=

Keterangan:P(E) = peluang kejadian yang diharapkan suksesn(E) = banyaknya anggota kejadian En(S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya kejadian yang

mungkin terjadi)

Peluang komplemen suatu kejadin berlaku:

P(EC) = 1 – P(E)

Keterangan:P(EC) = peluang komplemen suatu kejadian P(E) = peluang yang diharapkan sukses

Frekuensi HarapanJika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang

kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian

antara berapa kali percobaan dilakukan dengan

peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan

(fh), ditlis dengan:

fh (E) = n × P(E) Keterangan:fh (E) = frekuensi harapan P(E) = peluang kejadian E n = banyak kejadian

Kejadian Majemuk Pada kejadian majeuk berlaku:

1) Peluang kejadian saling asing atau kejadian sling

lepas:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

3) Untuk peluang kejadian sembarang A da B

berlaku:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

5) Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A

tidak memengaruhi kejadian B atau kejadian

B tidak memengaruhi kejadian A, sehinga

berlaku:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 7) Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling

bbas berlaku:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B| A)

Peluang bersyarat P(B| A) artinya peluang

terjadinya B setelah A terjadi.


47

Kelas XI Semester 2


Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu

Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus

Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus

A. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus jumlah dan selisih dua sudut adalah

1) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2) sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

3) cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

4) cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β

5) tan (α + β) = tan tan1 tan tan

α + β− α β

6) tan (α + β) = α + β+ α β

tan tan1 tan tan

B. Sudut Ganda

Rumus untuk sudut ganda

1) sin 2α = 2 sinα cos α

2) cos 2α = cos2 α– sin2 α

3) tan 2α = 2

2tan1 tan

α− α

C.

Penjumlahan dan Pengurangan Sinus,

Kosinus, dan Tangen

1) sin P + sin Q = 2 sin 12

(P + Q) cos 12

(P – Q)

2) sin P – sin Q = 2 cos 12

(P + Q) sin 12

(P – Q)

3) cos P + cos Q = 2 cos 12

(P + Q) cos 12

(P –Q)

4) cos P – cos Q= –2 sin 12

(P + Q) sin 12

(P – Q)

D. Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus perkalian sinus dan kosinus

1) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β) 2) 2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β) 3) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 4) –2 sin α cos β = cos (α + β) – cos (α – β)

Trigonometri9

Bab


48

Kelas XI Semester 1


Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya

Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan

Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi

A. Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dapat dibedakan atas:

1) Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0)

dan berjari-jari r adalah

x2 + y2 = r2

2) Persamaan lingkaran yang berpusat di M(a, b)

dan jari-jari r adalah

(x – a)2 + (y – b) 2 = r2

3) Persamaan umum lingkaran adalah

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

di mana titik pusatnya adalah (–A, –B) dan jari-

jarinya adalah r sehingga

2 2r A B C= + −

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan lingkaran dapat dibedakan atas:

1) Persamaan garis singgung di titik P(x1,y1) pada

lingkaran x2 + y2 = r2 adalah

x1 x + y1 y = r2

2) Persamaan garis singgung di titik P(x1,y1) pada

lingkaran (x – a)2 + (y – b) 2 = r2 adalah

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

3) Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada

lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah

x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

4) Persamaan garis singgung dengan gradien m

terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah

21y mx r m= ± +

5) Persamaan garis singgung dengan gradien m

terhadap lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2

adalah

2( ) ( ) 1y b m x a r m− = − ± +

Lingkaran10

Bab


49

Kelas XI Semester 2


Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah

Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

A. Pengertian Suku Banyak

Suku banyak adalah bentuk aljabar yang mempunyai

lebih dari dua suku. Bentuk umum suku banyak

dalam variabel x berderajat n adalah

f(x) = an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 +…

+ a2 x2 + a1x + a0

berlaku:

• an, an–1, … , a1 = koefisien-koefisien suku banyak

yang merupakan konstanta real

dan an ≠ 0.

