14063-8-656966738948.doc

MODUL VIII

ROOT LOCUS

Pada modul ini akan dibahas mengenai dasar root locus, plot root locus, aturan-

aturan penggambaran root locus dan penggambaran root locus melalui MATLAB.

Dibahas pula beberapa kasus khusus serta analisis sistem kendali melalui root locus.

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi

pole-pole (loop tertutupnya). Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah.

Kita perlu memahami pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.

Gambar 1 Sistem Loop Tertutup

Desain sistem kendali melalui gain adjusment adalah dengan memilih sehingga pole-

pole terletak ditempat yang diinginkan. Sedangkan desain sistem kendali melalui

kompensasi adalah dengan memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui

pole-zero cancellation.

Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K

sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB ?!). W.R. Evan mengembangkan

metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi yaitu metoda Root Locus.

Root Locus adalah tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K =

0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-

pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop

terbuka.

8.1 Dasar Root Locus

Perhatikan contoh sistem kendali pada gambar 2 berikut ini.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT.

SISTEM KENDALI LANJUT 1

Gambar 2 Sistem kendali radar pesawat

Persamaan karakteristik sistem di atas : s2 + 2s + K =0

Akar-akar persamaan karakteristiknya :



Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata. Root Locus bermula dari

pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk Kà~)

termasuk zero-zero pada titik takhingga. Root Locus cukup bermanfaat dalam desain

sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero

loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat

dipenuhi. Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk

memperoleh hasil secara cepat.

Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat

menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada

satu saat. Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu

parameter (K) terhadap letak pole-pole. Sketsa Root Locus secara manual tetap

dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara

cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat. Spesifikasi

transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root

Locus.

8.2 Plot Root Locus

Sistem kendali tertutup dengan umpan balik negatif seperti pada gambar 3 di bawah

ini memiliki persamaan karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 atau: G(s)H(s) = -1.

Gambar 3 Sistem Kendali Loop Tertutup Umpan Balik Negatif

Dengan demikian :

ÐG(s)H(s) = + 180o(2k+1); (syarat sudut)

k = 0, 1, 2, ….

| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)



Gambar 4 Diagram yang menunjukkan pengukuran sudut dari pole loop-terbuka dan

zero loop-terbuka untuk pemeriksaan titik s

8.3 Prosedur Penggambaran Root Locus

Berikut ini adalah prosedur penggambaran Root Locus :

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata

- Syarat Sudut:

ÐG(s)H(s) = + 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, …

- Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero di kanan titik ini ganjil, maka

titik tsb terletak di Root Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

- Banyaknya asimtot = n – m

n = banyaknya pole loop terbuka

m= banyaknya zero loop terbuka

- Sudut-sudut asimtot =

k = 0, 1, 2,...



- Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

a

4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:

– Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0,

– Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero

kompleks sekawan.

– Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-

vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor

dari zerozero ke pole kompleks tsb).

– Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-vektor

dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari

polepole ke zero kompleks tsb).

Gambar 5 Kontruksi Root Locus : Sudut pergi (berangkat)=180o – (θ1+ θ2)+

6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

– Melalui Kriteria Routh Hurwitz.

– Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-daerah selain sumbu nyata dan

asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude.

Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang

memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis:



Secara grafis:

CONTOH :

Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan

Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop

tertutup dominannya bernilai 0,5 !

Solusi :

1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

Gambar 7 Root Locus pada sumbu nyata

• Untuk titik uji 1 :

Syarat sudut : - Ðs - Ð(s +1) - Ð(s + 2) = 00 + 00 + 00 = 00 (tak terpenuhi).

• Untuk titik uji 2 :

Syarat sudut : - Ð - Ð(s +1) - Ð(s + 2) = -1800 - 00 - 00 = -1800 (terpenuhi).

2. Penentuan asimtot Root Locus

Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3

Sudut asimtot =

(k = 0,1, 2) = 60o ; 180o dan -60o

Titik potong asimtot pada sumbu nyata :

a

3. Penentuan titik pencar diperoleh dari

persamaan :



• Persamaan karakteristik sistem adalah :

• Diperoleh s1 = - 0,4226 (memenuhi) dan s2 = - 1,5774 (tak memenuhi)

4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.

• Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus

dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s = ± j 2 .

• Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = jw

(pada sumbu khayal).

5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root

Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.

Gambar 8 Penentuan titik uji

6. Gambar Root Locus nya:



Gambar 9 Root Locus

7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien

redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s = -ζwn ± jwn √(1- ζ2) . Dengan

memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa ζ = cosβ . Untuk ζ = 0,5,

maka β = 600 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-pole

dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:

Gambar 10 Letak Pole Kompleks

Beberapa Catatan

Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk

Root Locus. Perhatikan gambar 11.

Gambar 11 Perubahan bentuk Root Locus karena pergeseran pole dan zero



• Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di ‘hilang’kan (cancelled)

oleh zero-zero H(s).

Gambar 12 Pengurangan orde sistem karena pole-pole G(s)

dihilangkan oleh zero H(s)

Fungsi Alih :

Persamaan karakteristik: [s(s+2)+K](s+1) = 0

Mengingat suku (s+1) muncul di G(s) dan di H(s) diperoleh

1 + G(s)H(s) = 1 +

=

Sehingga s(s+2)+K =0

Tabel 1 menunjukkan konfigurasi umum pole-zero loop terbuka & hubungan tempat

kedudukan akar (root locus).



