5 Persamaan Linear Dan Kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:

dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh ax + b = px2 + qx + r px2 + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC

diperoleh nilai-nilai x (jika ada).

2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px2 + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b2 - 4ac.Diskriminan dari px2 + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)2 - 4p(r - b).Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px2 + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan

D = (q- a)2 - 4p(r - b).Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabolaJika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola. Kedudukan garis terhadap parabola dapat digambarkan sebagai berikut.

Contoh 1

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7 y = x2 + 4x - 12

Jawab :

Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x2 + 4x - 12 diperoleh x + 7 = x2 + 4x - 12 x2 + 3x - 19 = 0 D = 32 - 4(1)(-19) D = 9 + 76 D = 85

Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

b. y = -2x + 5 y = x2 + 6x + 21 Jawab :

Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x2 + 6x + 21 diperoleh -2x + 5 = x2 + 6x + 21 x2 + 8x + 16 = 0 D = 82 - 4(1)( 16)

D = 64 - 64 D = 0 Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4 y = x2 + 6x + 9 Jawab :

Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x2 + 6x + 9 diperoleh 3x - 4 = x2 + 6x + 9 x2 + 3x + 13 = 0 D = 32 - 4(1)( 13) D = 9 - 52 D = -43 Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8 y = x2 + 4xJawab: Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x2 + 4x, diperoleh 2x + 8 = x2 + 4x x2 + 2x - 8 = 0(x + 4)(x - 2) = 0x = -4 atau x = 2

x = -4 y = 2(-4) + 8 = 0 x = 2 y = 2(2) + 8 = 12 Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x2 - 2x - 8.Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola b. sketsa grafiknya.Jawab:a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x2 - 2x - 8, diperoleh x + 2 = x2 - 2x - 8 x2 - 3x - 10 = 0 (x + 2)(x - 5) = 0 x = -2 atau x = 5 x = -2 y = -2 + 2 = 0 x = 5 y = 5 + 2 = 7 Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

y = x + 2

x 0 -2 y 2 0

y = x2 - 2x - 8

x 0 -2 atau 4 1y -8 0 -9

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).

Contoh: (1) x = 5y + 20 (3) y = x2 +2x - 15 (2) y = 4x - 8 (4) x = y2 + 8y +12

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)

Contoh: (1) x2 + y2 + 25 = 0 (3) x2 - 6xy + y2 + 8y = 0 (2) x2 + y2 - 4x + 6y = 0 (4) x2 + 2xy + y2 - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real.

C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.2. Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh

persamaan kuadrat dalam x atau y.

3. Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:

x + y - 4 = 0 y = -x + 4Substitusikan y ke persamaan x2 + y2 - 10 = 0 x2 + (-x + 4)2 - 10 = 0 x2 + x2 - 8x + 16 - 10 = 0 2x2 - 8x + 6 = 0 x2 - 4x + 3 = 0 (x - 1) (x - 3) = 0 x = 1 atau x = 3

x = 1 y = -1 + 4 = 3 x = 3 y = -3 + 4 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}

Contoh 2Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:

x - y = 5 x = y + 5Substitusikan x ke persamaan x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 (y + 5)2 + y2 - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0y2 + 10y + 25 + y2 - 2y - 10 + 4y + 1 = 0 2y2 + 12y + 16 = 0 y2 + 6y + 8 = 0 (y + 2) (y + 4) = 0

y = -2 atau y = -4

y = -2 x = -2 + 5 = 3

y = -4 x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

D. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Ubah persamaan ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)2 - s2 = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0

2. Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab: x2 - 6xy + 9y2 - 36 = 0 (x - 3y)2 - 36 = 0 (x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0 x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0 x - 3y = -6 atau x - 3y = 6

Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6 dan x - 3y = 6

x + y = 2 x - 3y = -6

4y = 8 x + 2 = 8 y = 2 x = 0 x + y = 2 x - 3y = -6

4y = 8 x + 2 = 8 y = 2 x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}

LATIHAN

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut :

1. x + y – 1 = 0

x2 + y2 – 25 = 0

2. x – y + 1 = 0

x2 + y2 – 13 = 0

3. 2x – y – 8 = 0

x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 1 = 0

4. 3x – y – 16 = 0

x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0-

5. 3x + y – 7 = 0

x2 – xy – 2y2 – x – 4y – 2 = 0

E. Sistem Persamaan Dengan Dua Variabel , Kuadrat dan Kuadrat .

Bentuk umum system persamaan kuadrat dan kuadrat adalah sebagai berikut :

{y=ax2+bx+cy=dx2+ex+f

Dengan a,b,c ,d,e dan f ∈R

Penyelesaian sistem persamaan di atas merupakan koordinat titik potong parabola.