• a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real

• n = derajat suku banyak dan n adalah bilangan

cacah

B. Menentukan Nilai Suku Banyak

nilai suku banyak dapat ditentukan dengan dua

cara, yaitu

1) Cara subsitusi, dengan ketentuan

nilai suku banyak f(x) = an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2

+… + a2 x2 + a1x + a0, untuk x = k dan k suatu

bilangan real adalah

f(k) = an kn + an–1 k

n–1 + an–2 kn–2 +…

+ a2 k2 + a1k + a0, a0 ≠ 0

3) Cara bagan atau skema. Cara ini merupakan

dasar untuk melakukan pembagian suku banyak

dengan cara Horner (W.G. Horner 1786–1837).

Misalkan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d maka nilai x

diperoleh dengan cara

x = k a b c d

ak ak2 + bk ak2 + bk2 + ck +

a ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d

= [(ak + b)k + c]k + d

B. Pembagian Suku Banyak

Misalkan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… + a2 k2 +

a1k + a0 dibagi oleh (x – k) maka mendapatkan sisa

H(x) sehingga berlaku

Suku Banyak11

Bab


50

f(x) = (x – k) . H(x) + S

Keterangan:f(x) = suku banyak H(x) = hasil bagi(x – k) = pembagi S = sisa

Misalkan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… + a2

k2 + a1k + a0 dibagi oleh bentuk kuadrat (ax2 + bx +

c; a ≠ 0) maka berlaku

f(x) = (ax2 + bx + c) · H(x) + (px + q)

D. Teorema Sisa

Sisa pembagian dapat ditentukan dengan

menggunakan teorema berikut,

1) Teorema 1: Sukubanyak f(x) berderajat n dibagi

(x – k) maka sisanya S = f(k).

2) Teorema 2: Suku banyak P(x) yang berderajat

n dibagi dengan (ax+b) maka sisanya adalah P

ba

− .

3) Teorema 3: Sukubanyak f(x) berderajat n dibagi

(x – a)(x – b) maka sisanya

( ) ( )

x a x bS f b f a

b a a b− − = + − −


51

Kelas XI Semester 2


Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi

Menentukan invers suatu fungsi

A. Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi g dan f berlaku

( ( )) ( ( ))( ( )) ( ( ))f g x f g xg f x g f x

==

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers12

Bab

B. Fungsi Invers

Rumus untuk invers fungsi komposisi dari

1 1 1

1 1 1

( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))

f g x g f x

g f x f g x

− − −

− − −

==


52

Kelas XI Semester 2


Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

A. Limit Fungsi Aljabar

Limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada

suatu bilangan real, dinotasikan dengan

lim ( )x a

f x L→

=

Dibaca: “limit fungsi f(x) pada saat x mendekati

a sama dengan L”.

nilai lim ( )x a

f x L→

= diperoleh dengan mensub-

stitusikan x = a ke bentuk f(x) yang tidak mendapatkan 00

. Jika mendapatkan 00

maka f(x) diubah

sedemikian sehingga tidak menghasilkan 00

.

Pada limit fungsi aljabar di suatu titik berlaku

1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

+ = +

2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

− = −

3) ( )0

lim ( ) . ( )x x

f x g x→

= 0 0

lim ( ). lim ( )x x x x

f x g x→ →

4) lim ( ) lim ( ) ; konstantax a x a

k f x k f x k→ →

= =

5) [ ]lim ( ) lim ( ) ; bilangan bulatn

n

x a x af x f x n

→ → = =

6) 0 0

0

1 1lim , jika lim ( ) 0

( ) lim ( )x x x xx x

g xg x g x→ →

→

= ≠

7) 0

0 0

0

lim ( )( )lim , jika lim ( ) 0

( ) lim ( )x x

x x x xx x

f xf xg x

g x g x→

→ →→

= ≠

8) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0n nx a x a x a

f x f x f x→ → →

= ≥

;

