1. MODEL TRANSPORTASI

1.1 Metode Transportasi

Metode Transportasi yaitu suatu metode yang digunakan untuk mengatur

distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-

tempat yang membutuhkan secara optimal

1.2 Solusi Awal Transportasi

a. Metode North–West Corner

b. Metode Least–Cost

c. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

Contoh Soal :

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

a. Metode Nort-West Corner

- Mulai dari sudut kiri atas dari X11 dialokasikan sejumlah maksimum

produk dengan melihat kapasitas pabrik dan kebutuhan gudang

- Hilangkan baris atau kolom yang tidak dpt dialokasikan lagi, lalu

alokasikan sebanyak mungkin didekat baris/kolom yg tidak dihilangkan,

jika kolom dan baris sdh dihabiskan, pindahkan secara diagonal kekotak

berikutnya.

- Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua kebutuhan telah

terpenuhi

Solusi terhadap contoh soal :

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

100

200 100

100 200

Total Cost = 100(5) + 200(8) + 100(4) + 100(7) + 200(5) = $ 4,200

m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5, lihat kotak yang terisi apakah sama dengan 5,

apabila sama dengan 5 maka dapat dilanjutkan pada solusi akhir

b. Metode Least-Cost

- Pilih Variabel Xij (kotak) dengan biaya transport (Cij) terkecil dan

alokasikan sebanyak mungkin. Ini akan menghabiskan baris i atau kolom

j.

- Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau

dihilangkan) pilih Cij terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin

- Lanjutkan proses ini sampai semua kebutuhan terpenuhi.

Solusi terhadap contoh soal :

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

100

100200

300

- -

-

- -

Total Cost = 100(3) + 200(4) + 100(3) + 300(9) = $ 4,100

m + n – 1 = 5, ternyata jumlah kotak yang terisi hanya 4 berarti ini kurang

dari 5, maka masukan nilai 0 pada salah satu kotak yang kosong

c. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

- Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom.

- Opportunity cost untuk setiap baris ke-i dihitung dengan mengurangkan

nilai cij terkecil pada baris tersebut dengan nilai cij satu tingkat lebih besar

pada baris yang sama.

Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang sama. Biaya-biaya ini

adalah pinalti karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum. Hitung

opportunity cost untuk setiap baris dan kolom.

Opportunity cost untuk setiap baris ke-i dihitung dengan mengurangkan

nilai cij terkecil pada baris tersebut dengan nilai cij satu tingkat lebih besar

pada baris yang sama.

Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang sama. Biaya-biaya ini

adalah pinalti karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum.

- Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai

kembar, pilih secara sembarang. Alokasikan sebanyak mungkin kekotak

dengan nilai cij minimum pada baris atau kolom yang dipilih.

- Hilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan

telah dihabiskan.

- Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali

kelangkah pertama dan hitung kembali opportunity cost yang baru.

Solusi terhadap contoh soal :

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

100

200

100200

100

Opportunity Cost/Baris

Penalthy

Opportunity Cos/ Kolom

Penalthy

1

1

2

1

2

5

4

3

1

1

0

3

0

2

2

Total Cost = 100(5) + 200(9) + 200(4) + 100(3) + 100(5) = $ 3,900

m + n – 1 = 5, terlihat pada tabel terdapat 5 kotak yang terisi, maka dapat

dilanjutkan pada solusi akhir

d. Metode MODI (Modified Distribution)Formulasi :

Ri + Kj = Cij

Ri = nilai baris i

Kj = nilai kolom j

Cij= biaya pengangkutan dari sumber i ke tujuan j

Langkah Penyelesaian

- Isilah tabel pertama dari sudut kiri atas ke kanan bawah

- Menentukan nilai baris dan kolom dengan cara:

1. Baris pertama selalu diberi nilai 0

2. Nilai baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan

rumus Ri + Kj = Cij.