Tabel 1 Konfigurasi Umum Pole-Zero Loop Terbuka & Hubungan Tempat

Kedudukan Akar

8.4 Root Locus Melalui MATLAB

Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:



Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep Fungsi Alih):

rlocus(num, den)

Untuk konsep ruang waktu (State Space):

rlocus (A, B, C, D)

Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K secara otomatis

ditentukan. Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka

perintah berikut ini dapat digunakan :

rlocus(num,den,K), atau

rlocus(A,B,C,D,K)

K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup ingin

dihitung.

Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan menggunakan arguman berikut

ini :

[r,K] = rlocus(num,den)

[r,K] = rlocus(num,den,K)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K.

Perintah :

r=rlocus(num,den)

plot(r,'o') atau, plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda ‘o’ atau `x’,

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis, maka plot Root Locus

berikut ini :

adalah sama, dengan :

num = [ 0 0 1 1 ]

den = [ 1 5 6 0 ]



Contoh : Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan

satuan:

Solusi :

Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk polinomial.

Definisikan :

Selanjutnya gunakan perintah :

d = conv(a,b);

e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]

Program MATLAB nya:

Penggambarannya ditunjukkan pada gambar 13.

Gambar 13 Root Locus melalui MATLAB



8.5 Kasus Khusus

Kita akan membahas 2 buah kasus khusus yaitu apabila :

- Parameter K bukan penguatan loop terbuka

- Terdapat umpan balik positif

8.5.1 Parameter K Bukan Penguatan Loop Terbuka

Sistem kendali pada gambar 14 berikut ini memiliki parameter K bukan penguatan

loop terbuka melainkan tertutup. Diinginkan koefisien pole-pole loop tertutup

dominannya adalah 0,4. Tentukan nilai K !

Gambar 14 Sistem kendali dengan parameter K bukan penguatan loop terbuka

Fungsi transfer loop terbuka =

Persamaan karakteristik : s3 + 5s2 + 4s + 20 + 20Ks= 0

Definisikan 20k = K

Sehingga: s3 + 5s2 + 4s + Ks +20= 0

Atau : 1+

Diperoleh persamaan standard:

1+

k = pada titik P



Gambar 15 Penggambaran Root Locus untuk contoh gambar 14

8.5 Umpan Balik Positif

Sistem kendali pada gambar 16 berikut ini memiliki umpan balik positif.

Gambar 16 Sistem Kendali dengan Umpan Balik Positif

Fungsi alih loop dalam :

Persamaan karakteristik : 1 –G(s)H(s) = 0

Atau : G(s)H(s) = 1

Sehingga (k=0,1,2,…)

Perhatikan syarat sudut berubah !



Modifikasi Aturan :

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root

Locus.

3. Sudut-sudut asimtot = ; k=0, 1, 2, …

5. Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan 00.

Contoh : Gambarkan Root Locus untuk sistem umpan-balik positif G(s)H(s)!

Gambar 17 Contoh Sistem Kendali dengan Umpan Balik Positif

Solusi:

1. Plot pole-pole lup terbuka (s = -1 + j1, s = -1 - j1, s = -3) dan zero (s = -2) pada

bidang kompleks. Dengan naiknya nilai K dari 0 hingga ¥, pole-pole lup tertutup

akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada zero-zero lup

terbuka (baik zero berhingga maupun tak berhingga), sebagaimana terjadi pada

sistem umpan-balik negatif.

2. Tentukan root locus pada sumbu nyata . Root locus akan berada pada penggal

garis antara -2 dan + ¥ dan antara -3 dan - ¥.

3. Tentukan asimtot-asimtot root locus. Sudut-sudut asimtot = ± k. 3600 /(3-1) =

±1800. (Kedua asimtot terletak pada sumbu nyata.)

4. Tentukan titik-titik pencar dan masuk.

K = [(s + 3)(s2 + 2s + 2)]/(s + 2).

dK/ds = 0, diperoleh: 2s3 + 11 s2 + 20 s + 10 = 0, atau

2(s + 0,8)(s + 2,35 + j0,77)( s + 2,35 - j0,77), sehingga titik masuk s = -0,8

5. Tentukan sudut berangkat root locus dari pole-pole kompleks. Untuk pole pada

s= -1 + j1, sudut berangkatnya adalah: θ= 0 - 270 - 900 + 450 = -720

6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal untuk

menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti.



Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk

menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.

Gambar 18 Penggambaran Root Locus Contoh Soal Gambar 17

Tabel 2 Plot Root Locus untuk Sistem umpan balik Negatif dan Positif

Garis dan kurva tegas : Sistem umpan balik negatif,

Garis dan kurva terputus-putus : Sistem umpan balik positif



8.6 Analisis Sistem Kendali

Analisis sistem kendali melalui Root Locus :

• Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan

• Sistem stabil kondisional

• Sistem fasa non-minimum

8.6.1 Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal

lokus ÐG(s)H(s)= ±1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang G(s)H(s).

Gambar 19 Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan

8.6.2 Sistem Stabil Kondisional

Perhatikan sistem pada gambar 20 berikut. Sistem ini stabil untuk 0 < K < 14 dan

64<K <195. Pada prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah

menjadi tak stabil. Stabil kondisional dapat terjadi pada sistem dengan lintasan maju

tak stabil (karena ada minor loop). Stabil kondisional dapat dihindari melalui

kompensasi yang sesuai (penambahan zero).



Gambar 20 Contoh sistem stabil kondisional

8.6.3 Sistem Fasa Non-Minimum (Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak

disebelah kiri bidang-s.

Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop

terbuka terletak disebelah kanan bidang-s.

Sistem pada gambar 21 adalah contoh sistem fasa non-minimum.

Gambar 21 Sistem Fasa Non-minimum

Syarat Sudut :

Sehingga



14063-8-656966738948.doc

Documents

Transcript of 14063-8-656966738948.doc