B. Limit Fungsi Trigonometri

Pada limit fungsi trigonometri berlaku

1) 0

sinlim 1x

xx→

=

2) 0

coslim 1

x x

xx→

=

3) 0

tanlim 1x

xx→

=

4) 0

sinlim 1x

axax→

=

5) 0

lim 1sinx

axax→

=

6) 0

coslim 1x

axax→

=

7) 0

lim 1cosx

axax→

=

Limit Fungsi13

Bab


53

Kelas XI Semester 2


Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

A. Konsep Turunan

Apabila fungsi f (x) mempunyai turunan untuk setiap

x anggota domain D, dengan D ∈ R (bilangan real)

maka diperoleh turunan fungsi dari f (x) yaitu f ‘(x)

yang dirumuska:

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −= notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitu dfdx

. Misalkan y = f (x) maka turunan fungsi tersebut

berlak:

' '( )dy

y f xdx

= = (notasi Leibnitz)

B. Rumus Menentukan Turunan Fungsi

Rumus untuk menentukan turunan fungsi adala:

1) f(x) = xn ⇒ f ’(x) = nxn – 1

2) f(x) = axn ⇒ f ’(x) = naxn – 1

3) f(x) = C . u ⇒ f ‘ (x) = Cu’, dengan C

adalah konstanta

4) f(x) = u + v ⇒ f ‘(x) = u’ + v’

5) f(x) = u – v ⇒ f ‘(x) = u’ – v’

6) f(x) = u . v ⇒ f ‘(x) = u’v + uv’

7) f(x) = 2

' ''( )

u u v uvf x

v v−⇒ =

8) f(x) = sin x ⇒ f ‘(x) = cos x

9) f(x) = cos x ⇒ f ‘ x) = –sin x

10) f(x) = tan x ⇒ 22

1'( ) sec

cosf x x

x= =

Turunan Fungsi14

Bab


54

Aturan rantai untuk turunan fungs:

untua y = f(x) = g(h(x)), dengan t = h(x) maka

'( ) .

dy dy dtf x

dx dt dx= =

C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Gradien garis singgung kurva adalah

m = tan α = 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −=


55

Kelas XII Semester 2


Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

A. Pengertian Integral

Integral suatu fungsi merupakan antiturunan

(antidiferensial) dari fungsi tersebut. Integral

disimbolkan dengan ”∫”, sehingga integral dari fungsi

f(x) terhadap peubah x dapat dituliskan dengan

( )f x dx∫

Keterangan:∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)f(x) = fungsi integranx = variabel integrasi

B. Integral Tak Tentu

Bentuk umum dari integral tak tentu dari fungsi f(x)

terhadap x adalah

( ) ( )f x dx F x C= +∫

Keterangan:f(x) = fungsi integran x = variabel integrasiF(x) = fungsi integral umum yang bersifat F (x) = f(x) C = konstanta

Pada integral tak tentu berlaku

a. 11, 1

1nnx dx x C n

n+= + ≠ −

+∫

b. ,1 1

1nn a

ax dx x C nn

+= + ≠ −+∫

c. ( ) ( ) k f x dx k f x dx=∫ ∫

d. ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

e. ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫f. Aturan integral subsitusi

( ) ( ) 11

( ) ( ) ( ) ; 11

r ru x u x dx u x C rr

+= + ≠′+∫

h. Aturan integral parsial

u dv uv v du= −∫ ∫

Integral15

Bab


56

j. Aturan integral trigonometri

sin cos x dx x C= − +∫

cos sin x dx x C= +∫

2

1 tan

cosdx x C

x= +∫

C. Integral Tertentu

Bentuk umum dari integral tentu dari fungsi f(x)