Nilai baris W = RW = 0

Mencari nilai kolom A:

RW + KA = CWA

0 + KA = 20, nilai kolom A = KA = 20

Mencari nilai kolom dan baris yg lain:

RW + KB = CWB; 0 + KB = 5; KB = 5

RH + KB = CHB; RH + 5 = 20; RH = 15

RP + KB = CPB; RP + 5 = 10; RP = 5

RP + KC = CPC; 5 + KC = 19; KC = 14

Solusi terhadap contoh soal :

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

100

200 100

100 200

R1 + K1 = C11 = 5

R2 + K1 = C21 = 8

R2 + K2 = C22 = 4

R3 + K2 = C32 = 7

R3 + K3 = C33 = 5

Misalkan R1 = 0 maka diperoleh R2 = 3 , R3 = 6 , K1 = 5 , K2 = 1 , K3 = -1

IDB = C12 – R1 – K2 = 4 – 0 – 1 = 3

IDC = C13 – R1 – K3 = 3 – 0 –(-1) = 4

IEC = C23 – R2 – K3 = 3 – 3 –(-1) = 1

IFA = C31 – R3 – K1 = 9 – 6 – 5 = -2

Masih terdapat nilai yang (-) pada IFA

* (+)100 (-)

100 (+) 200 (-)

100*

200 100

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

100

200

100200

100

R1 + K1 = C11 = 5

R2 + K1 = C21 = 8

R3 + K1 = C31 = 9

R2 + K2 = C22 = 4

R3 + K3 = C33 = 5

Misalkan R1 = 0 maka diperoleh R2 = 3 , R3 = 4 , K1 = 5 , K2 = 1 , K3 = 1

IDB = C12 – R1 – K2 = 4 – 0 – 1 = 3

IDC = C13 – R1 – K3 = 3 – 0 –1 = 2

IEC = C23 – R2 – K3 = 3 – 3 –1 = -1

IFB = C32 – R3 – K2 = 7 – 4 – 1 = 2

Masih terdapat nilai yang (-) pada IEC

* (+)100 (-)

100 (+) 200 (-)

100*

200 100

A B C

D

E

Dari

Ke

Supply

Demand

F

5 4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300

300 200 200 700

100

200

100200

100

R1 + K1 = C11 = 5

R2 + K2 = C22 = 4

R2 + K3 = C23 = 3

R3 + K1 = C31 = 9

R3 + K3 = C33 = 5

Misalkan R1 = 0 maka diperoleh R2 = 2 , R3 = 4 , K1 = 5 , K2 = 2 , K3 = 1

IDB = C12 – R1 – K2 = 4 – 0 – 2 = 2

IDC = C13 – R1 – K3 = 3 – 0 –1 = 2

IEA = C21 – R2 – K1 = 8 – 2 – 5 = 1

IFB = C32 – R3 – K2 = 7 – 4 – 2 = 1

Hasilnya telah optimum dengan

TC = 100(5) + 200(4) + 100(3) + 200(9) + 100(5) = $ 3,900

2. MODEL PENUGASAN

2.1 Masalah Penugasan

Salah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah Metode Hungarian.

Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama

persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber harus

ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi, masalah penugasan akan mencakup

sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! (n faktorial)

kemungkinan. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah dalam bentuk matriks

segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan

kolomkolomnya menunjukkan tugas-tugas.

2.2 Masalah Minimisasi

2.3 Masalah Maksimisasi

3. MODEL ARUS JARINGAN

3.1 Definisi Jaringan

Sebuah Network (jaringan) terdiri dari sejumlah node-node yang dihubungkan

oleh arcs. Notasi untuk menggambarkan sebuah jaringan adalah (N,A) dimana N

adalah set node-node dan A adalah set arc-arc

Contoh :

N = {1, 2, 3}

A = {(1,2), (2,3)}

3.2 Minimum Spanning Tree

Apabila G suatu graf berbobot (suatu network), maka minimum Spanning Tree

dari G adalah Spanning Tree dengan jumlah bobot terkecil

Dalam aplikasinya problem ini misalnya :

- Hendak direntangkan jaringan kabel listrik yang menghubungkan

sejumlah lokasi dengan panjang kabel yang digunakan sependek-pendek

mungkin

- Melihat pengelompokan data tersebar pada suatu ruang

- Perencanaan jaringan transportasi/distribusi barang

Untuk mendapatkan Minimum Spanning Tree, dapat digunakan algoritma :

1. Algoritma Solin

2. Algoritma Kruskal

Contoh penerapan :

Gambar : Graf ‘FH’

Kita akan mencari MST (minimum spaning tree) dengan menggunakan

Algoritma Solin dan Kruskal untuk Graf ‘FH’ diatas.

1. Penyeselaian dengan algoritma Solin :

Suatu Graph ‘FH’, seperti gambar di atas. Ini adalah graf berbobot awal.

