Nilai mutlak dan Pertidaksamaan

Nilai Mutlak

• Nilai mutlak dari sebuah bilangan riil x didefinisikan sebagai berikut:

0;

0;

xx

xxx

Makna geometris

• Secara sederhana, makna dari |x| adalah jarak antara titik x dengan titik 0.

• Secara umum, makna dari |x – y| adalah jarak antara titik x dengan titik y.

• Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya.

• Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5

Bentuk lain dari nilai mutlak

• Selain dari definisi di atas, nilai mutlak mempunyai bentuk lain:

2xx

Persamaan nilai mutlak

• Masalah umum:

Tentukan solusi dari

|ax + b| = k ; k 0

Penyelesaian persamaan nilai mutlak

• Untuk menyelesaikan masalah |ax + b| = k untuk k 0 adalah:

|ax + b| = k ax+b = k atau ax+b = –k

Contoh

• Selesaikan persamaan berikut:

a.|2x – 5| = 7

b.|3 – ¼ x| = 1

c. |9 – ½ x| = –4

d. |2x – 1| = |2 – 3x|

e. |5x + 1| = 2x – 2

Soal

• Selesaikan persamaan berikut:

a. |2x + 5| = |7 + 9x|

b. |5x + 10| = –|3x + 6|

c. |x – 7| + |2x – 4| = 5

d. |2x + 4| – |3 – x| = –1

e. |x| + |x – 2| + |x – 4| = 6

Catatan

Hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Misal: Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.

Pertidaksamaan nilai mutlak

• Dasar dari penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah:

a. Jika a bilangan riil positif, maka

|x|< a –a < x < a

b. Jika a bilangan riil positif, maka

|x|> a x <–a atau x > a

Soal

• Selesaikan pertidaksamaan berikut:

a. |3 – 2x| < 4

b. |½ x + 6| 9

c. 2 < |2 – ½ x| ≤ 3 (v)

d. –1 < |4 – 5x| < 10

e. |x2 – 1| < 3

Soal

• Selesaikan pertidaksamaan berikut:

a. |x + 5| ≤ |1 – 9x|

b. |2x + 10| > –|–x – 5|

c. |x + 7| + |2x + 4| 5 (v)

d. |2x – 4| – |3 + x| < –1

e. 4 < |x + 2| + |x – 1| < 5

f. |x| – |x – 2| – |x – 4| 6

Pertidaksamaan Umum

• Definisi:

a > b a – b > 0

• Sifat Trikotomi

Jika a dan b bilangan-bilangan riil, maka memenuhi hanya salah satu dari hubungan berikut:

a < b, a = b, a > b

Sifat-sifat PERTIDAKSAMAAN

• a > b, b > c a > c

• a > b a + c > b + c

• a > b, c > 0 ac > bc

• a > b, c < 0 ac < bc

• ab > 0 a > 0, b > 0 atau a < 0, b < 0

• ab < 0 a > 0, b < 0 atau a < 0, b > 0

• a > b > 0 atau 0 > a > b 1/a < 1/b

Sifat-sifat PERTIDAKSAMAAN

bdacdcba

dbcadcba

baba

bababa

Nnba

nn

0,0

,

,0,0

22

Menyelesaikan Pertidaksamaan

• Hal-hal yang dapat dilakukan

▫ Menambah sebuah bilangan yang sama kepada setiap ruas pertidaksamaan

▫ Mengalikan setiap ruas pertidaksamaan dengan bilangan riil positif

▫ Mengalikan setiap ruas pertidaksamaan dengan bilangan riil negatif, namun kita harus merubah arah tanda pertidaksamaan yang ada.

▫ Kuadratkan tiap ruas, namun kita harus pastikan bahwa nilainya positif semua di setiap ruasnya.

CONTOH

• Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2

• Penyelesaian

2x – 7 < 4x – 2 2x < 4x + 5 (menambah 7) –2x < 5 (menambah –4x) x > –5/2 (mengalikan –1/2) Himpunan penyelesaian = {x R | x > –5/2} = (–

5/2 ,)

CONTOH

• Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan –5 2x + 6 < 4

• Penyelesaian

–5 2x + 6 < 4 –11 2x < –2 (menambah –6) –11/2 x < –1 (mengalikan ½ ) Himpunan penyelesaian = {x R | –11/2 x < –1 } = [–11/2 , –1)

Soal

• Selesaikan pertidaksamaan berikut:

a. x + 5 ≤ 1 – 9x

b. 2x + 10 > –x – 5

c. x + 7 < 2x – 4 < 5

d. 2x – 4 < – 3 + x ≤ –1 + x

e. |x| < 3x – 2 < 6

Soal

• Selesaikan pertidaksamaan berikut:

2

2

45.

3214.13

2.

532.23

4.

xxxe

xxdx

c

xxbx

xa