terhadap x dari x = a sampai dengan x = b adalah

[ ]( ) = ( ) ( ) ( )b

b

aa

f x dx F x F b F a= −∫

Pada integral tertentu berlaku

a. ( ) ( ) b b

a a

k f x dx k f x dx=∫ ∫

b. ( ) 0a

a

f x dx =∫

c. ( ) ( ) b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

d. ( )d. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

e. ( )e. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

f. f. ( ) ( ) ( ) c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

D. Menentukan Luas Daerah

Rumus menentukan luas daerah dengan mengguna-

kan integral

1) Rumus menentukan luas daerah di atas sumbu x

( ) b

a

L f x dx= ∫

2) Rumus menentukan luas daerah di bawah

sumbu x

( ) ( ) b a

a b

L f x dx f x dx= − =∫ ∫

3) Rumus menentukan luas daerah yang dibatasi

kurva f(x) dan sumbu x

( ) ( ) b c

a b

L f x dx f x dx= −∫ ∫


dua kurva

( )( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a a

L f x dx g x dx f x g x dx= − = −∫ ∫ ∫

5) Rumus menentukan luas daerah di sebelah

kanan sumbu y

( ) d

c

L g y dy= ∫

6) Rumus menentukan luas daerah di sebelah kiri

sumbu y

( ) ( ) d c

c d

L g y dy g y dy= − =∫ ∫


kurva g(y) dan sumbu y

( ) ( ) e d

c e

L g y dy g y dy= − +∫ ∫

E. Menentukan Volume Benda Putar

Rumus untuk menentukan volume benda putar

1) Menentukan volume benda putar yang diputar

mengelilingi sumbu x

( )2( )

b

a

V f x dxπ= ∫


57

2) Menentukan volume benda putar yang diputar

mengelilingi sumbu y

( )2( )

b

a

V f y dyπ= ∫

3) Menentukan volume benda putar yang dibatasi

oleh kurva f(x) dan g(x) jika diputar mengelilingi

sumbu x

( ) ( )( )2 2( ) ( )

b

a

V f x g x dxπ= −∫

4) Menentukan volume benda putar yang dibatasi

oleh kurva f(y) dan g(y) jika diputar mengelilingi

sumbu y

( ) ( )( )2 2( ) ( )

b

a

V f y g y dy= π −∫


58



Menyelesaikan masalah program linear

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Merancang model matematika dari masalah program linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

A.Sistem Pertidaksamaan Linear Dua

Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri

dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua

variabel.

Contohnya: 2x + y < 5

Langkah-langkah menentukan penyele saian suatu

pertidaksamaan linear dua variabel yaitu:

1) Gambar lah garis lurus dengan mengubah tanda

pertidaksamaan menjadi tanda persamaan.

Garis lurus ini akan membagi bidang koordinat

menjadi 2 daerah bagian.

2) Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan

dengan cara mengujinya dan memilih

sebuah titik. Himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan linear disebut juga daerah

penyelesaian. Sedangkan daerah penyelesaian

sistem pertidak samaan linear merupakan irisan

dari setiap daerah penyelesaian persamaan

linear yang menyusunnya.

B.Model Matematika dari Masalah

Program Linear

Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk

menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa

matematika dengan menggunakan persamaan,

pertidaksamaan, atau fungsi.

C Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Fungsi objektif disebut juga fungsi tujuan.

Fungsi objektif dari suatu masalah program linear

adalah fungsi yang akan dioptimalkan (maksimum

atau minimum). Bentuk umum fungsi objektif:

Untuk menentukan nilai optimum fungsi

objektif ini, dapat digunakan dua metode, yaitu:

1) Metode uji titik pojok atau titik sudut

2) Metode garis selidik

Program Linear16

Bab


59



Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah

Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

A. Pengertian Matriks

Bentuk umum matriks adalah

Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh

banyaknya baris dan banyaknya kolom.