Graf ini bukan pohon karena ada sirkuit. Nama yang lebih tepat untuk

diagram ini adalah Graf atau Network. Angka-angka dekat garis

penghubung/ruas adalah bobotnya. Nilai bobot dari Graf tesebut adalah :

167

a. Urutkan Ruas Graf (FH) menurut bobotnya dari bobot yang terbesar

sampai bobot yang terkecil.

b.

b. Lakukan penghapusan masing-masing ruas yang tidak menyebabkan graf

menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Kita mulai melakukan

tahapan penghapusan dengan ruas dengan nilai bobot terbesar sampai

bobot terkecil :

Bobot Ruas Bobot Ruas 20 BC 9 EG 18 AB 8 CE,DG 15 GH 7 BD,BG,CH 13 GI 6 BE 12 EH 5 FH 11 CF,HI10 AC

Gambar 1 Gambar 2

Gambar 3 Gambar 4

Gambar 5 Gambar 6

Gambar 7 Gambar 8

Gambar 1.

1. Bobot 20 → B,C

Ruas B,C tidak dihapus karena ruas tersebut menghubungkan B dan C.

Gambar 2.

2. Bobot 18 → A,B

Ruas A,B tidak dihapus karena ruas tersebut membuat graf

terbuhubung.

Gambar 3.

3. Bobot 15 → G,H

Ruas G,H tidak dihapus karena ruas tersebut menghubungkan G dan H,

dan tidak membentuk sircuit

Gambar 4.

4. Bobot 13 → G,I

Ruas G,I tidak dihapus karena ruas tersebut membuat graf terhubung.

Gambar 5.

5. Bobot 12 → E,H

Ruas E,H tidak dihapus karena ruas tersebut membuat graf terhubung.

Gambar 6.

6. Bobot 11 → C,F dan H,I

Ruas C,F tidak dihapus, sedangkan ruas H,I dihapus karena membentuk

sircuit (G,I,H,I)

Gambar 7.

Bobot 10 → A,C &

Bobot 9 → E,G

dihapus karena ruas A,C & ruas E,G membentuk sircuit (BA, AC) dan

(EH, GE)

Bobot 8 → C,E D,G tidak dihapus karena ruas tersebut

menghubungkan graf

Gambar 8.

Bobot 7 → BD, BG, CH

Ruas-ruas tersebut dihapus karena membentuk sircuit

BD: (D,G,H,E,C,B,D)

BG : (G,H,E,C,B,G)

CH : (CE, HC)

Bobot 6 → B,E

Dihapus karena membentuk sircuit (CE, BE)

Bobot 5 → F,H

Dihapus karena membentuk sircuit (C,E,H, F,C)

Tahap Penghapusan Selesai, Gambar 9 adalah Minimun Spanning Tree

dari Graf ‘FH’ dengan Nilai Bobot : Σ’FH’= 20+18+15+13+12+11+8+8 =

105

2. ALgoritma Kruskal

Pengurutan di lakukan dari bobot terkecil ke besar, dan eksekusi di

lakukan dari bobot terkecil. Dengan Graph yang sama, kita akan mencari

Minimun Spanning Tree dengan algoritma Kruskal.

a. Mula-mula kita buat Graf ‘FH’ hanya terdiri dari Simpul saja.

Graf “FH”

b. Urutkan Ruas dari bobot kecil ke besar (FH, BE, BD,BG,CH, CE,DG,

EG, AC, CF, HI, EH, GI, GH, AB. BC), kemudian berdasarkan urutan

tersebut, kita menambahkan ruas dengan mencegah terbentuknya

sirkuit.

Bobot Ruas Bobot Ruas 5 FH 12 EH6 BE 13 GI7 BD, BG, CH 15 GH8 CE, DG 18 AB9 EG 20 BC10 AC11 CF, HI

Gambar 1: Penambahan ruas FH Gambar 2: Penambahan ruas BE

Gambar 3: Penambahan Ruas BD, BG, CH Gambar 4: Penambahan Ruas CE,

sedangkan pada ruas DG tidak dilakukan karena membentuk sircui

Gambar 5: Penambahan Ruas EG tidak Gambar 6: Penambahan Ruas AC dilakukan karena membentuk sircuit

Gambar 7: Penambahan Ruas HI, Gambar 8: Ruas EH tidak dilakukan karenasedangkan pada ruas CF tidak dilakukan membentuk sircuitkarena membentuk sircuit

