Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

INTEGRAL RANGKAP TIGA Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai

berikut. bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, Bi ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ∆ ∆ ∆ ∆V x y zi i i i= , sehingga volume balok, B yaitu :

V Vii

n=

=∑ ∆

1

Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut:

( )f x y z dV f x y z VB n

i i i ii

n( , , ) lim , ,∫∫∫ ∑=

→∞ =∆

1

Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B. Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut :

g x y zf x y z x y z G

x y z B G( , , )

( , , ) ; ( , , )

; ( , , )=

∈∈ −

0

B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan :

f x y z dV g x y z dVG B

( , , ) ( , , )∫∫∫ ∫∫∫=

Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh

Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut ( ) ( )z u x y z v x y1 2= =, ,dan atau

dalam notasi himpunan, ( ) ( ){ }G z u x y z v x yz = ≤ ≤, , - dan Gxy yang merupakan

proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan :

f x y z dV f x y z dz dAG u x y

v x y

Gxy

( , , ) ( , , )( , )

( , )

∫∫∫ ∫∫∫=

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu :

1. ( ) ( ) ( ){ }G x y a x b h x y g xxy = ≤ ≤ ≤ ≤, ,

f x y z dz dA f x y z dz dy dxu x y

v x y

G u x y

v x y

h x

g x

a

b

xy

( , , ) ( , , )( , )

( , )

( , )

( , )

( )

( )

∫∫∫ ∫∫∫

=

2. ( ){ }G x y h y x g x c y dxy = ≤ ≤ ≤ ≤, ( ) ( ),

f x y z dz dA f x y z dz dx dyu x y

v x y

G u x y

v x y

h y

g y

c

d

xy

( , , ) ( , , )( , )

( , )

( , )

( , )

( )

( )

∫∫∫ ∫∫∫

=

Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G,

sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang

sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturut-turut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ. Contoh 7

Hitung integral 2010

2xyz dy dx dz

x zz /

∫∫∫

Jawab :

2 223010

2

010

2xyz dy dx dz z x y dy dx dz

x zz x zz/ /

∫∫∫ ∫∫∫=

=

Contoh 8 Hitung integral 2x dV

G∫∫∫ bila

a. ( )G x y z x y y z x= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

, , , ,0 0 4 032

b. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang x = 1 dan x = 4.

Jawab :

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

a. 2 2 26540

3 2

00

4

0

3 2

00

4x dV x dz dxdy x dz dx dy

G

xy xy

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫= =

=/ /

b. G dituliskan, ( )G x y z x y z z= ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤

, , , ,1 4 0 1 0 12 .

Jadi 2 2 2 40

1

0

1

1

4

0

1

0

1

1

42 2

x dV x dy dzdx x dy dz dxG

z z

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫= =

= −− −

π .

Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1. Contoh 9 Hitung volume bangun ruang, G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2 dan y + 4z = 8. Jawab :

G dituliskan , ( )G x y z x y x zy

= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤−

, , , ,0 2 0 2 08

42 .

Volume, ( ) ( )

V dV dz dy dx dz dy dxG

x y x y

= = =

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− −

0

2

0

2

0

8 4

0

2

0

2

0

8 42 222430

/ /

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut.

1. 42

0

3

2

5x dz dy dx

y

xx +

−∫∫∫

2. ( )sin x y z dx dy dzyz

+ +∫∫∫000

2π

3. dz dydxy x

0

3

1

4

0

2 +

−∫∫∫

4. 301

1

2

42

xyz dz dy dx

yx

x

x

∫∫∫−

+

−

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

5. sinsin

xy

dx dy dzyz

z

∫∫∫

0

20

0

2π

( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral xyz dVG∫∫∫ bila :

6. ( ) ( )G x y z x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − −

, , , ,0 1 0 3 016

12 3 2

7. ( )G x y z x y y z= ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤

, , , ,0 4 0 2 0 32

8. ( ){ }G x y z x z y x z z= ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≤ ≤, , , ,0 3 0 4 2 0 2

9. ( ){ }G x y z x y y z z= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤, , , ,0 0 0 12

( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : 10. y = 2x

2 , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama.

11. y2 + 4z

2 = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama

12. x2 =y , z

2 = y dan y = 1

13. y = x2 + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0