Contoh:

2 2

2 berordo 2 2, ditulis:

1P P ×

= → ×

Transpos Matriks Cara mengubah sebuah matriks menjadi matriks

transpose

Ta b a cA A

c d b d

= ⇒ =

B. Operasi Hitung pada Matriks

Penjumlahan antarmatriks dapat dilakukan jika

keduanya memiliki ordo yang sama. Pola umum

penjumlahan dua matriks

Misal: dan makaa b e f

A Bc d g h

a b e f a e b fA B

c d g h c g d h

= =

+ + + = + = + +

Matriks17

Bab


60

Pengurangan matriks A dan B berarti pen-

jumlahan matriks A dengan matriks lawan B.

A – B = A + (–B)

Pada perkalian matriks dengan bilangan real

(skalar) berlaku

ka kb

kAkc kd

=

Pada perkalian dua matriks berlaku

Am×p × Bp×n = Cm×n

Misal: dan makaa b e f

A Bc d g h

a b e f ae bg af bhA B

c d g h ce dg cf dh

= =

+ + × = = + +

C. Determinan dan Invers Matriks

Determinan dari matriks persegi A dinotasikan

dengan |A|.

( ) ( )

Misal:

1)

maka determinan A adalah

2)

a bA

c d

a bA ad bc

c d

a b cB d e f

g h i

a b c a bB d e f d e

g h i g h

aei bfg cdh ceg afh bdi

=

= = −

=

=

= + + − + +

Invers matriks a b

Ac d

=

berordo 2 × 2 adalah

1 1

1= ; 0

d bA

c aA

d bA

c aad bc

− − = −

− ≠ −−


61




Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah

A. Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar

dan arah. secara geometri, suatu vektor disajikan

dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah

menyatakan panjang atau besar vektor, sedangkan

arah panah menunjukkan arah vektor.

Beberapa cara penulisan vektor, yaitu sebagai

beriku.

1) Sebuah huruf kecil dan anak panah di atasnya,

misalnya

a .

2) Sebuah huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya

a.

3) Sebuah huruf kecil yang diberi topi, misalnya

a

4) Dua buah huruf kapital dan garis di atasnya,

misalnya

AB .

Vektor satuan

adalah vektor yang

arahnya searah

dengan vektor a dan

panjangnya sama dengan satu satuan, ditulis:

1

2 211 1

1vektor satuan

xyx y

= +

=a

a a

Vektor a pada bidang cartesius (R2) dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor ˆ ˆ dan i j dalam bentu:

1 1ˆ ˆ + x i y j=a (dinamakan vektor basis)

B. Operasi Hitung Vektor

Penjumlahan VektorAturan penjumlahan dan pengurangan vektor

adalah sebagai berikut.

Untuk a dan b vektor-vektor di R2 (bidang

Cartesius), berlaku:

a + b = 1 1 1 1

2 2 2 2

a b a ba b a b

+ + = +

a – b = 1 1 1 1

2 2 2 2

a b a ba b a b

− − = −

Vektor18

Bab


62

Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat

dituliskan

a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)

a – b = (a1, a2) – (b1, b2) = (a1 – b1, a2 – b2)

Sifat-Sifat Operasi Hitung pada VektorJika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan

k serta l skalar tak nol maka berlaku hubungan

berikut.

1. a + b = b + a

2. (a + b) + c = a + (b + c)

3. a + o = o + a = a

4. a + (–a) = o

5. k(la) = (kl)a6. k(a + b) = ka + kb7. (k + l)a = ka + la8. 1a = a5. k(la) = (kl)a

C. Perbandingan Vektor

Misalkan vektor posisi n dalam

vektor posisi titik P dan Q

maka berlaku:

n = m nm n

++

s r

D.