Langkah-langkah menyelesaikannya :

(I). Eliminasi salah satu variabelnya, sehingga terbentuk persamaan kuadrat.

Y = ax2 + bx + c

Y = px2 + qx + r _

0 = (a-p)x2 + (b-q)x + (c-r) . merupakan persamaan kuadrat.

(II). Tentukan nilai Diskriminannya D = (b-q)2 – 4.(a-p).(c-r).

(i). Jika D > 0 , maka ada 2 penyelesaian .

(ii). Jika D = 0 , maka ada 1 penyelesaian.

(iii). Jika D < 0 , maka tidak mempunyai penyelesaian .

(III). Selesaikan persamaan kuadrat yang terjadi, sehingga diperoleh nilai x (jika ada)

(IV). Substitusikan nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaannya.

(V). Tuliskan himpunan penyelesaiannya dalam bentuk himpunan pasangan berurutan .

Contoh:

1. { y=x2−3 x+22 y=3 x−x2+20

y=x2−3 x+2………. persamaan1

2 y=3 x−x2+20……. persamaan2

Jika persamaan 1 disubstitusi ke persamaan 2 diperoleh:

2(x2−3 x+2)=3 x−x2+20

❑⇔

2 x2−6 x+4=3 x−x2+20

❑⇔

2 x2+ x2−6 x−3 x+4−20=0

❑⇔

3 x2−9 x−16=0

❑⇔

3 x2−9 x−16=0

Dengan menggunakan rumus abc

a = 3, b = −¿ 9 dan c = −16

X1,2 = −b±√b2−4 ac

2a

X1,2 = 9±√(−9)2−4.3 .−16

2.3

X1,2 = 9±√81+192

6=9±√273

6

2. Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut :

y = 2x2 – 12x + 15

y = x2 - 4x + 3

Jawab :

y= 2x2 – 12x + 15

y= x2 - 4x + 3 _

0 = x2 - 8x + 12

a = 1 , b = -8 , c = 12 D = (-8)2 – 4. 1. 12 = 64 – 48 = 16 > 0

Karena D > 0 , maka ada 2 penyelesaian.

x2 - 8x + 12 = 0

(x – 2)(x – 6) = 0

x = 2 atau x = 6

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan y = 2x2 – 12x + 15 = 2.22 – 12.2 + 12

= 2.4 – 24 + 12 = 8 - 24 + 12 = - 4 (2,-4)

Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan y = 2x2 – 12x + 15 = 2.62 – 12.6 + 12

= 2.36 – 72 + 12 = 72 – 72 + 12 = 12 (6,12)

Jadi , himpunan penyelesaiannya adalah :{(2,-4),(6,12)}

Latihan Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut :

1. y = 2x2 + 3x + 2y = x2 – 2x + 8

2. y = 3x2 + 5x + 7y = x2 - 3x – 1

3. y = 2x2 – 3x + 1y = x2 + x – 2

4. y = x2 – 3x + 8y = - x2 + x + 6

5. 4x2 + y2 = 25x2 – y2 = -5

6. 4x2 + y2 = 25x2 + 4y2 = 40

7. x2 + y2 = 5x2 – 2xy + y2 = 1

8. x2 + y2 = 5x2 –xy + y2 = 7

9. x2 - y2 = 8x2 + 2xy - y2 = 14

10. x2 - 2y2 = -4 2x2 + xy - 4y2 = -12

EVALUASI

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dan berikan alasannya!