Gambar 9: Ruas GI tidak dilakukan Gambar 10: Ruas GH tidak

karena membentuk sircuit dilakukan karena membentuk sircuit

Gambar11: Ruas AB tidak dilakukan karena Gambar12: Ruas BC tidak dilakukan karena membentuk sircuit membentuk sircuit

Gambar 13. Selesai MTS Nilai Graf ‘FH’ dengan nilai bobot = 61

Σ’FH’= 5+6+7+7+7+8+10+11 = 61

4. ALGORITMA DIJKSTRA

4.1 Mengenai Algoritma Dijkstra Algoritma Dijkstra adalah sebuah algoritma yang dikembangkan oleh seorang

ilmuwan komputer dari Belanda , Edsger Dijkstra. Algoritma ini adalah sebuah

algoritma yang menyelesaikan pencarian jalur terpendek pada graf dengan nilai

non negatif untuk bobot setiap simpul,menghasilkan pohon jalur terpendek.

Penjelasan mengenai algoritma Dijkstra adalah :

1. Tetapkan nilai jarak pada setiap simpul. Tetapkan 0 untuk simpul awal dan tak

terbatas pada semua simpul yang lain

2. Tandai semua simpul sebagai belum dikunjungi. Tetapkan simpul sekarang

sebagai simpul awal

3. Untuk simpul sekarang, anggap semua tetangga yang belum dikunjungi dan

hitung jarak terhadap simpul sekarang. Jika jarak sekarang lebih kecil dari

jarak yang sebelumnya direkam, timpa nilainya.

4. Ketika kita selesai menghitung tetangga dari simpul sekarang,tandai sebagai

telah dikunjungi. Jaraknya disimpan dan dinyatakan minimal.

5. Jika semua simpul telah dikunjungi, nyatakan sebagai selesai. Jika tidak,

nyatakan simpul yang belum dikunjungi dengan jarak terkecil sebagai simpul

sekarang dan ulangi langkah 3.

Algoritma Dijkstra adalah algoritma yang dikhususkan untuk pencarian jalan

terbaik dalam sebuah graf.

4.2 Penyelesaian dengan Algoritma Dijkstra

Gambar 1. Sebuah graf yang memiliki keterkaitan antara yang satu dengan

yang lain

Permasalahannya adalah : bagaimana mencari rute untuk menghasilkan

jalur terpendek dari titik awal O ke titik akhir T ?

a. Pertama-tama, labelkan nilai simpul O dengan angka 0, seperti gambar

berikut:

Gambar 2. Langkah pertama dalam algoritma Dijkstra

b. Lalu, identifikasi simpul-simpul mana yang belum dikunjungi, tapi terhubung

dengan simpul awal, yaitu simpul O. Pada gambar, terlihat bahwa tetangga

dari O adalah simpul A , B , dan C. Untuk setiap simpul yang memenuhi

kriteria tersebut (simpul A,B, dan C), hitung jarak kandidat tersebut. Jarak

kandidat = jarak menuju simpul + panjang sisi. Pilih simpul dengan bobot

paling kecil.

Gambar 3. Pemilihan simpul dengan bobot terkecil

c. Dari gambar 3, dapat diambil kesimpulan bahwa simpul A memiliki bobot

minimum. Karena itu , tandai simpul A menjadi sudah dikunjungi dan

labelkan dengan jarak kandidat.Tambahkan sudut ke kumpulan sudut.

Gambar 4. Pemilihan simpul terpendek

d. Identifikasi semua simpul yang belum teridentifikasi yang terhubung dengan

sebuah simpul yang telah dikunjungi.Hitung semua jarak kandidat dari setiap

sudut yang berhubungan.

Gambar 5. Pemilihan nilai minimum dari simpul-simpul yang belum

dikunjungi

e. Terdapat 2 nilai yang sama, yaitu dari simpul O ke C dan simpul A ke B yang

nilainya 4.Dalam kasus ini, kita pilih sembarang saja.Dalam kasus ini, yang

diambil sebagai simpul yang telah dikunjungi adalah B. Lakukan hal yang

sama seperti sebelumnya,yaitu masukkan sudut AB ke dalam kumpulan sudut.

Lakukan sampai simpul T telah dikunjungi.

Gambar 6. Simpul T telah masuk ke simpul yang telah dikunjungi

Terdapat simpul yang belum dikunjungi , dan ada rute yang belum

terselesaikan O-C. Terdapat 2 rute terpendek, yaitu : O-A-B-D-T, dan O-A-B-

E-D-T. Keduanya memiliki bobot 13