Perkalian Skala Dua Vektor dan Proyeksi

Vektor

Perkalian Skalar Dua VektorPerkalian skalar vektor a dan b didefinisikan oleh

a . b = |a| |b| cos α atau a . b = x1 x2 + y1 y2 (di R2)

a . b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 (di R3)

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor:1) a . b = b . a 2) a . (b + c) =a . b + a . c 3) k(a . b) = (ka) . b = a . (kb)

4) a . a = |a|2

Proyeksi VektorProyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b adalah

= a . bc

b

Vektor proyeksi vektor a pada vektor b adalah

2 . = a . bc b

b


63




Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah

Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

A. Translasi

Translasi atau pergeseran adalah perpindahan titik-

titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.

Pada translasi berlau:

1. Suatu translasi T yang dinyatakan dengan

komponen akan memetakan titik A(x1, y1) ke

titik A’(x1 + a, y1 +b) yang dinotasikan dengn:

( ) ( )1

1 1 1 1, , a

TbA x y A x a y b

= → + +′

3. Jika bayangan yang diperoleh A’(x1 + a, y1 +b)

ditranslasikan dengan m

maka

( ) ( )2

1 1 1 1, , T

mA x y A x a y b m

= → + + + +′′

4. Jadi, jika titik A(x1, y1) ditranslasikan dengan T1

dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan

bayangan A”(x1 + a + , y1 + b + m) maka dapat

dinotasikn:

( ) ( )2 1

1 1 1 1, , a

T Tb mA x y A x a y b m

+ = + → + + + +′′

B. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi

yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan

sifat bayangan cermin.

Pada percerminan berlaku:

1. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-x

menghasilkan bayangan titik B(a’, b’) dengan

a’= a dan b’= –b.

( ) ( )sumbu-x, ,A a b B a b→ −

Transformasi Geometri

19 Bab


64

2. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-y

menghasilkan bayangan titik C(a’, b’) dengan

a’= –a dan b’= b.

( ) ( )sumbu-y, ,A a b C a b→ −

3. bBayangan yang diperoleh A’(x1 + a, y1 +b)

ditranslasikan dengan m

maka

( ) ( )2

1 1 1 1, , T

mA x y A x a y b m

= → + + + +′′

C. Rotasi

Rumus rotasi sebesar α dengan pusat titik O(0, 0)

adalah

cos sin

a aA

b bαα

′ = =′ ′

Rumus rotasi sebesar α dengan pusat titik P(m, n)

adalah

cos sin

sin cos a a m m

Ab b n n

α αα α

− −′ = = +′ −′

D. Dilatasi

Dilatasi merupakan suatu transformasi yang

mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil)

suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk

bangun.

Pada dilatasi berlau:

• Titik P(a,b) didilatasi terhadap pusat O(0,

0) dengan faktor skala k menghasilkan titik

P’ (ka, kb).

( ) [ ] ( ),, , O kP a b P ka kb→ ′

• TitikP(a,b) didilatasi terhadap pusat F(m, n)

dengan faktor skala k menghasilkan titik P’ (k

(a – m) + m, k (b – n) + n).

( ) [ ] ( ) ( )( )( , ), , , F m n kP a b P k a m m k b n n→ − + − +′


65



Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri

Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya

A. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan AritmetikaBarisan aritmetika adalah suatu barisan dengan

selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu

tetap.

Bentuk umum barisan aritmetika adalah

U1, U2, U3, ...,Un atau

a, (a + b), (a + 2b), . . ., (a + (n – 1)b)

Beda (b) = Un – Un – 1

Suku ke-n barisan aritmetika adalah

Un = a + (n – 1)b

Keterangan:Un = suku ke-n a = suku pertamab = beda n = banyaknya suku

Deret AritmetikaDeret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari

barisan aritmetika.

Bentuk umum deret aritmetika adalah

U1 + U2 + U3+ ...+ Un atau

a + (a + b) + (a + 2b) + . . . + (a + (n – 1)b)

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika

adalah

Sn = [ ]2 ( 1)2n

a n b+ − atau Sn = [ ]2 n

na U+

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

20 Bab


66

Keterangan:Sn = jumlah suku ke-n Un = suku ke-na = suku pertama b = bedan = banyaknya suku

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan GeometriBarisan geometri adalah suatu barisan dengan

pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan

selalu tetap.