1. Jika x dan y memenuhi system persamaan linear 2x + y = 5 dan 3x – 2y = -3 , maka nilai

x + y = …

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

2. Jika x dan y memenuhi system persamaan

2x+ 1y=1

dan

1x− 2y=8

, maka nilai

1x+ y

=. . .

a. –2/3 b. 5/6 c. 6/5 d. 5 e. 6

3. Di sebuah toko Ani membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,- dan Budi membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp. 9.500,-. Candra juga membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga … rupiah .

a. 950 b. 1.050 c. 1.150 d. 1.250 e. 1.350

4. Sepuluh tahun yang lalu umur ayah enam kali umur adik. Lima tahun yang akan datang jumlah umur ayah dan adik 72 tahun. Jika umur ibu empat tahun lebih muda dari umur ayah, maka umur ibu sekarang … tahun.

a. 32 b. 36 c. 40 d. 42 e. 48

5. Penyelesaian system persamaan : x + 4y + 2z = 12 , 2x + 3y – 2z = 3 dan 4x + y + 5z = 0 adalah …

a. ( 3,2,1 ) b. ( -3,2,1 ) c. ( -2,3,1 ) d. ( 2,3,1 ) e. ( 1,2,3 )

6. Dari system persamaan :

1x+ 1y+ 1z=5

,

2x− 3y+ 1z=−4

dan

−1x

+ 2y−1z=1

, maka nilai x.y.z =

a. –1/8 b. -8 c. 1/8 d. 4 e. 8

7. Persamaan parabola yang melalui titik-titik (-3,28) , (1,0) dan ( 2,3 ) adalah …

a. y = 2x2 – 3x + 5 b. y = 2x2 – 4x + 5 c. y = -2x2 + 3x - 1

d. y = 2x2 – 3x + 1 e. y = 2x2 + 3x – 1

8. Nilai a agar sIstem persamaan : y = x – a dan y = x2 + 5x – 2 , tepat mempunyai satu penyelesaian adalah … .

a. -6 b. -2 c. 2 d. 6 e. 8

9. Nilai a agar sIstem persamaan : y = 2x + a dan y = x2 + 4x – 2 , mempunyai dua penyelesaian adalah

a. –3 < a < 3 b. a < 3 c. a > -3 d. a < -3 atau a > a e. –2 < a < 2

10. Himpunan penyelesaian system persamaan y = -2x + 1 dan y = x2 – 4x + 3 , adalah …

a. { } b. { ( 0,0 ) } c. { ( -3,2 ) } d. { ( 0,2 ) } e. { ( 2,0 ) }

11. Garis y = 2x – 2 memotong parabola y = x2 + 5x – 6 di titik … .

a. (-4,10) dan (1,2) b. (4,-10) dan (1,0) c. (-4,-10) dan (1,2)

d. (-4,-10) dan (1,0) e. (4,-10) dan (-1,0)

12. Himpunan penyelesaian system persamaan x – y – 3 = 0 dan x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0 adalah… .

a. { (1,-2),(10,8) } b. { (1,-2) , (11,8) } c. { (-2,1) , (8,10) }

d. { (-2,1) , (8,11) } e. { (2,1) , (11,8) }

13.Nilai a agar system persamaan y = ax2 – 4x + 5 dan y = 2ax2 + 2x – 4 , dapat diselesaikan adalah …

a. a -1 atau a 3 b. a -3 atau a 1 c. a -3

d. a -1 e. a 3

14. Himpunan penyelesaian system persamaan : y = 2x2 + x + 3 dan y = x2 – 3x , adalah …

a. { (-1,4),(-3,18)} b. { (1,4) , (3,18) } c. { (-2,8) , (2,-2) }

d. { (-1,2) , (-3,0) } e. { (-1,-2) , (-3,-18) }

15. Himpunan penyelesaian system persamaan : x2 – 5x – y + 6 = 0 dan x2 – 3x – y + 2 = 0 adalah …

a. { (2,0) } b. { (0,2) } c. { (-2,0) }

d. { (0,-2) } e. { (-1,-2) }

II. Kerjakan dengan langkah – langkah yang jelas!

Tentukan himpunan penyelesaian sitem persamaan berikut :

1. x + y = 3x – 2y = 6 dengan cara grafik.

2. 3x – 2y = 56x + 5y = 7 dengan cara substitusi

3. 7x – 3y = 173x + 5y = 1 dengan cara eliminasi.

4. 2x +y + z = 73x – y + 2y = 4

x –3y + 5z = 2

5. y = x2 – 5x + 4y = x – 1

6. 3x – y – 16 = 0x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

7. y = x2 – 2x+ 3y = -x2 – x + 2

8. y = 2x2 – 4x + 3y = x2 – 1

9. y = 2x2 – 4x + 7y = x2 – 5x – 3

10. y = -x2 + 2x + 3 y = x2 – 4x + 3

5 Persamaan Linear Dan Kuadrat

Documents

Transcript of 5 Persamaan Linear Dan Kuadrat