Bentuk umum barisan geometri adalah

U1, U2, U3, ...,Un atau a, ar, ar2, …, arn – 1

Rasio (r) = 1

n

n

UU −

Suku ke-n barisan geometri adalah

Un = arn – 1

Keterangan:Un = suku ke-n a = suku pertamar = rasio n = banyaknya suku

Deret GeometriDeret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan

geometri.

Bentuk umum deret geometri adalah

U1 + U2 + U3+ ...+ Un atau

a + ar + ar2 + … + arn – 1

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika

adalah

Sn = ( )1

; 11

na rr

r

−<

−

Keterangan:Sn = jumlah suku ke-n a = suku pertamar = rasio n = banyaknya suku

Deret Geometri Tak TerhinggaDeret geometri tak hingga adalah deret geometri

dengan |r| < 1. Jumlah S dari deret geometri tak

hingga adalah

1

aS

r∞ =−

C. Notasi Sigma

notasi sigma yang dilambangkan dengan ”Σ” adalah

sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan.

notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan

penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku

yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku

suatu deret.

Sifat-sifat notasi sigma:

1) 1 2 31

+ + +...+ n

k nk

a a a a a=

=∑

2) ( ) = n n n

k k k kk m k m k m

a b a b= = =

± ±∑ ∑ ∑

3) 1 1

=cn n

k kk k

c a a= =

∑ ∑

4) ( ) = c c n n n

k k k kk m k m k m

ca cb a b= = =

± ±∑ ∑ ∑

5) n pn

k kk m k m p

a a p+

= = +

= −∑ ∑

6) 1

p n n

k k kk m k p k m

a a a−

= = =± =∑ ∑ ∑

7) 1

0m

kk m

a−

=

=∑


67



Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma

Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

A. Fungsi Eksponen

Persamaan EksponenPersamaan eksponen adalah persamaan

yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat

variabel.

Beberapa bentuk persamaan eksponen, di

antaranya:

1) Bentuk af(x) = am, a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = m.

2) Bentuk af(x) = ag(x), a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) =

g(x).

3) Bentuk af(x) = bf(x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, dan a

≠ b, maka f(x) = 0.

4) Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x), maka penyelesaiannya

adalah sebagai berikut

• g(x) = h(x)

• f(x) = 1

• f(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya

positif

• f(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya

genap atau keduanya ganjil

Pertidaksamaan EksponenSifat-sifat yang digunakan untuk menyelesaikan

pertidaksamaan eksponen, antara lain:

1) Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi

naik. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1 <

x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).

2) Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi

turun. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1

< x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).

B. Fungsi Logaritma

Persamaan LogaritmaPersamaan logaritma adalah persamaan yang

variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan

pokok dari suatu logaritma.

Beberapa bentuk persamaan eksponen, di

antaranya:

Fungsi Eksponen dan Logaritma21

Bab


68

1) Bentuk alog f(x) = alog m, f(x) > 0, maka

f(x) = m.

2) Bentuk alog f(x) = blog f(x), a ≠ b, maka f(x) = 1.

3) Bentuk alog f(x) = alog g(x), a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0,

dan g(x) > 0 maka f(x) = g(x) .

4) Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x), f(x) > 0, g(x) > 0,

h(x) > 0 maka f(x) ≠ 1 maka g(x) = h(x) .

Pertidaksamaan LogaritmaSifat-sifat yang digunakan untuk menyelesaikan

pertidaksamaan eksponen, antara lain:

1) Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi

naik. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku

x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).

2) Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan

fungsi turun. Artinya, untuk setiap x1, x2 ∈ R

berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).


Ringkasan materi matematika

Education

Transcript of Ringkasan materi matematika